Distributivité multiplication sur l'addition Factorisation Développement

Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
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Exercice 1 : décrire une expression en utilisant les termes somme, différence, produit et quotient
Exercice 2 : reconnaitre une expression factorisée et une expression développée
Exercice 3 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Exercice 4 : utiliser la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Exercice 5 : développer et calculer une expression
Exercice 6 : développer et réduire une expression
Exercice 7 : repérer un facteur commun dans une expression développée
Exercice 8 : factoriser une expression où le facteur commun est mis en évidence
Exercice 9 : factoriser et réduire une expression où le facteur commun est mis en évidence
Exercice 10 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun
Exercice 11 : factoriser une expression en cherchant le facteur commun
Exercice 12 : développer une expression puis la réduire à l’aide de la factorisation
Exercice 13 : calculer astucieusement à l’aide de la factorisation
Exercice 14 : calculer astucieusement à l’aide du développement
Exercice 15 : calculer mentalement en faisant appel à la distributivité
Exercice 16 : utiliser la distributivité pour résoudre un problème
Exercice 17 : utiliser la distributivité en géométrie pour calculer l’aire d’un rectangle
Exercice 18 : suivre un programme de calcul et le simplifier en faisant appel à la distributivité
Exercice 19 : utiliser la distributivité pour montrer que la somme de deux nombres pairs est paire
Exercice 20 : calculer le périmètre et l’aire d’un carré avant et après agrandissement de ses côtés
Exercice 21 : calculer la longueur d’un arc de cercle
Exercice 22 : effectuer un calcul difficile sans calculatrice grâce à la distributivité
Exercice 23 : tester une égalité où apparaît la distributivité
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Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : factorisation et développement – Exercices corrigés
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1
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
1) Dans chacun des six cas suivants, décrire l’expression en utilisant à bon escient les mots « somme »,
« différence », « produit » et « quotient ».
2) Effectuer les calculs des différentes expressions ci-dessus en respectant les règles opératoires.
Correction de l’exercice 1
Retour au menu
Rappel : Somme de termes
Rappel : Différence de deux termes
Lorsque l’on additionne des nombres, on obtient la
Lorsque l’on soustrait deux nombres, on obtient la
somme de ces nombres. Chaque nombre que l’on
différence de ces deux nombres. Chaque nombre
additionne est appelé terme. Autrement dit, une
est appelé terme. Autrement dit, une différence est
somme est le résultat de l’addition de termes.
le résultat de la soustraction d’un terme à un autre
terme.
Exemple : ⏟
⏟
⏟
Exemple : ⏟
⏟
⏟
Rappel : Produit de facteurs
Rappel : Quotient de deux nombres
Lorsque l’on multiplie des nombres, on obtient le
Lorsque l’on divise un nombre (le dividende) par
produit de ces nombres. Chaque nombre que l’on
un nombre non nul (le diviseur), on obtient le
multiplie est appelé facteur. Autrement dit, un
quotient de ces deux nombres. Autrement dit, un
produit est le résultat de la multiplication de
quotient est le résultat de la division d’un diviseur
facteurs.
par un dividende.
Exemple :
⏟
⏟
⏟
Exemple :
⏟
⏟
⏟
1) Décrivons chacune des expressions.

Dans l’expression , la soustraction entre parenthèses est prioritaire devant la multiplication. Il convient donc
de calculer tout d’abord la différence des termes 7 et 3, puis de calculer le produit de cette différence par le
facteur 4. Par conséquent, la dernière opération à effectuer est la multiplication.
Finalement,
est le produit de la différence de 7 et de 3 par 4.
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2
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Dans une expression avec des parenthèses, on
effectue d’abord les calculs situés entre parenthèses.

Dans l’expression , la multiplication est prioritaire devant l’addition. Il convient donc de calculer tout d’abord
le produit des facteurs 5 et 7, puis de calculer la somme de 3 et de ce produit. Par conséquent, la dernière
opération à effectuer est l’addition.
Finalement,
est la somme de 3 et du produit de 5 par 7.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue
d’abord les multiplications et les divisions, qui sont
prioritaires devant les additions et les soustractions.

Dans l’expression , la multiplication et la division sont deux opérations prioritaires. Il convient donc de
calculer tout d’abord le produit des facteurs 9 et 3 d’une part et le quotient du dividende 4 par le diviseur 2
d’autre part, puis de calculer la différence de ce produit et de ce quotient. Par conséquent, la dernière opération
à effectuer est la soustraction.
Finalement,
est la différence du produit de 9 par 3 et du quotient de 4 par 2.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟

Dans l’expression , la soustraction entre parenthèses et l’addition entre parenthèses sont deux opérations
prioritaires. Il convient donc de calculer tout d’abord la différence des termes 5 et 2 d’une part et la somme des
termes 4 et 9 d’autre part, puis de calculer le produit de cette différence par cette somme. Par conséquent, la
dernière opération à effectuer est la multiplication.
Finalement,
est le produit de la différence de 5 et 2 par la somme de 4 et 9.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟

Dans l’expression , l’addition entre parenthèses est prioritaire devant la division. Il convient donc de calculer
tout d’abord la somme des termes 5 et 2, puis de calculer le quotient de cette somme par le diviseur 7. Par
conséquent, la dernière opération à effectuer est la division.
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3
Finalement,
est le quotient de la somme de 5 et 2 par 7.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟

Dans l’expression , la division est prioritaire devant l’addition. Il convient donc de calculer tout d’abord le
quotient du dividende 6 par le diviseur 2, puis de calculer la somme de 3 et de ce quotient. Par conséquent, la
dernière opération à effectuer est l’addition.
Finalement,
est la somme de 3 et du quotient de 6 par 2.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
2) Calculons chacune des expressions.
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
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Exercice 2 (1 question)
Niveau : facile
Parmi les expressions suivantes, préciser celles qui sont factorisées et celles qui sont développées.
Correction de l’exercice 2
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Rappel : Expression développée
Rappel : Expression factorisée
Une expression développée est une expression écrite
Une expression factorisée est une expression écrite
sous forme d’une somme (ou d’une différence) de
sous forme d’un produit de deux ou plusieurs
deux ou plusieurs termes.
facteurs.
Exemples :
et
sont deux
expressions développées.
Exemples :
et
sont
deux expressions factorisées.
Soit l’expression
. Cette expression est le produit du facteur 2 par le facteur
donc d’une expression factorisée.
. Il s’agit
Rappel : Simplification d’écriture – Signe de la multiplication inutile
Le signe
de la multiplication est inutile :
 entre un nombre et une lettre (exemple :
devant la lettre :
) (Attention ! Par convention, on place le nombre
)
 entre deux lettres (exemple :
)
 entre un nombre et une parenthèse (exemple :
 entre une lettre et une parenthèse (exemple :
)
)
 entre deux groupes mis entre parenthèses (exemple :
Soit l’expression
du facteur 5,2 par le facteur
Soit l’expression
le produit du facteur
. Or,
. L’expression
. Il s’agit d’une expression factorisée.
. Or,
par le facteur
)
est donc le produit
. Cette expression est
. Il s’agit donc d’une expression factorisée.
Soit l’expression
. Cette expression est la somme du terme
s’agit donc d’une expression développée.
et du terme
. Il
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Soit l’expression
. Cette expression est la différence du terme
Il s’agit donc d’une expression développée.
Soit l’expression
d’une expression développée.
. Cette expression est la somme du terme
Soit l’expression
. Cette expression est le produit du facteur
Il s’agit d’une expression factorisée.
Soit l’expression
d’une expression développée.
. Cette expression est la somme du terme
et du terme
et du terme
.
. Il s’agit donc
par le facteur
.
et du terme 3. Il s’agit donc
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Exercice 3 (1 question)
Niveau : facile
En utilisant la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, compléter les tirets par le nombre ou la
lettre qui convient.
Correction de l’exercice 3
Retour au menu
Rappel : Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition
Multiplier un nombre par une somme de termes revient à multiplier ce nombre par chaque terme de la somme
, égalité que l’on
puis à additionner tous les produits obtenus. Autrement dit,
peut également noter
.
Remarques :
 On note l’expression
plus simplement
 D’après la commutativité de la multiplication, on peut aussi bien noter
que
 Plus généralement, on a
.
ou
ou
ou
ou
ou
ou
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Exercice 4 (1 question)
Niveau : moyen
En faisant appel à la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition, compléter les tirets comme il
convient.
(
)
(
Correction de l’exercice 4
)
Retour au menu
ou
(
)
ou (
)
ou
ou
ou
(
)
ou
(
)
ou
(
)
Ou bien encore…
(
)
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : facile
Développer puis calculer les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 5
Retour au menu
Rappel : Développement d’une expression
Développer une expression, c’est écrire sous forme d’une somme algébrique une expression initialement écrite
sous forme d’un produit. Autrement dit, le développement d’une expression est la transformation d’un produit
de facteurs en somme (ou différence) de termes : ⏟
⏟
On dit que l’expression
⏟
.
est une forme développée de l’expression
.
1ère remarque : On peut vérifier ces résultats en utilisant les règles opératoires prioritaires.
2ème remarque : On verra plus loin dans cette fiche qu’il est parfois plus intéressant d’utiliser la distributivité
que les règles prioritaires de calculs car la distributivité permet dans certains cas de simplifier les calculs et
d’effectuer des calculs de manière astucieuse.
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Exercice 6 (1 question)
Niveau : moyen
Développer puis réduire les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 6
Retour au menu
(on observe que
est le produit du facteur 5 par le facteur
(le facteur 5 peut donc être distribué à tous les termes de la somme
)
)
(on utilise la distributivité pour développer l’expression)
(on simplifie l’écriture en effectuant les calculs prioritaires : les multiplications)
(on continue de simplifier l’écriture)
(on observe que
est le produit de
par 3)
(on récrit l’expression en commutant les facteurs ; mais cette étape n’est pas obligatoire)
(on utilise la distributivité pour développer l’expression)
(on simplifie l’écriture en effectuant la première multiplication)
(on continue de simplifier l’écriture)
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Exercice 7 (1 question)
Niveau : facile
Dans chacune des expressions suivantes, encadrer le facteur commun.
Correction de l’exercice 7
Retour au menu
Rappel : Facteur commun
Dans une expression développée, on appelle facteur commun un facteur présent dans tous les termes d’une
somme (ou d’une différence).
Exemple : ⏟
⏟
⏟
est une expression développée dans laquelle le nombre 2 est un facteur
commun à tous les termes de la somme.
⏟
⏟
L’expression
est la somme de 2 termes : le
premier terme est le produit de 9 par 6, le second
terme est le produit de 9 par 7. Chacun de ces
produits contient donc le facteur 9. Le nombre 9
est le facteur commun recherché.
⏟
⏟
L’expression
est la somme de 2 termes : le
premier terme est le produit de 5 par 2, le second
terme est le produit de 7 par 2. Chacun de ces
produits contient donc le facteur 2. Le nombre 2
est donc le facteur commun recherché.
⏟
⏟
L’expression
est la somme de 2 termes : le
premier terme est le produit de 7 par 7, le second
terme est le produit de 3 par 7. Chacun de ces
produits contient donc le nombre 7. Le nombre 7
est donc le facteur commun recherché.
Attention ! Le nombre 7 est en commun seulement
une fois dans chaque terme !
⏟
⏟
⏟
⏟
L’expression
est la somme de 2 termes : le
premier terme est le produit de 13 par 3, le second
terme est le produit de 13 par 1. Chacun de ces
produits contient donc le facteur 13. Le nombre 13
est donc le facteur commun recherché.
Remarque importante : Pour mettre en évidence un facteur commun, il faut parfois écrire un nombre sous la
forme d’un produit de ce nombre par 1. Exemples :
;
;
;…
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Exercice 8 (1 question)
Niveau : facile
Factoriser les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 8
Retour au menu
Rappel : Factorisation d’une expression
Factoriser une expression, c’est écrire sous forme d’un produit une expression initialement écrite sous forme
d’une somme algébrique. Autrement dit, la factorisation d’une expression est la transformation d’une somme
(ou différence) de termes en produit de facteurs : ⏟
⏟
On dit que l’expression
Remarque :
⏟
.
est une forme factorisée de l’expression
est appelé facteur commun à
et à
.
. Ainsi, factoriser une expression revient tout d’abord à
trouver un facteur commun aux termes d’une somme algébrique.
(on repère que
chaque terme de la somme)
est une expression développée et que 17 est un facteur commun à
(on utilise la distributivité pour factoriser l’expression)
(on simplifie l’écriture)
Remarque : On pourrait simplifier encore cette écriture en effectuant les calculs, mais ce n’est pas l’objet de la
consigne… En l’occurrence, on aurait
.
(on repère que
est une expression développée et que
est un facteur commun à chaque
terme de la somme)
(on utilise la distributivité pour factoriser l’expression)
(on simplifie l’écriture)
On a aussi bien :
Remarque : On pourrait réduire en calculant la somme entre parenthèses mais, encore une fois, la consigne
impose seulement une factorisation. En l’occurrence, on aurait
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Ou bien
Remarque : On pourrait réduire
en notant que
Pour factoriser une expression, il faut :
1) tout d’abord repérer un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique
2) puis utiliser la distributivité
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Exercice 9 (1 question)
Niveau : moyen
Factoriser puis réduire les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 9
Retour au menu
Remarque importante : Une factorisation n’est pas unique… On aurait pu en effet factoriser autrement…
(
)
(
)
… Mais, parmi ces 4 autres factorisations, les deux premières ne sont pas les plus réduites et les deux dernières
sont plus fastidieuses.
(
)
Remarque : Comme il a déjà été vu, on peut écrire
facteur commun
dans l’expression .
(
)
sous la forme du produit
pour faire apparaître le
Puissance entière d’un nombre (hors-programme)
désigne le produit du nombre
désigne le produit du nombre
que
est le cube de .
par lui-même. Autrement dit,
. On dit que
par lui-même et encore par lui-même. Autrement dit,
est le carré de .
. On dit
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Exercice 10 (1 question)
Niveau : moyen
Factoriser les expressions suivantes après avoir mis en évidence le facteur commun.
Correction de l’exercice 10
(on repère que
terme de la somme)
Retour au menu
est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à chaque
(on décompose le terme 8 en produit de facteurs, à savoir en produit de 4 par 2, pour mettre
le facteur commun 4 en évidence)
(on utilise la distributivité pour factoriser par 4)
(on simplifie l’écriture)
(on repère que
chaque terme de la somme)
produit de 2 par
est une expression développée mais on ne repère aucun facteur commun à
(comme
, on décompose le terme 2 en produit de facteurs, à savoir en
et encore par , pour mettre le facteur commun en évidence)
(on utilise la distributivité pour factoriser par )
(on simplifie l’écriture)
(on repère que
est la somme de 3 termes ne contenant aucun facteur commun évident)
(on décompose chaque terme de la somme en produits, de sorte à faire
apparaître le facteur commun 6)
(on utilise la distributivité pour factoriser par 6)
(on simplifie l’écriture)
(on observe que
est la somme de 2 termes semblant contenir
(on utilise l’astuce qui permet d’écrire le terme
mettre en évidence le facteur commun )
(on factorise par
comme commun évident)
sous la forme du produit de
par 1 pour
en utilisant la distributivité)
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(on simplifie l’écriture)
Quand l’expression développée ne comporte pas de facteur commun évident, pour la factoriser, il faut :
1) décomposer chaque terme de la somme algébrique en un produit comportant chacun le même facteur
2) puis s’assurer que ce facteur est un facteur commun à chaque terme de la somme algébrique
3) enfin utiliser la distributivité
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Exercice 11 (1 question)
Niveau : difficile
Factoriser les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 11
Retour au menu
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Exercice 12 (1 question)
Niveau : difficile
Développer chaque expression ci-après puis, à l’aide de la factorisation, réduire l’expression obtenue.
Correction de l’exercice 12
Retour au menu
Rappel : Nombres opposés et somme de nombres opposés
Deux nombres opposés sont deux nombres ayant la même partie numérique et des signes différents. Autrement
dit, deux nombres relatifs qui ne diffèrent que par leur signe sont opposés.
Exemples :
et
sont opposés ;
et
sont opposés ;
et
sont opposés.
La somme de deux nombres opposés est nulle.
Exemples :
;
;
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Exercice 13 (1 question)
Niveau : moyen
Calculer chaque expression suivante en n'effectuant qu'une seule multiplication.
Correction de l’exercice 13
Retour au menu
Rappel : Multiplication d’un nombre par 10, par 100 ou par 1 000
 Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 10, on ajoute un 0 à la fin de ce nombre. Quand
on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 10, on décale la virgule de ce nombre d’un rang vers
la droite.
 Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 100, on ajoute deux 0 à la fin de ce nombre.
Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 100, on décale la virgule de ce nombre de
deux rangs vers la droite.
 Quand on multiplie un nombre entier (sans virgule) par 1 000, on ajoute trois 0 à la fin de ce nombre.
Quand on multiplie un nombre décimal (avec virgule) par 1 000, on décale la virgule de ce nombre de
trois rangs vers la droite.
⏟
⏟
⏟
⏟
Remarque : On voit que, à l’aide de la factorisation, on a pu effectuer facilement le calcul de chaque
expression. Les calculs auraient été bien plus fastidieux et difficiles s’il avait fallu utiliser les règles prioritaires
de calculs.
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Exercice 14 (1 question)
Niveau : moyen
Sans poser la multiplication, calculer astucieusement chacun des produits suivants.
Correction de l’exercice 14
Retour au menu
(on observe que l’expression
est le produit de deux facteurs, à savoir 53 et 11)
(on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l’occurrence 10 et 1, sans
oublier de noter cette somme entre parenthèses)
(on développe le produit en utilisant la distributivité)
(on effectue les multiplications, prioritaires devant l’addition)
(on effectue le calcul final)
(on observe que l’expression
est le produit du facteur 12 par le facteur 101)
(on décompose le facteur 101 en somme de termes, en l’occurrence 100 et 1, sans oublier
de noter cette somme entre parenthèses)
(on développe le produit en utilisant la distributivité)
(on effectue les multiplications, prioritaires devant l’addition)
(on effectue le calcul final)
(on observe que l’expression
est le produit du facteur 202 par le facteur 49)
(on décompose le facteur 202 en somme de termes, en l’occurrence 200 et 2, sans oublier
de noter cette somme entre parenthèses)
(on développe le produit en utilisant la distributivité)
(on simplifie l’écriture en réécrivant le nombre 200 sous la forme du produit
et on calcule
)
(on simplifie de nouveau l’écriture en calculant
)
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Remarque : On pouvait également calculer
(on observe que l’expression
de la manière suivante :
est le produit du facteur 202 par le facteur 49)
(on décompose le facteur 202 en produit de facteurs, en l’occurrence 101 et 2)
(on simplifie l’écriture en calculant
)
(on décompose le facteur 101 en somme de termes, en l’occurrence 100 et 1, sans oublier
de noter cette somme entre parenthèses)
(on développe le produit en utilisant la distributivité)
(on effectue les multiplications, prioritaires devant l’addition)
Rappel : Multiplication d’un nombre par 0,1, par 0,01 ou par 0,001
 Quand on multiplie un nombre par 0,1, on décale la virgule de ce nombre d’un rang vers la gauche.
 Quand on multiplie un nombre par 0,01, on décale la virgule de ce nombre de deux rangs vers la
gauche.
 Quand on multiplie un nombre par 0,001, on décale la virgule de ce nombre de trois rangs vers la
gauche.
(on observe que l’expression
est le produit du facteur 312 par le facteur 4,1)
(on décompose le facteur 4,1 en somme de termes, en l’occurrence 4 et 0,1, sans oublier
de noter cette somme entre parenthèses)
(on développe le produit en utilisant la distributivité)
(on effectue les multiplications, prioritaires devant l’addition)
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Exercice 15 (1 question)
Niveau : difficile
Calculer mentalement les expressions suivantes.
Correction de l’exercice 15
Retour au menu
Pour expliquer chaque calcul mental, détaillons-en les étapes.
(on repère le facteur commun 6,7 dans chacun des termes de la somme)
(on factorise par 6,7)
(on additionne les termes de la somme)
(on décompose 20 sous la forme d’un produit de facteurs, en l’occurrence 2 et 10)
(on utilise l’associativité de la multiplication pour effectuer le produit des facteurs 6,7 et 2)
(on effectue le calcul final en décalant la virgule du nombre 13,4 d’un rang vers la droite)
(on repère que cette somme contient 3 termes, dont 2 sont sous forme de produit)
(on utilise la commutativité de l’addition pour regrouper les termes contenant un
produit)
(on repère le facteur commun 4 dans les deux premiers termes de la somme)
(on factorise par 4, sans oublier de recopier le dernier terme de la somme)
(on additionne les termes de la somme 5,3 0,7)
(on effectue la multiplication, qui est prioritaire devant l’addition)
(on effectue le calcul final)
Remarque : On pouvait également calculer
de la façon suivante :
(on repère que cette somme contient 3 termes)
(on récrit le deuxième terme de la somme sous forme du produit de 4 par 1,
pour faire apparaître le facteur commun 4)
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23
(on utilise la distributivité pour factoriser par 4)
(on additionne les deux premiers de la somme entre parenthèses
(on continue de calculer la somme entre parenthèses, ce calcul étant prioritaire devant la
multiplication)
(on effectue le calcul final)
(on repère que le nombre 13 apparait dans chacun des termes de la somme mais que 13 n’est
pas un facteur commun car, dans le deuxième terme, 13 n’est en facteur d’aucun nombre)
(on écrit le terme 13 sous la forme du produit
pour faire apparaître 13 comme
facteur commun)
(on factorise par 13 en utilisant la distributivité)
(on additionne les termes de la somme, le calcul entre parenthèses étant prioritaire devant la
multiplication)
(on effectue le calcul final)
(on observe que l’expression
facteur entier 305)
est le produit d’un premier facteur décimal 5,12 par un second
(on décompose le deuxième facteur en somme de termes, en l’occurrence 300 et 5, sans
oublier de noter cette somme entre parenthèses)
(on distribue 5,12 sur chaque terme de la somme)
(on simplifie l’écriture de l’expression en réécrivant 300 comme le produit de 3
par 100 et en calculant le produit de 5,12 par 5)
(on simplifie l’écriture de l’expression en calculant le produit de 5,12 par 3)
(on effectue la multiplication
virgule du nombre 15,36 de deux rangs vers la droite)
, prioritaire devant l’addition, en décalant la
(on effectue le calcul final)
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Exercice 16 (2 questions)
Niveau : moyen
Avant de se rendre au collège, un élève achète quatre stylos à 1,15 euros l’unité et
quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros.
Calculer de deux façons le montant des achats de cet élève.
Correction de l’exercice 16
Retour au menu
 1ère méthode (expression développée) :
Calculons la dépense occasionnée par l’achat de quatre stylos puis de quatre surligneurs.
L’élève achète quatre stylos à 1,15 euros l’unité. Il dépense donc
achète en outre quatre surligneurs coûtant chacun 1,85 euros. Il dépense donc
surligneurs.
Au total, ses dépenses s’élèvent donc à
euros pour ces stylos. Il
euros pour ces
euros, c’est-à-dire à 12 euros.
 2ème méthode (expression factorisée) :
Calculons la dépense générée par l’achat d’un stylo et d’un surligneur. Celle-ci s’élève à
c’est-à-dire à 3 euros.
euros,
Comme l’élève achète quatre stylos et quatre surligneurs, il achète en fait quatre lots comprenant chacun un
stylo et un surligneur. Sa dépense totale est donc égale à
euros, c’est-à-dire à 12 euros.
 Conclusion :
On pouvait donc calculer le montant des achats en effectuant l’opération
(1ère méthode)
ou bien en effectuant l’opération
(2ème méthode). Chaque calcul conduisait au résultat
suivant : l’élève a dépensé 12 euros.
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Exercice 17 (2 questions)
Niveau : moyen
On a représenté ci-contre un rectangle bleu
rectangle vert
.
et un
Calculer de deux façons différentes l’aire du rectangle
.
Correction de l’exercice 17
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Rappel : Aire d’un rectangle
Pour calculer l'aire
d'un rectangle (ici hachurée en orange),
on multiplie sa longueur
l’aire
par sa largeur . Autrement dit,
d’un rectangle est le produit de sa longueur
largeur . On note
Notons
Longueur
par sa
largeur
l’aire du rectangle
et
.
l’aire du rectangle
,
Calculons de deux façons différentes l’aire du rectangle
l’aire du rectangle
.
.
1) 1ère méthode : calcul direct de l’aire du rectangle
On a alors
⏟
⏟
⏟
[
]
D’où, en remplaçant par les valeurs numériques,
⏟
2) 2e méthode : calcul de l’aire du rectangle
On a aussi
⏟
par décomposition
⏟
⏟
⏟
⏟
D’où, en remplaçant par les valeurs numériques,
Remarque : la 1ère méthode conduit à une forme factorisée, tandis que la 2 e méthode conduit à une forme
développée. On a précisément ⏟
.
⏟
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Exercice 18 (1 question)
Niveau : moyen
Voici un programme de calcul : choisis un nombre, multiplie-le par 5, ajoute ensuite 7 au résultat et prends le
double du dernier résultat obtenu avant d’enlever 14. Comment faire pour trouver rapidement le résultat final ?
Correction de l’exercice 18
Notons
Retour au menu
le nombre choisi au départ.
Multiplions ce nombre par 5 ; on obtient alors
, c’est-à-dire
Ajoutons ensuite 7 au résultat ; on obtient alors
Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors
que
.
Enlevons finalement 14 à ce résultat ; on obtient alors
.
.
. En développant cette expression, on trouve
, c’est-à-dire
.
Par conséquent, pour trouver rapidement le résultat final, il suffit de multiplier par 10 le nombre choisi au
départ.
Remarque : On peut vérifier la plausibilité de cette affirmation, c’est-à-dire vérifier à l’aide d’un exemple que
l’affirmation proposée ci-dessus est vraie au moins dans un cas précis.
Choisissons par exemple le cas du nombre 5. Multiplions ce nombre par 5 ; on trouve 25. Ajoutons ensuite 7 au
résultat ; on trouve 32. Prenons le double de ce résultat ; on obtient alors 64. Enlevons enfin 14 à ce dernier
résultat ; on trouve finalement 50. Or, 50 est bien égal à 5 10.
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Exercice 19 (1 question)
Niveau : difficile
En utilisant la distributivité, montrer que la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
Correction de l’exercice 19
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Rappel : Nombre pair – Multiple et diviseur
Un nombre pair se termine par le chiffre 0, 2, 4, 6 ou 8.
Par ailleurs, un nombre pair est un multiple de 2. Autrement dit, un nombre pair est divisible par 2.
Tout nombre pair est un multiple de 2 donc tout nombre pair peut s’écrire sous la forme
(où désigne un
nombre (pair ou impair)). Ainsi, on peut noter que
est un nombre pair et que
(où désigne également un
nombre (pair ou impair)) est un autre nombre pair. La somme de ces deux nombres s’écrit alors
. En
factorisant par 2 cette expression, on trouve que
. Or, le nombre
est un multiple
de 2 donc il est pair.
En conclusion, la somme de deux nombres pairs est un nombre pair.
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Exercice 20 (4 questions)
Niveau : difficile
Soit un carré de côté 5 cm.
1) Calculer le périmètre
de ce carré.
2) Calculer l’aire
de ce carré.
On augmente chaque côté du carré de
cm.
3) Calculer en fonction de le nouveau périmètre
du carré obtenu.
4) Montrer que la nouvelle aire
du carré obtenu est
cm².
Correction de l’exercice 20
Retour au menu
Rappel : Périmètre d’un carré et aire d’un carré
Le périmètre
L’aire
d’un carré de côté est :
d’un carré de côté est :
1) Calculons le périmètre
.
du carré de côté 5 cm.
D’après la formule du périmètre d’un carré,
2) Calculons l’aire
.
cm.
de ce carré.
D’après la formule de l’aire d’un carré,
cm².
On augmente désormais chaque côté du
carré de cm.
Ainsi, chaque côté mesure
cm.
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3) Calculons le nouveau périmètre
du carré obtenu.
cm.
4) Calculons la nouvelle aire
(on repère que
(comme
⏞
⏞
du carré obtenu.
est le carré du nombre
est le carré de
)
, on a
⏟
(on utilise la distributivité pour distribuer le premier facteur
chacun des deux termes qui composent la somme du deuxième facteur, à savoir 5 et
somme de deux termes)
⏞
⏟
)
à
; on obtient alors la
⏞
(on utilise de nouveau la distributivité pour développer d’une part dans
le premier terme et d’autre part dans le deuxième terme ; on obtient alors la somme de quatre termes)
(on effectue les calculs, notamment les multiplications qui sont prioritaires)
(on factorise par )
(on réduit l’expression)
, celui contenant
cm² (on ordonne les termes de la somme, c’est-à-dire on écrit d’abord le terme contenant
et celui ne contenant pas )
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Exercice 21 (1 question)
Niveau : moyen
Sur le schéma ci-contre, le demi-cercle rouge a pour rayon et les deux
demi-cercles bleus ont pour rayons
et
tels que
.
Montrer que la longueur de l’arc de cercle rouge est égale à la longueur
des deux arcs de cercles bleus.
Correction de l’exercice 21
Retour au menu
Considérons tout d’abord l’arc de cercle rouge. Son rayon est . Or, le
périmètre d’un cercle de rayon est
. Par conséquent, le périmètre
du demi-cercle rouge est égal à
. Autrement dit, la
longueur de l’arc de cercle rouge est égale à
.
Considérons désormais le petit arc de cercle bleu, de rayon . Comme
précédemment, le périmètre du petit demi-cercle bleu est égal à la
moitié du périmètre d’un cercle de rayon
, à savoir
Considérons enfin le grand arc de cercle bleu, de rayon
du grand demi-cercle bleu est alors égal à
.
. Le périmètre
.
Finalement, la longueur des deux arcs de cercles bleus est égale à
Or, à l’aide d’une factorisation, on montre que
donc , en remplaçant
par , on obtient
.
. De surcroit, d’après l’énoncé,
.
En définitive, on vient de montrer que la longueur de l’arc de cercle rouge est égale à la longueur des deux
arcs de cercles bleus.
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Exercice 22 (1 question)
On sait que
Niveau : difficile
. Comment utiliser ce résultat pour calculer
sans utiliser la calculatrice ?
Correction de l’exercice 22
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 1ère méthode :
(on décompose le nombre 936 en 9 centaines, 3 dizaines et 6 unités simples)
(on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour
développer)
(on fait apparaître le résultat de l’énoncé en décomposant en
produits les facteurs 900, 30 et 6)
⏟
⏟
⏟
(on utilise le résultat de l’énoncé, à savoir
, ainsi que
l’associativité de la multiplication)
(on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires
devant les additions)
(on calcule en ligne l’addition finale)
 2ème méthode :
(on fait apparaître le résultat de l’énoncé en décomposant 936 comme le produit du facteur 3
par le facteur 312)
⏟
(on utilise le résultat de l’énoncé, à savoir
)
(on décompose le nombre 102 en 1 centaine et 2 unités simples)
(on utilise la distributivité de la multiplication par rapport à l’addition pour
développer)
(on effectue chaque multiplication puisque les multiplications sont prioritaires devant les
additions)
(on calcule en ligne l’addition finale)
Remarque : On peut bien entendu vérifier ce résultat à l’aide de la calculatrice. Dès lors qu’elle est autorisée,
la calculatrice constitue un excellent moyen de vérification de nombreux calculs numériques (calculs avec des
nombres).
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : factorisation et développement – Exercices corrigés
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Exercice 23 (2 questions)
Niveau : moyen
Tester chacune des deux égalités suivantes, c’est-à-dire vérifier si chaque égalité est vraie ou non.
Correction de l’exercice 23
Retour au menu
Rappel : Test d’une égalité
Tester une égalité, c’est préciser si l’égalité est vraie ou ne l’est pas. Pour vérifier une égalité, on vérifie que le
premier membre (membre à gauche du signe
) est égal au second membre (membre à droite du signe
). On
dit qu’une égalité est vraie lorsque son premier membre est toujours égal à son second membre.
Exemples d’égalités :
⏟
⏟
; ⏟
1) Testons tout d’abord l’égalité
⏟
⏟
; ⏟
.
D’une part, dans le premier membre (membre de gauche), on a :
.
Or, cette expression peut être développée. En effet,
D’autre part, dans le second membre (membre de droite), on a :
donc l’égalité
Or,
.
n’est pas vraie.
2) Vérifions désormais l’égalité
.
D’une part, dans le premier membre, on a :
.
⏟
Or, en développant,
D’autre part, dans le second membre, on a :
.
.
Le premier membre est bien égal au second membre donc l’égalité
est vraie.
Remarque importante : Pour tester une égalité, il faut vérifier qu’elle est toujours vraie.
Exemple : L’égalité
est égal à
L’égalité est donc vraie lorsque
vraie puisque le premier membre
égal à
.
n’est pas toujours vraie. En effet, lorsque
, le premier membre
et le second membre
est égal à
.
. En revanche, lorsque
(entre autres exemples), l’égalité n’est pas
est égal à
et le second membre
est
Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition : factorisation et développement – Exercices corrigés
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