Nombres premiers. ( )n ( )1

1
Nombres premiers.
I Fondements.
II Recherche de nombres premiers.
III Jouons avec les nombres premiers.
La phrase culte : « L‘arithmétique, c’est être capable de compter jusqu’à vingt sans ôter
ses chaussures. » Walt Disney.
I Fondements.
Définition : Un nombre entier naturel est premier s’il possède exactement deux
diviseurs positifs.
Du coup, 1 ne peut être premier.
Les 25 premiers nombres premiers a retrouver en moins d’une minute.
2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;23 ;29 ;31 ;37 ;41 ;43 ;47 ;53 ;59 ;61 ;67 ;71 ;73 ;79 ;83 ;87 ;97
Théorème d’Archimède (2.A) : Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration : Voir texte d’Euclide p43.
Par l’absurde, Hypothèse : supposons qu’il existe un nombre fini de nombres premiers. On les
note p
1
, p
2
, … , p
n
. Alors le nombre q= p
1
× p
2
× … × p
n
+ 1 n’est divisible par aucun des
nombres p
1
, p
2
, … , p
n
, il est donc premier. Contradiction! 
Lemme (2.B) : Soit n un entier naturel différent de 0 et 1. Alors n est premier ou il
existe un nombre premier p divisant n tel que p<n.
Démonstration : Par récurrence (forte), on pose
(
)
n
H
n est premier ou il existe un nombre premier p divisant n tel que p<n.
Initialisation :
(
)
2
H
est vraie.
Hérédité : On suppose que
(
)
p
H
est vraie pour tout
p k
≤
, avec k fixé. Montrons que
(
)
1
k
H
+
est vraie. Si k+1 est premier, rien à dire. Sinon, alors k+1 est divisible par 1, k+1 et au
moins un troisième,
]
[
1, 1
l k
∈ +
. Or on sait que
(
)
l
H
est vraie. Si l est premier, c’est fini,
sinon, par le même raisonnement, il existe
2
l
<l qui divise l et donc, par transitivité, k+1. On
construit une suite strictement décroissante
2 3
1 ... ... 1
i
k l l l l
+ > > > > > > >
d’entiers
strictement plus grand que 1. Donc la suite est finie, ce qui signifie que l’un d’eux est premier.
La propriété est initialisée au rang 2, elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout
entier n>1. 
Théorème de décomposition en facteurs premiers (2.C) : Soit n un entier naturel
2
n
≥
. Le nombre n se décompose en produit de facteurs premiers (unique à l’ordre près des
facteurs). On a donc
1
i
l
i
i
n p
α
=
=∏ avec
1
i i
p p
+
>
pour tout entier i et
i
α
∈
ℕ
.

2
Démonstration : Existence : Si n est premier, c’est fini. Si n n’est pas premier, par (2.B), il
existe
1
q
qui divise n et on a
1 1
n q n
= avec
1
1
n n
< <
. On itère et on a une suite strictement
décroissante d’entiers naturels
1 2
... ...
i
n n n n
> > > > >
donc, elle est finie. Ainsi, il existe
k
∈
ℕ
tel que
1
k k
n q
+
= soit premier et
1
1
k
i
i
n q
+
=
=
∏
, soit en regroupant les termes,
1
i
l
i
i
n p
α
=
=∏
.
Unicité : Propriété difficile qui nécessite l’unicité du quotient (autrement dit que
ℤ
est
factoriel) 
Décomposer 11400 [=2^3*3*5^2*19], Idem avec 17523.
Que peut-on dire des nombre qui ont exactement trois diviseurs ? [Ce sont des carrés
parfaits]
Le problème de Freudenthal
Sur le même type : Le facteur et les trois filles.
« Un homme bavarde avec le facteur sur la pas de la porte de sa maison.
-« C’est amusant, je viens de remarquer que la somme des âges des mes trois filles est égal au
numéro de ma maison dans la rue. Je suis sûr que si je vous apprends que le produit de leurs
âges est 36, vous saurez me dire leurs âges respectifs ! »
Le facteur réfléchit un moment et lui répond ;
-« Je suis désolé, mais je ne peux pas trouver. »
L’homme s’exclame alors :
-« Ah oui ! J’avais oublié de vous dire que l’aînée est blonde ! »
Quelques secondes après, le facteur lui donne la bonne réponse !.
Corollaire (2.D) : Soit
1
i
l
i
i
n p
α
=
=∏
une décomposition en facteurs premiers. Si d | n ,
alors d s’écrit
1
i
l
i
i
d p
β
=
=∏
avec 0
i i
β α
≤ ≤
.
Démonstration :
⇐
1
i i
k
i
i
np
d
α β −
=
= ∈
∏
ℕ
car
0
i i
α β
− ≥
.
⇒
On peut la démontrer en utilisant l’unicité de la décomposition. Si d | n , alors il existe q
tel que n = dq . D’après la décomposition en facteurs premiers, on peut écrire
1
i
l
i
i
d p
β
=
=
∏
et
1
i
l
i
i
q p
γ
=
=
∏
, donc
1
i i
l
i
i
n p
γ β
+
=
=
∏
, mais la décomposition étant unique,
i i i
γ β α
+ =
. 
Rechercher les diviseurs simultanés de 539 et 147.
Quels sont les diviseurs de 60 ? Ce grand nombre de diviseurs a fait que 60 a été choisi
pour la base des angles, donc de l’heure. C’est la base sexagésimale. Il se trouve aussi que 60
est divisible par 4 (saisons), 12 (mois), 30 (lunaisons).
II Recherche de nombres premiers.

3
1. Les cribles.
9 15 21 27 …
15 25 35 45 …
21 35 49 63 …
27 45 … … …
33 55 … … …
Eratosthène est le crible le plus connu, mais il y a mieux :
Le crible de Sundaram : On commence par un 9 en haut à gauche
du tableau, puis on remplit colonne après colonne ou ligne après
ligne avec des suites arithmétiques de raisons successives 6, 10,
14, 18, …
Proposition (2.E) : Un nombre impair plus grand que 3 est premier si et seulement si
il n’est pas dans la grille..
Démonstration : On note
,
k j
u
le nombre de la ligne k et de la colonne j, avec k et j entiers
naturels. La ligne
k
L
commence par le terme
,0
9 6
k
u k
= +
et la raison de la suite est 6+4k.
Ainsi,
,
(9 6 ) (6 4 ) (2 3)(2 3)
k j
u k k j k j
= + + + = + +
.
CN : Par contraposée,
,
k j
u
n’est pas premier compte tenu de la factorisation précédente.
CS : Toujours par contraposée, si 2n+1 n’est pas premier, alors 2 1
n pq
+ =
avec p et q
impairs plus grands que 2. Donc il existe k et l tels que
2 3
p k
= +
et
2 3
q l
= +
, donc n est
dans le tableau. 
2. Test de primalité :
Proposition (2.F) : Si n n’est pas premier, alors il admet au moins un diviseur
premier p tel que
p n
≤.
Démonstration : Avec le lemme 2.B, si n n’est pas premier, il existe p premier qui divise n.
Parmi tous ces nombres p, on note
0
p
le plus petit. On a alors
2
0 0
n p q p
= ≥ car, par
définition,
0
q p
≥
. D’où
0
p n
≤ . 
Montrer que
7
7
M 2 1 127
= − = est premier. [On utilise la contraposée de la proposition]
3. Des machines à donner des premiers :
Les chercheurs ont toujours cherché des fonctions ou des suites de nombres qui
donnent de très grands nombres premiers. Mais sans succès jusqu’à présent. Tous les grands
mathématiciens s’y sont cassés les dents. Il n’existe toujours pas de ‘formule’ génératrice de
premiers.
On a le polynôme de Legendre
2
( ) 2 29
f n n
= +
est premier pour n variant de 0 à 28.
Montrer que f(n) est composé pour une infinité de valeurs de n. Montrer que 31 divise f(n)
pour une infinité de valeurs de n.
Le polynôme d’Euler :
2
( ) 41
f n n n
= − +
qui est premier pour n variant de -39 à 40
(et dans presque la moitié des valeurs entre 0 et 10 millions).
Le polynôme de Ruby :
2
( ) 103 3945 34 381
f n n n= − +
La spirale d’Ulam
1
est obtenue en écrivant les entiers en tournant et en noircissant les
nombres premiers. On voit apparaître des diagonales…. Etonnant ! p41.
1
Stanislaw Marcin Ulam (1909-1984) physicien polonais naturalisé américain en 1943, il est connu pour avoir
résolu le problème d’amorce de la fusion de la bombe H ainsi que la méthode de Monté Carlo permettant de
donner un résultat à des problèmes statistiques via le hasard. Il apprit les mathématiques à l’age de 14 ans,

4
Actuellement, on peut trouver si un nombre est premier en
6
(log( ))
n
opérations, c’est
l’algorithme AKS (pour Agrawal, Kayal et Saxena)
III Jouons avec les nombres premiers.
1. L’indicatrice d’Euler :
Définition : Si n est un entier naturel non nul, on note
( )
n
ϕ
le nombre d’entiers
naturels p avec 1
p n
≤ <
premiers avec n.
Proposition (2.G) : Si n est un entier naturel non nul, dont une décomposition en
facteurs premiers est
1
i
k
i
i
n p
α
=
=∏
alors
1
1
( ) ( 1)
i
k
i i
i
n p p
α
ϕ
−
=
= −
∏
.
Démonstration : · Si n est premier, alors il est évident que
( ) 1
n n
ϕ
= −
.
· Si
n p
α
= , montrons de
1
( ) ( 1)
n p p
α
ϕ
−
= − : il suffit de compter ceux qui ne sont pas
premiers avec n. Il y a tous les multiples de p : p, 2p, 3p …
1
( 1)
p p p p
α α −
− = −
. Il y en a
donc
1
1
p
α −
−
que l’on retranche aux
1
p
α
−
nombres entiers qui sont dans
[
[
1,
n
. Soit
1 1
( ) 1 ( 1) ( 1)
n p p p p p p
α α α α α
ϕ
− −
= − − − = − = −
· Il reste à montrer que si
n p q
α β
= est le produit de deux nombres premiers distincts, alors
( ) ( ). ( )
n p q
α β
ϕ ϕ ϕ = (on dit que
ϕ
est sous-multiplicative). Il suffit de bien compter :
Le nombre d’entiers de
[
[
1,
n
multiples de p : il y en a
1
1
q p
β α −
−
. Pour le voir, on regarde la
liste des multiples de p et surtout le dernier avant n :
s’étant rendu compte qu’il en avait besoin pour comprendre la théorie de relativité d’Einstein. Il aurait découvert
sa spirale lors d’une conférence dans laquelle il s’ennuyait.

5
1
( 1)
, 2 , 3 , ... , ,
n
p p q
p p p p q p p q
α β
α β α β
−
−
−
Le nombre d’entiers de
[
[
1,
n
multiples de q : il y en a 1
1
p q
α β −
−
.
Le nombre d’entiers de
[
[
1,
n
multiples de pq : il y en a 1 1
1
p q
α β − −
−
. Ici, il faut voir que si p
et q sont premiers entre eux, la seule façon d’obtenir un nombre divisible par p et q est d’avoir
un multiple de pq . (C’est le lemme de Gauss de la leçon 3)
Donc au total, nous avons
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1)
( 1)( 1)
p q p q q p p q p q p q q p p q
p q pq p q
p q p q
α β α β β α α β α β α β β α α β
α β
α β
− − − − − − − −
− −
− −
− − − − − + − = − − +
= − − +
= − −
On finit la preuve par induction.

2. Y a-t-il des gros trous dans la liste ?
On sait déjà qu’il y en a une infinité. Mais on voit des trous dans la liste
Postulat de Bertrand (2.H) : (démontrée par Tchebycheff en 1850) Si n>3, alors il
existe un nombre premier entre n et 2n.
Proposition (2.I) : Il y a des trous aussi grands que l’on veut dans la liste des nombres
premiers.
Démonstration : On considère la liste suivante :
( 1)! 2, ( 1)! 3, ...., ( 1)! ( 1)
k k k k
+ + + + + + +
Qui contient k nombres dont aucun n’est premier. 
3. Y a-t-il beaucoup de premiers ?
Cette infinité de nombres premiers, elle est comment ? Son comportement, il est linéaire,
exponentiel ?
On note
{
}
( ) , , premier
x card q q x q π = ∈ <
ℕ
Tracer le début de la fonction :
Les calculs approchés donnaient bien une idée du comportement de
( )
x
π
.
Pour l’anecdote, au XIXe siècle, on disait que celui qui aurait une preuve de ce comportement
ne pouvait mourir que centenaire….