Quasi-morphismes et difféomorphismes hamiltoniens

´
Ecole normale sup´ erieure de Lyon
Unit´
e de math´
ematiques pures et appliqu´
ees
TH` ESE
en vue d’obtenir le grade de docteur de l’Universit´e de Lyon – ´ Ecole Normale Sup´erieure
de Lyon sp´ecialit´e math´ematiques, ´ Ecole doctorale de math´ematiques et informatique
fondamentales ; pr´esent´ee et soutenue publiquement par
Pierre PY
le 4 f´evrier 2008
Quasi-morphismes et diff´eomorphismes
hamiltoniens
Th`ese encadr´ee par M. ´ Etienne Ghys
soutenue apr`es avis de M. Pierre Pansu
M. Leonid Polterovich
M. Claude Viterbo
devant la commission d’examen form´ee de
M. ´ Etienne Ghys directeur
M. Patrice Le Calvez membre
M. Nicolas Monod membre
M. Pierre Pansu membre, rapporteur
M. Leonid Polterovich membre, rapporteur
M. Claude Viterbo membre, rapporteur
Num´ero d’ordre : 452 Num´ero attribu´e par la biblioth`eque : 07ENSL0 452
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Remerciements
Je tiens tout d’abord `a remercier ici chaleureusement ´ Etienne Ghys. Depuis mon arriv´ee
`a l’ENS Lyon en 2002, et jusqu’`a la fin de ma th`ese, j’ai eu la chance de pouvoir discuter
avec lui de sujets math´ematiques vari´es. Il a encadr´e mes recherches avec enthousiasme,
m’a encourag´e `a m’int´eresser `a des th`emes multiples et m’a permis de (commencer `a)
apprendre de belles math´ematiques. Je le remercie pour tout cela.
J’aimerais ´egalement remercier vivement Leonid Polterovich, qui s’est int´eress´e tr`es
tˆot `a mes travaux. J’ai beaucoup appr´eci´e toutes les conversations math´ematiques que
nous avons eues, de Rio de Janeiro en 2005 `a Chicago en 2007. Je tiens ´egalement `a le
remercier pour son accueil `a Tel-Aviv au printemps 2007, et enfin pour avoir accept´e d’ˆetre
rapporteur de ce travail.
Je voudrais aussi remercier Pierre Pansu et Claude Viterbo qui m’ont tous les deux fait
un grand honneur en acceptant d’´ecrire un rapport sur mon travail.
Au cours de ma th`ese j’ai pu discuter `a de nombreuses reprises avec Patrice Le Calvez
et Nicolas Monod, de vecteurs de rotation comme de cohomologie born´ee. J’appr´ecie leur
pr´esence dans mon jury.
J’aimerais remercier ´egalement toutes les personnes avec qui j’ai pu discuter de math´e-
matiques durant ma th`ese, notamment Emmanuel Giroux, qui m’a patiemment ´ecout´e de-
puis mon arriv´ee `a l’ENS Lyon en 2002, Bruno S´evennec, pour sa patience infinie et toutes
ses connaissances, Jean-Claude Sikorav pour son enthousiasme inimitable, et ´egalement
Maxime Bourrigan, Fran¸cois B´eguin, Bertrand Deroin, Albert Fathi, Vincent Humili`ere,
Victor Kleptsyn, Benoˆıt Kloeckner, Fr´ed´eric Le Roux, Patrick Massot, Emmanuel Opsh-
tein, Ana Rechtman et Jean-Yves Welschinger.
Je remercie aussi tous les membres, pass´es ou pr´esents, de l’UMPA, o`u l’ambiance est si
agr´eable : Nalini Anantharaman, Aur´elien Alvarez, Thierry Barbot, Fran¸cois Bolley, Pierre
Bousquet, Claude Danthony, Olivier Druet, H´el`ene Eynard, Damien Gaboriau, Antonin
Guilloux, Alice Guionnet, Paul Laurain, Edouard Maurel-S´egala, Julien Michel, Tomasz
Miernowski, Mikael Pichot, Sylvain Porret-Blanc, C´edric Villani, Maxime Zavidovique.
Un grand merci ´egalement `a Maxime Bourrigan, H´el`ene Eynard et Ana Rechtman qui
ont chacun relu attentivement cette th`ese.
Je souhaite encore remercier Yann Ollivier, pour toutes les discussions anim´ees que nous
avons eues ensemble (et aussi pour celles que nous n’avons pas eues), Marcelo Viana pour
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son accueil chaleureux `a Rio de Janeiro et pour ses explications math´ematiques limpides,
et Abdelghani Zeghib pour ses encouragements d´ecisifs dans des p´eriodes difficiles.
Pour leur aide administrative et informatique, merci `a H´el`ene Schoch, Magalie Le
Borgne, Virginia Goncalves, Herv´e Gilquin et G´erard Lasseur.
Je remercie l’Agence Nationale de la Recherche pour son soutien `a travers le projet
“Symplexe”.
Merci aux machines `a caf´e de l’UMPA pour leur pr´esence quotidienne.
Enfin, merci `a tous ceux qui ont support´e les d´ebordements de mon humeur au quoti-
dien : mes parents, Ana, Aur´elien, Benoˆıt Le Fou, Emilie, Glen Gould, Isabelle, J´er´emie,
Jib´e, Lep, Nicolas, Marcos, M´elanie, Nelly, Thomas Bernhard, la table du 59 rue S´ebastien
Gryphe et les escrimeurs de la rue Crillon.
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Table des mati`eres
Introduction vii
1 Quasi-morphismes de Calabi 1
1.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Diverses d´efinitions de l’invariant de Calabi . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Extension du groupe des diff´eomorphismes hamiltoniens . . . . . . . 5
1.1.3 Classe d’Euler born´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Cas des surfaces hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Construction du quasi-morphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Graphe de Reeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Calcul sur des hamiltoniens autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Cas du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Interpr´etation topologique de l’invariant de Calabi . . . . . . . . . . 31
1.3.2 Quasi-morphismes de Gambaudo et Ghys . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.3.3 Hamiltoniens autonomes et graphe de Reeb . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Un quasi-morphisme pour les vari´et´es symplectiques monotones 45
2.1 Nombre de rotation symplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.1 Indice de Maslov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2 Quasi-morphisme pour les diff´eomorphismes de la boule . . . . . . . 50
2.2 Construction du quasi-morphisme S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Invariant de Polterovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.2 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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