fiche 4.6 - nombres trigonometriques

FICHE 4.6 : LES NOMBRES TRIGONOMÉTRIQUES
Mise à jour : 13/02/12
Ah, la trigonométrie… Une matière injustement détestée par tant d’étudiants ! Pourquoi ? Je
me pose encore la question aujourd’hui. Sans doute, parce que, dès le début, certains
étudiants décrochent. Objectif premier de cette fiche : fixer les bases.
1. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
Puisque tout va tourner autour de lui, autant le mettre directement à nu.
Un cercle trigonométrique (appelé parfois cercle unité) est un cercle dont le
rayon égale 1, muni d’un repère orthonormé (les axes x et y sont perpendiculaires et la
distance représentant une unité est la même sur les deux axes) et tel que son centre est
l’origine du repère.
Le voici donc :
Sur ce cercle, tu vas principalement représenter des angles dont on te donnera la mesure de
l’amplitude en degré ou en radian. Par convention, pour représenter un angle, tu partiras
toujours du segment rouge et tu tourneras dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On
dit que le cercle trigonométrique est orienté positivement.
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Ainsi, tu peux représenter un angle de
Maintenant, tu rencontreras aussi parfois - 144° ou - 217°, cela signifie simplement que tu
tournes dans le sens des aiguilles d’une montre (en partant toujours du segment rouge)
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Il est aussi important de savoir que, pour faciliter une « conversation », le cercle
trigonométrique a été divisé en quadrants (qui n’ont rien à voir avec la cadran d’une horloge !).
Le quadrant, de manière générale, exprime l’idée d’une division par quatre. Très logiquement,
il y a donc 4 quadrants, numérotés de I à IV (la plupart du temps, par convention, on utilise
les chiffres romains pour dénommer les 4 quadrants)
Une dernière chose avant d’étudier les nombres trigonométriques. À notre humble avis, la
trigonométrie (et donc l’étude des nombres trigonométriques) pose problème à beaucoup
d’étudiants sans doute pour deux raisons : la première liée aux nombres trigonométriques
eux-mêmes et la deuxième liée au fait que pour mesurer l’amplitude d’un angle, on utilise
souvent une nouvelle unité : le radian.
Il nous parait judicieux - dans ce cas – de traiter ces deux difficultés de manière séparée.
C’est pourquoi, dans cette fiche, tous les angles auront une amplitude mesurée en degré.
Travailler en degré ou en radian ne change évidemment rien au concept du sinus et du cosinus,
de la tangente et de la cotangente, mais cela nous permettra ainsi de s’atteler à cette seule
difficulté.
Bien entendu, tu peux trouver une autre fiche sur le site qui, elle, te permet de bien
comprendre le passage du degré au radian.
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2. LE COSINUS
Le cosinus d’un angle α est un nombre réel. Tu vas très vite comprendre
pourquoi sa valeur maximale est 1 est sa valeur minimale -1.
Prenons un angle de 42°. Sur le cercle trigonométrique, cet angle de 42° est caractérisé par
la présence d’un point que nous appellerons par exemple D. (Je te rappelle que sur un cercle
trigonométrique, on tourne dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). Pour trouver le
cosinus de 42°, il « suffit » que tu projettes orthogonalement le point D sur l’axe des
abscisses (observe le dessin, ci-dessous, tu verras que c’est très simple). Tu détermines ainsi
le point E. L’abscisse de ce point, c’est le cosinus de l’angle !
Le cosinus de 42° est égal à 0,74 parce que l’abscisse du point E égal 0,74
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Si tu choisis un angle « petit » (10° dans le cas ci-dessous) son cosinus est forcément proche
de 1 (il vaut environ 0,98) mais si tu prends un angle près de 90° (81° dans l’exemple), son
cosinus sera proche de zéro (0,16) ! Logique, non ?
Évidemment, le piège habituel est d’oublier que si tu travailles avec un angle situé dans le
deuxième ou le troisième quadrant (c'est-à-dire plus grand que 90° mais plus petit que 270° à
un tour de cercle près), l’abscisse du point E est négative. Le cosinus d’un tel angle sera
donc négatif.
Si tu as fait l’effort de te concentrer jusqu’ici (ce dont je suis certain), tu comprends
certainement les 4 valeurs suivantes : il ne faut pas les retenir par cœur : c’est logique !
cos 0° = 1
cos 90° = 0
cos 180° = -1
cos 270° = 0
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Par contre, dans la trigonométrie, 3 angles vont jouer un rôle fondamental, on les appelle
d’ailleurs des angles remarquables : 30°, 45° et 60°. Tu peux bien entendu « deviner » la
valeur de leur cosinus en réalisant un cercle trigonométrique très précis.
Pour 60°, tu peux facilement retrouver la valeur exacte de son cosinus. Observe le cercle
trigonométrique ci-dessous ! cos 60° = 0.5 soit 1/2. Pour 45°, c’est presque 0,7 et pour 30°,
c’est presque 0.85. Mais pour ces deux angles, tu DOIS connaître exactement les valeurs des
cosinus.
cos 30° = 0.866… =
3
2
cos 45° = 0.707… =
2
2
cos 60° = 0.5 =
1
2
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2. LE SINUS
Le sinus d’un angle α est un nombre réel. Pour la même raison que pour le cosinus,
sa valeur maximale est 1 est sa valeur minimale est -1.
Reprenons notre angle de 42° caractérisé par la présence du point D (C’était l’exemple
introductif pour le cosinus). Pour trouver le sinus de 42°, il « suffit » que tu projettes
orthogonalement le point D mais au lieu de le faire sur l’axe des abscisses, tu le fais cette
fois-ci sur l’axe des ordonnées ! Tu détermines ainsi le point E. L’ordonnée de ce point, c’est
le sinus de l’angle !
Le sinus de 42° est égal à 0,67 parce que l’ordonnée du point E est 0,67
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Si tu considères un angle du premier quadrant (50° par exemple), son sinus est forcément
positif. Et si tu choisis un angle du deuxième quadrant, c’est encore le cas puisque chaque
fois, le point E se situe au-dessus de l’axe des abscisses (il aura donc toujours une ordonnée
positive). On peut même faire des comparaisons ! Le sinus de 50° est supérieur au sinus de
157° puisque dans le premier cas, le point E se situe « plus haut ».
Par contre, dès que tu considères an angle situé dans le IIIe ou IVe quadrant, son sinus est
négatif.
Tout comme pour le cosinus, il y a 4 angles dont le sinus est très facile à déterminer.
sin 0° = 0
sin 90° = 1
sin 180° = 0
sin 270° = - 1
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Maintenant, il y a toujours les 3 angles remarquables : 30°, 45° et 60° dont tu DOIS
connaître les valeurs précises des sinus.
Comme pour le cosinus (les parallélismes sont effectivement nombreux), une valeur tombe
particulièrement juste : sin 30° = 0.5 (= ½). Le sinus de 45° est légèrement supérieur à 0,7
(sa valeur réelle est 0,707…) tandis que la sinus de 60° est légèrement inférieur à 0.9 (sa
valeur réelle est 0,866…)
sin 30° = 0.5 =
1
2
sin 45° = 0.707… =
2
2
sin 60° = 0.866… =
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3
2
Et là, si tu as un bon sens de l’observation, tu te dis peut-être… INCROYABLE ! Eh oui, c’est
incroyable, mais c’est pourtant vrai : ces valeurs te rappellent les valeurs des cosinus. Eh oui…
sin 30° = cos 60° =
1
2
sin 45° = cos 45° =
2
2
sin 60° = cos 30° =
3
2
Ne t’avait-on pas dit que les trois angles étaient des angles… remarquables ?
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3. LA TANGENTE
Continuons notre apprentissage des nombres trigonométriques en espérant que tu y voies de
plus en plus clair.
La tangente d’un angle α est un nombre réel. Mais contrairement au sinus et au cosinus,
ses valeurs ne sont pas limitées. Tu vas découvrir pourquoi !
Reprenons notre angle de 42° caractérisé par la présence du point D (Depuis le début, nous
l’avons choisi comme exemple introductif). Pour trouver la tangente de 42°, la construction
s’apparente assez bien à celle du sinus. Mais d’abord, tu vas tracer une parallèle à l’axe des
ordonnées passant par le point B (1,0). Ensuite, au lieu de projeter directement le point D
sur l’axe des ordonnées, tu vas d’abord prolonger le segment [AD] jusqu’au moment où il
croise la parallèle que tu as tracée. Appelons ce point d’intersection F. Maintenant, comme
pour le sinus, tu vas projeter orthogonalement ce point F sur l’axe des ordonnées. Tu
détermines ainsi le point G. L’ordonnée de ce point, c’est la tangente de l’angle !
La tangente de 42° est égal à 0,9 parce que l’ordonnée du point G est 0,9
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Comme toujours, c’est un grand nombre d’exemples qui te permettra d’encore mieux
comprendre les choses.
Soit un angle du 1er quadrant, par exemple 15°. La « procédure » expliquée ci-dessus te
permet facilement de construire le point G dont l’ordonnée est 0,27. Tu en conclus donc que
tan 15° = 0,27. Choisissons maintenant un angle de 45°. Sa tangente est égal à …. 1. (Eh oui, si
tu es observateur, tu as tracé un carré (ABFG) de côté 1)
Et si l’amplitude est supérieure à 45° ?
Eh oui… plus aucune limite dans la valeur de
la tangente. Pour 52°, la tangente dépasse
la valeur de 1, elle vaut même 1,28.
Et si l’amplitude grandit encore ?
Que vaut la tangente de 85° ?
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Ouh là…. Mais ça sort de mon dessin ! Ça va monter haut…. Très haut même !
Bon, voyons les choses avec un peu de recul…
C’est le problème de la tangente. Elle peut
prendre des valeurs très grandes, voire
extrêmement grandes…. À la page suivante,
tu peux observer ce qu’il en est !
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Angle (en degré)
85
86
87
87,5
88
88,5
89
89,1
89,2
89,3
89,4
89,5
89,6
89,7
89,8
89,9
89,91
89,92
89,93
89,94
89,95
89,96
89,97
89,98
89,99
89,991
89,992
89,993
89,994
89,995
89,996
89,997
89,998
89,999
89,9991
89,9992
89,9993
89,9994
89,9995
89,9996
89,9997
89,9998
89,9999
tangente
11,43
14,30
19,08
22,90
28,64
38,19
57,29
63,66
71,62
81,85
95,49
114,59
143,24
190,98
286,48
572,96
636,62
716,20
818,51
954,93
1 145,92
1 432,39
1 909,86
2 864,79
5 729,58
6 366,20
7 161,97
8 185,11
9 549,30
11 459,16
14 323,94
19 098,59
28 647,89
57 295,78
63 661,98
71 619,72
81 851,11
95 492,97
114 591,56
143 239,45
190 985,93
286 478,90
572 957,80
Colonne de gauche : l’amplitude de l’angle considéré (en
degrés), colonne de droite, la valeur de sa tangente. Comme
tu peux le constater, la montée en puissance des valeurs de
la tangente est vertigineuse !
Pour une amplitude de
89°, la tangente égale
57,29.
Le
dessin
illustrant la tangente
commence
à
être
illisible tellement il
faut prendre de recul
pour
voir
quelque
chose.
Et si l’amplitude vaut 90° ?
La tangente… n’existe pas !
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Attaquons maintenant la tangente pour une amplitude d’angle compris dans le deuxième
quadrant. Soit, par exemple, un angle de 152°.
Un petit problème se pose : si tu prolonges le segment [AD] (en partant de A pour aller
vers D) tu ne croiseras jamais la droite verticale représentée en rose. Du coup, beaucoup
d’élèves commettent l’erreur suivante : ils déplacent cette droite à la gauche du cercle.
Surtout, ne fais jamais ça !!! Quel que soit l’angle considéré, cette droite verticale est
immuable et ne devra jamais être déplacée !
Il suffit donc de prolonger le segment [AD] de l’autre côté (en partant de D pour aller
vers A). Et là, tu trouveras de nouveau un point d’intersection (ici appelé H) dont tu feras la
projection orthogonale sur l’axe des ordonnées pour obtenir le point I. Et évidemment,
l’ordonnée de ce point I, c’est la valeur de la tangente (qui est négative dans ce quadrant !)
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Pour un angle du 3e quadrant, c’est la même technique : tu prolonges le segment [AD] (en
partant de D pour aller vers A). Tu obtiens ainsi le point d’intersection H. Tu projettes sur
l’axe des ordonnées afin de déterminer le point I. Et tu prends son ordonnée. C’est ainsi que
la tangente de 189° = 0,16.
Petite réflexion (que tu te seras peut-être faite) en passant : la tangente de 189° est la
même que la tangente de 9°. En effet :
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Pour des valeurs d’amplitudes d’angles se rapprochant de 270°, les tangentes grimperont de
nouveau de manière phénoménale. Pour 250°, c’est encore une valeur raisonnable de 2,75
(valeur raisonnable.. mais qui devient déjà délicate d’illustrer)
Mais comme te l’indique le tableau ci-dessous, dès que tu t’approches de 270°, c’est
l’ascension !
angle (en degré)
tangente
265
11,43
266
14,30
267
19,08
267,5
22,90
268
28,64
268,5
38,19
269
57,29
269,5
114,59
269,9
572,96
269,99
5 729,58
269,999
57 295,78
269,9999
572 957,80
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Pour un angle du quatrième quadrant, en général, il n’y a pas d’erreur : il suffit de prolonger le
segment [AD] en allant de A vers D.
Et voilà… En principe, tu devrais maintenant être un maître de la tangente !
Les quatre valeurs suivantes sont donc très faciles à retrouver :
tan 0° = 0
tan 90° n’existe pas
tan180° = 0
tan 270° n’existe pas
Tiens, une deuxième petite réflexion en passant. À ton avis, combien vaut le sinus de 350° ?
Difficile de le dire avec exactitude mais la valeur ne doit pas être très éloignée de la
tangente ! En effet : sin 350° = - 0,173… tandis que tan 350° = - 0,176…
Eh oui : pour des angles proches de 0° (à un tour de cercle près), la tangente sera toujours
très proche du sinus. On peut même aller encore un tout petit peu plus loin dans la réflexion :
si c’est un angle du premier quadrant, la valeur de la tangente sera légèrement supérieure à
celle du sinus mais si c’est un angle du quatrième quadrant, la tangente sera légèrement
inférieure du fait qu’on travaille avec des nombres négatifs.
Pour cloturer cette section consacrée à la tangente, il ne te reste plus qu’à aborder les
valeurs des angles remarquables : : 30°, 45° et 60°
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tan 30° = 0.577… =
3
3
tan 45° = 1
tan 60° = 1.732… = 3
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4. LA COTANGENTE
Terminons donc par ce quatrième nombre trigonométrique : la cotangente. De la même façon
qu’il y a un lien entre le sinus et la tangente d’un angle (il faut effectuer une projection
orthogonale sur l’axe des ordonnées), il existe un lien entre le cosinus et la cotangente : il
faut effectuer une projection orthogonale sur l’axe des abscisses.
La cotangente d’un angle α est un nombre réel. Tout comme la tangente,
ses valeurs ne sont pas limitées et balaient l’ensemble de tous les nombres réels.
Retrouvons une dernière fois notre angle de 42° caractérisé par la présence du point D. Pour
déterminer la cotangente de 42°, tu vas tracer une parallèle à l’axe des abscisses passant
par le point J (0,1). Ensuite, au lieu de projeter directement le point D sur l’axe des
ordonnées, tu vas d’abord prolonger le segment [AD] jusqu’au moment où il croise la parallèle
que tu as tracée. Appelons ce point d’intersection F. Maintenant, comme pour le cosinus, tu
vas projeter orthogonalement ce point F sur l’axe des ordonnées. Tu détermines ainsi le
point G. L’abscisse de ce point, c’est la cotangente de l’angle !
La cotangente de 42° est égal à 1,11 parce que l’abscisse du point G est 1,11
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Comme pour la tangente, considérons quelques situations particulières pour bien comprendre
les choses.
Soit un angle du 1er quadrant, par exemple 22°. La « procédure » expliquée ci-dessus, te
permet facilement de construire le point G dont l’abscisse est 2,48. Tu en conclus donc que
cotan 22° = 2,48.
Comme tu peux t’en rendre compte, plus l’angle est « petit », plus la cotangente est
« grande ».
Angle (en degré)
cotangente
22
2,48
20
2,75
10
5,67
5
11,43
4
14,30
3
19,08
2
28,64
1
57,29
0,5
114,59
0,1
572,96
0,01
5 729,58
0,001
57 295,78
0,0001
572 957,80
Et si l’amplitude vaut 0° ?
La cotangente… n’existe pas !
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Choisissons maintenant un angle de 45°. Sa cotangente est égal à … 1. (Eh oui, si tu es
observateur, tu as tracé un carré (AGFJ) de côté 1). Comme … pour la tangente. 45° est un
angle qui a la même valeur pour la tangente que pour la cotangente. Il a aussi la même valeur
pour le sinus que pour le cosinus. Vraiment remarquable comme angle !
Et si tu dépasses une amplitude de 45° ? Tu le devines, bien entendu. La valeur de la
cotangente diminue progressivement pour atteindre 0 lorsque l’angle a une amplitude de 90°.
Angle (en degré)
80
82
84
86
88
89
89,5
89,6
89,7
89,8
89,9
89,99
89,999
90
cotangente
0,1763269807
0,1405408347
0,1051042353
0,0699268119
0,0349207695
0,0174550649
0,0087268678
0,0069814304
0,0052360356
0,0034906727
0,0017453310
0,0001745329
0,0000174533
0,0000000000
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Si on considère un angle du deuxième quadrant, on continue avec la même technique. Il ne
faut simplement pas que tu oublies que les valeurs des cotangentes seront négatives puisque
le point G se situera forcément à gauche de l’axe des ordonnées (et donc, son abscisse sera
négative !)
Pour un angle dont l’amplitude est comprise entre 90° et 135°, la cotangente aura une valeur
comprise dans l’intervalle [-1,0] , pour des angles d’amplitude comprises entre 135° et 180°, la
cotangente sera inférieure à -1. La cotangente de 135° étant égal à -1.
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Les cotangentes peuvent prendre des valeures extrêmement petites, comme tu le constates
sur le dessin ci-dessous. Impossible de visualiser le point d’intersection F.
En fait, cotan 175°= -11,43…
Angle (en degré)
150
160
170
172
174
176
178
179
179,5
179,6
179,7
179,8
179,9
179,99
179,999
179,9999
cotangente
-1,7320508
-2,7474774
-5,6712818
-7,1153697
-9,5143645
-14,3006663
-28,6362533
-57,2899616
-114,5886501
-143,2371217
-190,9841864
-286,4777340
-572,9572134
-5 729,5778931
-57 295,7795063
-572 957,7951571
Et si l’amplitude vaut 180° ?
La cotangente… n’existe pas !
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On arrive maintenant dans le troisième et avant dernier quadrant. Surtout, n’essaie pas de
déplacer en bas du cercle la droite rose avec laquelle nous « jouons » depuis le début.
Elle est en haut du cercle, elle reste en haut ! (De la même manière que dans le cas des
tangentes, il ne faut JAMAIS déplacer cette droite)
Tu connais maintenant le « truc », il faut prolonger le segment [AD] en allant de D vers A. Il
finira bien ainsi par rencontrer la droite rose. Même si le point F d’intersection est très loin
lorsque l’angle égal 185° (exemple ci-dessous). En fait cot 185° = 11,43… Tiens, tiens…. Cette
valeur te rappelle peut-être quelque chose : cot 175° = - 11,43. Au signe près, c’est le même
nombre !
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Voici de nouveau quelques exemples lorsque tu travailles avec un angle appartenant au
quatrième quadrant.
Cotangente 45° et cotangente 225° ont la même valeur : 1 tandis que cotangente 135° et
cotangente 315° sont égales à -1.
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Enfin, si tu prends un angle proche de 360°, de nouveau, la cotangente filera vers des valeurs
extrêment grandes négativement !
Angle (en degré)
cotangente
350
-5,6712818
351
-6,3137515
352
-7,1153697
353
-8,1443464
354
-9,5143645
355
-11,4300523
356
-14,3006663
357
-19,0811367
358
-28,6362533
359
-57,2899616
359,5
-114,5886501
359,6
-143,2371217
359,7
-190,9841864
359,8
-286,4777340
359,9
-572,9572134
359,99
-5 729,5778932
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cotan 0° n’existe pas
cotan 90° = 0
cotan 180° n’existe pas
cotan 270° = 0
Pour cloturer cette longue fiche consacrée aux nombres trigonométriques, il ne te reste plus
qu’à aborder les valeurs des cotangentes des angles remarquables : 30°, 45° et 60°
cotan 30° = 1.732… = 3
cot 45° = 1
cot 60° = 0.577… =
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