SATELLITES ET PLANETES SYNTHESE

SATELLITES ET PLANETES SYNTHESE
CLASSEUR Terminale S Agence de CHARLEVILLE MEZIERES
astre
satellite
F
r
z
R
u
Les référentiels d’études
Le référentiel héliocentrique est un solide
imaginaire ayant pour centre le centre du Soleil et
dont l'orientation reste fixe par rapport à l'ensemble
des étoiles lointaines (étoiles situées aux confins de
l'Univers).
Le référentiel héliocentrique est le Soleil privé de sa
rotation propre. Ce référentiel, considéré galiléen,
convient pour l'étude du mouvement des planètes
autour du Soleil.
Le référentiel géocentrique est un solide imaginaire
ayant pour centre le centre de la Terre et dont
l'orientation reste fixe par rapport à l'ensemble des
étoiles lointaines.
Le référentiel géocentrique est la Terre privée de sa
rotation propre. Ce référentiel, considéré galiléen sur
des durées faibles devant 1 an, convient pour l'étude
du mouvement des satellites terrestres.
Les trois lois de Kepler
Ces lois empiriques décrivent les mouvements des
centres des neuf planètes du système solaire dans le
référentiel héliocentrique.
Par ordre de distance croissante au Soleil, on trouve :
Mercure, Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne, Uranus,
Neptune, Pluton. Moyen mnémotechnique : « Me Voici,
Toute Mignonne, Je Suis Une Nouvelle Planète ».
Première loi de Kepler (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, le centre de chaque
planète décrit, dans le sens direct, une trajectoire
elliptique dont le Soleil occupe un des foyers.
Dans le cas particulier où l'ellipse peut être assimilée à un
cercle, les deux foyers sont confondus avec le centre du
cercle.
Deuxième loi de Kepler (1609)
Dans le référentiel héliocentrique, le rayon vecteur de
chaque planète, qui relie le centre du Soleil à son
centre, balaye des aires égales pendant des durées
égales.
Dans le cas de trajectoires circulaires, les distances
parcourues sur l'orbite sont égales et le mouvement est
uniforme.
Troisième loi de Kepler (1619)
Dans le référentiel héliocentrique, le carré de la
période de révolution T de chaque planète (durée
mise pour décrire sa trajectoire complète autour du
Soleil) est proportionnel au cube du demi-grand axe a
de son orbite elliptique :
T2
a3 = cte
De manière générale, ces trois lois restent valables pour
tous les satellites d'un même corps, par exemple, les
satellites de la Terre dans le référentiel géocentrique. Dans
la troisième loi de Kepler, la valeur de la constante dépend
de l'astre autour duquel s'effectue le mouvement.
La loi de la gravitation universelle
Dans le cas de corps A et B ponctuels ou à répartition
sphérique de masse, la force d'interaction
gravitationnelle FA/B exercée par A sur B a pour
expression vectorielle :
FA/B = – GmAmB
d2
uAB
mA et mB masses en kilogramme (kg)
d distance en mètre (m)
G = 6,67.10–11 SI constante de gravitaion
uAB est le vecteur unitaire issu de A (qui crée la force) et
orienté vers B (qui la subit).
La plupart des astres sont à répartition sphérique de
masse ou séparés par des distances très grandes
devant leurs dimensions propres. Du point de vue des
interactions gravitationnelles, on peut les assimiler à
des objets ponctuels, toute leur masse se concentrant
en leur centre d'inertie.
De même, la force F exercée par un astre, de masse
M et de rayon R, sur un
satellite, de masse m,
évoluant sur une orbite
circulaire de rayon r et
d'altitude z (r = R + z), a
pour expression :
F = – GMm
r2
u
= – GMm
(R + z)2
u
Le vecteur unitaire est orienté de l'astre vers le satellite.
étoile lointaine
étoile lointaine
étoile lointaine
référentiel
héliocentrique
Soleil
N
S
S
N
Terre
Terre
référentiel
géocentrique
A
B
uAB
FB/A
uBA
FA/B
d
FB/A = – FA/B
grand axe
Soleil
O
a
planète
Mouvement elliptique
O
r
Mouvement
Circulaire

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r
O
aM
M
vM
Satellites ou planètes en orbites
circulaires
Le mouvement d'une planète ou d'un satellite, réduit à
son centre d'inertie, est souvent considéré circulaire
uniforme dans le référentiel « centrique » lié au corps
autour duquel il gravite. Dans la suite, les résultats
pour les satellites se généralisent aux planètes.
• Accélération du mouvement circulaire
uniforme
Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme de
rayon r et de vitesse v, le vecteur accélération aM(t)
du point M à l'instant t possède les caractéristiques :
– origine : la position du point
M à l'instant t ;
– direction : radiale
(celle du rayon
vecteur OM à
l'instant t) ;
– sens : centripète
(vers le centre O du
cercle trajectoire) ;
– valeur : a = v2
r
Dans un mouvement circulaire uniforme de rayon r
et de vitesse v, le vecteur accélération aM(t) du point
M à l'instant t est radial et centripète, de valeur
a = v2
r.
L'accélération du point M, perpendiculaire au vecteur
vitesse et dans le plan de la trajectoire, est dite normale.
Un point M a un mouvement circulaire uniforme de
centre O si :
– la position initiale du point M ne coïncide pas avec
O ;
– le vecteur vitesse initiale du point M, non nul, est
orthogonal au rayon vecteur OM ;
– la résultante des forces qui s'exercent sur M est
radiale et ne dépend que de r (force centrale).
• Vitesse des satellites en orbite circulaire
On considère un satellite, de masse m et d'altitude z,
en mouvement circulaire uniforme de rayon r et de
vitesse v autour d'un astre, de masse M et de rayon R,
dans le référentiel « centrique » correspondant à
celui-ci. Si les forces exercées par les autres astres
sont négligeables, le satellite est soumis uniquement à
la force F exercée par l'astre de masse M.
D'après la deuxième loi de Newton, il vient dans le
référentiel « centrique » considéré galiléen :
F = – GMm
r2
u = m aG, soit aG = – GM
r2
u
Le mouvement circulaire uniforme est une solution
de l'équation obtenue par la deuxième loi de Newton
si l'accélération est radiale et centripète :
– v2
r
u = – GM
r2
u, soit v2
r = GM r2
La valeur v de la vitesse du satellite d'altitude z vaut
donc :
v = GM
r = GM R + z (1)
La valeur v de la vitesse du centre d'inertie d'un
satellite en orbite circulaire autour d'un astre ne
dépend que de son altitude z. Elle est d'autant plus
petite que l'altitude est élevée.
A une altitude donnée, tous les satellites d'un même astre
ont même vitesse.
• Période des satellites en orbite circulaire
La période de révolution T d'un satellite est la durée
qu'il met pour décrire son orbite complète.
Le mouvement étant circulaire uniforme de rayon r,
la valeur v de la vitesse s'obtient en divisant le
périmètre de l'orbite par la période T du satellite :
v = 2r
T, soit d’après (1) : 2r T = GM r (2)
La période T du satellite d'altitude z vaut donc :
T = 2 r3
GM = 2 (R + r)3 GM
La période T d'un satellite en orbite circulaire autour
d'un astre ne dépend que de son altitude z. Elle est
d'autant plus grande que l'altitude est élevée.
Après élévation de (2) au carré, on obtient :
T2
r3 = T2 (R + z)3 = 4
2
GM = cte
On retrouve la troisième loi de Kepler dans le cas
particulier de l'orbite circulaire. La constante ne dépend
que de l'astre autour duquel s'effectue le mouvement, par le
biais de sa masse.
• Les satellites géostationnaires
Un satellite géostationnaire est immobile dans le
référentiel terrestre.
Dans le référentiel géocentrique, la période de
révolution d'un satellite géostationnaire est égale à la
période de rotation de la Terre sur elle-même,
appelée jour sidéral, de durée 23 h 56 min.
De tels satellites ont une altitude d'environ 36.103 km.
Leur orbite, située dans le plan équatorial et
parcourue dans le sens direct, est unique. Situés en
permanence à la verticale d'un même point du globe, il
est facile de pointer des antennes dans leur direction.

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METHODE
Appliquer la troisième loi de Kepler aux satellites
Dans le cas de satellites en orbites circulaires à l'altitude z, la troisième loi de Kepler établit une relation entre la
période T du satellite et le rayon
r = R + z de son orbite (R rayon de l'astre autour duquel il gravite) :
T2
r3 = T2 (R + z)3 = 42 GM
Données :
– Masse de la Terre : M = 5,98.1024 kg ;
– Rayon de la Terre : R = 6,37.103 km ;
– Constante de gravitation universelle :
G = 6,67.10–11 SI.
• Calcul de la période T connaissant l'altitude z
T2 = 42 (R + z)3
GM , soit T = 2 (R + z)3
GM
Exemple : z = 13,6.103 km.
Après avoir converti les km en m :
T = (6,37.106 + 13,6.106)3
6,67.10–11 × 5,98.1024 = 2,81.104 s.
On peut exprimer cette période en heures et en minutes :
2,81.104
3 600 = 7,80 h et 0,80 h = 0,80 × 60 = 48 min
d’où : T = 7h 48 min.
• Calcul de l'altitude z connaissant la période T
(R + z)3 = GMT2
42, soit : z = 
GMT2
42
1/3 – R
Exemple : T = 7 h 48 min.
Après avoir converti les km en m et les h en s :
z= 
6,67.10–11 × 5,98.1024 × (7 × 3 600 + 48 × 60)2
4
2
1/3
– R
z = 1,36.107m
II est conseillé de s'entraîner à effectuer ces longs calculs avec la calculatrice.