int fluct

Intervalles de fluctuation
Brigitte CHAPUT
Groupe Statistique et probabilités - IREM de Toulouse
Commission inter-IREM Statistique et probabilités
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
1. Programme de seconde (juin 2009)
2. Échantillons
3. Distribution de fréquences de la proportion
d’échantillonnage
4. Intervalles de fluctuation
5. Des mathématiques
6. Estimation par intervalle de confiance
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
1 - Programme de Seconde (juin 2009)
Statistique et probabilités
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
2 - Échantillons
2.1 - Définitions
Quand on doit décrire une population comportant
un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on
ne veut pas, en général pour des raisons
économiques, en faire une étude exhaustive.
Les observations ne portent alors que sur un
nombre restreint d'individus à sélectionner selon
un protocole expérimental.
Les individus sélectionnés et leur ordre de
sélection constituent un échantillon, leur nombre
est la taille de l'échantillon.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
2 - Échantillons
2.2 - Comment prélever un échantillon ?
Lors d’une prise de décision à partir d‘un
échantillon, pour que les résultats de la théorie
des probabilités s'appliquent, il est important
que l'échantillon soit prélevé au hasard.
Chaque individu de la population doit avoir la
même probabilité d'être sélectionné.
→ échantillon aléatoire.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
Table de
chiffres au
hasard
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
67288
58813
24089
94737
34481
63934
16615
97808
93634
04529
00577
83055
02927
67188
75645
32583
17218
23624
28269
49201
27122
87438
52620
05496
95610
06143
46902
43842
24325
71336
56408
31717
05154
23533
73508
03569
84089
89389
36438
29507
59566
91738
97793
60338
25576
92440
56387
07228
22189
11376
86856
73814
34012
48388
43685
92198
70110
97550
26157
42795
26360
16061
30781
60145
67351
78564
45383
79965
09529
98887
03720
24572
57006
70096
24827
96659
21379
10845
04570
11834
38516
35940
44858
71986
54454
06330
76636
07528
20483
76684
42773
02701
06412
78317
94599
05877
42297
45223
31218
49361
51110
34942
55220
99584
69283
55791
05162
14635
97886
57067
22657
08485
71403
99223
30631
56522
06749
89058
55125
46177
74822
36896
45358
11819
85172
28844
07261
40970
84641
86281
67325
99112
17146
86751
59207
58121
88623
34751
93960
43626
95604
74182
82580
41556
22669
53046
08793
90623
68128
87068
34385
39827
52426
45997
17003
56277
58921
79589
33426
50340
73955
86333
48770
21632
05332
62173
05613
22702
50483
81318
86159
97406
91711
95027
30810
87473
85233
82845
16732
04822
12968
01892
97980
25960
88560
09537
00492
73889
44949
62777
43869
45256
58087
90443
73361
27951
06472
20330
14164
64374
95050
55510
11027
20617
80588
69114
98802
09105
32353
95681
95790
69377
90906
19307
49748
73296
09933
40778
84188
42906
12433
84772
05762
93487
96445
43414
44241
77598
77370
06889
81475
75169
64892
85469
48326
84524
65659
52487
60957
82048
93677
65221
02647
23950
82249
86423
26975
41952
08947
85620
13307
05568
77517
89540
53199
37538
55883
01451
76852
73938
07241
31903
97584
61905
70464
97569
29905
05232
27674
68316
13437
54184
07467
94602
11003
10516
75852
80249
85647
52049
28453
07994
33622
27996
62150
92207
79817
12450
26406
57971
19889
37586
85007
83814
45901
33289
85775
98910
09044
07651
12070
91957
87334
86124
48652
67930
83590
63084
38984
38535
92408
94134
51303
48505
20097
04084
07007
48604
85286
62719
59028
03071
82387
01166
63761
41666
59759
92801
56052
29063
18194
66269
94349
88520
06061
96558
53985
53592
52018
52990
72478
60621
11947
52476
14295
19778
42484
66423
58249
30216
32277
48190
34748
58175
53919
67603
79578
78013
55408
09502
71939
84057
96287
30419
35902
59481
14036
89096
38395
84640
44056
67618
21100
23353
15980
19811
06006
45427
01518
46020
20481
74931
47987
15715
09921
50869
86886
35553
31708
79884
53915
85439
07439
59736
56258
62845
81649
74626
09886
99691
80835
54504
64410
49478
53262
87770
82507
42769
37895
41535
52842
70393
13567
88706
65448
35207
02251
69785
94947
98480
44993
67963
56774
88641
04155
63214
32859
85270
66616
22518
00961
55055
55360
01524
24891
87935
28024
59121
17551
14953
77067
87018
26619
21475
00183
22881
12487
89558
04384
05684
92217
41614
09579
05558
18664
52208
92745
31667
80784
49562
65967
00981
83323
86833
24275
82746
95640
89875
97797
86917
98270
65853
31766
45176
33443
55453
57527
69579
56021
13925
04085
38216
71338
04700
89361
35359
22374
20983
24898
33495
95199
30308
95946
94043
90683
02329
65565
95827
65864
93793
70330
03956
53509
27029
15448
83883
99166
59851
60570
31367
26542
21120
02330
11871
93639
77723
01525
26012
76540
09066
92456
22422
83328
86051
42811
92283
71024
70957
43374
36985
36436
78615
32992
82092
52754
96427
46672
77117
70024
77926
02102
21900
16902
90412
35838
37314
68194
58501
29767
75582
28162
71604
33516
38049
29157
19197
79394
76477
91690
42949
03607
02361
48817
36029
01742
81846
23148
55350
35208
26135
83797
32738
70598
29865
45709
90354
98627
46881
57138
99728
36813
42229
16122
33861
82816
87067
31212
31581
68698
00501
11189
58661
82851
80038
50181
62293
59172
10555
98459
43518
81797
01396
74913
58171
52810
00510
12680
27695
44754
10118
52146
64802
27914
34170
55224
12905
03400
96110
91576
36205
59840
26089
24371
89328
38552
43085
74215
51242
57622
49161
56865
65700
58413
08263
54126
78999
03751
41692
10808
31760
02645
71514
50654
96848
45311
84226
86654
11806
52279
35153
43220
14649
70980
29186
49952
13583
47176
91363
45452
42900
61964
04655
75437
62642
14254
14024
85193
89531
11023
39204
67513
11246
39957
57789
88523
71038
29459
30924
88708
60422
96478
74562
96651
70245
62801
77993
64462
35673
98653
62768
94774
70191
22542
05217
53956
69341
51559
61539
80535
90361
11945
54211
04562
19843
33947
96871
08976
46857
67987
38800
91700
30381
06303
46468
05322
08219
80824
47943
63858
70473
2 - Échantillons
2.2 - Comment prélever un échantillon ?
Deux types d'échantillons :
– Échantillons exhaustifs ou constitués
sans remise
– Échantillons non exhaustifs ou constitués
avec remise
Le programme de Seconde 2009 ne retient que
ce type d'échantillons : "Un échantillon est
constitué des résultats de n répétitions
indépendantes de la même expérience".
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
2 - Échantillons
2.3 - Échantillonnage
L'échantillonnage est l'étude des distributions de
fréquences de variables définies sur l’ensemble
des échantillons (proportion, moyenne, variance…).
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.1 - Un premier exemple
On considère une population de 4 enfants :
Adeline, Benjamin, Clara et David, d'âges
respectifs 12, 13, 14 et 15 ans et on s'intéresse
aux enfants de plus de 14 ans et demi. Il y en a
une proportion p = 1/4 dans la population-mère.
On constitue (avec remise) des échantillons de
taille 3.
On peut ainsi constituer 43=64 échantillons.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.1 - Un premier exemple
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi dans les échantillons
A
A
A
0
B
A
A
0
C
A
A
0
D
A
A
1/3
A
A
B
0
B
A
B
0
C
A
B
0
D
A
B
1/3
A
A
C
0
B
A
C
0
C
A
C
0
D
A
C
1/3
A
A
D
1/3
B
A
D
1/3
C
A
D
1/3
D
A
D
2/3
A
B
A
0
B
B
A
0
C
B
A
0
D
B
A
1/3
A
B
B
0
B
B
B
0
C
B
B
0
D
B
B
1/3
A
B
C
0
B
B
C
0
C
B
C
0
D
B
C
1/3
A
B
D
1/3
B
B
D
1/3
C
B
D
1/3
D
B
D
2/3
A
C
A
0
B
C
A
0
C
C
A
0
D
C
A
1/3
A
C
B
0
B
C
B
0
C
C
B
0
D
C
B
1/3
A
C
C
0
B
C
C
0
C
C
C
0
D
C
C
1/3
A
C
D
1/3
B
C
D
1/3
C
C
D
1/3
D
C
D
2/3
A
D
A
1/3
B
D
A
1/3
C
D
A
1/3
D
D
A
2/3
A
D
B
1/3
B
D
B
1/3
C
D
B
1/3
D
D
B
2/3
A
D
C
1/3
B
D
C
1/3
C
D
C
1/3
D
D
C
2/3
A D D 2/3
B D
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
D
2/3
C
D
D
2/3
D
D
D
1
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.1 - Un premier exemple
Parmi les 64 échantillons :
Proportion d'enfants de plus
de 14 ans et demi dans
l'échantillon
Nombre
d'échantillons
Fréquences
d'échantillons
0/3
1/3
2/3
3/3
27
27
9
1
42,2 %
42,2 %
14 %
1,6%
Distribution d’effectifs et de fréquences de la proportion
d’enfants de plus de 14 ans et demi dans les échantillons
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.1 - Un premier exemple
échantillons de taille 3
45%
40%
fréquences
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/3
2/3
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
1
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.2 – D’autres situations similaires
Tirage d’une boule dans une urne contenant 1 boule
blanche et 3 rouges
Tirage d’une boule dans une urne contenant 100 boules
blanches et 300 rouges
Lancer d’un dé tétraédrique équilibré et
obtention d'une des faces
Roue de loterie dont un quart est peint en rouge et le
reste en bleu et obtention du rouge
…
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
Échantillons
avec une
proportion de
Fréquences
d'échantillons
Échantillons
avec une
proportion de
Fréquences
d'échantillons
0/10
5,6%
6/10
1,6%
1/10
18,8%
7/10
0,3%
2/10
28,2%
8/10
0,0%
3/10
25,0%
9/10
0,0%
4/10
14,6%
10/10
0,0%
5/10
5,8%
d'enfants de
plus de 14 ans
et demi
d'enfants de
plus de 14 ans
et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
échantillons de taille 10
30%
fréquences
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
9/10 10/10
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
0/30
0,0%
11/30
5,5%
21/30
0,0%
1/30
0,2%
12/30
2,9%
22/30
0,0%
2/30
0,9%
13/30
1,3%
23/30
0,0%
3/30
2,7%
14/30
0,5%
24/30
0,0%
4/30
6,0%
15/30
0,2%
25/30
0,0%
5/30
10,5%
16/30
0,1%
26/30
0,0%
6/30
14,5%
17/30
0,0%
27/30
0,0%
7/30
16,6%
18/30
0,0%
28/30
0,0%
8/30
15,9%
19/30
0,0%
29/30
0,0%
9/30
13,0%
20/30
0,0%
30/30
0,0%
10/30
9,1%
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
échantillons de taille 30
18%
16%
fréquences
14%
12%
10%
8%
6%
4%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
30/30
28/30
26/30
24/30
22/30
20/30
18/30
16/30
14/30
12/30
8/30
6/30
4/30
2/30
0
0%
10/30
2%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
11/100
0,0%
21/100 6,3%
31/100 3,4%
12/100
0,1%
22/100 7,5%
32/100 2,5%
13/100
0,1%
23/100 8,5%
33/100 1,7%
14/100
0,3%
24/100 9,1%
34/100 1,1%
15/100
0,6%
25/100 9,2%
35/100 0,7%
16/100
1,0%
26/100 8,8%
36/100 0,4%
17/100
1,7%
27/30
8,1%
37/100 0,2%
18/100
2,5%
28/30
7,0%
38/100 0,1%
19/100
3,7%
29/100 5,8%
39/100 0,1%
20/100
4,9%
30/100 4,6%
40/100 0,0%
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.3 – D’autres tailles d'échantillons
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
fréquences
7%
6%
5%
4%
3%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
100/100
95/100
90/100
85/100
80/100
75/100
70/100
65/100
60/100
55/100
50/100
45/100
40/100
35/100
30/100
25/100
20/100
15/100
10/100
5/100
0%
0
1%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 3
45%
40%
fréquences
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/3
2/3
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
1
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 10
30%
fréquences
25%
20%
15%
10%
5%
0%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
9/10 10/10
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 30
18%
16%
fréquences
14%
12%
10%
8%
6%
4%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
30/30
28/30
26/30
24/30
22/30
20/30
18/30
16/30
14/30
12/30
8/30
6/30
4/30
2/30
0
0%
10/30
2%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
fréquences
7%
6%
5%
4%
3%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
100/100
95/100
90/100
85/100
80/100
75/100
70/100
65/100
60/100
55/100
50/100
45/100
40/100
35/100
30/100
25/100
20/100
15/100
10/100
5/100
0%
0
1%
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
Résultat :
Les proportions observées sont de plus en plus
souvent proches de la proportion du caractère
dans la population-mère lorsque la taille de
l'échantillon n augmente.
Résultat :
Lorsque n est grand la distribution de fréquence
de la proportion d’échantillonnage s'approche
d'une "distribution en cloche".
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage
3.4 – Quand n augmente
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
fréquences
7%
6%
5%
4%
3%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
96/100
91/100
86/100
81/100
76/100
71/100
66/100
61/100
56/100
51/100
46/100
41/100
36/100
31/100
26/100
21/100
16/100
11/100
6/100
0%
1/100
1%
4 - Intervalles de fluctuation
4.1 - Définition
L’intervalle de fluctuation d’une fréquence
ou proportion à 95%, pour des échantillons
de taille n, est l’intervalle :
– d'amplitude minimale,
– centré autour de p, proportion du
caractère dans la population,
– contenant la proportion observée sur un
échantillon aléatoire de taille n, avec une
probabilité égale à 0,95.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
échantillons de taille 10
30%
25%
fréquences
p = 25 %
0/10
20%
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
5%
6/10
1,6 %
0%
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
15%
10%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
échantillons de taille 10
30%
25%
86,6 %
fréquences
p = 25 %
0/10
20%
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
5%
6/10
1,6 %
0%
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
15%
10%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
5,6 %
1/10
18,8 %
2/10
28,2 %
échantillons de taille 10
30%
25%
98 %
fréquences
p = 25 %
0/10
20%
3/10
25,0 %
4/10
14,6 %
5/10
5,8 %
5%
6/10
1,6 %
0%
7/30
0,3 %
8/10
0,0 %
9/10
0,0 %
10/10
0,0 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
15%
10%
0
1/10
2/10
3/10
4/10
5/10
6/10
7/10
8/10
9/10 10/10
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
Distribution des fréquences
L'intervalle de fluctuation est [0 ; 0,5].
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
p = 25 %
0/30
0,0%
11/30
5,5%
21/30
0,0%
1/30
0,2%
12/30
2,9%
22/30
0,0%
2/30
0,9%
13/30
1,3%
23/30
0,0%
3/30
2,7%
14/30
0,5%
24/30
0,0%
4/30
6,0%
15/30
0,2%
25/30
0,0%
5/30
10,5%
16/30
0,1%
26/30
0,0%
6/30
14,5%
17/30
0,0%
27/30
0,0%
7/30
16,6%
18/30
0,0%
28/30
0,0%
8/30
15,9%
19/30
0,0%
29/30
0,0%
9/30
13,0%
20/30
0,0%
30/30
0,0%
10/30
9,1%
96,7 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
échantillons de taille 30
18%
16%
fréquences
14%
12%
10%
8%
6%
4%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4].
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
30/30
28/30
26/30
24/30
22/30
20/30
18/30
16/30
14/30
12/30
8/30
6/30
4/30
2/30
0
0%
10/30
2%
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants
de plus de 14 ans et demi :
95,1 %
11/100
0,0%
21/100 6,3%
31/100 3,4%
12/100
0,1%
22/100 7,5%
32/100 2,5%
13/100
0,1%
23/100 8,5%
33/100 1,7%
14/100
0,3%
24/100 9,1%
34/100 1,1%
15/100
0,6% 25 %
25/100 9,2%
35/100 0,7%
16/100
1,0%
26/100 8,8%
36/100 0,4%
17/100
1,7%
27/30
8,1%
37/100 0,2%
18/100
2,5%
28/30
7,0%
38/100 0,1%
19/100
3,7%
29/100 5,8%
39/100 0,1%
20/100
4,9%
30/100 4,6%
40/100 0,0%
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
4 - Intervalles de fluctuation
4.2 - Détermination
échantillons de taille 100
10%
9%
8%
fréquences
7%
6%
5%
4%
3%
2%
Proportion d'enfants de plus de 14 ans et demi
L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33].
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
100/100
95/100
90/100
85/100
80/100
75/100
70/100
65/100
60/100
55/100
50/100
45/100
40/100
35/100
30/100
25/100
20/100
15/100
10/100
5/100
0%
0
1%
5 - Des mathématiques
5.1 – Espérance et variance de la moyenne d’échantillonnage
Soit X1, X2,..., Xn une suite de n variables
aléatoires indépendantes de même loi de
probabilité admettant pour espérance
mathématique µ et pour écart-type σ.
_
1
_
On pose : X = (X1 + X2 + ... + Xn).
n
_
σ
X a pour espérance µ et pour écart-type
.
n
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.2 - Des théorèmes
Loi faible des grands
nombres :
_
Pour tout ε > 0, P (|X - µ | ≤ ε ) tend vers 1 quand
n tend vers l'infini.
Théorème limite central :
_
Alors pour n grand, la loi de la moyenne X peut
être approchée par la loi normale de paramètres µ
et σ .
n
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence (ou proportion) d ’échantillonnage
• Dans une population statistique, on s’intéresse à
une propriété A. On tire un échantillon de taille n.
Prenons pour variables Xi, les variables qui, à
chaque échantillon, associent la valeur 1 si le
i-ème individu possède la propriété A et 0 sinon.
1
_
•
(X1 + X2 + ... + Xn) évalue la proportion de la
n
propriété A dans l’échantillon, notons-la F.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence (ou proportion) d ’échantillonnage
• Comme l’espérance mathématique des variables
aléatoires Xi est égale à p, alors d’après la loi des
grands nombres
Pour tout ε > 0, P (|F - p| ≤ ε ) tend vers 1
quand n tend vers l'infini.
• La probabilité que F prenne une valeur éloignée
de p de moins d’un ε fixé à l’avance tend vers 1
lorsque n tend vers l’infini.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.3 - Application à la fréquence (ou proportion) d ’échantillonnage
• Comme l’espérance mathématique et l'écart-type
des variables aléatoires Xi sont respectivement
p et p (1 − p) , d’après le théorème limite central :
Pour n grand, la loi de F peut être approchée par
la loi normale de paramètres p et
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
p (1 − p) .
n
5 - Des mathématiques
5.4 - Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
On cherche un réel α tel que
P(p − α ≤ F ≤ p + α) = 0,95
D'après le théorème limite central, pour n assez
grand (n ≥ 25), la loi de la F peut être approchée
par la loi normale de paramètres p et
Alors la loi de
p (1 − p) .
n
F−p
est approchée par la loi
p (1 − p)
n
normale centrée, réduite.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.4 - Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
L'équation P(p − α ≤ F ≤ p + α) = 0,95 devient :

P



−α
≤
p (1 − p)
n
La table de la loi
normale centrée,
réduite donne
α
p (1 − p)
n
= 1,96
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
F−p
≤
p (1 − p)
n

α
 = 0,95
p (1 − p)
n 
95 %
5 - Des mathématiques
5.4 - Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
L'intervalle de fluctuation est approché par :


p − 1,96

p (1 − p)
; p + 1,96
n
p (1 − p) 

n

Or 1,96 < 2 et pour 0,2 ≤ p ≤ 0,8,
on a donc 0,4 ≤ p (1 − p) ≤ 0,5
Ainsi 1,96 p (1 − p) est compris entre 0,8 et 1.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
5 - Des mathématiques
5.4 - Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage
Finalement l'intervalle de fluctuation au seuil de
95%, relatif aux échantillons de taille n, est
approché par l’intervalle :


p −

1
n
;p+
1
n




Remarque : Cet intervalle contient l'intervalle :


p − 1,96

Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
p (1 − p)
; p + 1,96
n
p (1 − p) 

n

6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
On constitue, avec remise, des échantillons de
taille 40, dans une population. On considère une
modalité d’un caractère qualitatif observée pour
p =37 % des individus de la population.
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52].
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif
aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux
échantillons de taille 40 pour différentes valeurs de p.
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.1 - Construction d'un abaque
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
On souhaite estimer la proportion p (inconnue)
d'individus présentant une propriété donnée
dans une population statistique à partir d'un
échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans
remise.
Supposons que la propriété est observée dans
l'échantillon avec une fréquence de 60 %.
On détermine ensuite les valeurs de p qui font
en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de
fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux
échantillons de taille 40 associé à p .
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
Intervalle de
confiance de p à 95 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009
6 - Estimation par intervalle de confiance
6.2 - Utilisation de l'abaque
Intervalle de
confiance de p à 95 %
Brigitte CHAPUT - APMEP - 3 octobre 2009