LES NOMBRES PREMIERS

LE POINT DES CONNAISSANCES ACTUELLES 1. <
No 571 -
I-
LES NOMBRES
PREMIERS
Par
Jean ITARD
Agrégé de t’Uniramit
PRESSES UNIVERSITAIRES DE FRANCE
108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS
-
1969

Dép8t Mgal. - IF’ édition : ler trimestre 1969
TOIM droits de traduction. de reproduction et d’adaptation
r&erv& pour toue pays
6 1969, Presses Universitaires de France
INTRODUCTION
La théorie des nombres a fait depuis MO0 dès
progrès considérables dont il est difficile de rendre
compte dans un ouvrage d’initiation qui se doit de
rester abordable au plus large public.
Dans le u Que sais-je ? » intitulé Arithmétique ti
théorie des nombres, qui figure dans notre bibIie
graphie sommaire et que nous désignerons ici par le
symbole B 1 (nous procéderons de façon analogue
pour les autres ouvrages cités), nous noua étions
placé à un point de vue élémentaire et nous avionr
présenté les acquisitions de la science antérieurea
à 1800. Seul un dernier chapitre traitait de tendanoaa
nouvelles et de problèmes ouverts. Ici, au contraire,
nous nous préoccupons surtout soit d’acquis, soit
de problèmes des XIX~ et XX~ siècles.
Nous n’avons pas la prétention de tout aborder
ni de tout résoudre. D’autre part, comme l’indique
notre titre, les thèmes développés ou ébauchée gra-
vitent autour de la notion fondamentaIe de nombre
premier.
Certaines techniques, comme la théorie analytique
des nombres, demandent, pour être comprises, des
connaissances approfondies en analyse, particuI%=
rement en théorie des fonctions de la variable
complexe. Nous nous sommes contenté au se~omd
chapitre, d’en faire connaître la genèse et les thèmes
essentiels.
Au contraire, la notion d’idéal, qui s’est dégagée

E;
LES NOMBRES PREMIERS
i*
1.
: des travaux de Kummer (1844) sur le grand théo-
., “&II~ de Fermat, joue dans notre ouvrage un rôle
):, asrsntiel. On sait quel relief elle a pris entre les
i I mains de Dedekind, et nul n’ignore qu’elle a envahi
p tous les domaines des mathématiques.
Avec elle, nous pénétrons dans les techniques de
I’al@bre abstraite. Nous avons utilisé - modéré-
ment - ces techniques. Employées plus savamment,
elk auraient apporté des solutions plus élégantes
que les nôtres.
Notre langage est resté plus près de la langue
Mourante de la mathématique classique. Cependant
nos d6monstrations sont rigoureuses. Notre amhi-
tien est d’amener le lecteur à se dire que tout cela
n’est pas très difficile, et à le pousser à la lecture
~+XI bons auteurs.
La notion d’idéal serait inutile pour une première
étude des nombres naturels. Elle ne prend tout son
int&& que pour des ensembles, dérivés du premier,
maie plus complexes, les anneaux algébriques par
exemple. Nous avons opéré par échantillonnages
r6servant un chapitre aux anneaux euclidiens, les
P
lus proches de l’ensemble des entiers naturels, où
‘on pourrait encore se passer de la notion d’idéal.
&is un autre chapitre est consacré à un anneau
non euclidien, le plus simple possible, et pour lequel
cette notion est indispensable. Plus classiques sont
notre étude des congruences et le chapitre sur le
a petit théorème d e Fermat X. Nous y avons joint
des considérations sur l’indicateur, fonction arith-
tique importante, et sur la fonction de Mobius,
fort utile en théorie analytique des nombres. Les
Aidue quadratiques et la loi de réciprocité sont
&udibs par une méthode élémentaire.
Le problème de Waring (B 1, p. 123) prend nais-
~ancc avec le théorème de Bachet sur la décomposi-
!
INTRODUCTION *.’
tion de tout nombre en somme de quatre carrés. ’
Nous avons consacré à ce théorème un court cha- ”
pitre, avec une démonstration qui simplifie et r&=
‘,1
sume celles de Lagrange et d’Euler. La solution par
Liouville du problème de Waring pour la puissance 4
et la donnée de la formule qui permit à Maillet de
le résoudre pour la puissance 3 le terminent. Pour
apporter une réponse d’ensemble, Hilbert montra
en 1909 - grâce à l’analyse - qu’il existe pour
toute puissance une identité algébrique du type de
celles d’Euler pour les carrés, de Maillet pour les
cubes, de Liouville pour la puissance 4.
Les corps finis font leur apparition avec les
congruences de Gauss. Galois montre, par la théor@
de ses imaginaires (1830), qu’il y a d’autres corps
finis que ceux de Gauss. Dedekind et J.-A. Serret
donnent des bases fermes à la théorie de GaIois.
Nous avons pu parler de ceux de ces corps q$ sont
commutatifs, et les trouver tous. Dans les chapitres
précédents nous avions établi l’existence de plusieurs
d’entre eux. Enfin nous avons donné le théorème de
J. M. Wedderburn (1905) : tout corps fini est
commutatif. L’œuvre de Wedderburn marque, avec
la découverte des corps p-adiques par Hensel(1908),
la naissance de l’algèbre abstraite Ve Steinitz codi-
fiera en 1910. Aussi avons-nous réservé un dernier
chapitre aux corps p-adiques qui jouent actuelle-
ment un rôle fondamental en théorie des nombres
où leur utilisation constitue ce que l’on appelle Ila
« méthode locale ». Nous ne pouvions, bien entendu,
que montrer l’existence de ces corps et non 1%~ L.
maniement. Nous n’avons cependant pu résister aa
plaisir de donner in fine la démonstration du théo- .:
rème d’Ostrowski. I ;

SYMBOLES
[z] partie entière de x, [x] = 3.
‘E appartient à, x E A, x appartient à l’en-
semble A.
4 n’appartient pas, x 4 A, x n’appartient pas
à l’ensemble A.
c inclus dans, B c A : l’ensemble B est inclus
dans l’ensemble A.
c inclusion stricte, Bc A : B, différent de A,
est inclus dans A.
Z/mZ ou Z/m, voir p. 44.
14 valeur absolue de x.
* implication logique.
0 équivalence logique.
n intersection de deux ensembles.
u réunion de deux ensembles.
n phrs grand commun diviseur de m et de n
ou p.g.c.d.
U
plus petit commun multiple de m et de n
ou p.p.c.m.
db a divise b.
a #’ b a ne divise pas b.
m.
? = 1.2.3.u.. .m, factorielle m.
m!! = 1.3.5.. . produit des nombres premiers
inférieurs ou égaux à m.
N ensemble des entiers naturels.
Z ensemble des entiers rationnels (positifs, nuls
ou négatifs).
QR ensemble des nombres rationnels. ensemble des nombres réels.
C ensemble des nombres complexes.
CHAPITRE PREMIER
G&NÉRALITÉS SUR LES IDEAUX
D’UN ANNEAU COlWMIJTATIF
Nous rappelons, dans ce chapitre, quelques pro&
priétés des anneaux et de leurs idéaux qui nous
seront utiles. On pourra, pour plus de détails, consul-
ter les ouvrages B 2, 3, 8 ou 9.
1. - Anneaux, corps
Un anneau A est un ensemble muni de deux opé=
rations internes, l’addition et la multiplication.
L’addition, par rapport à laquelle A est un groupe
commutatif, est notée + .
1) Pour tout couple (a, b) d’éléments de A, il
existe un troisième élément c, bien défini, noté a + b
tel que a + b = c.
2) CI + b = b + a, commutativité.
3) a + b + c = a + (b + c), associativitk.
4) Il existe un élément neutre pour l’addition,
noté 0.
5) Tout élément a admet un opposé u’, tel que
a + a’ = 0.
Exemple. - L’ensemble Z des entiers rationnels est un
groupe par rapport à l’addition (groupe additif).

LES NOMBRES PREMIERS
i.
?.
.
La multipZic&on notée X ou . ou simplement
indiquée par juxtaposition, est la seconde opération
interne de l’ensemble A.
6) Pour tout couple (a, a), il existe dans A un
616ment bien défini c tel que ab = C.
7) a(bc) = (ab) c, associativité.
8) a(b+c)=ab+ac
9) (a+b)c=ac+bc distributivité sur l’addition.
Il en résulte que a.0 = 0.a = 0 et que les pro-
duits par le même multiplicateur - à droite ou à
gauche - de deux Bléments opposés sont opposés.
Lorsque les neuf conditions (ou axiomes) énon-
c&s ci-dessus sont satisfaites, A est un anneau.
10) S’il existe un élément neutre pour la multi-
plication, noté 1, tel que 1 X a = a X 1 = a, pour
tout a, l’anneuu est dit unitaire. Nous ne nous
occuperons que d’anneaux unitaires. Aussi le quali-
ficatif sera-t-il sous-entendu.
11) Si « a x b = 0 1) implique CC a = 0 ou b = 0 )),
l’anneau sera dit intègre. Nous rencontrerons des
anneaux très simples n’ayant pas cette propriété.
Exemple : Z/9, anneau utilisé dans la « preuve par 9 ))
(cf. chap. IV).
12) Si, pour tout couple (a, b), ab = ba, l’anneau
est dit commutatif ou abélien. Nous ne nous occupe-
rons guère que d’anneaux commutatifs et, ici encore,
le qualificatif sera sous-entendu.
13) Lorsque, par rapport à la multiplication,
l’ensemble est un groupe, commutatif ou non, l’an-
neau est M corps.
Un corps est donc un anneau tel que chacun de
aes dlkments non nul a admet un inverse U’ :
a?xa’=l et o’xa=l
IDÉAUX D’UN ANNEAU COMMUTATIF ‘L&’ q
Lorsque dans un anneau, il existe deux 616mentv
tels que a. b = 1, a et b sont dits éléments inver-
sibles ou unités. Ainsi Z a deux unités + 1 et - 1 ;
puisque (- 1) (- 1) = + 1.
Un corps est un anneau dont tous les élémsnte
non nuls sont des unités.
Exemples. - L’ensemble Z des entiers relatifs est un anneau
commutatif, unitaire, intègre.
1 L’ensemble Q des nombres rationnels est un corps commu-
tatif. De même les ensembles R des nombres r6ele et C dm
nombres complexes.
L’ensemble N des entiers naturels 1, 2, etc., n’est par ti
anneau : l’addition n’est pas un groupe sur N (absence dar
conditions 4 et 5).
Lorsaue l’on s’intéressera h un anneau A inclus dans tan
corps <dont il sera un sous-anneau, on distinguerales &UC+~J
de A en les appelant des entiers (relativement B A. Cf. chap. x
les p-entiers).
II. - Corps des fractions
A partir de tout anneau unitaire intègre, comntu-
tatif, on peut construire son « corps des fractions )jh ’
qui est le plus petit corps qui le contienne. Le pfo-
cédé de construction est identique à celui qui, B par- ‘
tir de l’ensemble Z des entiers relatifs ou de l’en-
semble N des entiers naturels permet de construire
les nombres rationnels. On considère d’abord l’en-
semble des « fractions » - i, où a appartient B A’
et b à A-(O), c’est-à-dire où b ne peut pas /
prendre la valeur 0.
On établit dans cet ensemble une relation a’&@-’
a I
valence : - est équivalent
à 9, si, et seulement
b b
si ab’ = bu’.
On appelle élément du corps K des fractions, chay
curie des classes d’équivalence.