LES NOMBRES PREMIERS

LE
POINT
DES
CONNAISSANCES
ACTUELLES
No 571 -
LES NOMBRES
PREMIERS
Par
Jean ITARD
Agrégé
de t’Uniramit
PRESSES UNIVERSITAIRES
DE FRANCE
108, BOULEVARD SAINT-GERMAIN, PARIS
-
1969
1. <
I-
INTRODUCTION
Dép8t Mgal. - IF’ édition : ler trimestre 1969
TOIM droits de traduction.
de reproduction
et d’adaptation
r&erv&
pour toue pays
6 1969, Presses
Universitaires
de France
La théorie des nombres a fait depuis MO0 dès
progrès considérables
dont il est difficile de rendre
compte dans un ouvrage d’initiation
qui se doit de
rester abordable
au plus large public.
Dans le u Que sais-je ? » intitulé Arithmétique
ti
théorie des nombres, qui figure dans notre bibIie
graphie sommaire et que nous désignerons ici par le
symbole B 1 (nous procéderons
de façon analogue
pour les autres ouvrages cités), nous noua étions
placé à un point de vue élémentaire
et nous avionr
présenté les acquisitions
de la science antérieurea
à 1800. Seul un dernier chapitre traitait de tendanoaa
nouvelles et de problèmes ouverts. Ici, au contraire,
nous nous préoccupons
surtout soit d’acquis, soit
de problèmes des XIX~ et XX~ siècles.
Nous n’avons pas la prétention
de tout aborder
ni de tout résoudre. D’autre part, comme l’indique
notre titre, les thèmes développés ou ébauchée gravitent autour de la notion fondamentaIe
de nombre
premier.
Certaines techniques, comme la théorie analytique
des nombres, demandent,
pour être comprises, des
connaissances approfondies
en analyse, particuI%=
rement
en théorie
des fonctions
de la variable
complexe. Nous nous sommes contenté au se~omd
chapitre, d’en faire connaître la genèse et les thèmes
essentiels.
Au contraire, la notion d’idéal, qui s’est dégagée
E;
!
LES
NOMBRES
PREMIERS
i*
1.
: des travaux
de Kummer
(1844) sur le grand théo.,“&II~ de Fermat, joue dans notre ouvrage un rôle
):, asrsntiel. On sait quel relief elle a pris entre les
i I mains de Dedekind, et nul n’ignore qu’elle a envahi
p tous les domaines des mathématiques.
Avec elle, nous pénétrons dans les techniques
de
I’al@bre abstraite.
Nous avons utilisé - modérément - ces techniques. Employées plus savamment,
elk auraient apporté des solutions plus élégantes
que les nôtres.
Notre langage est resté plus près de la langue
Mourante de la mathématique
classique. Cependant
nos d6monstrations
sont rigoureuses.
Notre amhitien est d’amener le lecteur à se dire que tout cela
n’est pas très difficile,
et à le pousser à la lecture
~+XI bons auteurs.
La notion d’idéal serait inutile pour une première
étude des nombres naturels. Elle ne prend tout son
int&& que pour des ensembles, dérivés du premier,
maie plus complexes, les anneaux algébriques
par
exemple. Nous avons opéré par échantillonnages
r6servant
un chapitre aux anneaux euclidiens, les
lus proches de l’ensemble des entiers naturels, où
P‘on pourrait
encore se passer de la notion d’idéal.
&is un autre chapitre est consacré à un anneau
non euclidien, le plus simple possible, et pour lequel
cette notion est indispensable.
Plus classiques sont
notre étude des congruences
et le chapitre sur le
a petit théorème d e Fermat X. Nous y avons joint
des considérations
sur l’indicateur,
fonction
arithtique
importante,
et sur la fonction de Mobius,
fort utile en théorie analytique
des nombres. Les
Aidue
quadratiques
et la loi de réciprocité
sont
&udibs par une méthode élémentaire.
Le problème de Waring (B 1, p. 123) prend nais~ancc avec le théorème de Bachet sur la décomposi-
INTRODUCTION
*.’
tion de tout nombre en somme de quatre carrés. ’
Nous avons consacré à ce théorème un court cha”
pitre, avec une démonstration
qui simplifie
et r&= ‘,1
sume celles de Lagrange et d’Euler. La solution par
Liouville
du problème de Waring pour la puissance 4
et la donnée de la formule qui permit à Maillet de
le résoudre pour la puissance 3 le terminent.
Pour
apporter
une réponse d’ensemble,
Hilbert
montra
en 1909 - grâce à l’analyse - qu’il existe pour
toute puissance une identité algébrique
du type de
celles d’Euler pour les carrés, de Maillet pour les
cubes, de Liouville
pour la puissance 4.
Les corps finis font leur apparition
avec les
congruences de Gauss. Galois montre, par la théor@
de ses imaginaires
(1830), qu’il y a d’autres corps
finis que ceux de Gauss. Dedekind
et J.-A. Serret
donnent des bases fermes à la théorie de GaIois.
Nous avons pu parler de ceux de ces corps q$ sont
commutatifs,
et les trouver tous. Dans les chapitres
précédents nous avions établi l’existence de plusieurs
d’entre eux. Enfin nous avons donné le théorème de
J. M. Wedderburn
(1905) : tout corps fini est
commutatif.
L’œuvre de Wedderburn
marque, avec
la découverte des corps p-adiques par Hensel(1908),
la naissance de l’algèbre abstraite Ve Steinitz codifiera en 1910. Aussi avons-nous
réservé un dernier
chapitre
aux corps p-adiques
qui jouent actuellement un rôle fondamental
en théorie des nombres
où leur utilisation
constitue ce que l’on appelle Ila
« méthode locale ». Nous ne pouvions, bien entendu,
que montrer
l’existence de ces corps et non 1%~ L.
maniement.
Nous n’avons cependant pu résister aa
plaisir de donner in fine la démonstration
du théo.:
I ;
rème d’Ostrowski.
SYMBOLES
[z]
‘E
4
c
c
Z/mZ
14
*
0
n
u
n
U
db
a #’ b
m.?
m!!
N
Z
QR
C
partie entière de x, [x] = 3.
appartient
à, x E A, x appartient
à l’ensemble A.
n’appartient
pas, x 4 A, x n’appartient
pas
à l’ensemble A.
inclus dans, B c A : l’ensemble B est inclus
dans l’ensemble
A.
inclusion stricte, Bc A : B, différent
de A,
est inclus dans A.
ou Z/m, voir p. 44.
valeur absolue de x.
implication
logique.
équivalence
logique.
intersection
de deux ensembles.
réunion
de deux ensembles.
phrs grand commun diviseur
de m et de n
ou p.g.c.d.
plus petit commun multiple
de m et de n
ou p.p.c.m.
a divise b.
a ne divise pas b.
= 1.2.3.u..
.m, factorielle
m.
des nombres premiers
= 1.3.5..
. produit
inférieurs
ou égaux à m.
ensemble des entiers naturels.
ensemble des entiers rationnels (positifs, nuls
ou négatifs).
ensemble des nombres rationnels.
ensemble des nombres réels.
ensemble des nombres complexes.
CHAPITRE
PREMIER
G&NÉRALITÉS
D’UN
SUR
ANNEAU
LES
IDEAUX
COlWMIJTATIF
Nous rappelons, dans ce chapitre, quelques pro&
priétés des anneaux et de leurs idéaux qui nous
seront utiles. On pourra, pour plus de détails, consulter les ouvrages B 2, 3, 8 ou 9.
1. -
Anneaux,
corps
Un anneau A est un ensemble muni de deux opé=
rations internes,
l’addition
et la multiplication.
L’addition,
par rapport à laquelle A est un groupe
commutatif,
est notée + .
1) Pour tout couple (a, b) d’éléments
de A, il
existe un troisième élément c, bien défini, noté a + b
tel que a + b = c.
2) CI + b = b + a, commutativité.
3) a + b + c = a + (b + c), associativitk.
4) Il existe un élément neutre pour l’addition,
noté 0.
5) Tout élément a admet un opposé u’, tel que
a + a’ = 0.
Exemple.
groupe
-
L’ensemble
par rapport
Z des entiers
à l’addition
(groupe
rationnels
additif).
est un
LES
NOMBRES
PREMIERS
IDÉAUX
i.
?.
.
La multipZic&on
notée X ou . ou simplement
indiquée par juxtaposition,
est la seconde opération
interne
de l’ensemble A.
6) Pour tout couple (a, a), il existe dans A un
616ment
bien défini
c tel que ab = C.
7) a(bc) = (ab) c, associativité.
8) a(b+c)=ab+ac
distributivité
sur l’addition.
9) (a+b)c=ac+bc
Il en résulte que a.0 = 0.a = 0 et que les produits par le même multiplicateur
- à droite ou à
gauche - de deux Bléments opposés sont opposés.
Lorsque les neuf conditions
(ou axiomes) énonc&s ci-dessus sont satisfaites, A est un anneau.
10) S’il existe un élément neutre pour la multiplication,
noté 1, tel que 1 X a = a X 1 = a, pour
tout
a, l’anneuu
est dit unitaire.
Nous ne nous
occuperons que d’anneaux
unitaires. Aussi le qualificatif sera-t-il sous-entendu.
11) Si « a x b = 0 1)implique CCa = 0 ou b = 0 )),
l’anneau
sera dit intègre. Nous rencontrerons
des
anneaux très simples n’ayant pas cette propriété.
Exemple : Z/9, anneau utilisé dans la « preuve par 9 ))
(cf. chap. IV).
12) Si, pour tout couple (a, b), ab = ba, l’anneau
est dit commutatif
ou abélien. Nous ne nous occuperons guère que d’anneaux commutatifs
et, ici encore,
le qualificatif
sera sous-entendu.
13) Lorsque,
par rapport
à la multiplication,
l’ensemble
est un groupe, commutatif
ou non, l’anneau est M corps.
Un corps est donc un anneau tel que chacun de
aes dlkments non nul a admet un inverse U’ :
a?xa’=l
et
o’xa=l
D’UN
ANNEAU
‘L&’
COMMUTATIF
q
Lorsque dans un anneau, il existe deux 616mentv
tels que a. b = 1, a et b sont dits éléments inversibles ou unités. Ainsi Z a deux unités + 1 et - 1 ;
puisque (- 1) (- 1) = + 1.
Un corps est un anneau dont tous les élémsnte
non nuls sont des unités.
Exemples. - L’ensemble Z des entiers relatifs est un anneau
1
commutatif,
unitaire,
intègre.
L’ensemble
Q des nombres rationnels
est un corps commutatif. De même les ensembles R des nombres r6ele et C dm
nombres
complexes.
L’ensemble
N des entiers naturels
1, 2, etc., n’est par ti
anneau : l’addition
n’est pas un groupe sur N (absence dar
conditions
4 et 5).
Lorsaue l’on s’intéressera
h un anneau A inclus dans tan
corps <dont
il sera un sous-anneau,
on distinguerales
&UC+~J
de A en les appelant des entiers (relativement
B A. Cf. chap. x
les p-entiers).
II.
-
Corps
des fractions
A partir de tout anneau unitaire intègre, comntutatif, on peut construire
son « corps des fractions )jh
qui est le plus petit corps qui le contienne. Le pfocédé de construction
est identique à celui qui, B partir de l’ensemble Z des entiers relatifs ou de l’ensemble N des entiers naturels permet de construire
les nombres rationnels.
On considère d’abord l’ensemble
des « fractions
» -i,
où
et b à A-(O),
c’est-à-dire
prendre la valeur 0.
On établit dans cet ensemble
a
a appartient
où
I
à 9,
pas
a’&@-’
: - est équivalent
si, et seulement
b
b
si ab’ = bu’.
On appelle élément du corps K des fractions, chay
curie des classes d’équivalence.
valence
‘
B A’
b ne peut
une relation
’
/
12
LES
On definit
sur K une
; +
On
montre
mêmes et non
addition
=
b’
tout
appartient
IDEAUX
Pour
inverse
te-?:!*
autre
autre
PREMIERS
:
qu’elle
concerne
les
les fractions.
Autrement
remplace
a par
t
b
et - par tout
Bonune
;
NOMBRES
élément
élément
toujours
classes
dit,
de sa classe
de
sa classe
à une
même
unité
ellessi l’on
la
vérifie
saus
un groupe. L’élément
La multiplication
peine
que,
pour
neutre
se définit
est la classe
par :
l’on remplace
t
e+p
ar tout
appartient
On vérifie
seules les classes
i par tout
autre
toujours
pour
autre
élément
sont
de f.
c(,
de sa classe a’, le produit
à la classe,
cette
: si
de sa classe
opération
notee
CI.01’ de $.
les propriétés
6, 7,
un corps commumultiplication
est la
8, 9, 10, 11, 12 et 13. K est donc
tatif.
L’élément
neutre
de la
1
classe de -. L’inverse
de la classe
’ b
la classe de ;.
de a
b’
h la classe
de 0
1’
13
nul,
il existe
dans K un
1
la classe de a. Si a est q
à A.
Tout
anneau
a au
-
Idéaux
L
Si l’on prend
c = 0, on voit que 0 ES, quel p
soit l’idéal
J.
L’ensemble
( 0 ) formé
du seul nombre
aéra cet
un idéal.
C’est d’ailleurs
le plus petit idéal possible,
en ce que ( 0 } est un sous-ensemble
de tout idéal f.
L’anneau
A est aussi uu idéal,
le plus grand,
en
ce qu’il
contient
tous les autres.
Tout
idéal
qui contient
une unité
E de A ‘est.
identique
à A. En effet si q = 1 :
« E E 4 )) =c- « c(qa)
a =+ 0, est
Tout Blément a de A peut être considéré
comme
un Clément de K. Il suffit pour cela de l’identifier
.
Un idéal Y d’un anneau
A est un sous-ensemble
non vide de A doué des deux propriétés
suivantes
:
1) Si a et b appartiennent
à 9, alors a + b appartientà~.«aE~,bE~»~ua+bEg»;
2) Si a appartient
à 9 et c appartient
à A alom
ac appartient
à fi
K est
concernées
élément
défmi.
C’est
1
de A, a appartient
III.
;+g.
Ici encore,
bien
classe,
l’addition,
COMMUTATIF
a de A, non
!
notée a + a’.
’ On
tout
ANNEAU
moins deux unités
(sauf Z/2 qui n’en a pu’une)
+ 1
et - 1. Mais il peut en avoir d’autres
et même une
infinité,
sans être pour autant
un corps (voir p. 116).
a,
a’,
D’UN
eY n
pour tout a (prop.
2), ouaEY,doncY=A.
Tous les éléments
d’un corps K étant
des tités,
il n’y a dans un corps que les deux idéaux ( 0 ) et K.
Exemples d’idécrux. et A.
Soit
a un élément
Nous
arbitraire
connaissons
de A.
déjh
(,O )
“y:
C’
’
LES
‘_ cl4
L’ensemble
yte (a) :
de ses multiples
NOMBRES
PREMIERS
est un idéal que l’on
a% + uy = 0(x + y)
(ax) c = a(xc).
(ProP- 1)
(ProP- 2)
Ce type d’idkal est dit idéal principal.
Il y a des
idhuc
principaux
dans tout anneau. Tout anneau
qui n’a que des idéaux principaux
est dit anneau
principal.
IV.
sur l’exwemble
- Opérations
des idéaux d’un
anneau
1) L’intersection
des deux idéaux, qui n’est jamais
vide puisque 0 est élément de tout idéal, est encore
un idéal.
En effet soit les idéauk 3 et $, et x n / leur
intersection.
Si a et b appartiennent
à 9 n y, a + b appartient
B f (prop. 1) et h /, donc à 9 n $.
Si a appartient
à 9 n 3, et si c est arbitraire,
oc appartient
B 3 (prop. 2) et de même à y, donc
hfng.
2) Nous appelons somme des idéaux 9 et $, et
nous notons 3 + 8, l’ensemble des sommes a + b,
a étant un élément arbitraire
de 3 et b un élément
arbitraire
de y.
f + / est un idéal, comme on le vérifie aisément.
C’est d’ailleurs
le plus petit idéal contenant
à la
fois 9 et 3. En effet, un idéal qui contient $ a
parmi ses éléments tout élément a de 9. S’il contient
f il admet parmi ses éléments tout élément b de y.
vil contient à la fois 3 et $ il contient a, b, et leur
u)mme a + b.
L’addition
des idéaux est commutative
et assooiative. Mais si f est inclus dans 3, leur somme
IDl?AUX
D’UN
ANNEAU
_ 1s’
:f
idéaux princiax + by }, des
_.
COMMUTATIF
estJ.Enparticulier~+~=~;(O}+~=;iT;
f+A=A.
Si 9 = (a) et f = (b) sont deux
{
pa=h
(4 + P) est l’ensemble
sommes des multiples de a et de b.
3) Le produit
de deux idéaux .#
semble des sommes de produits ab,
de 4 et d’un élément b de $ :
$x.$={Zab}(aE9,bEJ).
et fl est l’en*
d’un élément o
’
C’est un idéal, sous-idéal de .9 et de 8. En effet
a E 9 =s-ab E 9 et Zab E Y. Même raisonnement
pour $.
Le produit est donc un sous-ensemble de 3 A # :
#.$c
Il est commutatif,
rapport
à la somme,
4xA=3;
9nf.
associatif et distributif
P&U
comme on pourra le vérifier.
-l”x{O}={O}.
Le produit des deux idéaux principaux
(a) et (b)
est l’idéal principal (ab). En effet (a) X (b) = { EV )
avec x E (a) ou x = aX et y e(b) ou y = bY.
(Sxy}={abCXY}
c’est-à-dire
l’ensemble
dee
multiples
de ab.
Pour avoir par exemple abm, m donné, il suffh
de prendre un seul terme de la somme, où X = m
et Y= 1.
IV.
-
Idéaux
premiers
entre
eux
Deux idéaux sont dits « étrangers » ou « premientre eux )) si leur somme est l’anneau lui-m&%
Le produit de deux idéaux premiers entre eux &
h
leur intersection.
=*
En effet, soit 9 + / = A.
3*
r
;:3; ‘,
.’
2,
r
16
_,
I,
LES
NOMRRES
IDÉAUX
PREMIERS
Alore $ + JF contient 1.
Il existe donc un élément
a de Y et un élément
de # tels que a + b = 1.
(C’est
l,L .-$$
., ’
i
i
D’UN
6
d’ailleurs
une condition
nécessaire et suffisante de
relative
ou étrangeté.
En particulier
les idéaux
principaux
(a) et (b) sont premiers
entre eux ai et seulement
s’il existe s et y tels que ax + by = 1.)
14’
”
Y.x+g.x=x
ou
4.x+9.x
Prenons un élément arbitraire
c de Y n f et
.formons le produit c(a + 6) = ca + cb = c puisque
a + b = 1. a appartient
à 3 et c à $ donc ca
appartient
à 3 x f. Pour des raisons analogues,
13 appartient
aussi au produit.
Donc la somme
ca + cb appartient
encore au produit, et c E .Y x $.
Puisque c est arbitraire
dans Y n $ :
=x
ou
4x+x)
=x
ce qu’il fallait démontrer.
Un idéal est maximal ou premier absolu, ou aimplement
premier,
s’il n’est contenu
dans aucun
autre idéal que l’anneau A lui-même.
Un idécrl premier absolu est premier avec tout id+
qu’il ne contient pas.
En effet soit B un idéal premier et 9 un autrq
idéal qui ne soit pas sous-idéal de 8.
La somme 9 + 9 est un idéal qui contient Bet I%
et qui n’est pas identique à 8. Ce ne peut être
e A.
Le produit d e d eux idéaux est contenu dans cE ‘CW
d’eux. Si donc, un idéal premier 9 divise un id&l y;
§xg=Jn$.
Tout i&al§
premier avec l’idéal#
et avec l’io%alX,
e8t premier avec leur produit $.,X.
En effet :
uf+~=A»ouIlexisteadans.Yetbdans~
tels que a + b = 1 » ;
a$+X=A»o((Ilexistea’dans~etcdansX
tels que a’ + c = 1 ».
membre à membre les deux égalités
(aa’ + ac + a’ b) + bc = 1.
COMMUTATIF~
En effet, puisque 3 divise f .X, il existe un
idéal x tel que f .X = 4.x. Mais, par hypoth&e,
.%+-#=A.
D’où, en multipliant
les deux membres par X :
primarité
Multiplions
ANNEAU
alors
fl
est contenu
Que peut-on
Sachant que f
que 9’ divise 3
Nous laissons
:
Les trois premiers termes sont des éléments
de 3.
Le quatrième
est un élément
de 3.S.
Donc
3
et Ji .X sont premiers entre eux.
On en déduit aisément que si 4 et y sont premiers entre eux, toute puissance de Y, Ya = 9 x 9,
.#s, etc., est première à toute puissance de $, $“,
ya, etc.
Si l’idéal 9 est premier avec l’i&al ,f et s’il divise
le produit $2,
alors il divise X.
dans
8.
dire de la proposition
récipr0que.P
est inclus dans 9, peut-on conclu&
?
la question en suspens.
.,:
,
I
/
J.
2
ITARD
\
1
I. :
:
L’ANNEAU
Z DES
ENTIERS
RATIONNELS
>3_
celle du diviseur.
dra r positif. II sera alors, dans tous les cas, bien
d&ini, ainsi que le quotient
n).
L’existence de la division euclidienne
montre
tout idéal de Z est principal.
En effet, si un i r al
contient a, il contient aussi son opposé :
- a = (-l).a.
CHAPITRE II
L’ANNEAU
Z DES ENTIERS
1. -
?
RATIONNEL8
Les divisions
Dans l’ensemble des entiers rationnels il y a lieu
de considérer
deux « divisions
» fort importantes.
Etant don& un nombre b quelconque
l’idéal des
multiples de fi s’ordonne sur la droite réelle en une
l progression
arithmétique
1)avec des intervalles
de
longueur
1b 1.
Tout nombre a tombe dans un de ces intervalles
[n 1b 1, (n + 1) 1b I[ (n 1b 1inclus, (n + 1) 1b ) exclu),
et plus pr8e de l’une des extrémités
que de l’autre,
Bmoins que b ne soit pair auquel cas a peut se trouver juste au milieu d’un intervalle.
En tous les cas, étant donné deux nombres arbitraires a et b, on peut toujours
en trouver
deux
autree, bien définis, n et r tels que :
a=nb+r
O<r<lbl
(division dite euclidienne,
lement positif,
inférieur
diviseur)
ou pe :
Au cas où 1 r 1 = i 1 b 1 on pren-
reste r euclidien essentielà la valeur
absolue du
a=nb+r
(rs~ts minimal
: nombre positif ou n6gatif r, dont
la valeur absolue est au plus égale à la moitié de
Tout idéal différent de { 0 } contient donc des nombres strictement
positifs.
Mais N, ensemble des nombres naturels, éléments
strictement
positifs de Z, est bien ordonné. C’est+
dire que chacun de ses sous-ensembles
possède un
plus petit élément ,(cf. B 1, p. 18). Soit d le plus
petit entier positif de l’idéal, et a un autre de ses
Qéments.
Divisons o par d (division
euclidienne)
:
a=dn+r
Ogr<d
a et d appartenant
à l’idéal, a - dn = r y appartient aussi. Donc r = 0, puisqu’il est positif et in&
rieur à d, plus petit élément strictement positif de
l’idéal. Tout idéal est donc formé des multiples
d’un même nombre, c’est-à-dire est principal : Z est
un anneau principal.
II.
-
Modules
Le terme « module » possède en mathématiques’
bien des acceptions.
Nous donnerons
ici ce nom
- ou plus précisément
celui de module sur Z, en
abrégé Z-module - à tout groupe additif de carau&
ristique zéro (cf. p. 47). Explicitons.
Un Z-module
est un groupe additif tel que, pour tout él6ment sr,
différent de zéro, les sommes a + a, a + a + a, etc.,.
.
LES
.r
NOMBRES
PREMIERS
ne sont jamais égales B zéro, quel que soit le nombre
de leurs termes.
Sur Z, tout module est un idéal. Les deux concepts
sont confondus.
Cela provient
de ce que dans N,
la multiplication
n’est qu’une addition abrégke.
Si un anneau A est une extension de Z, c’est-à-dire
si Z est un de aea sous-anneaux,
tout idéal 4 de A
est un Z-module,
c’est-à-dire
un module doué des
propriét&:aE4,bE4=-a:-bEY,etparsuite
a~f*ma~4,pourtoutm~Z.
Mais en général, on ne peut pas trouver a tel que,
pour tout a E Y, il existe un x entier rationnel pour
de a par
lequel 0x = a. Le module des multiples
les rationnels
n’est donc qu’une partie de Y.
Si b appartient
B Y sans appartenir
au module ax,
le module by, y E Z, est encore un sous-ensemble
de Y, et le module ax + by (car ce nouvel ensemble
est un groupe additif comme on peut le vérifier),
est aussi un sous-ensemble
de 4.
Dans certains anneaux, on peut ainsi trouver des
bases u, b, c, en nombre hi, telles que le Z-module
in + by + cz (x, y, x entiers rationnels),
s’identifie
à l’idhl.
Si Z est un sous-anneau
de A,
Remarque. vide, quel pe soit
l’intersection
Z n 3 n’est jamais
l’idéal #, puisqu’elle
contient 0. C’est un module
de Z, ou un idéal de Z, restriction
à Z de l’idéal f.
III.
-
Divieeurs
premiers
Revenons B Z. Soit un nombre a.
Si b le divise, il existe un nombre c tel que a = bc,
~~~l~l,=Ibl+lbl+...+lbl
etparsuite
0 .
Il en rthlte
que a ne possède qu’un nombre fini
L’ANNEAU
Z DES
ENTIERS
RATIONNELS
21
de diviseurs.
D’ailleurs
a = bc o a = (- b) (- t$
et tout nombre admet des diviseurs positifs.
Un nombre a admet au moins quatre diviseurs :
+ 1, - 1, + a et - u. Mais dans la théorie de la
division il n’y a pas lieu de distinguer
entre deux
nombres opposés, et nous ne considérerons
que les
positifs. Alors 1 n’admet
qu’un diviseur.
Certaine
nombres comme 2 ou 3, en admettent
deux. Ce
sont les nombres premiers. D’autres, comme 4 ou 6,
en admettent
plus de deux. Ce sont les nombres
composés. Enfin 0 admet pour diviseur tout nombre
entier rationnel.
(Pour tout a, 0 = (z X 0.)
Tout nombre a admet au moins un diviseur prenk
(sauf les unités + 1 et - 1, bien entendu).
’
En effet, prenons dans l’ensemble non vide des
diviseurs de a, le plus petit élément positif b.
b est premier. Pour le montrer
remarquons
en
passant que la relation a x divise y 1)est une relation
d’ordre (partiel),
c’est-à-dire
que a x 1y et y 1r B
implique
(( x ( 2 ».
Si b n’est pas premier, soit c un de ses diviseurs
positifs.
Alors, d’une part, c 1 b implique
c < b,
et d’autre part, « c 1 b et b 1Q » implique
c 1a. Ce
qui est contradictoire
puisque b est le plus petit
diviseur
positif de a.
IV. - Idéaux
En désignant
par (a) l’idéal principal
des multiples de a, b ( u implique
(u) c: (b) puisque tout
multiple
de a est un multiple
de b. La rhiproque
est vraie : si (a) E (b), tout multiple
de u est multiple de b et il existe c tel que u = bc. Donc b 1a.
D’ailleurs
a = bc Equivaut
à (4 = (b) (4
(cf. p. 15).
L’idéal (p) pour p p remier est maximal ou premier.
i 1;
*
22
LES
NOMBRES
Sinon (p) serait partie d’un idéal (z) différent
et x diviserait p, ce qui est impossible.
de Z
L’idkl
(o) n (b) est l’idéal des multiples communs
à a et B b. C’est un idéal principal
(m). m est le
plus petit commun multiple
de a et de b. Nous le
désignerons par au b ou parle sigle classique p.p.c.m.
L’idkal
(a) + (b) est le plus petit idéal contenant (o) et (b). C’est un idéal principal
(d).
(a) c (d) implique
« d divise a )), de même :
(b) E (d) =P d 1b.
Tout
diviseur
commun
L’ANNEAU
PREMIERS
I
x
j
L
à a et à b, D, est tel que
on établira
V. -
,
(4 + (b) + (4 + . - . + (4 = (4
d étant le plus grand commun
diviseur
de a, b,
c, . . ., 1 et qu’il existe alors dans Z des nombre8 x, y,
l’équation
:
La décomposition
en faeteum
prwniem
Nous avons vu que tout nombre u admet un
diviseur
premier p : a = pb. A son tour b admet
un diviseur premier q : b = qc, a = pqc, etc.
Mais tout nombre n’a qu’un ensemble fini de
diviseurs
et, par suite, qu’un ensemble Gni de
diviseurs premiers.
La c( décomposition
en facteurs premiers FÏ est
ainsi toujours possible dans Z. De plus, elle y est
unique. (A une unité près bien entendu. Par exemple
-6=(-1)x2x3=1x(-2)x3
= (- 1) x (- 2) x (- 3).
entre
sans peine que :
28
sera possible.
L’importante
proposition
dite &$Or&me de Gauss :
Si a divise bc et s’il est premier avec b, il divise c,
n’est plus qu’un corollaire
du Théorème
génkd
analogue sur les idéaux (cf. p. 16).
C’est I’identiG
de Bachst qu’en dépit de l’histoire
et des
timoiguages
formels
de Lagrange,
Legendre
et Gauss, on
s’obstine
B auaeler identité de Besout.
Bezout fut; au XVIII
siècle, un bon examinateur
aux écoles
‘militaires,
et, comme algébriste,
il eut un grand mérite.
Mais Bacbet de Méziriac,
un des premiers
Quarante,
le
d6licienx
auteur des Problèmes
plaisans
et d6lectables, le
commentateur
de Diophaute,
le précurseur
de Fermat, mérite
de ne pas tomber dans un injuste oubli.
Par r&urrence,
RATIONNELS
ax + by + cz + . . . + lu = 1
par suite D 1d.
d est le plus grand commun diviseur de a et de b.
Nous le noterons soit a n b, soit p.g.c.d.
Comme (a) + (b) = (d), et que d appartient
à (d),
il existe. un élément a de (a) et un élément p de (b),
tels que a + fi = d. Or a = ax, p = by, donc :
ax + by = d.
f-.
ENTIERS
z, . . . . u, tels que ax+by+c2+
. . . +hb=A
Si les nombres a, 6, etc., sont premier8 entre CIHBL
dans leur ensemble, leur p.g.c.d. est 1; (1) = Z, et
pour tout nombre donn6 D, on pourra trouver z, y,
z, . . . . 24, tels que:
QX + by + cz + . . . + lu = D. 1
En particulier,
(tz) E (D), (b) c (D), d’où (a) + (b) = (d) E (D), et
En particulier
lorsque u et b sont premiers
eux, il existe x et y, tels que ox + by = 1.
2 DES
i
[
Nous confondons ces décomposition8
en une seJe.)
Rappelons
le principe de la démonstration.
Admettons
provisoirement
qu’il existe deux d&
compositions distincte8 d’un nombre a. Groupons en
tête de chacune tous les éléments commun8 812~
deux, en un produit A.
s
LES
24
NOMBRES
PREMIERS
Alors a = A.P = A.Q implique P = Q. D’autre
part, les facteurs premiers de P sont tous distincts
de ceux de Q.
Si p est un facteur de P, il est premier avec chaque
facteur
de Q et par suite, avec leur produit
Q
(cf. p. 16). Mais il le divise, ce qui est contradictoire.
VI.
-
Ensemble
des nombrea
3!!=4!!=6;
7!!=8!!=9!!=10!!=210;
2 DES
RATIONNELS
25
‘_
Exemples. - Pour 8tre sti d’avoir 4 nombres
consécutifs,
on prendra 5 !! + 2 = 32, 33, 34.35.86
composé, mais 37 est premier.
Pour en avoir 3, il aurait suffi de prendre :
coqos&
est enccre
4 !! + 2 = 8.9.10.
5!!=6!!=30;
11!!=12!!=2310,
ENTIERS
cutifs dont la différence sera au moine égale $1 008.
Ou, ce qui revient
au même, on pourra trouver
1000 nombres composés consécutifs. Il suffira dç
prendre les nombres 1001 !! + 2, etc., 1001 !!+ 1001.
premiers
Le r8le essentiel joué par les nombres premier8 a
incité les mathématiciens,
depuis les Grecs, à en
étudier la r6partition
dans N.
Le premier fait capital bien établi est qu’il existe
une infinité
de nombres premiers.
Euclide le démontre comme suit.
Prenons un ensemble fini arbitraire
de nombres
premiers.
Soit A leur produit.
A + 1 est premier
avec A. Mais il admet un facteur premier. Ce facteur
est par suite distinct de chacun des nombres premiers de l’ensemble
(cf. B 10, liv. IX, prop. 20 :
,« Les nombre8 premiers sont plus nombreux
que
toute multitude
proposée de nombres premiers »).
Si l’on classe les nombres premiers par ordre de
grandeur croissante, désignons par n !! le produit de
tous ceux inférieurs
ou égaux à n :
2!!=2;
L’ANNEAU
etc.
Alors n !! + 1 peut être premier
ou composé
mais n’admet que des facteurs premiers supérieurs
Bn,tandisquen!!+2,n!!+3,n!!+4,
. . ..n!!fn
8Ont $oUS des nombres composés.
Il est par suite possible de trouver,
dans la liste
de8 nombres premiers ordonnés dans l’ordre croissant, de8 « trous )) d’une grandeur
arbitraire.
On
pourra par exemple trouver
deux premiers consé-
Ce endant l’hypothèse
de Joseph Bertrand,
dbmontrée par
Tche *i ychev précise : entre n et 2n - 2, pour tout n > 3, if
y a au moins un nombre premier.
La démonstration
est du domaine de la théorie analyti
des nombres, qui utilise les procédés de l’analyse.
Depuis 1r 49
cependant, les études sur la distribution
des nombres premiers
se sont enrichies
de techniques
« élémentaires
» grgce atm
travaux
de A. Selberg, P. Erdos, etc. (cf. B 5).
VII.
-
Théorème
de Dirichlet
Legendre pensait avoir démont& que dans toute
progression arithmétique
ax + b, a premier avec b,
x parcourant
Z, il y a une infinité
de nombres
Premiere. Il était r6servé B Lejeune-Dirichlet
de
démontrer
ce fait d’une façon rigoureuse,
en utilisant les méthodes analytiques
(cf. B 4, chap. V).
Ici encore, on possède de nos jours des démonstrations « élémentaires
)) du théorème général (cf. B 5,
chap. III).
Pour quelques cas particuliers
cf. B 1,
chap. IV.
..
Les nombres
premiers
se répartissent
asymptotiquement
d’une façon égale parmi les q(a) progressions
possibles
de
raison a (T(a), indicateur
de a, cf. p. 58).
Par exemple ~(10) = 4. 11 y a une infinit
de nombres
premiers
se terminant
par 1 en numhration
décimale, une
infinité se terminant
par 3, une infinité se terminant
par 7,
une infinité
se terminant
par 9. Sur les 20 000 plus w
nombres premiers, 5 000 environ ont 1 pour chiffre des turit&
5 000 autres se terminent
par 3, autant par 7, autant pur 9,
:
LES
26
NOMBRES
PREMIERS
L’approximation
s’améliore
lorsque
l’ensemble
examiné
Amplifie.
Il exiete de même une infinité de premiers
dont l’écriture
d6cimale se termine par 1967, ou par 7961, ou par 6719, etc.
Ici encore les premiers
se répartissent
aeymptotiquement
a
6galité entre les 4 000 terminaisons
possibles. Ou, si l’on préfère,
la pr;bahilitk
qu’un nombre
premier
se termine
par 1967
est 4ooo’
Comme
asymptotiquement,
il y a ?nombres premiers
Log z
B z (théorème
d’Hadamard,
La Vallée-Poussin),
la
pour qu’un nombre inférieur
à z soit premier est
inf6rieurs
probabilité
1
-.
Elle est donc nulle à l’infini.
Je%
La probabilité
pour qu’un nombre inférieur
et se termine par 1967 est asymptotiquement
à x soit premier
:
1
1
40°0’Logx’
Ne nous attardons
pas sur ces remarques,
mais
signalons le rôle de plus en plus grand joué par le
calcul des probabilités
en théorie des nombres.
La proposition
suivante est une conséquence immédiate du théorème de Dirichlet.
Dans toute progression arithmétique
ax + 6, a n b = 1, il existe une
infinitd de nombres premiers avec tout nombre donné c.
On peut en donner une démonstration,
très élémentaire,
et
ind6pendante
du théorème.
Décomposons
c en un produit c,.e, tel que es ne contienne
que des facteurs
premiers
de b, ci étant premier
avec b.
Prenons alors z = Xc,, X ne contenant
aucun facteur premier
de b. Ceci est possible d’une infinité de façons puisque l’ensemble des nombres premiers est infini.
Alors 0x+ b = axe, + b est premier avec c = c1 cs. En
effet, s’ils ont un facteur premier commun, ce facteur figure
dans ci ou dans cs. S’il divise e,, il est premier avec b, il divise
ox = Qxci, donc il est premier avec az + 6, qu’il divise. C’est
contradictoire.
S’il divise cs, il divise b, donc axe, = ax + b - b, mais il
w figure ni dans les facteurs de a, ni dans ceux de X, ni dans
ceux de ci, ce gui est encore contradictoire.
L’ANNEAU
2 DES
ENTIERS
RATIONNELS
21
Dans la même suite on pourra trouver
encore Me infinit.
de nombres
premiers
à chacun des nombres
d’un ensemble
fini de nombres. donnés. Il suffira de les prendre premiers
a
leur p.p.c.m.
VIII.
-
Crible d’Eratosthène
Parmi les procédés élémentaires
de construction
de tables de nombres premiers,
figure le crible
d’Eratosthéne,
connu depuis 1’Antiquité
grecque.
Rappelons-en
le principe.
On dispose d’une liste
de nombres entiers consécutifs, en ordre croissant.
2 est premier. On efface ses multiples. Le premier
à effacer
est 4 =
3 est inférieur
2s.
à 4, donc il est premier.
Il y a là une proposition
générale : si a est divisible par pc
premier,
supérieur
à &,
alors il existe un diviseur
de a,
premier, inférieur
à da.
En effet, a = pb, p > 1/a implique
b < da, et par suite q. plus petit diviseur de b, inférieur B fi.
Si donc on n’a trouvé aucun premier, inférieur
ou égal à&
qui divise a, celui-ci est premier.
On efface les multiples de 3.2 x 3 a déjà disparu.
Le premier nombre à supprimer
est 3*. Les autres
multiples se succèdent de 3 en 3 ; de 6 en 6 si l’on
pense que les pairs ont déjà disparu.
5 et 7, inférieurs
à 9, sont premiers. On efface
les multiples de 5, qui, à partir de 25, se succhdent
de 5 en 5. Beaucoup ont déjà été supprimés. 7, 11,
13, 17, 19, 23, inférieurs
à 25, sont premiers. Sont
donc à effacer les nombres 25 + 5x. Ont ddjjà disparu
les multiples de 2, pour lesquels x est impair. Restent
donc les nombres 25 + 1Oy. Parmi eux, les multiples
de 3 ont déjà été rayés.
Or :
25 + 1Oy = 1 + y + 32.
Sont donc déjà effacés les nombres
pour leequels y = 2 + 3t et restent les nombres 25 + 30~
LES
9!8
NOMBRES
PREMIERS
ou 35 + 304 à savoir
25, 35, 55, 65, 85, etc., les
di%rences
étant
alternativement
10 et 20.
Après
suppression
de ces nombres,
les nombres
subsistant
jusqu’à
49 seront
premiers.
A savoir
29,
31,37,41,43
et 47. Le procédé
- fort lent - continue-à l’inhi.
Si l’on a déjà supprimé
les multiples
des
nombres
premiers
inférieurs
à p, premier,
tous les
nombres
subsistaut,
inférieurs
à pp seront premiers.
Pour dresser la table des premiers
inférieurs
à 1000
par exemple,
il suffira de cribler jusqu’à
a
E 31.
IX.
-
La
fonction
La méthode de criblage d’Eratoethène
permet d’établir
une
fondamentale
de la célèbre fonction
Dzéta, c(z), de
Riemann,
si utile pour l’étude de la répartition
des nombres
premiers.
On sait que la série :
. ..+-$+...
dite abrie de Riemann, est absolument
convergente
pour tout
exposant
a strictement
supérieur
à 1.
On en déduit qu’elle est encore convergente
dans C, corps
des complexes,
pour a = z = x + yi, z > 1, c’est-à-dire
sur
tout un demi-plan.
C’est alors une fonction
de l’exposant
z, la fonction c(z) ou
fonction
Dséta, dont l’étude minutieuse
sur tout le plan « de
Cauchy u fut un des beaux travaux
de Riemann.
Prenons a tel que, pour cet exposant :
S=$+i+$+
La parenthèse
ENTIERS
étant
RATIONNELS
égale B S, il vient
S(l-;)
avec
89
:
=T
:
Groupons
un multiple
tous les termes
ou bien
dans T, tous les termes
de 3 :
où figure
en dénominateur
où figure
:
T(l-f)
=U,
U ne contenant
plus, en début de série, en dénominateurs,
que
les nombres
premiers
inférieurs
à 25.
Au second membre de U, groupons les termes où figure en
dénominateur
5’.
Il vient, comme ci-dessus :
V=U(l-+1+;+...
puis,
W=V(l-$)=l+&+...,etc.
le second
processus.
Mais :
. ..+.+...
aoit aheolument
convergente.
Groupons
en une somme partielle
en dénominateur
un nombre pair :
Z DES
Dzéta
propriété
1+&+&+
L’ANNEAU
membre
W=V(l-$)
tendant
vers
=I+f)
1 lorsqu’on
poursuit
(1-k)
=T
(1-t)
(1-k)
(l-4)
=S
(l-$)
(1-i)
(1-d)
(l-k),
etc.
le
LES
PREMIERS
NOMBRES
L’ANNEAU
D'oh, enfin :
Z DES
ENTIERS
RATIONNELS
31
En égalant les logarithmes
des deux membres
tité, Euler déclare alors que :
de MD. idem-
. . . +j
1+;+;+;+
i
i
,
(1-i)
(1-i)
(Il-d)
(l-+)
..:
Dans la série du premier membre figurent tous les nombres
naturels.
Dans le produit
du second membre ne figurent
au
contraire
que les nombres
premiers.
C’est une identité due à Euler. Au cas où z = 1, les calculs
p&dents
ne sont plus légitimes.
Cependant Euler n’hésitait
pas, dès 1748, à tirer de l’identité
formëlle
:
est asymptotiquement
Log . Log p.
Admettons
ce résultat.
Entre un grand nombre z et z + AZ, Ax donné,
disons, n nombres premiers
à peu près égaux à x.
D’après la sommation
d’Euler on a donc :
Log.Log(r+Ax)-Log.Logxe
ou encore,
Log.Log
z ayant
-z- AX
xLogx
dea conséquences
remarquables,
bien que mal établies. Elles
aont B l’origine de la théorie analytique
des nombres.
En effet, le premier membre de l’égalité est, asymptotiquement Log ra + C, C étant la constante
d’Euler
0,577215...
Quant au second membre, puisque :
Log(l+x)=.-;+;+
wm logarithme
I
f + f + i + . . ., des
dont la somme
B n, plus d’autres
. ..)
est finie,
ou
$+A+&+
inverses
termes
Q(x) = ,a&
des nombres
comme
.*.
:
>
, etc.
rb=
1
-,
xLogx
AZ
Loge
des premiers
inf&ieurs
et :
. . ..
la partie
la somme
dérivée
Q’(x) = &-x
C’est
soit
et
5
Si nous désignons par Q(.r) le nombre
à x, nous avons donc :
est :
premiers inférieurs
il
1
2 5+9+&+
(
n
z
pour
il y a,
la valeur
proposée
(logarithme
par
Gauss
intégral).
en 1849, valeur
dont
principale
est - x
qu’il avait pressentie être exacte
Log x
dès 1791, et qui s’est révélée être la bonne.
Il restera aux mathématiciens
du XIK~ siMe B pr&iaer
et
B justifier
rigoureusement
ces intuitions.
C’est Riemann qui, pour sa part, 6tudia d’une façon systématique la fonction Z;, en 1859. C’est dans la voie qu’il avait
ainsi ouverte que s’engagèrent
ultérieurement
hB chercheurs,
parmi lesquels J. Hadamard
et Charles de La Vallée-Poussin,
qui aboutirent
en 1896 au résultat
définitif
que nous avoua
déjà utilisé. Il existe aujourd’hui
des procédés « élémentairean
pour l’établir
(cf. B 5).
1
‘<
f
Ij
ANNEAUX
CEIAPITRE III
ANNEAUX
EUCLIDIENS
1. -
Norme
as
six-&l,y=
Oousix=O,y=~l,&mtdement dans ces cas. Les conditions 2 et 4 sont bien
remplies, puisque les seuls éléments inversibles,
ou
unités, sont 1, - 1, i et - i.
La condition
1 est elle aussi satisfaite puisque :
xa + ya = 0 équivaut
à x = 0 et y = 0.
La condition
3 est classique :
Pour :
u=x+yi
et p=X+Yi
ap = xX -yY+(xY+yX)i
et l’on
Nous nous proposons dans ce chapitre l’étude de
quelques anneaux
intègres
commutatifs,
dont la
structure
est t&s proche de celle de Z, anneau
des entiers rationnels.
EUCLIDIENS
_
sait que :
(x’ + yy (XB + Y’) = (XX -
yy)’
+ (XY + yxp.
- L’anneau
(Z, *)
.
C’est l’ensemble des nombres a = x + y@,
;z et
y étant des entiers rationnels.
Ici encoref(cr)
est la norme de ct, xa - 2yS 1.
f(a) = 0 équivaut
$ 2’ = 2ya, il ‘oa x = y = 0,
La condition
1 est remplie.
Si p=X+Y@,
Soit d’abord un anneau A (intègre, commutatif,
unitaire), tel que nous connaissions une fonctionf(x),
définie pour tout x E A, à valeurs dans N, ensemble
des entiers naturels, et telle que :
1) f(0) = 0, et f(x) > 0 si x est différent
de 0.
2) f(l) = 1 ;
3) f(X*Yl = 0) *f(Y) ;
4) Pour toutes les unités de l’anneau, f prend la
valeur 1, et réciproquement
sif(z) = 1, x est une
unité de l’anneau.
La condition 3 est aussi satisfaite,
Enfin si x2 - 2y* = f 1,
Donnons
des exemples d’anneaux
ayant cette
propriké
:
- L’anneau
de Gouss, que nous noterons G ou
(2, i). C’est l’ensemble
des nombres
complexes
a = x + yi, x et y étant des entiers rationnels.
Ici f(a) = 9 + ~2. C’est la norme de a, f(a) = 1
et x + y 2/2 est inversible
unité. Les conditions
2 et
Le groupe multiplicatif
solutions de l’équation
de
4 = (%X + 2YY) + (%Y + YX) dS
et l’on vérifie aisément que :
I x’ -2yq.~x~-2Yq
= 1 (XX + 2yY)* -
J.
ITARD
2(xY + yX)’
1.
dans l’anneau. C’est uno
4 sont remplies.
des unités est celni des
Fermat xa - 2ya = 1 et
LES
NOMBRES
PREMIERS
de l’$quation
x3 - 2yz = - 1. C’est l’ensemole des
t;w&s)*
(1 + fi)‘+,
n parcourant
Z (VO~ B 1,
.
.
- L’anneau (Z, i 4%).
C’est l’ensemble
des nombres a = x + yo, où?
et où w = i 2/5.
et y sont des entiers rationnels,
Icif(a)
= x2 + 5ya. Les seules unités sont, comme
dansZ,+let-1.
(x’+ 5y*)(Xa+5Y9=
(xX-5yY)‘+5(xY
+yxp.
Toutes les conditions
sont satisfaites.
D’une façon générale d’ailleurs, on peut trouver f,
pour tous les anneaux des entiers des corps quadratiques et même de tous les corps algébriques.
Mais
ici nous n’utiliserons
que les trois exemples précéqui nous sera utile.
dents, et le suivant
- Soit un corps K commutatif,
unitaire.
Ce
eut être Q, corps des rationnels,
R, corps des réels,
pc9 corps des complexes, ou bien un corps fini, comme
ceux que nous rencontrerons
dans cet ouvrage, ou
tout autre corps commutatif.
Les polynômes P ayant leurs, coefficients dans ce
corps forment un anneau, note K[x]. +
deux. opérations sont les opérations
élémentalres
classiques
de l’addition
et de la multiplication
des polynômes.
On sait que, dans un produit
de polynômes,
les
degrés s’ajoutent.
Posons alors, n étant le degré du
0,
polynome
P, f(P) = 2”, et, pour le polynôme
identiquement
nul, qui n’a pas de degré, f(0) =.O.
Les unités de l’anneau sont les polynômes rédmts
h une constante différente de 0. Ce sont des éléments
inversibles,
ou unités, et sur leur ensemble, f prend
la valeur 1.
Si le polynôme Q est de degré m :
(condition
3)
f(P.Q)
= 2”+‘” = 2” .2@’ = f(P) .f(Q)
ANNEAUX
II.
EUCLIDIENS
-
Décomposition
en facteurs
premiers
Dans tout anneau A satisfaisant
aux conditions
knoncées, il existe des éléments premiers, et la &comp+
sition de tout élément en un produit dhne unit4 et
d’un nombre fini de facteurs premiers est toujours
possible.
Nous disons que a est premier s’il est impossible
de trouver
dans A deux éléments x et y, qui ne
soient ni l’un ni l’autre des unités et tels que a = zy.
Remarquons
d’abord que si a = xy,
et que par suite
f(Y)
> 11.
fo4 =f(4*f(Y)
f (a) > f(z) [inégalit6
.!.,
‘v.
!.‘>
t
;.dj
‘:,j
,t::j
I,+J
?q
stricte puisque
Soit donc a un élément arbitraire
de A. S’il est
premier, sa décomposition
en facteurs premieré est
évidemment
possible (un seul facteur).
Sinon considérons
l’ensemble
de ses diviseurs
autres Ve des unités. Soit b l’un de ceux pour
lesquels f (6) > 1 est minimal. b existe puisque l’ensemble des valeurs de f pour les diviseurs de u est
un sous-ensemble non vide de N.
Alors b est premier. Sinon il aurait un diviseur
qui diviserait
aussi a et pour lequel f prendrait
une
valeur, distincte de 1 et inférieure
à f(b).
Ainsi, il existe dans A des éléments premiers, et
tout a admet au moins un diviseur premier. On peut
écrire a = pb, en désignant par p uq élément premier, puis b = p’ c, etc., et, par suite, a = pp’ p”...
Comme f(a) = f(p) .f(p’) .f(p”) .. .. cette nouvelle
égalité dans N comprend
au second membre un
nombre fini de facteurs. La décomposition
en fac-
:j
.::a
FG(
1~
,;
yg
.‘ifj .
bt’”
,d
....ij
1;j
5;
x-k
LES
86
Considkons
par exemple
= z* + 5ya.
Dem cet anneau :
6srBx3==(1+0)(1-o)
NOMBRES
l’anneau
ANNEAUX
PREMIERS
(Z, i dz),
où
f(a)
Or, le8 quatre
tous premiers.
(avec
w=id%).
éléments 2, 3, 1 + 0 et 1 En effet si :
2=++pNx+w
0 sont
#
EUCLIDIENS
.,:*;
_”
Nous allons énoncer une condition SuffistWe.
Soit un anneau A sur lequel il existe une fow
tion f satisfaisant
aux quatre axiomes du d6but de
ce chapitre.
Il est dit euclidien, si, de plus, pouf
tout couple (a, 6) d’éléments,
il existe w autre
couple (a r), tel que :
elon
j-(a) = 4 = (%’ + Sy’) (XS + SY’).
Comme
aucune
des parenthèses
ne doit égaler
2 = x’ + sys,
ce qui est manifestement
De même pour 3.
Si :
1,
impossible.
6 = (x’ + 5~‘) (X* + 5Y’).
L’une des parenthases
doit égaler 2 et l’autre 3,
ce qui, nous venons de le voir, ne saurait avoir lieu.
Le nombre 6 se décompose donc en deux produits
de facteurs
remiers, absolument
distincts.
C’est la d a!couverte par Kummer,
en 1344, de ce
h4nom8ne insolite, découverte
provoquée
par ses
& udes sur le grand théori?me de Fermat, qui l’amena
h la thdorie des nombres idéaux, d’où est sortie,
avec Dedekind,
la notion d’idéal dans un anneau.
On reconnaît ici la division euclidienne
que nous
avons trouvée dans Z où f(a) = 1 o 1.
Sont euclidiens,
parmi
d’autres,
les trois anneaux G, (Z, d2) et I([x].
-Anneau
Plongeons
p. 11) :
a
x + yi
a=X+Yi=
-
Allnellux
euclidiens
Quelles conditions doivent donc être réalisées dans
M anneau pour que la décomposition
en facteurs
premier8
y soit unique ?
(x + yi) (X X’ + Y’
fi=X+Yi.
des fractions
(v.
Yi)
n’
et E- nombres rationnels.
n
Di\rinsons m et m’ par n (reste minimal
-:
, j
dans Z) ‘:
-3-B
iv
-b.
.<.a$
m’ = nu + T’
Alors
III.
G. Soit a=x+yi,
G dans son corps
Ir’l+
; ,i
,;p
i?
,*c
:
i -
(u +
iv) =
f +
g i,
LES
38.
et en prenant
NOMBRES
des deux
les normes
PREMIERS
membres
:
nff[a- P(u+ id1 =f(S) (ra+ r’ 9
ou
f[a-B(u + iv)1=f(P) y
<f(P) [: + y <f(B).
Les conditions
de la division
euclidienne
sont remplies, le quotient est u + iv, le reste a - P(u + iv).
- Anneuu (Z, dz). On procède de même :
fJ=x+yqz.
a=x+yd2,
On plonge
l’anneau
dans son corps de fractions
$=t~+Ymx-Yd~)
X2 m
d’où
nu +
Ir
r’
I<i
1 r’ 1 < z”
n[a n*f[a
-
L’anneau
IV. -
P(u + v 6%
P(u + v @)]
est
= P(r + r’ fi>
= f(f3) 1 ra - 2r’a 1
euclidien.
- Anneou H[z]. Il nous suffit ici de rappeler la
division
des polyn&mes suivant les puissances décroissantes de la variable.
Si Pr et P, sont deux
39
Tout
sait trouver
un polyn8me
R tels que Pr - P, Q = R
de R < degré de P,. Soit,
anneau
avec
f(R)
euclidien
< f(Ps).
est principal
Soit en effet un idéal Y. Considérons
dans N
l’ensemble des valeurs f(z) pour tous les éléments x
non nuls de 4. Ce sous-ensemble
de N admet un
plus petit élément. Soit f(d) cet élément minimal.
Prenons
a Ef
quelconque
et divisons-le
par d
- division euclidienne
:
a-
dq = r,
f(r)
< f(d).
u et d sont des éléments de X, donc aussi dq et
a - dq = r. Puisque f(d) est, pour les éléments de .#,
la valeur minimale non nulle, f(r) = 0 d’où 7 = 0,
Tout élément de 3 est donc multiple
de d.
Ce qui démontre la proposition.
d n’est pas parfaitement
défini par la valeur de5
mais si, dans Y, f(d) = f(d), d’aprés ce qui prdcède,
d divise
:
EUCLIDIENS
polynômes
donnés, on
quotient Q et un reste
avec R = 0 ou degré
avec nos notations
:
Pi - P, Q = R
=;+$/5
2Y=
=nu+r
m’ =
ANNEAUX
d’ et d’ divise
d =
d’où
d :
d’x
;
d’ =
;y
:
xy=
1.
x et y sont alors des unités de l’anneau.
Ainsi, dans un anneau euclidien,
tout id6al est
l’ensemble des multiples
d’un élément, d&ni A un
facteur unitaire près : le diviseur de I’id6al principal.
Sur les anneaux
euclidiens,
nous l’avons
vu
pour Z qui en est le prototype,
on peut identifier
dans la théorie de la divisibilité
un idéal et son
diviseur
d; on note l’idéal (d).
&
z*
2
i-
4a
LES
NOMBRES
PREMIERS
ANNEAUX
EUCLIDIENS
4
,
En reprenant
les théorémes
sur les idéaux du
chapitre Ier, nous savons ainsi que :
Si a est premier avec b et c, il est premier avec
leur produit bc.
En particulier
si a et b sont premiers entre eux,
a’ et b” sont premiers entre eux, pour tout n et
tout m. La démonstration
se fait par récurrence sur
le13exposants.
Si a est premier avec b et s’il divise bc, il divise C.
Soit p un élément premier, et a un élément quelconque. Nous savons que, ou bien (a) est inclus
dans (p), ou bien (a) et (p) sont premiers entre eux
kraagers),
Mais (a) c (p) implique a E (p), c’est-à6,‘re p divise a. D’ou :
Tout dément premier absolu est premier avec tout
dlhent
qu’il ne divise pas.
Montrons enfin que, dans tout anneau euclidien,
k decomposition
en facteurs premiers,
que nous
savons déja être possible, est unique, à un facteur
unitaire près :
Supposons avoir deux décompositions
distinctes
de 4 en facteurs premiers :
a -
EPlrpa,
. . ..Pn
=
gq1,
q2, . . . . qn,
c et r) étant des uni&, pi et qj des facteurs premiers.
Si un facteur p ne diffère d’un facteur q, que d’un
facteur unité : q = PEI, E’ étant une unité, remplaçons q par pc’ et faisons passer E’ en tête de la
décomposition,
où son produit
par 7 sera encore
une unité.
Groupons ensuite les éléments communs aux deux
membreo en un produit P. Il vient :
a = cR.P = qQ.P
d’oti tR n qQ. Si R contient un facteur
ce facteur sera distinct de chaque facteur
premier p,
de Q, donc
premier
avec Q, c’est-à-dire
avec R qu’il divise.
C’est contradictoire.
Donc R ne contient
aucun
facteur premier,
c’est une unité, de même que Q.
Les deux décompositions
ne sont pas distinctea.V. -
Anneau
dea polynômea
Tous ces raisonnements
s’appliquent
aux anneaux de polynômes.
Mais, selon le corps de base
choisi, les polynômes premiers varient. Ainsi, dans
le corps Q, ~2 - 2 est premier, alors qu’il ne l’est
pas dans R ; de même X* + 1 est premier dans R,
mais se décompose dans Q en (z + i) (x - i). Cependant, quel que soit le corps, les polynômes du premier degré sont premiers. Ce sont les seuls dans C,
dit pour cela, algébriquement
clos. Dans R sont, de.
plus, premiers les trinômes ax* + bx + c dont le
discriminant
ba - 4ac est négatif. Dans Q, il y a
des polynômes
premiers
de tous les degrés, par
exemple xïn - 2.
Les recherches du plus petit commun multiple et
du plus grand commun diviseur se font de la m&ne
façon dans tous les anneaux euclidiens.
Si a et b sont deux éléments de l’anneau,
on
considérera
l’idéal (a) n (b), son diviseur m ~018 le
p.p.c.m. de a et de b. Quant à l’idéal (a) + (b), BOQ
diviseur
d sera leur p.g.c.d.
Dans la pratique il sera commode de faire appel
à l’algorithme
d’Euclide,
comme dans Z, ou encwe
à la décomposition
en facteurs premiers.
Considkrons par exemple, sur un corps commutatif
elconque, la famille des polynômes xm - 1. Soit
8”eux de ces polynômes P, = X~ - 1 et P, = xn - 1.
Cherchons leur p.g.c.d., c’e&+dire
le diviseur
de
l’idéal (P,,J + (PJ. Si m > n, le polynôme
PmBn
appartient
à l’idéal.
LES
42
En effet :
P m=Xm-
1=
NOMBRES
a?-+”
-
1) + p-n
xm-npn
= P,-,.
PREMIERS
-
1
OU:
P,--
En rditérant, si T est le reste euclidien de m par n,
on voit que P, appartient
encore à l’idéal.
En travaillant
ensuite sur P, et P,, etc., on voit que
à l’idéal.
si d est le p.g.c.d. de m et de n, Pa appartient
Mais d 1m, soit m = du, Pd divise P, :
P,=(xd)“--1
= (a+ - 1) [(&)“-’
+ (a+)“-” + . . . + 11.
De même Pd divise P,.
C’est donc le diviseur de l’idéal (P,) + (PJ puisque
tout éUment de cet idéal peut s’écrire XP, + YP,
(X et Y, polynbmes sur le corps de base).
Au cas où m et n sont uremiers
entre eux, xm - 1
1
A?- 1 -xn---1
et 1
et x” - 1 ont pour p.g.c.d. x - 1 et 1
XXsont premiers entre eux.
Ces considkrations
s’anpliouent
encore dans Z, à
la famille
de nombres N, L um - 1, a étant un
entier quelconque diff&ent
de 0 et de 1.
Soit par exemple $ chercher le p.g.c.d. de 99999
et de 999, c’est-à-dire
de 106 - 1 et de 103 - 1.
C’est 10 - 1 = 9 parce que 5 et 3 sont premiers
entre eux.
Soit encore a chercher le p.g.c.d. de z@-’ - 1 et
de a?“-l - 1, quel que soit le corps de base.
C’est XD - 1 si D est le p.g.c.d. de um - 1 et
‘de un - 1. C’est donc ti’-’ - 1, si d est le p.g.c.d.
de m et de n.
n divise m si, et seulement si, xanwl - 1 divise
#J-1 - 1.
CHAPITRE IV
CONGRUENCES
La théorie des congruences est due à Gauss (Bol),
mais, BOUSla forme des preuves par 9, 7, 11, etc.,
des opérations,
ses résultats les plus éh?mentairea
sont utilisés depuis des temps très lointains.
1. -
Définition
Soit un nombre naturel
arbitraire
m. Dans
division euclidienne
d’un nombre entier rationnel
par m, soit q le quotient et r le reste :
x =
Deux
nombres
mq +
T,
la
x
O<r<m.
x et x’ sont congrus
équivalents
(Cauchy), suivant le module
dulo m) si leurs restes dans la division
(Gauss)
on
m (ou mopar m sont
égaux.
Ou encore, si x- x’ est divisible par m.
L’équivalence
modulo
m se note traditionnellement = :
m ((x-x’)
ox
= x’(modulom).
L’anneau
Z des entiers rationnels
skparé en classes d’équivalence.
Nous représenterons
généralement
se trouve
ainsi
chaque
classe
Y---
LES
44
NOMBRES
CONGRUENCES
PREMIERS
par son reste r. Il y a exactement
m classes, 0, 1,
2 , . . ..m1.
On note leur ensemble Z/mZ ou, plus simplement
Zjm.
II.
-
Opérations
On définit sur Z/m deux opérations, l’addition
la multiplication.
En effet, si x m x’ et si y m y’ :
y-y’
= mq’
x - x’ = mq,
d’où :
(x + Y) - (x’ + Y’) = 42 + 9’)
et :
xfy
= x’+y’.
et
Les sommes x + y et x’ + y’ appartiennent
donc
A la même classe, que l’on appellera
somme des
classes x et y.
C’est la traditionnelle
preuve par 9 de l’addition.
L’Bl6ment
neutre est la classe 0.
L’opkation
est commutative,
associative
et
chaque classe r a une classe opposée, la classe m - r.
L’ensemble
Z/m est donc un groupe additif, abélien (c’est-A-dire
commutatif),
finiJ(cf. Bj;2, IIe partie, chap. II).
D’autre part u z E x’ et y m y’ N implique,
avec
les mêmes notations
que ci-dessus :
xy - x’y’ = x(y -y’)
+ y’(x - x’)
= xmq’ + y’mq
= m(xq’ + y’ 4)
d’où :
(modulo m).
v 3 x’y’
Les produits xy et x’ y’ appartiennent
m8me cl@eee, produit des classes x et y.
donc B la
46
C’est la preuve par 9 de la multiplicationi
La multiplication
est commutative,
aseociative,
et distributive
sur l’addition.
L’élément
neutre est la classe 1.
Ainsi, Z/m est un anneau commutatif.
En général toutefois
ce n’est pas un anneau
intègre et il comporte
des diviseurs
de akro : ai
m = n. s, les deux classes n et s ont pour produit
la classe 0, puisque n .s = 0 modula m.
III.
Pour p premier,
même un corps.
-
corps
ZlP
Z/p est un anneau
intègre.
C’est
Première démonstration.
-SoitO<a<p,a,ar=
bitraire. p est premier avec a, donc avec toutea re~
puissances. Dans l’ensemble
infini de nombres a@+
al, aa..., ne figure aucun élément de la classe 0.
Mais, les classes étant en nombre fini, deux puir
sances de a au moins doivent appartenir
B la même.
Soit :
au G av avec
u > 0.
Alors :
av(au-fl1) = 0 (mod.p)
p divise le premier membre, et il est premier
donc il divise a”-” - 1.
D’où
au-” =
- 1 mod.p.
avec &,
Il existe donc des puissances de a apparteuant
A
la classe 1. Désignons par g la plus petite d’entre
elles : ag = 1 équivaut
à a. a”-l m 1.
Toute classe a admet ainsi une classe inverse a+’
et Z/p est un corps. On donne parfois a l’exposant g
le nom de gaussien de a.
46
LES
NOMBRES
PREMIERS
Ii est facile de montrer
que, pour a donné,
l’ememble des exposants x tels que a2 E 1 (mod. p)
est un idéal de Z. On voit ainsi que g divise tous
eea exposants :
a”= loglx.
CONGRUENCES
41
de l’algèbre
éldmentaire,
toutes les Equations
tous les eystémes d’équations
du premier de&.
et
Exemples.
- Corps Z/5. Résoudre
3x + 4 = 0.
L’inverse
de 3 est 2. Multiplions
les deux membres
x+3=0,
z=2.
Même corps. Résoudre
le système.
: Second8 ddmonstration. - Puisque p est premier,
l’égalité zy = pn implique que p divise x ou y, donc
si dam Z/p, xy = O,onax=Oouy=O(ici,x,y,O
reprksentent
des classes de Z/p). L’ensemble Z/p est
donc un anneau intègre. Mais, nous allons le montrer,
tout anneau intègre fini
est un corps.
Soit en effet A un anneau
fini intègre
et 1,
ses éléments non nuls. Prenons a,
+ ...,a,-1,
non nul, arbitraire.
Formons les produits
a x 1,
Aucun n’est nul puisque l’au0x4,
. . ..aXa.-,.
neau eet intègre.
Ils sont distincts deux à deux
car aa, = auj entraîne a(a+ - ag) = 0, d’où a, = aj.
L’ensemble
des produits
recouvre
donc exactement A - { 0 }. Un des produits est par suite égal
h 1. Autrement
dit, il existe un inverse de a, et A
cet un corps.
Troisidrne démonstration. - Dans Z, soit a, arbitraire, compris entre 0 et p. a et p sont premiers
entre eux. Il existe donc x et y tels Fe ux + py = 1,
d’où ax z 1 mod. p ; et, dans Z/p, il existe un
inverse de a.
1.x=
i 4. ; 1 =3;
x=3
l.y=
I 31
1 4 I= 1;
y=
-
Propriétés
de Zjp
Puisque Z/p est un corps commutatif,
il jouit de
toutee les propriétés
classiques de Q, R ou C qui
ne font intervenir
Ve la structure
de corps, mais
ne s’appuient
pas sur l’infinitude,
l’ordre
ou la
eomplhude.
Ainsi, on résoudra dans ce corps, par les procédés
1.
De même, soit P(z) un polynôme
à coefficients
dans Z/p.
Si P(z) admet la racine x0, alors P(x) est divisible par x - xs :
W
Ainsi
= (x: r
4
QW
dans Z/5, Z + 9 + x + 2, admet
la racine
1, d’o& :
x3 + 2 + x + 2 = (x + 4) (39 + 2x + 3).
Mais
le polynôme
:
~(.z-l)(x-2)(~---3)(x-4)=~-~
n’est pas identiquement
nul. Il s’annule pourtant
pour chacune des cinq valeurs de la variable.
La propriké
classique
de l’algèbre
élémentaire
: « Un polynôme
qui s’annule pour
toutes les valeurs de la variable est identiquement
nulr>, n’est
donc plus vraie dans les corps rhiduels
Z/p, et d’une façon
plus générale dans les corps finis.
V. IV.
par 2 :
Caractéristique
Les corps finis se distinguent
d’autre part de QI
de R ou de C par le fait suivant :
Si a est un élément arbitraire
lorsqu’on forme la
suite a, a + a, a + a + a..., cette suite illimitb
doit reproduire
périodiquement
ses éléments, lea
sommes successives n’ayant qu’un nombre fini de
valeurs possibles.
LES
48
Eu particulier
q;%-.
:
1+1+1+
NOMBRES
PREMIERS
la suite 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, est
. . . +1=1+1+1+...+1
i + j termes
i termes
CONGRUENCES
49
Tout corps de caractéristique
zéro contient
Q
comme sous-corps. Tout corps de caract&istique
p
contient
le sous-corps Z/p, car il contient
0, 1,
puis :
1+1=2,
1+1+1=3
1+1+...+1=p-1,
alors :
P -
1+1+1+...+1=0.
-j termes
Soit p, le nombre
1+1+
minimal
de termes
. . . $l=O.
tel que :
p termes
Tout ce que nous venons de dire jusqu’ici
s’appIique à tout groupe additif fini. Mais, lorsque K est
un corps, p est premier. En effet s’il est composé,
p = qr et :
r parenthèses
-
1+1+...
+1=(1+1+...+1)+(1+1+...+1)+
q termes
q termes
p t4wmee
i
O=qxr
1
q=
(l+
1+
. . . +l);
q#
0
puisque
q<p,
1 termes
donc tous les éléments de Zlp.
A cause de ces propriétés
Q et Z/p sont appel&
des corps primitifs.
11 y en a un - à un isomorphisme près - par caractéristique.
NOTA. - Il existe des corps infinis de cara&ristique non nulle.
Soit maintenant
a un élément arbitraire,
non nul,
du corps K fmi, (a + a + a) = a(1 + 1 + l), etc.,
donc(a+a+a+a+
. ..)estnulpouretseuIement pour les sommes de p ou mp termes.
Nous avons déjà constaté, p. 45, que tout kMment
non nul d’un corps fini est une racine de l’unité.
Mais la caractéristique
p est la même pour tous les
éléments, alors que le gaussien ne l’est pas.
Voici par exemple un corps fini, a quatre éli$ments,
défini par les deux tables :
+
Olab
0
0
1
a
b
1
a
bal0
X
q termes
p minimal.
De même T # 0.
Cela implique l’existence de diviseurs de 0 dans K,
ee qui est impossible : K est un corps.
Le nombre premier p s’appelle la caractéristique
du corps. La caract&istique
de Z/p est manifesment
p. La caractéristique
de Q, de R, de C est
réro.
1
0
b
a
b
0
b
a
1
0
1
a
b
La caractéristique
est 2.
Le gaussien de ï est 1, ceux de a et de b sont 3.
50
LES
VI.
Si l’on
-
Anneau
NOMBRES
Z/m,
PREMIERS
51
Soit c < z0 < p la solution de la nouvelle congruenet.
Alors b - QZ,, = cp, c connu, et, en posant z = r, + py, on
est ramené A
m composé
doit résoudre une congruence
axz b modulom
CONGRUENCES
axe + apy = a+, + cp modulo
:
ay 3 c mod. p+l.
(ou résoudre l’équation
ax = b dans Z/m), deux cas
sont B distinguer.
Si a et m sont premiers entre eux,
on sait qu’il existe u et v, dans Z, tels que :
au + mv = 1,
ou que au z 1 modulo m.
Multiplions
les deux membres de la congruence
par u, il vient x = bu mod. m.
Mais, si a n m = d, alors a = ud, m = pd,
an~=l(aet~premiersentreeux).O<~<m
et ap = ctdp = am, ou ap s 0 mod. m.
Dans Z/m, la classe de a est un diviseur de zéro.
La congruence
ax = b s’explicite
dans Z en :
ax=b+ymoudax=b+pdy.
On traitera
cette congruence
bout de n congruences
modulo
Elle sera de la forme :
x=l+lx2+lx2s+lx2s+lx2’+2*x.
En base 2 :
x=
les chiffres
Preuve
Examplea
il peut
solutions.
m,
y avoir,
:
4 modula
10
on doit résoudre
3x 3 2 mod. 5 ou
6n10=2
;214;
x EE 4 mod. 5. Deux .réponses
dans Z/lO, savoir
4 ‘et 9.
Dans‘Z,
x = 4 +‘5y.
2. Résoudre
ax 3 b mod. p”, p premier, p +’ a. Cette congrnence implique 01: m b mod. p, puisque tout multiple de p”
at un multiple de p.
sur la gauche étant
arbitraires.
:
. . . . . . 10101011
X
11
. . . . . . 10101011
. . ...10101011
= . . . ...00000001
le système
dans l’an-
1.
6x=
. . ...10101011
non marqués
3. Soit à résoudre
p divise
plusieurs
comme la p&cédente,
et, w
p, la solution
sera trouv6e.
X étant arbitraire.
Elle est automatiquement
écrite en base p, les chiffms
au-delà du nièm étant arbitraires.
Ainsi 3x E 1 mod. 2s a pour solution
:
On voit qu’elle n’est possible que si d divise b.
Encecas,sib
= dp,ax = p + pyouux
z prn0d.p.
a et p sont premiers entre eux, et l’on est ramené
au premier cas. x est défini modulo p :
x = x, + zp..
Comme
neau Z/m,
pn
ou
:
1: s a mod. m
3~s b mod. R
m et n étant premiers
entre eux.
La première congruence revient à x = a + my et la seconde
à x = b + nz.
D’où l’équation
indéterminée
:
my-nz=b-a.
Cette équation
congruence
:
myr
est toujours
b-a
possible.
mod.n*
,
Elle
mnn=l.
se ramAne
A la
.<
a
LES
NOMBRES
PREMIERS
bit y0, 0 < yc < ta, sa solution dans Z/n. Alors y t yo -j- nt.
Le ryatbme propoeé a pour racine :
x
=
4
+ my, + mnt.
x est défini modulo mn.
On pourrait
proposer
un système
analogue avec plusieurs
modulea premiers entre eux deux ?I deux. Il admettra toujours
ame r6ponse définie modulo le produit
des modules.
VII. -
Lea cmgruences
dans les anneaux
euclidiens
On peut définir exactement
comme dans Z, des
eengruences dans tout anneau euclidien.
Les classes résiduelles forment encore un anneau,
qui peut être fini ou infini selon les cas.
Ainsi dans G, anneau de Gauss, G/a + bi est un
anneau fini. En effet chaque classe peut être représentée par un reste euclidien x + j+, avec :
9 + ya < aa + ba.
Il n’y a manifestement
qu’un nombre fini de
couples d’entiers satisfaisant à cette inégalité. Leurs
images sur le plan de la variable
complexe sont
intérieures au cercle centré à I’origine et passant par
le .poiut (u, b).
Mais dans ce cercle peuvent
figurer
plusieurs
nombres de la même classe. (Dans G, pour le même
dividende
et le même diviseur,
il peut y avoir
plusieurs restes euclidiens.)
Signalons au passage, que l’estimation
des nombres des points entiers intérieurs
à un contour est
uu problème arithmétique
important,
qui relève de
la géométrie des nombres et où bien des questions
eont encore ouvertes
(cf. B 5).
Daus l’anneau K[x] des polyn8mes construits sur
l’anneau
des rkdus
mob corps K, commutatif,
dulo P(x), est formk de tous les polyn8mrs de degré
CONGRVENCES
53
~--
inférieur à n, si n est le degré du module. Il est i&i
si le corps K est infini. Il est ti
si K est firu,
Lorsque K a m éléments, l’anneau
des résidus a
ma éléments. (Penser aux nombres de n chiffres, eu
base m.) Ainsi, pour le corps Zlp, on trouvep”
classes
résiduelles.
Lorsque le module de la congruence,
dans tout
anneau euclidien, est premier, l’anneau des classes
résiduelles est un corps. Si cet anneau est fini, cela
résulte des deux premières
démonstrations
de la
p. 45. Dans tous les cas, qu’il soit fini ou infini, la
troisième
démonstration
donnke ci-dessus, p. 46,
s’applique.
En effet, soit a arbitraire,
non multiple
de p, par suite premier avec lui. 11 existe, dans
l’anneau,
x et y tels que 0% + py = 1, puisque
(u) + (p) = A (cf. p. 15), ou ax m 1 mod.p. Tout
élément de l’anneau des résidus a donc uu inverse,
et cet anneau est un corps.
Exemples. - 1. Dans R[z], anneau des polyn8mes
B coefficients réels, l’anneau
R[Lz]/~’ + 1 est un corps, isomorphe
(ou identique)
à C, corps des complexes.
2. Prenons un premier p de la forme 4% + b*. Alors :
IJ=a+bi
est premier
En effet
dans G, anneau de Gause, et G/CJ e8t un corpr fini.
” = 4 + bi = (z + yi) (X + Yi) implique
:
p =
a2
+ b’ = (x’ + y’) (X4 + Y*)
d’où X* + Y* = 1, X + Yi est une unité.
z
+
yi
=
(4
+ bi) (X -
Yi).
On démontre (cf. p. 98 ou B 1, chap. II’), qne p ed de.la
forme 4k + 1, et que, réciproquement,
tout premier de cetta
forme est somme de deux carrés. On démontre
aumi que p
divise des nombres de la forme z* + 1 (cf. p. 73). Alon, ri
p divise c* + 1 :
p = (4 + bi) (4 - bi)
c* + 1 - (c + i) (c-i)
; (4 + bi) (4 - bi) = p 1(c + i) (c - i)..
”
LES
54
NOMBRES
PREMIERS
apM. (a + bi) 1 (c + i) (c - i), ou c7 1 (c + i) (c - i), et, puisque GI est premier, il divise soit (c + i), soit (c - i).
‘, SV divise (c - i), il divise (- 1) (c-i)
= -c
+ i, et en
tons lea cas, il y a des multiples
de GI dont l’image sur le plan
des complexes a l’abscisse 1. Il en résulte qu’il y a des multiples
I
’
55
CONGRUENCES
‘/_
implique
:
ps = (d + yB) (X’ + Ya).
Comme p = 2s + ys est impossible,
etX+Yiestuneunité,x+yi=p(X-Yi)=pou-p
ou ip ou -
on doit avoir X* + Y* = 1
ip.
Y
Fig.
Fig.
G/n
= Z/p.
si le nombre premier p, de Z, est de la forme
premier dans G ; en effet :
p=(++y4(X+W
2
1
de CI d’abscisse arbitraire.
Quant aux ordonnées, pour la même
abscisse, elles sont définies modulo p.
Le réseau ou treillis, image de l’idéal principal
(CI) est donc
formé de parallélogrammes
d’épaisseur
horizontale
1. Tous les
sommets
de ce treillis
ont pour coordonnées
.z et py + x.
Les classes d’équivalence
de G/r;r sont au nombre de p.
On retrouve
le corps Z/p :
4k -
1, p est
_-.‘4
1 :$
,_. .>
Le réseau image de l’idéal principal
p est l’homothétique
du réseau de base de l’anneau G, dans l’homothétie
de centre 0,
de rapport p.
Il y a donc dans G/p, p2 éléments, parmi lesquels les 611%
ments de Z/p : Z/p c G/p.
Nous avons ainsi établi l’existence
de corps commutatifs
B pa élkments, pour p premier congru à - 1 modulo 4.
.J
THEORÈME
DE
57
FERMAT
Mais, d’autre
(axl)x(aXZ)...
part
:
X(ux(p-l))=aP-‘.(p-l)!
d’où :
a”-‘.(p-l)!=
CHAPITRE V
l
THEORÈME
FONCTIONS
1. -
DE
UP-l = 1.
FERMAT
ARITHMETIQUES
Théorème
de Fermat
Nous avons constaté (cf. p. 45), que tout élément
non nul d’un anneau intègre fini - ou corps fini est une racine de 1, c’est-à-dire
satisfait
à une
au nombre
bquation
a? - 1 = 0, avec n inférieur
des éléments de l’anneau.
D’ailleurs
le polynôme
x” - 1, premier avec son polynôme dérivé nx”-‘, n’a
que des racines simples. Nous savons aussi que le
plne grand commun diviseur de xrn - 1 et de xn - 1
est zd - 1, si m n n = d (cf. p. 42).
Le théorème
de Fermat apporte des précisions
su pldmentaires
dans le cas des corps résiduels Z/p.
1 oit a # 0, a E Zlp.
Formons les produitsaxl,ax2,
. . .,ux(p-1).
Aucun n’est nul. Deux d’entre eux sont toujours
distincts, sans quoi a serait diviseur de zéro :
a X ri = a X rj tj a(ri -
rj) = 0.
Ils reproduisent
donc exactement
tous les éléments non nuls du corps. Si nous les multiplions
tous
antre eux nous trouvons
le produit
non nul :
1X2X3..
, x
(p --
(p-l)!
et
1) == (p -
l)!
Ainsi, tous les éléments non nuls de Z/p sont
racines de l’équation
xn-i - 1 = 0.’
Ou bien, dans l’anneau Z des entiers, tout nombre
non multiple de p, vérifie la congruence xs-i - 1 I Ci
modulo p.
Il résulte d’ailleurs
de ceci que tout élément de
Z/p, zéro y compris, est racine de l’équation
:
29 -x
= 0.
Ou bien, dans Z, pour
tout
x, x9 = x modula
p.
Remarque. - Cette démonstration s’applique
B tout corps
fini commutatif.
Si un tel corps a m éléments, Nquation
Px
est satisfaite par tout élément du corps, et l’on a identiquement
xm-z=x(x-1)(x-a)
0,l.a
,...,
Z étant
. . . (z-1).
les éléments
Le théorème
de Fermat
parler de réciproque.
du corps.
n’a pas à proprement
Un nombre composé n est dit pssudo-premier
si 2” E 2 (modulo n), et il est dit absolument pseudo-premier
(ou nombre de
Carmichaël)
si a” E a (modulo n) pour tout a premier avec n.
On sait qu’il existe une infinité de pseudo-Premiere.
On sait
qu’il existe des nombres de Carmichaël
mais on ignore s’il y
en a une infinité. 645 est pseudo-premier,
de même que 161038.
11 y a une infinité de pseudo-premiers
pairs (cf. B 6, p. 111).
II.
-
Théorème de WiIaon
Waring
(1734-1798)
le théorème
suivant
publia le premier, en 1770,
qu’il attribue
a John W&
58
LES
NOMBRES
PREMIERS
son (1741-1793) : Si p est premier, (p -.l)!
+ 1.~ 0
mod-ulo p:
La proposition
est évidente
si p = 2. Si p est
impair, les nombres 1, 2, . . ., p - 2, p - 1 ont
chacun dans Z/p un inverse
distinct
du nombre
considéré,
sauf 1 et p - 1 dont chacun est son
propre inverse.
Si donc dans le produit
2 x 3 . . . x (p - 2),
nous groupons chaque élément et son inverse (modulo p) le produit
sera 1 (mod. p). La factorielle
(p-l)!
est donc congrue à 1 x (p-l)
= -1.
Réciproque. - Si (p - 1) ! = - 1 modulo p, dans
l’anneau Z/p tout élément non nul a un inverse. En
effet, si u est un élément arbitraire
et b le produit
desp - 2 autres éléments, a. b = - 1 ou a. (-b) = 1
et (- b) est l’inverse
de a. Z/p est donc un corps ;
p est premier.
III.
-
L’indicateur
Reprenons la démonstration
mat, mais en travaillant
sur
m étant un nombre composé.
Supposons qu’il y ait q(m)
plus petits que m, et premiers
Soit a un nombre premier
Formons les produits a x
rr, rs..., leurs résidus modulo
a x a1
axa,
. . .
a x a*
_ taqa,.a,
=
=
.
=
d’Euler
du théorème de Ferl’anneau résiduel Z/m,
= n
avec
avec
4, a
m.
nombres positifs,
lui, ai, u2, . . . , a,.
m.
x ac..., et soient
I
11
r,
.
1%
. . . a,) = (a,.4
a” E 1
mod. m
. . . a,)
THEORÈME
DE
FERMAT
L’ensemble
des ri est identique
l’ordre près car 0 < r, < m et :
ri = rj o aa, -
à celui ‘des 4, B
aaj E 0 mod. m
ou :
a(q -
aj) = 0.
y$j
,:i
i
‘?
’j :
, ;
a
Comme a A m = 1, a, E uj ou a, = uj.
Si nous multiplions
alors entre eux, d’une part
tous les au,, d’autre part tous les ri, nous trouvons
a*[~,. . . . .a,] z [al. . . . . a,] mod. m et, pnisqne
(al.. . . . a,) est premier avec m, an s 1 mod. m.
C’est la généralisation
par Euler du théoréme
de Fermat :
a n m = 1 3 aq(m) = 1 mod. m
de zéro dans Z/m, implique
ou : a non diviseur
oq(m) - 1 = 0 dans Z/m.
La fonction
arithmétique
q(m), ou indicateur
d’Euler est très importante,
et nous allons l’examiner
plus en détail.
Il est évident
que ~(1) = 1, si nous décidons
d’appeler
q(m) le nombre
des entiers positifs au
plus égaux à m et premiers avec lui. Il est commode
de poser ~(0) = 0. Il est immédiat que v(p) = p - 1
pour tout p premier.
Soit maintenant
m et n deux nombres premiers
entre eux.
Formons le tableau :
1
m+l
2m + 1
2
m+2
2m+2
3
...
,*. 2:
m+3
2m+3
. . . 3m
. . . . . . .
. . . . . ..nm
.--
‘2
: .:
‘;~ 6.J
,yi
:a{
$8
‘?!
,?$
‘;g
60
LES
NOMBRES
PREMIERS
Ce tableau contient tous les entiers positifs aux
lus égaux $ nm. Il comprend donc les cp(nm) nomEres que nous cherchons. Nous les trouverons
en
supprimant
tous les composés avec nm, parmi lesquels tous les composés avec m. Or, si s et m ne sont
pas premiers entre eux, il en est de même de s et \
de km + s. Toute colonne commençant
par un
diviseur de 0 dans Z/m sera donc à supprimer
totalement.
Il restera ainsi après ce premier
stade
q(m) colonnes.
-
r
1
2
5
6
7
8
9
10
11
12
4
14
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
q
27
28
29
30
31
32
34
-
35
36
-
n
Tableau pour 36 = 4 x 9
Dans chacune d’elles figurent n nombres distincts
deux à deux modulo n. En effet si um + s z vm + s
modulo n, u # v, (u - v) m = 0, et m est diviseur
de zéro dans Z/n, ce qui est impossible, m et n étant
premiers entre eux. Dans Z/n les colonnes sont donc
identiques à l’ordre près des termes. Après suppression des diviseurs de zéro il reste donc dans chacune
(p(n) termes.
Au total nous avons y(m). v(n) termes non rayés,
THJ.?ORi%ME
DE
61
FERMAT
Chacun d’eux est premier avec m (ire opération),
et
avec n (2e opération),
donc avec leur produit, et :
fie4
= ~WcpW
On dit de toute fonction arithmétique
qui vérifie
cette relation (m n n = 1) qu’elle est multiplicative.
Il nous reste à savoir la valeur de cp(m) lorsque
m est une puissance de p, p premier. Les seuls diviseurs de zéro dans Z/p’ sont les multiples de p aux
plus égaux à p’. Ils sont au nombre de p’ : p = p+‘.
Donc
à
=pr-pCM1
=p’
.Ainsiily
1
a 4 - 2 = 2 nombres premiers à 4, qui lui sont
inférieurs.
De même, rp(9) = 9 - 3 = 6.
Nous voici arrivés au résultat d’Euler :
Si m = paqb rC.p, q, r, premiers :
(
1-k
p(-)=p’(.l-i).y0(1-f).P(1-f)
=m(l-i)
IV.
(l-f)
-
Théorème
(1-t)
de Gauss
Si m admet des diviseurs,
d, la somme
les 9(d) égale m.
df;nd4 = m.
Par exemple,
et 12 :
dl)
les diviseurs
de tous
de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6
+ (~(2) + ~(3) + ~(4) + (~(6) + (~(12) = 12
ou
1 j- 1 -t- 2 + 2 + 2 + 4 = 12.
61
LES
NOMBRES
PREMIERS
THEORÈME
V6riGons la relation pour m = pa, p premier.
Les diviseurs
de m sont les p’, r < a :
2 cp(d) =
1 +
(p -
1) +
(p’
-p)
+
v.
-**
+ (pa -pa-l)
= pa = m.
Si m et n sont premiers entre eux et si le théorème
e+t vrai pour m et pour n, tout diviseur
de mn
est de la forme p.v, lu, 1 m et Y 1 n, p. et Y premiers
entre eux comme diviseurs
de nombres premiers
entre eux :
/
I;cp(p.v) = &$).<p(v)
= Zp(p.).Zcp(v)
= m.n.
Par récurrence
sur les facteurs premiers on voit
que la relation est générale.
Le théoréme est caractéristique
de la fonction 9,
Plus précisément
si x est une fonction arithmétique
telle que dFm~(d) = m, pour tout m, alors x = ‘p.
En effet x(1) = 1, puisque 1 n’admet qu’un divieeur, lui-même.
Supposons que x(x) = T(z) pour tout x inférieur
dl)
+
et d’autre
41)
d’une part,
de m :
1, 4, d,, . . ., d,, m étant
44)
+
--- +
+
- - - + MJ
cp(m) =
x(m).
part
+
CpW
d4
cp(m) =
m
+
x(m) =
m
:
+ CP@I) + MJ
d’où :
Ainsi, par récurrence,
vraie pour tout m.
on voit
VI.
est
propriétés
de v(n)
-
Racines
primitives
de Z/p
On appelle racine primitive
de x* - 1 = 0, toute
racine u de x” - 1 = 0, qui n’est racine de x’ - 1
pour aucun n < m. On dit aussi que a appartient
à l’exposant
m. Un nombre
est racine primitive
à l’exposant
p - 1. Tout
de Zlp, s’il appartient
corps Z/p a-t-il des racines primitives
?
Remarquons
d’abord que si a est racine de ti - 1,
c’est aussi une racine de xd - 1, m n (p - 1) * d
~~i~i
que la relation
Quelques
9(n) est toujours
un nombre
pair pour n > 2. L’équation
q(x) = a n’est donc possible
que pour a pair. Mais cette
(z) = 14
condition nécessaire est loin d’être suffisante.
Ainsi
ou q(x) = 26 sont impossibles.
On démontre
d’arl *‘peurs C&l
C~(Z) = a n’a qu’un nombre fini de solutions.
Pour cela il s it
de montrer
que pour o > 2, et pair, a < n < a*.
Lorsqu’on
dresse un tableau des solutions de l’équation
pour
les premières
valeurs de a, on constate qu’il y a toujours
une
solution impaire lorsque le problème est possible. On pourrait
se demander s’il y a là une loi générale. Mais s’il en était ainsi,
tous les nombres de Fermat seraient premiers,
ce qui est faux
(B 1, p. 40).
Dans le même ordre d’idées, Carmichaël
a 6mis en 1907
l’hypothèse
que, lorsque l’équation
est possible, elle admet au
moins deux solutions.
A ce jour, l’hypothèse
n’a pu être ni
infirmée,
ni confirmée
(B 6, p. 116).
les
+
-
63
FERMAT
Signalons d’abord
une formule
élémentaire
de Dedehind,
où [z] est la partie entière de z et où la somme s’effectue
sur
l’ensemble
des entiers aux plus égaux à n :
à m.
Alors
diviseurs
DE
z)ia;;neyy
pour
tout
m IP -
1, fl-
1
Si g est le gaussien de a; c’est-à-dire
s’il est le
plus petit exposant pour lequel ti - 1 admet la
LES
64
NOMBRES
PREMIERS
racine a, toutes les racines de ce polynôme sont les
puissancesO,l,Z
,...,
g-ldea.
En particulier,
si n est premier avec g, an appartient B l’exposant g. L’équation
d - 1 = 0 a don
“I
cf(g) racines primitives.
Groupons
alors tous les a qui appartiennent
à
l’exposant g, 1p - 1. Il y en a zéro ou cp(gJ. Faisons
cela pour chaque diviseur
de p - 1 et totalisons.
Nous devons trouver (p - 1).
Or nous trouvons
Xcp(gJ pour les exposants possibles, 0 pour les autres. Mais d’après le théorème
de Gauss nous devons trouver d,F-l~(d)
donc, tout
diviseur
de (p1) est un gaussien, et il y a, en
particulier,
cp(p - 1) racines primitives
du corps.
Exemple.
-
Dans
Z/7, 1 appartient
à l’exposant
THl?ORÈME
-
Recherche des racines primitives.
- Soit B chercher
les éléments primitifs
de Z/ll. Prenons un éldment
arbitraire,
2 par exemple, et calculons dans le corps,
ses dix premières puissances :
1 :
Indices
Prenons, dans 217, une racine primitive
3. Ses
puissances reproduisent
tous les éléments non nuls
ducorps:3“=
1;3i=
3;3*=2;33=6;34=4;
3s = 5; 3s= 30= 1.
Les exposants s’appellent
les indices base 3, des
éléments du corps. Ils sont définis modulo 6.
Les indices base 5 s’obtiennent
à partir
des
précédents
en les multipliant
par 5 (modulo
6).
puisque 5 = 3s.
Eléments
Indices
-
123456
base 3
021453
5
045213
FERMAT
La remarque
est générale. Tout CO s Z/p est
« engendré par un de ses éléments primi tz* s B, c’est-hdire que les puissances
de cet élément parconrent le corps tout entier, sauf, bien entendu, son
zéro. A chaque élément non nul est attache un
indice dépendant
de la base choisie. Le chan ement de base revient
à une permutation
SUT Qies
indices.
Les indices des racines primitives
sont premiers
avec p - 1.
q(2) = 1 élément appartient
à l’exposant
2. C’est - 1 = 6.
d3) = 2 éléments appartiennent
à l’exposant
3 : ce sont 2 et 4.
(p(6) = 2 éléments
sont racines primitives,
ce sont 3 et 5.
VII.
DE
Puissances
0
1
1
2
2
4
3
8
4
5
5
10
6
9
7
7
2 est un élément primitif.
Les autres
d’indices 3, 7, 9 soit 8, 7 et 6.
Eléments
pour point
Puissances
Puissances
8
3
sont
primitifs
de 2117. - Prenons
de départ (facilité des calcd~)
0
1
1
2
2
4
3
8
8
1
9
10
11
4
-1
12
6
-4
13
ceux
encore 2
:
5
-2
9
6
7
-8
14
-.j
15
2 n’est pas primitif.
Il appartient
B l’exposant
8.
Comme ~(16) = 8 les huit nombres qui ne figurent
pas en seconde ligne sont des éléments primitifa.
cd
sont 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14.
J.
ITARD
:*q
/’
:’
’
..
LES NOMBRES
ii6
$111. -
Applications
ii la résolution
dans ZIP
PREMIERS
des équations
Soit A résoudre P(X) = ti+xa+x+l=Odans
217. Comme Xe - 1 = 0 pour tout élément non nul
du corps, cherchons le plus grand commun diviseur
dee deux polynômes, par l’algorithme
d’Euclide. Ils
aot premiers entre eux. L’équation
est impossible.
Dans Z/2 comme x* = x, le même polynôme prepd
les valeurs numériques
de x + x + x + 1 ou x + 1.
Il s’annule donc pour x = 1. Son polynôme dérivé
49 + 2x + 1 ou mieux, 0.x* + 0.x + 1 ne s’annule pas, donc 1 est une racine simple. Divisons P(z)
Paz -1=x+1:
d + x* + x + 1 = (9 + x* + 1) (z + 1).
zl + x’ + 1 est premier
IX.
-
Fonction
DE
de Mobius
FERMAT
67
Si a est formé de k facteurs, p(a) = (est forme de k’ facteurs, p(b) = (- l)y.
comprend k + k’ facteurs :
y(ab) = (-
l)k+k’ = (-
l)k.(-
1)‘; ai 6
Mais eb
l)k’ = p(a).p(b).
On sait que si m = paqb ré, la somme de aes diviseurs est :
s=p+p+p2+
. . . +pa-1).
. ..+q+l).(l+r+re+...+tO-1)
u+q+q2+
(cf. B 1, p. 31).
Si l’on développe
ce produit,
chaque terme du
développement
sera un diviseur de m.
Si on remplace alors chaque diviseur d par p(d),
on aura la somme des valeurs de h pour tous les
diviseurs de m, ce que l’on peut noter :
sur 212.
x l-44.
dlm
(1332)
Soit p, une fonction
arithmétique,
définie sur N
comme suit : p(n) = 0 si et seulement si n est diviQble par un carré. p.(l) = 1, p(n) = (-l)k
si n est
un produit de k facteurs premiers distincts.
La fonction est une fonction multiplicative.
C’est-àdire que pour a et b premiers entre eux :
f44
THÉORÈME
= f44 - PV+
En effet, si a est divisible par un carré, ab est aussi
divisihle
par ce carré.
Alors p(a) = p.(ab) = 0 et, quel que soit y(b),
v(a). 44 = v(ab)Si a et b sont des produits de facteurs distincts,
lea facteurs de a sont aussi distincts de ceux de b
puiaqueanb=l.
Cette somme est nulle. En effet, la fonction étant
multiplicative
et chaque terme d’une des parenthbee
étant premier
avec tout terme des autres parenthèses, on est en droit d’écrire :
-**l
dy4=[~+14P)+14P~)+
-
11
+
l-47)
+
P(!I’)
l u+P(r)+II(“)+
=(1-1).(1-l)
+
l
l
-1
.3
. . . =o.
Soit maintenant
f(x) une fonction définie sur R+,
à valeur nulle pour x < 1, et prenant ses valeurs
dans R.
On peut définir une nouvelle
fonction
F(x), à
partir de la précédente par la relation :
FL%
LES
18
r
NOMBRES
THÉORÈME
PREMIERS
DE
FERMAT
69
‘*_
f
:r-
’
Par
emmple,
si f(z)
=
F(5.3) = f(5.3) + f(W)
=
1+1+
e
et, en général,
‘F (az) p(l)
.F
0
0
f
formons
.) + f(L45)
de la fonction
d4
-f(Z)
la sommation se faisant
de m.
En ce cas :
+f(;)
0
-f(t)
. ..
-f(Z)
...
+***
-f(Z)
. ..
+f(;)
146) =
Plus précisément
somme :
0 +
0 +
la colonne
numéro
0 +
sur l’ensemble
$$44
de la relation
F
on déduit
d’après
la propriété
:
***
:
0 f-m*
d =
a a pour
44
de la fonction
p..
l
1
= m
1,2, 3,4, 6, 12
= 1, -
1, -
(p(12)=12-6-4+2=4.
,
;
des diviseur
de Gauss :
dEd4
Par exemple
0 +
= 1.
(
Ainsi,
Of (3
=fW+
=
..
0
Totalisons
&&IF@
p est alors :
+r(;)
-f (3
=
= [a&
Soit f(z) une fonction
déhie
pour les seules
valeurs entières de l’argument
x. Nous pouvons la
compléter dans R+ en posant pour x 4 N, f(r) = 0.
Nous pouvons alors procéder de même pour F(x).
Les égalités précédentes deviennent
:
f(m)
F (5) ~(5) =
F;
+ fW6)
:
+f(;)
-f (3
[j
oh F(z)
F($.
le tableau
+f(f)
3 cr(3) =
F(+o)
;i)4
précédent,
= 0 pour x < 1 :
1+1+1=5
=;%y
=rw+f(;)
p(2) =
+ f(L9.
essentielle
f(x)
En effet,
1 pour x > 1, f(z)
- D’après l’exemple
écrire, pour x > 1 :
nous pouvons
F(X) = [iJ.
Une propriét6
F
Application.
La somme du second membre n’a évidemment
qa’un nombre
fini de termes non nuls, exactement [z], puisque x < 1 impliquef(x)
= 0.
1, 0, 1,o
RESIDUS
II.
VI
CHAPITRE
Rl%IDUS
1. -
QUADRATIQUES
&patious
du second degrh
Soit A résoudre, dans le corps Z/p, une Equation
du recond degr6 uz? + bx + c = 0.
En multipliant
les deux membres par u’, inverse
de a, et en posant a’ b = - 2r, ce qui est toujours
poaaible si p est impair, puis a’ c = q, on est ramené
i l’bquation
:
XI -2rx+q=o.
Example.
-
Dans
52 + 4 = 0 se ramène
217, 3~s -
8
x9 -4x+6=0.
En remarquant,
dans le cas général,
(x-r)‘=xs-2rx+rs
toute bquation du second degr6
ra - 4 = a, (x - r)* = u.
Dans l’exemple
précédent
(x -
Le tableau
:
a
a’
0
0
montre
1
2
,142241
que l’équation
s’écrit,
que :
en posant
x9 - 4x + 6 = 0 est équivalent
2)’ E 5 mod. 7.
3
4
Fi
n’a pas de racines
B:
-
Résidus
La recherche des solutions des équations binômes
2s = a dans un corps donné Zjp est un problème
fondamental.
Tout élément a pour lequel la solution est possible s’appelle un résidu quadratique
(mod. p), OU,
en abrégé, un résidu. Les autres éléments, pour
lesquels l’équation
est impossible,
sont dits nonrésidus. Lorsque a est résidu, l’équation
xs - a = 0
admet dans Z/p, les deux solutions x0 et - xs dont
1
l’une, considérée dans Z, est inférieure
B - p, et
2
positive.
Dans Z, l’équation
se ramène à la congruehce
XI - a E 0 mod. p et les solutions sont :
x=xo+py
ou x=-x,+pr.
Nous savons (cf..p. 26) que, dans chacune de ces
suites arithmétiques,
l’on peut prendre x premier a
tout nombre proposé, et même premier absolu (théorème de Dirichlet).
Dans Z/p, nous venons de voir qu’à chaque Asidu a, nous pouvons
associer deux éléments distincts,
x0 et -xc.
Comme
il y ai(p-1)
de cette espèce, il y a exactement
0 étant
i (p -
excepté. Il reste donc i (p -
couples
1) résidus,
1) non-réeidue.
D’ailleurs,
pour tout x non nul, x9-l = 1. D’O&
v-1
.
sia=x&
(LT=
x0p-1 = 1, et tout résidu est racine
Ci mod * 7
dans le corps
Il
QUADRATIQUES
217.
de l’équation
xl (p-l) - 1 = 0, et Aiproquement,
degré de cette équation
étant égal au nombre
résidus.
le
de
,
LES
III.
Par ailleurs
RÉSIDUS
PREMIERS
puisque
-
Critère
d’Euler
a’
ljj5léments
1) (22
+ 1).
, ce sont alors des résidus,
soit
do ZT
+ 1 = 0, et ce sont des non-résidus.
Autrement
dit, un 6lBment a de Zjp est, ou non,
hidu
selon que a9
= 1 ou - 1.
C’est un crit&re théorique
fort simple, appelé
critdre d’Eu&r.
En notant,
avec Legendre
a
la valeur
0P ’
(j-lou1) du second membre, on appelle carac‘Ure quahtique
de a, la valeur
=a;(D-l>*J~'"-l'
L’ensemble
catif (abélien)
des résidus
:
(;)=1,
= 1
et
@&(f)=l
aaI=
1 q;).(f)+)=1
:
,..i.;
$
.d
1.
si,etseulementsii(p-l)estpairoup=4k+l.
c
Ainsi - 1 est résidu quadratique
pour les nombres
premiers de la forme Pk + 1. Il est non-résidu
pour
_I?
ceux de la forme 4k - 1.
Application.
- Pour p = 4k + 1, formons dans
Zlp, les produits
r x rl, r x r,, . . ., r x r,,, d’un
résidu r par tous les résidus. Ces produits sont encore
des résidus, et sont distincts deux à deux. L’aa
d’eux est donc égal à - 1. Soit :
rri = - 1.
=
multipli-
d’où
‘,’;.I
1
‘_ ‘.i-:
P
de
est un groupe
r&idn,
t-1
i : + 1 pour
0
les fidus,
- 1 pour les non-résidus.
Le caractère quadratique
est un homomorpbisme
du groupe multiplicatif
(Z/p - { 0 }) sur le groupe
multiplicatif
+ 1, - 1.
En effet, si a et b sont deux éléments non nuls
du corps :
= (a$b-1)
un
Au contraire, l’ensemble des non-résidus n’est pas
un groupe. En désignant par T un résidu et par n
un non-résidu,
on vérifie
aisément
que rr = r,
rn = n, nn = r (rr est ici le produit de deux résidus,
distincts ou non).
Nous venons de signaler gue, pour tout p, 5 = 1.
0
Quel est le caractère quadratique
de - 1 1
Appliquons
le critère d’Euler :
-1
= (- $‘H’
= 1
non nuls sont donc racines,
P-1
0P
1 est manifestement
0 P=
eoitdexOe’-l=O
a
QUADRATIQUES
:
x-1 = ( Xe
-hep-
NOMBRES
,
.
Si r’ est l’inverse de r, alors r, + r’ = 0. Passons
aux calculs dans Z, prenons ar = r’ mod. p, b’ E r,,
b premier avec a (cf. p. 26). Alors aa + ba = 0 mod.p.
Ainsi tout nombre premier de la forme 4k + 1
divise une somme de deux carrés premiers entre eux
(cf. B 1, p. 56).
On peut même supposer a et b premiers abso-
.c
.i
>r
.3
,
1
) ‘,+,
~“%
:‘K
i,
yj‘.
. I
74
LES
Iua (th. de Dirichlet).
premier de la forme
tdle somme.
IV. -
NOMBRES
PREMIERS
R$SIDUS
QUADRATIQUES
Au contraire,
aucun nombre
4k - 1 ne peut diviser une
= -
multiplions
modulo p :
Prenons
2Xa,
. . . . i (p -
le reste minimal
ka=p.m+r,,
Lemme
1.-
de chacun
Les restes minimaux
d’eux par p :
membre
i (p -
Il vient
D’où
:
(
à membre
les
.’ ‘,: ,,
1) X a = r;(9-1)
!XaFG(-
‘+
l)%(p+)!
1
:
a --2
e (-
l)U.
ont pour valeurs
Applications
1).
1, 2, . . . , 21 (p -
En effet, soit ka et
d&h. Si rk = ri, alors
exige k= k’, puisque
Si rh + ri = 0 alors
1)“.
1) X a.
-;p<rr<;p.
absolues les nombres
= (-
de Gauss
Etablissons
maintenant
deux lemmes de Gauss.
Soit a un nombre non nul inférieur
a p.
Formons les produits :
lXa,
$
0
En effet,
congruences
Lemmes
1. C’est-à-dire
à l’étude
de
k’ a deux des produits
consi(k - k’) a G 0 mod. p, ce qui
) k-k’/
<p-l.
(k + k’) a s 0 mod. p. Mais
O<k+k’<;(p-l)+;(p-l)=p-1,
k+
k’ et a sont premiers
avec p et la congruence
est encore impossible.
1
Les - (p - 1) valeurs absolues sont donc distinctes
2
et chacune est infhieure
h i p. Le lemme est dé-
i
. -
Formons
k
0
suite :
2,4,6,
. . . . Zx;(p-l)=p-1.
Les restes minimaux
par p sont tout d’abord 1e0
nombres pairs positifs 2,4, 6..., cela jusqu’au terme
1
immédiatement
inférieur
B - p. Puis, du terme im2
médiatement
supérieur jusqu’au dernier (p - l), ils
sont impairs
et négatifs.
(Par exemple, le reste
minimal de p - 1 est - 1).
Il y a donc autant de restes négatifs qu’il y a
d’impairs
1, 3, 5 . .. . inférieurs
h i p.
lUOnt&.
Lit3mme2.nombre
Dans
les mêmes
u des restes négatifs
conditions,
est pair si
f
0P
le
= + 1,
Si p =8h&l,;p
=&+i,lesimpairs
dérés sont 1, 3, 5, . . ., 4h est pair.
1. Leur
d
nomb~c
2k,
‘;’
i
*.
”
& .,
116
LES NOMBRES
PREMIERS
La double
A+ront1,3,5
4h+lou1,3,5,
,...,
d’oh u = 2h + 1 ou u = 2h -
impairs.
Ces r4suhat.s peuvent
se résumer dans l’égalité
2 = (- 1,**
comme on peut le vérifier
P
&ent.
0
Loi de rdciprocité
Cette loi fondamentale,
énoncée par Legendre, fut
d&nontAe
par Gauss. Nous en donnons une démonstration 61émentaire moderne, la plus simple que nous
connaissions.
(Cf. H. Reichardt,
Eine Bemerkung
mrr theorie des Jacobischen
Symbols, Math. Nachrichten, 19 (1958))
La loi de Aciprocité
des résidus quadratiques
est
exprimée par la relation suivante, oùp et q sont deux
pmnkm
impairs :
I
loo
“-%
p-l
=(-1)T'T
:
ax<py*y>o
et :
d’oii
:
y<++l-zop
*y<
1
U-
-.
2
Ainsi u est la puissance de l’ensemble des points
entiers du plan (points à coordonnées entières) tels
que :
+<a.-py<o
XE
(
1,2, . . ..A2(P-l));
Y+,...<[~])*
Soit alors deux nombres
D’une
puissance
première
part
premiers
impairs
p et q.
:
0 = (- l)“, u étant la
0P
des points entiers tels que :
de l’ensemble
Q-l
.
-;p<qx-py<o
9
Nom avons vu que
aanco de l’ensemble
en (x, y) entraine
py<‘Lz+~p~~(p-l)+~P=P~+P-~
= lsip=8h&l,et-lsip=8h*3.
V. -
inégalit6
. . . . 4h-3,
1, nombres
77
QUABRATIQUES
RÉSIDUS
a = (- l)u, u étant la puis0P
des x tels que 1~ x < f (p - 1)
et qae le reste minimal
de ax par p soit négatif.
Explicitons
dans Z ces conditions
: il existe un
coaple (+y) tel que :
1
1G xa i(p-1);
-~p<ax-py<o.
XE
1,2, . . . . $p-1)
;
1
D’autre
part,
de l’ensemble
yE
1,2 ,...,
(
12 (q-1)
).
; =(-l)“,
v étant la puissance
0
des points entiers tels que :
-fq<py-<lx<0
x et y appartenant
aux deux mêmes ensembles
pw
.
I
LES
g-”
S,‘, &I~SSUS.
.’ encore :
Mais la derniére
NOMBRES
double
PREMIERS
inkgalit6
s’kcrit
o<qx-py<;q.
\
En conclusion,
RÉSIDUS
rieurs à une bande
droites :
dont
qzx-py+;p=o;
on constate
o.E! =
P
q
00
19
QUADRATIQUES
que :
Celui
(- l)“+a
compris)
sont les dent
q*-py-;q=o
R des points
limité
les bords
entiers
par les droites
Y = 1, y = ; (q -
(iig‘3).
du rectangle
(bords
x = 1, x = i (p -
1).
1).
Y
0
+ v étant la puissance
entiers tels que :
u
:,
%CE 1,2, . . ..A,(P-q,
1
otx
X
Fig.
Fig.
3
de l’ensemble
A des points
R est le produit
(
1,2,
+,2,
. . . . ;(q-l))
et de
. . *, f (P-l))
192
Sa puissance
Cet eusemble A est l’intersection
de deux au!,- ttw ensembles : Celui B des points entiers inté-
de
( ,...+H)).
Cd etque:
j
cartésien
4
Il admet pour
rectangle :
est : ‘7
centre
x = ; (p + l),
-1
q-l
.2
de symétrie
(fig. 4).
le centre
y = ; (q + 1).
du
RESIDUS
a0
LES
En effet, si le point
rectangle le point
NOMBRES
entier
z’=;(p+l)-2;
(~,y)
est intérieur
au
et intérieur
,
I
I
y’=&+11-y
est lui aussi entier
61
QUADRATIQUES
PREMIERS
Ce centre de symétrie commun est intérieur
&h
bande qui contient B. 11 en résulte (fig. 5), que la
partie R - A complémentaire
de A relativement
à R a une puissance paire, ses points s’associant
deux à deux dans la symétrie en question.
Mais cette puissance paire est :
au rectangle.
(q(q)-(U+t+
Y
i
Par suite (- l)U+O = (-I)F*?.
La loi de réciprocité
est ainsi démontrée.
VI.
-
-
Applicationa
1. Soit à trouver
le caractère
627 modulo 17 .-627=(-37)
quadratique
x 17+2;d’oh
de
($72+(;)=1.
Fig.
Mais de plus, le centre
de symétrie de l’ensemble
Le nombre
est résidu,
~8 + 627ya, x et y premiers
5
du rectangle
B :
qx’ -
PqLx
(
)-P(q&Y)
l
-pyL+L
et :
!Ix’ -py’>%+g+.
mier.
(&).(y)-=
caractères
sont
( 5 égaux
)
(-.l)“sXz;
1. Les d&
= (5)=-1.
(19587)
En
conclusion
1
“’
pre-
l
= y--(4x-w)
d’où :
la forme
1987 est un nombre
est centre
I
w’=q
et 17 divise
entre eux.
I
1.
1987 = La congkence
‘xa = 5 mod. 1987 est impossible,
il n’y a aucun carré dans la suite 5 + 1987y, et
1987 ne divise aucun nombre de la forme x1 - y,
x et y premiers entre eux.
3. Un exemple de Legendre.
très grand, tel que 22366891
diviseur
de a+ + 1459. »
« Prenons un nombre
mniier
et cherchons
si ce no L&it
:
p:
r-a
!,. *
“,
LES
e nombre
.m43m~p=P,1
(+>
1459 est premier,
22366891.
= ($).
p = 4k + 3
par suite
(Y).
NOMBRES
Rl?SIDUS
PREMIERS
Nous voulons
calculer
a3
(y)
-
1 pour p = 4k’D’où le tableau :
p = 20k +
:
1
1:
3
+--
(-1)“~
p = 4k f 1, et
= 1 pour
:
d’où
(&)=
QUADRATIQUES
7
9
11
13
17
19
++--+
+--+-++a-
impair, v = v,
1( = P+,
D’oit
:
++++---(Y)
=-(&)
car p E 421 mod.
=-(&),
421.~
-7j-
1
Ainsi, les diviseurs premiers de la forme XP + 5yfi,
x et y premiers entre eux, sont les nombres premiers :
20k + 1, 3, 7,9, à l’exclusion
de tous les autres.
1459.
l,ecaractèrecherché(-q)
Wsqoe
impair.
estdonc
’
r
’
est pair, ou
= (2)
puisque
1459 3 196
mod. 421. Mais 196 est un carré.
Le caractère
cherché est 1.
22366891 divise la forme x2 + 1459 ya.
4. Quels sont les nombres premiers p pour lesquels - 5 est résidu quadratique
? ou encore, pour
Lesquels xa + 5 = 0 est possible dans le corps Z/p 1
ou encore, quels sont les nombres premiers
qm
divisent la forme x4 + 5ya ?
(f)=(T).(%)
et (%).(;)=(-l)%?.z=l.
5. Soit par exemple à décomposer
en facteurs
premiers 4809 = 53a + 5 X 20a. 4809 est divisible
par 3, quotient 1603. Les autres facteurs premiers h
essayer, jusqu’à 41603
E 40, sont 7,23 et 29.
Si l’on remarque
encore, au moyen d’une table
de carrés, que 4809 = 69’ + 3 x 4a = 3 (4*+3.23*),
on voit (B 1, p. 61), que les diviseurs premiers a
essayer doivent être, de plus, de la forme 12k + 1 ou
de la forme 12k - 5. Seul 7 répond à la question :
1603 = 7 x 229. 229 est premier,
la marche de&
calculs le prouve.
D’ailleurs
229 = 20k + 9, et
229 = 12k + 1.
4809 = 3 x 7 x 229.
Donc (;)
= (;).
.duloSsont
z
0
pour
Les caractères
=lpourp=5kflet
P = 5k f 2.
quadratiques
z
0
mo=-1
UN ANNEAU
ALGÉBRIQUE
NON EUCLIDIEN
à Q. C’est la norme, N(a) tant de a que
E;;;;t
couple (a, @), N(a@) = N(a).N@).
:
N(u) = aOr ;
CHAPITRE VII
N(b) = BF
Les deux éléments conjugués
de l’équation
en t :
t* -
Nous 6tudions ici un corps algébrique
très simple,
maia dont l’arithmétique
est un peu plus difficile que
oelle des nombres naturels.
1. -
Le corps Q(i 4s)
Cousidérons
le corps Q(i@).
En posant, pour
o, c’est l’ensemble
des nombres
abréger, i$f5=
complexes a = x + yo, où x et y sont rationnels.
C’est uu sous-corps de C, corps des complexes.
L’addition
et la multiplication
des nombres
complexes sont en effet des opérations
internes à
l’ensemble
:
a, + a2 = (2, + x2) + (91 + 35) w
aia2 = (%x2- 5YlY2) + (%Y2 + XZYI) (9.
Et l’inverse
d’un élément non nul de Q(i @)
appartient
encore à Yensemble :
x
x-ycd
1-5= 1 =
Y
x2+
5yaa
x”
+
5y2
a
(x + YW) k--Y4
x+p
de ix.
et :
N(a) .N(@ = aT+@ = (a@) (3)
UN ANNEAU ALGtiBRIQUE NON EUCLIBIEN
= N(aa).
sont les deux racines
2xt + XI + 5y’ = 0.
Le trinôme
- 2xt + xa + 5ya est appelé lepolynôme caractéristique de ci.
ta
II.
-
Lea entiers
du corps
Nous appelons entier de Q(i 6).
tout éIément
dont le polynôme
caractéristique
a des coefficients
entiers.
Pour que 2x et X1 + 5ys soient entiers il faut que
x = f 2, 2 entier
(2 E Z).
Si y = f , $ fraction
réduite
(p n q = l), il faut
2’
5pa
encore que - + p soit entier.
4
Si q = 2r, p estqimpair et on a :
%’ 1s + 5p’
4r3
EZ *4PI
zlt’f
5p’
ZZZ
et z=x-yo,
deux éléSoit a =~+y&,
ments conjugués. Leur produit xe + 5ya appartient
85
ce qui implique
(IZ)~ + 5pa 13 0 mod. 4. Comme
sps = 1 mod. 4, il vient (zr)’ + 1 = 0, congruenca
impossible puisque - 1 n’est pas résidu quadratique
modulo 4.
-i..%
02
.&
LES
06
Par mite q doit
être
impair
NOMBRES
PREMIERS
UN
et :
‘g’ + 5 !g = (zq)a4;*20P’ E z.
D’où (zq)a + 20~8 E 0 mod.
dulo 4 : z est pair.
Ainsi
x =
Les
entiers
z est entier
4,
ou
(zq)” E 0 modonc
encore
y.
du corps sont,
en dernière
analyse,
x + yti où x et y appartiennent
à Z.
Leur ensemble,
qui est un module
sur Z, est de
plus,
manifestement
un anneau.
C’est
l’anneau
le8 nombres
Z(;2/3)
que nous désignerons
pour abréger
par A.
Ses éléments
inversibles
ou unités
sont + 1 et - 1.
Z est un sous-anneau
de A.
Nous savons
déjB (p. 36) que celui-ci
n’est pas
euclidien.
La décomposition
de tout
élément
en
facteurs premiers,
toujours
possible,
n’y est pas
unique.
L’étude
arithmétique
de A est donc plus
délicate
que celle de Z.
III.
-
Idéaux
de Z(i 4%)
Attachons-nous
à l’étude
des idéaux
Soit 9 l’un d’eux,
différent
de ( 0
l’un de ses éléments.
Le produit
de
ment de A appartient
encore à l’idéal.
N(a)
=
NON
EUCLIDIEN
01
-_ .s&
x$
.,,;<
*il
existe
dans
y,
u=x+yw
ylEYety,EY+(zl+yrW)+(Xg+ysO)Ef*yl+ya~Y
YEY,
UEZ =++yw)ud*yUEY’
-,!
L’idéal
Y est principal,
et ses éléments
non nuls
sont multiples
d’un entier
naturel.
Soit b cet entier
et a + bw un élément
de 9 associé. Comme
& E 3,
d E Y et b divise d, tandis que aa + 5b8 est un multiple
de d : b 1d 1 a2 + 5b2.
Si a, + bo et as + bo appartiennent
à y, il en
est de même
de leur
différence
a, - a,, nombre
rationnel,
donc multiple
de d. Ainsi
u est défini
d, et on peut toujours
le prendre
compris
modulo
entre
0 et d. C’est ce que nous ferons
désormais.
Soit tc = x + yw un élément
quelconque
de 9.
b divise y donc y=
bt, tEZ et:
.j
:;
a-t(a+bw)=x-atEZ.
de cet anneau.
} et de A, et tc
cc par tout
éléEn particulier
:
Comme
a et a + bw appartiennent
est de même
de x - at, et l’on peut
x-
ut = du,
Ainsi pour tout
entiers
rationnels
aTT=xB+5yaE4.
Maia Xa + 5y2 est un entier
naturel.
Ainsi
Z
n’est pas rkduite
g ( 0 }, et c’est d’ailleurs
un
de Z (cf. p. 20).
C’est donc,
dans Z, anneau
principal,
un
principal
et tous ses éléments
sont les multiples
~f~~13mturel
d, non
nul.
Si d = 1, 4
c..
.
ALGEBRIQUE
Soit cc = x + ya un élément
de 9 extérieur
& 2,
c’est-à-dire
pour
lequel
y # 0. Il existe
de t&
éléments,
ne serait-ce
que dw.
L’ensemble
Y des y de tous les éléments
de 3 est
encore un idéal de Z, comme
on le constate
aisément:
YEY
et 5ys aussi,
ANNEAU
n 9
il en
u E Z.
élément
cc de l’idéal,
u et t tels que :
il existe
deux
a = ud + t(a + bo).
idéal
idéal
d’un
= A
avec
à l’idéal,
poser :
Tout idéal
pour base les
complexe
(cf.
Mais c’est,
pour a = du
de A est donc un module sur Z, ayant
deux.nombres
d, rationnel,
et a + ba>,
p. 20).
de plus, un idéal. Exprimons
donc pe
+ t(a + bo), ccw appartient
encore
i
jl
.
I
5.
--?
-’
LES
NOMBRES
UN
PREMIERS
l’ensemble.
Il suffira
d’étudier
les
cas
cc
a+ bw.
Or, b divise d. Posons d = bc, d’où :
dol = bca = - UC + (a + bw) c.
=
d
et
a’=
Ïl faut donc que d divise ac.
. ? Mais d=bcjacobIa.
’ . Ainsi b doit diviser a. Posons a = be.
Alors(a+bw)w=-5b-ae+(a+bo)e.
Donc d doit diviser ae + 5b = b(e* + 5), ou
cIs”+5.
En conclusion, le module du + t(a + bo) est un
id&xl si, et seulement si, a = be, d = bc, es + 5 E 0
mod. c.
Noua noterons dksormais les bases de l’idéal md
fl m(a + o) avec Cra+ 5 E 0 mod. d, et nous repréOenterons souvent l’idéal par ses bases :
[m4 m(a + 41.
Aiors (d, a + w) est encore un idéal, comme on
peut le vérifier.
La définition
du produit de deux idéaux, montre
que :
[md, m(u + o)] = (m).(d, u + w) = (m).Y
où (m) est l’idéal
rationnel m.
IV.
principal
-
des multiples
Des idéaux
dans A du
premiers
Attachons-nous
plus particulièrement
aux idéaux
(d, a + 0). Si d = 1, alors a = 0, et l’idéal (1, w)
contenant
1 est identique
à l’anneau A.
Si d # 1, aa + 5 ss 0 modulo d, et en particulier,
d d = p est premier,
l’idéal
n’existe
que pour
P = 2Ok + 1, 3, 7 ou 9 (cf. p. 83).
ANNEAU
ALGÉBRIQUE
NON
EUCLIDIEN
89
Les congruences a2 + 5 m 0 mod. p ayant alors
deux solutions a et p - a, il existe deux idéaux,
l’idéal (p, a + w) et l’idéal (p, p - a + 0).
Ces deux idéaux sont premiers
somme contient en effet, d’une
d’autre part le nombre
:
entre eux. - Leur
part, le nombre p,
afof(-l)(p-a+o)=2a-p.
Or a < p, donc a n p = 1; p est impair, donc
Bnp=l.p
est par suite premier avec 2a -p.
On
trouvera
donc deux rationnels x et y tels que :
PXf(2U--p)y=l.
La somme des idéaux contient 1. C’est l’anneau
lui-même,
et la proposition
est établie.
Lorsque p = 2, il existe un seul idéal (2, 1 + w).
Pour p = 5, il n’y a encore qu’un seul idéal : (5, w).
Tous ces idéaux sont premiers,
(p, a + 0) G (4
car, si par exemple
(4 a’ + 4
# A
p appartient
au second idéal et il est divisible
par md. Cela exige que md = p, car d > 1.
D’où m = 1, p = d. Les idéaux sont donc identiques ou conjugués.
Mais alors ils sont premiers entre eux, et aucun
ne peut contenir l’autre.
Si maintenant
p est premier,
différent
de 2, 5,
20k + 1, 3, 7 ou 9, l’idéal principal
(p) est premier.
En effet (p) c (m) (d, u + w) # A implique
md,
divise p, et puisque md # 1, md = p. Il n’existe
pas d’idéal (p, a + w), donc d = 1, et m = p. Le
second idéal est identique
au premier.
Nous avons trouvé des idéaux premiers de l’anneau. Il n’y en a pas d’autres, la suite le prouvera.
LES
V. -
Idéaux
iVOMBRES
PREMIERS
UN
ANNEAU
ALGZ%iRZQUE
NON
C’est donc un module
conjugués
91
EUCLIDIBN
sur Z :
d%+d(a+w)v+d(d-a+o)t
Si a appartient
à l’idéal
:
+ [d(a + 4 - (a; + 511s
.Jf = (m) (4 a + 4
dora
aon conjugué
b)
Cc appartient
(4 d -
u, u, t, s, étant rationnels.
Et c’est évidemment
un
idéal. Comme as + 5 m 0 mod. d, on peut poser
u2+5=
c d, et l’idéal cherché est le produit
:
:
a+g=3
appelé pour cela le conjugué
En effet :
a=mdx+m(a+u)y
implique
à l’idéal
(d)[du+(a+w)v+(d-u+w)t+(a+o-c)sl
du premier.
:
a = mdx + m(u-w)y
= m&(x+y)
+ m(d-a+
w).(-y).
Le produit
des deux idéaux conjugués
principal
(m2 d) :
Y3 = (m2 d).
Le nombre
Ed&41 4.
Démontrons
rationnel
m2 d s’appelle
la proposition.
Comme
est l’idéal
[as+5=Omod.2
=z-a=2k+
1 +as=4k’+l
a. a2 + 5 = 4k” + 2 =z-2(2k” + 1) = dc].
la norme
de
:
33=(m)(d,a+o).(m)(d,d-a+o)
=(m”)(d,a+~)(d,d-u+w)
fl suffit
d’établir
:
Or le produit
des idéaux du premier membre est
l’ensemble
des sommes de produits
de la forme :
x [dX+(d-a+4Y
+ d(a + o) Xy + d(d -
+ Ma + 4 - (a2+ S)Iyy
Si 5 divise d, la même
divise pas c :
égalité
entraîne
qu’il
ne
[5 1a2 + 5 =r 5 1Q = 5b,
5(5ba + 1) = dc =E-5 f c].
Les nombres 2a, d et c sont donc dans toua les cas
premiers entre eux dans leur ensemble et il existe X,
y, 29 tels que 2ax + dy + ca = 1. Le module
contient 1, et comme c’est un idéal, c’est A lui-même.
(d,a+w).(d,d-a+@)=(d).
[h+(a+dyl
= d2xX
Il auffit de montrer que le module entre crocheta
est A. Il contient les nombres d (u = 1, w = t = s = 0)
et2a-d(u=s=O,v=-t=l)doncauaai2a.
Il contient également
c (u = t = 0, 2, = - 8 = 1).
Comme aa + 5 = dc, tout facteur commun a a et
à d OU à c divise 5. C’est donc 1 ou 5.
Si d est pair, « as + 5 = dc N entraîne l’imparité
de a et de c :
a + o) xY
Applications.
- 1)4Xfl=YXZ,J#{O)entraîne 3 = Y, ou, dans la multiplication
des idhux,
tout id&31 non nul est régulier.
Multiplions
en effet par 3 les deux membrea dc
9 X% = Y X 37 et soit 3.J
= (n). Il vient :
(4 % = (4 Lf#
UN
L’idéal
(n) est l’ensemble
des multiples
de n.
L’idéal (n)f
est donc l’ensemble
des éléments na,
o$ a appartient
à $. De même (n) %- est l’ensemble
des élkments
np, oti p appartient
h X. Puisque
(~)y = (n) Y, à tout a de y, on peut associer un a
de JT tel que na = np ou a = p. Réciproquement
à
tout 8 de %, on peut trouver un égal dans f. Donc
# = xl
2) (pIa+
x (P,P--“+O)=(P).
3) Si d est premier avec d’, il existe dans Z x et y
tels que dx + d’y = 1. Les idéaux Y = (d, a + o),
Y = (al, a’ + 0) sont alors premiers
entre eux.
& appartient
à Y, a’ + w appartient
à Y, donc
&(a’ + w) appartient
à 9.9’.
Il en est de même
de d’ y(a + 0). Le produit contient donc :
a’dx+ad’y+(dx+d’y)o
a” + w avec a” = a mod. d et a” = a’
mod. d’. 11 est par suite de la forme (d”, a” + 0).
c’eet-Mire
(ci”) = (4.3’)
(m)
= (9.3)
(9’ .3’)
=
(dd’).
Rkciproquement,
soit un idéal (dd’, a” + w) avec
dn d’ = 1.
Comme a”2 + 5 z 0 mod. dd’, implique
:
a”= + 5 = 0 mod. d
il existe un idéal (d, a + w) avec a E a” mod. d,
O<a<d.
De même, il existe un idéal (d’, a’ + o) avec
a’ E a” mod. d’, 0 < a’ < d’.
Leur produit est un idéal (dd’, n + 0).
Puisque le produit est ici l’intersection
des idéaux,
m + o E (d, a + o), et par suite m = a mod. d.
De même, m E a’ mod. d’. D’où m I a” mod. dd’
(ef. p. 51), et puisque
a”, m E ( 0, 1, . . . , dd’ },
n F a”.
ANNEAU
ALGÉBRIOUE
NON
EUCLIDIEN
93
Conséquence. - Tout idéal (m) (d, a + o) se dBcompose en produit de facteurs des formes(p”
p premier, et (p”, a + o), p premier.
Exemple
:
(10) (18,7
VI.
+ 0) = (2) (5) (997 + 4 (291 + a).
-
Puissances
d’idéaux
premiers
Il reste à nous occuper des idéaux (pu, a + w).
Pour un idéal de cette espèce, on doit avoir
a* + 5 s 0
a2 + 5 E 0 mod. pu , ce (ru; implique
mod. p.
Cette dernière congruence a deux solutions daus
Z/p. a, et a2 (avec a2 = p-ci).
a s a, mod. p ou
a E a, mod. p.
Supposons avoir résolu aa + 5 = 0 mod. p’-l,
et
que cette congruence
n’ait que deux racines dam
Z/p”-l,
as et a*.
Alors a2 + 5 E 0 mod. pu impliquant
as + 5 E 0
mod. pu-l, a s a3 ou a E a, mod. pu-‘.
Par exemple, a = as mod. pu-’ et a E as = 4
mod. 0.
Posons a = a3 + pu-’ x.
Il vient ai + 2cr,xpuS1 + x2p2(u-1) + 5 3 0 mod.p”.
Mais 4 + 5 = bp”-l,
d’où, aprhs simplification,
et si 2u - 2 > u, soit u 2 2 :
2asx + b z 0mod.p.
x est bien défini modulo p.
D’où, par récurrence,
pour toute puissance U, il
existe deux, et seulement deux idéaux (p”, a + 0).
Or (p, a + w)” a pour module pu, et il est de la
forme (pu, a’ + w). Montrons-le
par récurrence, en
l’admettant
pour u et en le démontrant
alors pour
uf
1.
LES
*t: .,H
__-
hz;
a’ + w) .(p,
P”+I x:+ P(“’
+ 0)
NOMBRES
PREMIERS
a + w) a tous ses termes
y
+$z
UN
de la
+ 4 2
au’ - 5 + (a + a’) ca]
t.
a=a’mod.p=z-a+a’=Za,eta+a’estpremier
avec p. En prenant x = z = 0, py + (a + a’) t = 1,
on voit que l’idéal contient un terme u” + o, ce qui
établit la proposition.
Ce terme est :
a’py + (ad - 5) t + w.
Reste A prouver
que son élément
congru à a mod. p. Mais 2at s 1 :
rationnel
est
a’py+(uu’-5)t=(ua’-5)t=rmod.p.
Multiplions
-5)
par 2a :
s 2ar
ou d-5
E 2ar.
W’
Or aa + 5 s 0, donc 2ar = - 10, ar + 5 = 0,
ar E aa, r s a.
Par récurrence la proposition
est établie, à savoir :
(pu, a’ + 4 = (p, a + 4”.
Ceci lorsque p est distinct de 2 ou de 5.
Idéaux (2”, a + w). - Pour u > 2, « a2 + 5 E 0
mod.2”,impliquea2
+ 5 E Omod.4ouaaf
1 E 0,
congruence impossible.
Il n’existe donc pas de tels
idéaux.
Donc (2,1 + a)*, qui a pour module 4, est de
la forme (m) (d, a + 0) avec m > 1.
4=m2d
implique
m=2,
d=l,
et par suite
(2,l + fq = (2).
Iddaux (5”, a + w). - On doit avoir a2 + 5 = 0
mod. Su, d’où a = 5b, 5b2 + 1 z 0 mod. 5“-l ou
1 s 0 mod. 5 si u > 2. Ce qui est impossible.
Il
n’existe donc pas de tels idéaux.
ANNEAU
ALG.@BRIOUE
NON
EUCLIDIEN
95
(5, CA)~ est donc de la forme (m) (d, a + w) avec
est 52 = m2 d, d’où d = 1,
m > 1. Sa norme
(d, a + W) = A, et (5, a)2 = (5).
VII.
-
Décomposition
en facteurs
premiers
Nous connaissons désormais tous les idéaux premiers de A, et nous savons décomposer un idéal en
produit
de facteurs
premiers.
Par exemple, revenons à l’idéal (10).(18, 7 + w).
Nous l’avons déjà décomposé en
(2) (5) (997 + 0) (2, 1 + 6.9.
Mais (2) = (2, 1 + ti)2, et (5) = (5, w)2,
(9, 7 + w) = (3, 1 + oy.
D’où :
(10) (18, 7 + o) = (2, 1 + 0)~.(3, 1 + ~)~.(5, o)?
Reste à savoir si la décomposition
est unique.
Or, nous avons laissé, p. 17, une question en suspens : Si l’idéal
premier
B contient
l’idéal 4,
B divise-t-il
3 ?
Si B est un idéal premier principal
(p), tout élément de 9, donc tout élément de 9 est divisible parp.
3 est donc de la forme (m) (d, a + o) avec m = pn.
Alors 4 = (p). (rt). (d, a + w) et la réponse est
affirmative.
Si 9 est un idéal premier (p, a + w) et :
3 = (m) (a+' + 0)
alors tout élément rationnel de 4 est divisible par p.
Mais le p.g.c.d. de ces éléments est md. Donc p,
premier, divise soit m soit a. Si p divise m, (p, a + w)
divise (p) qui divise(m) qui divise 4. Donc (p, a + o)
divise 9.
Si p ne divise pas m, il divise a, soit a = pu .a' ;
d’ n p = 1. Alors :
(a,~' + 0) = (pu,a” + ~).(a', ~3"'+ w).
LES NOMBRES
.- !%
la
PREMIERS
$ a” z a mod. p, (p”, a” + o) = (p, a + CO)* et
roposition
est encore établie.
!Yi a” =p-a
mod. p :
(p”, a” + 0) = (p,p
-
-
Idéaux
principaux
de Z(i 45)
Soit a = m(xo + yew), x0 n yo = 1; un élément arbitraire de l’anneau A. Quel est l’idéal des multiples
de a ? Il est manifestement
le produit par (m) de l’idéal
des multiples
de xc + yeo. Ce dernier ne contient
plus de diviseur rationnel, puisque x0 et yo sont premiers entre eux. Il est donc de la forme (d, a + o) et
nous devons déterminer
a et d en fonction de x, et y,,
Tout multiple
de x,, + y,,~ s’écrit :
kil + Y04 (x + Y4 = xx0 - %Y0 + @Yo + Fo) a*
Choisissons x et y de façon à ce que le coefficient
de w soit 1 : zyo + yxo = 1.
ALGÉBRIQUE
NON EUCLIDIEN
Cette équation
de Bachet est possible,
X0” yo= 1.
Si x,, y1 en est une solution :
a + w)” = (P)U.
Mais alors B est premier avec p (cf. p. 89), donc
avec (P)u. Il est premier avec (d’, a”’ + w) puisque
p n d’ = 1 (cf. p. 92). Il est donc premier avec le
produit
(d, a + o) et ne peut le contenir.
Ce cas
est impossible.
En conclusion,
dans Z(i d5),
3 c Y *B 19.
Un idéal premier qui divise un produit
de deux
facteurs divise au moins l’un des facteurs.
En effet B divisant
le produit X x $ contient
ce produit. S’il contient Y, il le divise d’après ce qui
précède et la proposition
est établie. S’il ne contient
pas 4, il est premier avec lui (cf. p. 17). Donc il
divise/
(cf. p. 16).
Cette dernidre proposition
permet d’établir l’unicité
de lu décomposition en facteurs premiers. Il suffit en
effet de reprendre le raisonnement
de la p. 40.
VIII.
UN ANNEAU
x =
?l+
txo,
97
puisque
Y = Y1-%
d’où :
a = x1x0 - 5Yl Y0 + 64 + 5%).
Mais nous avons vu, p. 87, que a est déterminé
modulo d, donc d = xi + 5~:. C’est la norme do
diviseur
donné x0 + y0 w. Ainsi, pour qu’un idéal
(m) (d, a + w) soit principal,
il faut que d soit la
norme d’un élément de A.
Si d = xi + 5~0, x0 n y0 = 1, il suffira
que
a = %x0 - 5y1yo, avec x, y0 + ylxo = 1.
a + 0 est alors (x0 +y04
(% +y14
Exemples.
Idéal
-
Idéal principal
principal
(1 + w).
z+y=l+-x=1+2,
C’est
l’idéal
Idéal
dego!
(w). C’est l’idéal
-
N(l
premier
y=O-t,
a=1+6c.
(6, 1 + w) = (2, 1 + o) (3, 1 + 0).
principal
(1 -w).
C’est le conjugué
5 + a) = (2,l + w) (3,2 + a).
(6) = (6,:l
(5,~).
+ w) = 6.
du précé-
+ o) (6, 5 + w) = (2,1 + w)s (3,2 + w) (3,1 + w)
tandis que (2)
Que l’on se
en produit de
celle de l’idéal
IX.
Tous les
(p = 20k +
Si (p, a +
son conjugué
de x0 - yoo.
principal,
il
J. ITARD
= (2, 1 + w)” et que (3) = (3,2 + o) (3.1 + w).
reporte à la p. 36, et à la décomposition de 4
facteurs premiers.
Elle n’était pas unique, ruaie
(6) est, quant à elle, bien définie.
-
Idéaux
premiers
principaux
idéaux premiers
(p) sont principaux
11, 13, 17, 19).
w) est idéal des multiples de x0 + yow,
( p, p - a + w) est celui des multiples
Pour qu’un idéal de cette forme soit
faut et il suffit que p = xa + 59. Si
7
.
LES
NOMBRES
PREMIERS
tout’ diviseur
premier de cette forme quadratique
était aussi de la forme, tous les idéaux premiers
de Z(i d5) seraient principaux
et la décomposition
en facteurs premiers serait unique sur l’anneau. Or
noua savons que cela n’a pas lieu, donc, dans Z,
tout diviseur premier de la forme ~2 + 5~’ n’est pas
de cette forme.
On démontre en effet que, si p, premier, divise la
forme xs + 5~2, il est de la forme xs + 5y2 si et
seulement si p = 20k + 1,9.
Exemples. - 29=32+5x
22;41=62+5~
12.
Au contrairep
= 20k + 3,i’, diviseur de xs + 5y2
est de la forme 2x2 + 2xy + 3y2.
Exemples
: 23 = 2(- 1)2 + 2(- 1) .3 + 3.32
43 = 2.42 + 2.4 + 3.1s.
Les idéaux premiers principaux
sont donc les seuls
idbaux (p), p = 20k + 11,13,17,19,
ou (p, a + o),
P = 20k + 1,9.
La formule 2(2x2 + 2xy + 3y2) = (2x + y)2 + 5y2
montre que, pour p = 20k + 3, 7, l’idéal :
(p,a+4.(%1+4
est un idéal principal.
On en déduit que le carré de
tout idéal premier, puis le carré de tout idéal, est
principal.
Remarque. - On aurait pu procéder exactement
comme nous venons de le faire, dans l’anneau de
Gauss (Z, i). Les idéaux de cet anneau peuvent se
y;~;;
la forme (m) (d, a + i) avec d 1a2 + 1,
.
.
Sont premiers les idéaux (p), p ne divisant pas
Zo + 1, c’est+dire
p Btant de la forme 4k + 3.
Les autres idéaux
premiers
sont les idéaux
(p, a + o),p = 4k + 1, et par suite divisant a2 + 1,
UN
ANNEAU
ALGÉBRIQUE
NON
EUCLIDIEN
99
ce qui donne pour chaque p, deux idbaux premiers
conjugués.
Mais de plus, l’anneau étant euclidien, nous savona
qu’il est principal.
Chaque idéal étant principal,
lorsque p est de la
forme 4k + 1, il est égal au module d’un éUment de
l’anneau.
Il est donc de la forme x2 + y’. NO~
retrouvons
le théorème de Fermat : Tout nombre premier congru ct 1 modulo 4 est la somme de deux carr&.
On montrerait
de même, en étudiant
l’anneau
euclidien
Z( 2/2), que tout diviseur premier de la
forme x2 - 2ys est aussi de cette forme.
x. -
Congrueneos
dans Z(i 45)
Nous disons que u et fi sont congrus modulo 3,
Y étant un idgal, si a - @E .Y.
On note la congruence a = p modulo 4.
On vérifie que c’est une relation
d’équivalence
qui effectue sur A une partition
en classes d’#quivalente. Soit A/# l’ensemble
de ces classes.
Les classes sont en nombre fini.
En effet, soit :
9 = (m) (d, u + w) = (md, ma + mw),
si a = x + y~, divisons
dienne) :
y=qm+r,
a est 6quivalent
y par
m (division
OGr<m
à :
x+yo-q(am+mo)=(x-amq)+ro.
Divisons
alors x - umq par md,
z---amq=
(md)q’+s
O< s<
CLest équivalent
à s + r-w.
md
eucli-
LES
100
NOMBRES
PREMIERS
Le nombre des classes est alors md x
la norme de l’idéal. Cela, d’ailleurs,
de ddfinition
pour cette norme.
m = m2d.
sert sou-
C’est
vent
XI.
-
Anneau
résiduel
modulo
On défi&
sur A/fl une addition,
8 z p’ mod. 4 » équivaut
à :
a-a’E3,
f3-P’ES
d’où
9
CHAPITRE
VIII
car « a 3 a’ et
SOMME
DE
QUATRE
CARRI%
:
(a-
et par
a’) +
(P -
suite
:
(3’) = (a + B) -
(a’ +
a + p = a’ + p’.
De
même
:
QP -a’P’=a@-p’)+P’(tC--a’)EU14
L’ensemble
A/9
XII.
*a@=
est donc uu anneau
-
Corps
modulo
a’p’.
hi.
B
Si l’idéal est premier, l’anneau est un corps. Soit
en effet a un élément d’une classe non nulle : B ne
contient
pas l’idéal (a).
Il est donc premier avec lui, et :
.
(a) + B = A.
On trouve
alors dans (a) et dans B deux éléments,
ax et y tels que ax+y=l.
Mais y~g,
donc
ax E 1 mod. 9, et la classe de x est l’inverse
de
la classe de a. Ce qui démontre la proposition.
Si p = 20k + 11, 13, 17, 19, le corps comprend
p* éléments.
Si p = 20k + 1, 3, 7, 9, il en comprend
p et
s’identifie
à
Zlp.
I.-origiuw
P’) E 3
Bachet de Méziriac,
dans son commentaire
sur Diophaute
(1621), constate
que ce dernier
assume,
sans preuves,
la
possibilité
de diviser un entier arbitraire,
en une somme de
quatre carrés entiers. R donne alors une table qui montre
l’exactitude
de cette assertion pour les 120 premiers
entiers,
et il déclare qu’il a poussé ses recherches jusqu’a 325.
Fermat,
dans son Diophanta
posthume
de 1670, ajoute :
« Bien plus, il y a une proposition
très belle et tout B fait générale
que j’ai été le premier à découvrir
: Tout nombre est soit un
triangle,
soit somme de deux ou trois triangles ; soit carré,
soit somme de 2, 3 ou 4 carrés ; soit pentagone,
soit somme
de 2, 3, 4 ou 5 pentagones,
et ainsi de suite indéfiniment...
Je ne puis en donner ici la démonstration,
qui d6pend de
nombreux
et abstrus
mystères
de la science des nombres;
j’ai l’intension
de consacrer
à ce sujet un livre entier et de
faire accomplir
ainsi B cette partie de l’arithmétique
des
progrès étonnants
au-delà des bornes anciennement
c0nnues.n
Revenant
en 1659 sur le théorème de Bachet : Tout rwmbre
est carré ou composé de deux, de trois ou ‘de quatre con&, il
déclare que la solution
en est malaisée et qu’on n’y arrive
qu’avec une peine extrême. Mais il l’a rangé sous sa méthode
de descente infinie.
II.
-
Une
identité
d’Euler
Comme il n’est rien resté de ses travaux
sur la
question, Euler s’est longtemps fatigué à la résoudre.
Il établit d’abord à ce sujet plusieurs belles propo-
LES
102
NOMBRES
PREMIERS
aitions, mais il était rkservé à Lagrange,
qui recon&t
tout ce qu’il doit à son aîné, d’aboutir
enfin
en 1770 g une dkmonstration
incontestable
du théorame de Bachet. D’ailleurs,
en 1773, Euler améliore
a Bon tour cette preuve.
Dès le dhbut de ses recherches, il avait trouvé une
formule algfbrique
fondamentale,
que voici :
(0’ + P + Cp + dB) (aa + Ba + yz + V
= As + Bs + Cs + D2
avec :
A=az+b@+cy+dS
ba + c8 - dy
B=ueb8 - ca + df3
c=uyD = a8 + by-+-du.
Cette formule, valable sur tout anneau commutatif, est facile B vérifier,
ce qui ne signifie nullement
qu’elle ait été facile à trouver.
entre les quatre
carrés de
Des permutations
chaque somme étant permises, et la donnée du carré
d’un nombre laissant pour le choix de celui-ci deux
ssibilitb,
on peut donner à A, B, C, D d’autres
r ormes que celle indiquée
ci-dessus.
On obtient ainsi 96 expressions diffkrentes.
III.
-
Démonstration
Chaque nombre ktant un produit de facteurs premiers, il suffit d’établir le théorème de Bachet pour
les nombres premiers, pour que, grâce B la formule
d’Euler, il soit établi pour tout entier.
Le nombre 2 est somme de quatre carrés, premiers
entre eux d’ailleurs : 2 = 1s + la + Oa + 08.
Montrons
que tout premier
impair
divise une
Wmme de quatre carrés premiers entre eux.
SOMME
DE
QUATRE
En effet, si nous pouvons
CARRÉS
102
1 est résidu quadratique
modulo p,
écrire aa + 1 z 0 mod. p, soit
a2 + 1 = pq, avec a compris entre 0 et f p. (Puisque
a2 E (p - a)2 mod. p.) D’où :
pq=az+l<J
4p2+1
et
q<ip.
L a proposition
est en ce cas démontrée.
Les
quatre carrés premiers entre eux sont : 02, Os, la et a*.
Si - 1 est non-résidu,
soit 1, rs, rs, . . ., l’en1
semble des 2 (p - 1) résidus. Formons l’ensemble
1 + 0, 1 + 1, 1 + rs, 1 + rs...
Il contient
i (p f
1) éléments
distincts
entre eux
modulo p. Aucun n’est nul modulo p, sans quoi
1 + ri = 0 équivaudrait
à - 1 z ri, cas exclu par
hypothèse (- 1 est non-résidu).
Les éléments sont distincts, puisque 1 + r, 3 1 + r
équivaut
à rc = rj, ce P; est exclu.
1
Parmi les2 (p + 1) éléments de l’ensemble, un au
moins
est donc
non-résidu,
puisqu’il
n’y
a que
1) résidus. Soit par exemple
1 + r F! n
&P(mod. p), n non résidu, et (- 1) x n = r’, r’ résidu
comme produit
de deux non-r&idus.
Alors 1 + r + r’ E 0 mod. p, et si u* = r, V ESr’,
1 + as + b2 z 0 soit 1 + d + ba = pq.
Comme l’on peut toujours
supposer a et b inf&
rieursà~p,pq=l+d+b~<l+~paetq<~p.
La proposition
carrés sont, soit
est donc générale.
Les quatre
ceux de 0, 0, 1 et a, premiers
e,
LES
1@4
entre eux, soit ceux
entre eux.
De plus, le quotient
NOMBRES
SOMME
PREMIERS
de 0, 1, a et 6, premiers
q est inférieur
a i p ou g f p. Il nous suffira
selon le cas
d’ailleurs
inférieur
à p.
soit donc, d’une façon générale
aa + b2 + c2 + d2 = pq,
de le savoir
:
q< p
(1)
p premier impair, a, b, c, d premiers entre ew dans
leur ensemble.
Prenons les restes minimaux
de a, b, c, d par q :
DE
QUATRE
105
CARRES
Nf
‘u!
Alors a, b, c, d sont multiples
de m, et, puisque
les quatre nombres sont premiers entre eux, m =e 1.
En ce cas q = 2 et a2 + b2 + c2 + d2 = 2p.
Un carré étant congru soit à zéro, soit à 1 modulo 4, alors que 2p est congru à 2, deux des nombres, a et b, sont pairs et les deux autres, c et d,
impairs.
a+b
ab c+d
c-d
--j-‘2’-jf--9
2
sont entiers
(!q2
et :
+ (a+)‘+
(cq)‘+
(9)’
I
= i (a2 + P + ca + tP) = p.
Le théorème est établi pour p.
Dans tout autre cas, r < q.
Multiplions
alors (1) par (2). Il vient
:
A2+B2+C2+D2=prq2.
Mais :
a r, a mod. q implique
a2 z c? (mod. q), etc., donc
a* + p2 + y2 + S2 G a2 + b2 + c2 + ds
et par suite
:
u2 + p2 + y2 + 62 = qr.
Bhis aa Q a $, etc., d’où r < q.
L’égalité
n’a lieu que si :
a=B=y=a=iq=m
(m entier
puisque
a est entier),
(mod.
q)
(2)
‘i
A = aa + bp + cy + d8
= q(xct + y@ + zy + t8) + a2 + fd2 + ys + S2
=q(=+yP+zy+ts+r)=A’q
B=q(x@-ya+&-ty)=B’q
A’:
:,
;
de même :
C=C’q
et
;
D=D’q.
D’où :
prq2=A~+B2+C2+D2=q2(A’2+B’2+C’2+b’$)
_ ‘;
L
et donc :
A’2 + B’2 + C’z + D’2 = pr.
::
1
1.I2
106
LES
NOMBRES
PREMIERS
Nous voici amenés à une somme de quatre carrés
multiples de p, le quotient T étant inférieur
au précédent q.
Si les carrés ne sont pas premiers entre eux, soit
m* leur p.g.c.d.
Alors, en posant A’ = am, etc. :
(as + b* +
c* +
Si p est distinct de 1 ou de 2, on procédera comme
ci-deseus et l’on trouvera
une nouvelle
somme de
quatre carrés, multiple de p, mais avec un nouveau
quotient
infkrieur
aux précédents.
On arrivera,
aprL un nombre tlni de calculs, à p = 2 ou p = 1.
Le théorème de Bachet est ainsi démontré pour
les nombres premiers, donc, pour tous les nombres.
Quant B la généralisation
par Fermat
sur les nombres
polygones,
que nous avons signalée au début de ce chapitre,
alla dut attendre
1812 pour être complètement
démontrée
pu Cauchy.
La dbnonstration
de Cauchy précise d’ailleurs
l’énoncé de
Fennat : parmi les A polygones dont la somme égale le nombre
arbitrairement
choisi, n - 4 sont égaux à 0 ou à 1.
-
Problème
DE
QUATRE
CARRI?%
Le premier résultat
est celui publié
La démonstration
est à notre portée.
On vérifie sans mal que :
par
Liouville, en 185%
6X2 = 6(r2 + y2 + z2 + t2)2
= (% + Y)” + (x -Y)4
+ b + v + tz - :Y
+ (% + z)4 + (% - d4 + (t + Y)4+
0 -ur
+ (x + ty + tx - tj4 + (.Y+ 4' + CY- %Y
dz) m2 = pr.
ma < pr < ps, ne peut pas être multiple de p. Il est
donc premier avec lui et divise r. Posons r = m2p.
Apr&e simplification
:
Or + ba + t9 + da = pp
avec p < T < q < p.
IV.
SOMME
de Waring
Rap elons ce qu’est le problème de Waring : cr Déterminer
le no n?b re de représentations
d’un nombre n comme homme
da p puisrancecl k, positives.
‘I> (Pour quelques détails historiqnas, cf. B 1, p. 123. Pour les démonstrations
élémentaires
de Y. Linnik et A. Khintchine,
cf. B 5, chap. II.)
Wuiug
avait avancé en 1770 que tout nombre est au plus
la somme de quatre carrés, de neuf cubes, de 19 puissances 4 etc.
Il n’avait fourni aucune preuve.
et comme tout nombre X est somme de quatre carrés, tout
nombre
de la forme 6Xa est la somme de 12 quatrièmes
puissances.
Par suite, tout nombre de la forme 6(Xa + Ys + Z’ + T*),
c’est-à-dire
(th. de Bachet), tout multiple de 6 est la sormne
de 48 quatrièmes
puissances.
Comme tout nombre s’écrit 6m + 0, 1, 2, 3, 4 ou 5, tout
nombre est au plus la somme de 53 quatrièmes
puissances.
Pour les sommes de cubes, Maillet a établi en 1895 que tout
nombre est la somme de 17 cubes au plus (résultat
am6lior6
par Wicferich
eu 1909 : 9 cubes au plus). Nous ne donnerons
pas la démonstration
de Maillet, mais en voici 1’ident.U
de
départ :
~x(~~+Y~+z~+~~)=(z+Y)~+(~-Y)B
+ (XT+ #
+ (x -
zy + (z + ty + (z -
:y.
-
:$
.*;
*
.
‘,.
CORPS
CHAPITRE
CORPS FINIS
1. -
IX
OU CORPS
DE GALOIS
Corps de Galois
Nous allons, dans ce chapitre, rechercher tous les
corps finis commutatifs,
puis nous montrerons
que
tout corps fini est de cette espèce.
Nous avons déjà constaté que tout corps fini,
commutatif
ou non, contient
un sous-corps primitif z/p (cf. p. 49).
Soit alors un corps K fini, commutatif,
à n éléments, et de caractéristique
p. Tous les éléments
sont solutions de l’équation
x” - x = 0 (cf. p. 57).
Le polyname
xn - x n’a donc sur le corps d’autres
facteurs premiers que des facteurs du premier degré.
Si a est un élément de K, il est racine de xn - x,
donc racine d’un et d’un seul des facteurs premiers
de ce polynôme
sur Z[p. Soit F(x) ce facteur,
et
r son degré. Si nous formons tous les p’ polynômes
en a, de degré au plus égal à r - 1, et à coefficients
dans Z/p, tous ces polynômes
appartiennent
à K,
et forment un ensemble qui n’est autre que le corps
des résidus modulo F, sur Zlp.
C’est un sous-corps A, de K. Si c’est K lui-même,
celui-ci est de puissance p’ = n. Sinon, prenons
dans K un élhment a’ n’appartenant
pas à A.
Décomposons
xn - x en facteurs
premiers non
FINIS
OU
CORPS
DE
GALOIS
109
plus sur Z/p, mais sur A. a’ est racine de l’un - et
d’un seul - de ces facteurs, <p(x) de degré S.
Les polynômes
en a’, de degrés inférieurs
& s, B
coefficients dans A, forment un corps, le corps résiduel modulo @ sur A. Il contient (PT)’ = p” 616
ments. C’est un sous-corps de K et un sur-corps B
de A.
Si B n’est pas K lui-même, on recommencera.
Au
bout d’un nombre fini
de pas, on arrivera
au
corps K dont le nombre n d’éléments est ainsi toujours une puissance de p : n = p”. Voici donc un
d’un corps
premier résultat : Le nombre d’éhhents
fini commutatif
est toujours
une puissance
d’un
nombre premier. Puisque n = p”, les éléments de K
sont tous racines du polynôme
xpm - x. Or, on
démontre que sur Z/p ce polynôme admet au moins
un. facteur premier
F de degré m (théorème
de
Serret, 1855. Cf. J.-A. Serret, Cours d’algdbre supérieure). Soit a une des racines de F dans K.
L’ensemble
des p” polynômes
en a, de degrés
inférieurs
à m, et à coefficients
dans Zlp, est u~1
sous-ensemble
de K, de même puissance que lui.
C’est donc K lui-même.
Mais c’est d’autre part le corps résiduel modula
F(x) des polynômes
de Z/p [x].
Ainsi tous les corps finis sont des corps résiduels
de polynômes,
et - à un isomorphisme
près bien
entendu - on peut dire que pour tout premier p
et tout naturel m, il existe un et un seul Corps &li
ayant p” éléments.
Soit un élément arbitraire
a d’un tel corps. On
sait qu’il est une racine de l’unité (cf. p. 57). Soit.g
son gaussien, c’est-à-dire le plus petit nombre naturel tel que c? = 1. Les exposants 24tels que au = I
forment
dans Z un idéal dont le diviseur
est g. *
”
..
”
\^.j
: ,*
.,
>
LES
-110
NOMBRES
PREMIERS
CORPS
En particulier
g divise pm - 1. x* - 1 = 0 a exactement
cp(g) racines
primitives
qui
sont
a, a”,
a”, . . .; 1 , r I, r s. . . , étant les cp(g) nombres
premiers
i g qui lui sont inférieures.
En utilisant
le théorème
de Gauss, d$~(d)
= m,
on démontre
alors,
comme
ci-dessus,
corps fini K, de pm éléments,
possède
ments
primitifs.
Si a est l’un
d’eux,
non nul est une puissance
de a.
p. 64,
que
(p(p” tout
le
1) élé-
élément
Eawnples.
- Il existe un seul corps 212 à deux éléments 0
et 1. Il existe un corps A quatre éléments, dont nous
avons
donné phrs haut, p. 49, les deux tables d’addition
et de multiplication.
Il existe un corps
à huit éléments,
c’est le corps
rCsidue1 modulo .zs + a? + 1 dans l’anneau Z/2 [s] des polyn6mes A coefficients
dans Z/2. On obtiendrait
le même corps
en utilisant
l’autre
polyn6me
premier
du troisième
degré,
zs + x + 1. Il existe un corps A neuf éléments, corps
résiduel
modulo zs + x + 2 dans l’anneau
Z/3 [z] des polynômes
A
coefficients
dans 213.
11 existe un corps à 22 118 209 éléments...
Noua connaissons
ainsi tous les corps de Galois,
c’est-Mire
tous les corps finis commutatifs.
Comme
il existe
des corps non commutatifs,
les quaternions
par exemple,
on peut se demander
s’il en est qui
soient
finis.
La réponse
est négative.
de J. Macl&nTout
corps
Théorème
Wedderlmrn
fini
(1905)
:
est commutatif
Soit, si possible, un corps fini non commutatif
K. Il a une
p, nombre premier naturel. Il admet Z/p parmi
sea sous-corps.
Tout élément a de K permute avec les éléments
de Z/p et avec ses propres
puissances,
donc avec tous les
polym3mes P(a) A coefficients
dans Z/p, polynômes
qui sont
cvidemment
des elémenta de K.
K admet des BOUS-corps,
lesquels contiennent
tous le corps
esraet&ristique
FINIS
OU
CORPS
DE
GALOIS
111
primitif
Z/p. S’il en existe un qui soit non commutatif,
substituons-le à K. Recommençons
s’il
y a lieu. Nous
arrivero~
au bout d’un nombre fini de substitutions
A un corps
uou
commutatif
minimal - en ce sens que tous ses sons-corps
seront commutatifs.
C’est lui que nous désignerons
désormais par K. Il contient
au moins deux éléments a et b qui ne commutent
pas entre
eux, c’est-à-dire
tels que ab # ba.
D’ailleurs
o et b sont dans K des racines de l’unité (cf. p. 43).
Soit a”’ la puissance positive minimale de a telle que as’ = 1.
Pour tout 0 < n < m, on aura donc an # 1.
Alors l’équation
rm - 1 = 0 admet dans K, m racines distinctes qui sont 1, o, as, . . ., umV1.
Sur Z/p, xm - 1 se décompose
en un produit
de factanrs
premiers.
a est racine de l’un de ces facteurs,
F, de degré r.
Les polynômes en a à coefficients
dans Z/p, modulo F, forment
un corps commutatif
A, sous-corps
de K, ayant p’ éléments.
C’est le plus petit sous-corps
contenant
a.
Le polynôme xm - 1 est décomposable
dans A, donc dans K :
xm - 1 = (X - 1) (z - a) (z - aa), . . ., (x 7 am-l).
Il ne peut admettre
dans K aucun
iE{O,1,2,
autre
zéro que cri :
. . . . m-l}.
En effet, pour que dans un corps un produit s’annule, il faut
et il suffit que l’un de ses facteurs
s’annule.
Tout ce qui vient d’être dit pour a se répète pour b, contenu
dans un sous-corps
commutatif
B, et racine de l’équation
xn - 1 = 0, le polynôme
z” - 1 n’ayant
pour zéros dans K
que 1, b, bs, . . ., bn-l.
Les corps A et B sont distincts,
et aucun n’est contenu dans
Le plus petit corps
l’autre
sans quoi a et b commuteraient.
les contenant
tous deux est K, sinon un certain BO~B-CO~~B
de K ne serait pas commutatif,
hypothèse
déjA exclue.
Certaines puissances
de a commutent
avec b puisque, par
exemple, 0.b
= 1.6 = b.1 = b.a”‘.
Leurs exposants
forment
dans Z un idéal, ce qui est facile
à vérifier.
L’ensemble
E de ces exposants
possède donc un diviseur
r > 1 tel que as b = bau implique
u = kr. En particulier
m = kt (r = 1 impliquerait
ab = ba, contre
l’hypothèse).
Admettons
l’existence
d’une puissance
a* ne commutant
pas avec b, s > 1 divisant
m : m = SU. Alors os satisfait
A
l’équation
x” - 1 = 0, et au lieu de raisonner
sur
a,
on raisonnera sur os.
112
LES
NOMBRES
PREMIERS
On peut donc admettre
que toute puissance
de a dont
l’exposant,
diff&ent
de 1, divise m, commute
avec b, et que
tonte pniseance de b dont l’expoeant,
différent
de 1, divise n,
commute avec a.
Dans css conditions, m et R sont des puissances L deux nombrss
Jw8miar8.
En effet, si m = u.8, u et v premiers
entre eux, au et au
commutent
avec b, u et v appartiennent
donc & l’idéal E des
mposanta
des puissances
c&&mtahles
avec b. u et v étant
premiers entre eux, le diviseur de l’idéal est 1, cas rejeté plus
haut : il entraîne
ab = ba.
Donc m = qa. De même n = qf.
Considérons
dans K l’application
n + X avec X = b-’ zb.
Elle eet d6finie sur K.
Elle est compatible
avec l’addition
:
L+(x
+ y) b = b-l zb + b-‘yb
et avec la multiplication
:
b-‘xyb
= b-l
xb. b-fyb.
C’est un automorphisme
de K. Ce n’est pas l’application
identique
puisque
a # b-lab.
Mais, tout élément de B est
appliquk
sur lui-même
puisque B est commutatif
et que b
en est un élément. Le sous-corps
A est appliqué sur un souscorps A’ isomorphe.
Le polynôme
xm - 1 a tous les zéros
dans A, il a donc aussi tous ses zéros dans A’.
Mai8 il ne s’annule, avons-nous
remarqué, que pour les puiseances de o, donc b-l ab = au (au racine primitive
de P1,
done u premier
avec m, mais il nous suffit
de savoir que
1 < u < m).
De même on peut trouver
un nombre naturel
u tel que
1 < u < n et a-1 ba = V.
On tire de ces égalités ab = baU et ba = ab*, puis :
ba = ab. bu-l
ab = ba.au-1;
d’oeil :
Mnltiplions
@P-l aU-l
B droite
par amVu+r,
v-1
Il
existe
c-l=p
donc
deux
O<p<n
tels que a? = bc.
= 1.
=
entiers
il vient
:
am+l-ua
:
m+l
-U=T
O<r<m
CORPS
FINIS
OU
CORPS
DE
GALOZS
Les exposants
des puissances
de a qui satisfont
B une telle
équation forment
un idéal de Z comme on le voit aisément.
m appartient
à l’idéal puisque 1 = am = bn. Désignons
par t
son diviseur.
Alors m = kr, 1 < k < m et (a’)k = am = 1.
Mais a’ = BP, donc bpk = 1 et b@est une racine de d - 1 = 0
(bp # 1 puisque 0 < r < m et que par suite a’ # 1).
Le polynôme & - 1 a dans A les xéros 1, or, a*>; . . ., &,
Donc a? - 1 divise zm - 1.
Mais & - 1 a de plus en commun avec xn - 1, le eéro L
9-l
différent
de 1, et les deux polynômes
s
et ne
z-1
I
sont pas premiers
entre eux. Donc (cf. p. 42). m = qa et
A = q! ne sont pas premiers
entre eux et q = qv
En ce cas si par exemple p < a, n divise m, donc rl1
divine xm - 1, et tous les zéros du premier polynôme sont dea
zéros du second, d’où b = a:.
Mais a commute avec chacune de ses puissances,
donc avec b.
L’hypothèse
de départ conduit
8 une contradiction,
et il
n’existe pas de corps fini non commutatif.
,.;iJ
.<a
: .; J$
,’,.;j
:$
:,:.i
4i.q
‘5,
LES
CORPS 9-ADIQUES
115
10 Par définition,
et parce que zéro est divisible
par pn”, pour tout m, u(0) = 03.
2O 44 = 44 + y(y).
Eneffet,siz=p’i,
CHAPITRE
LES
CORPS
X
8-ADIQUES
Nous effleurons,
dans ce dernier
chapitre,
un
sujet trèe moderne de la théorie des nombres où
apparaissent
des techniques
qui se sont révélées
puissantes.
Considérons
Pour chacun
I
c-p+!,
r6duite
a qui le représente,
I
rationnels.
la fraction
et attachons-nous
p’$.
r=m
A tout élément
si
72= 0,
r=-n
x = i de Q se trouve
si
x+y=pn
P”-“;+;
[
= pn p”-”
à un
nombre premier p choisi une fois pour toutes.
a=p OI.a’, a’ étant premier avec p, m 2 0. De
même, b = p”. b’, b’ étant premier avec p, n 2 0.
Puisque a et b sont premiers entre eux, un au
moins des deux exposants m ou n est nul.
Tout nombre rationnel s’écrit donc sous la forme :
m = 0.
ainsi rattaché
un élément de Z, sa valuation
: V(X) = t.
Cette fonction, définie sur Q et prenant ses valeurs
dans Z, est douée des propriétés
suivantes :
II
Y = P” ;,,
m > n :
de Q
le corps Q des nombres
de ses éléments, prenons
xy=pq+8f$:e
p est premier
avec a’, b’, a”, b”, donc avec a’a”
et b’b”.
3O V(x + y) 2 Id. [v(x), v(y)].
Nous notons par Inf. le plus petit élément d’un
ensemble fini de nombres, par Sup. le plus grand.
Démontrons
ce troisième point :
Supposons
Une valuation
1. -
ety’p8$,
#,
1
a’ b” + a” b’ , m _ n > o
b’ b”
Le numérateur
de la fraction
de même que le dénominateur.
valuations
sont différentes
:
est premier avec p,
Donc si les deux
4% + y) = Id. [v(x), v(y)].
Sim=n,x+y=p”
a’ b” + a” b’
b,b,,
.
<
Le dénominateur
est toujours
premier
avec p,
mais on ne peut rien affirmer du numérateur.
Le nombre entier a’ b” + a” b’ peut s’écrire p’ C,
c premier avec p, r 2 0.
Donc,
en général,
V(X + y) = n + r 2 n, et
V(X + y) 2 v(x) = v(y).
LES
116
II.
-
Anneau
NOMBRES
LES
-
PREMIERS
des p-entiers
Irdreesons-nous
au sous-ensemble A du corps Q
sur lequel la valuation
est positive. Ce sous-ensemble
contient manifestement
Z.
. C’est d’ailleurs un anneau d’après les propriétés 20
et 30 de la valuation.
On l’appelle
l’anneau
des
pentiers.
L’inverse
de p” % étant p-+’ %, on voit que, pour
‘un éUment de l’anneau
soit inversible,
c’est-à.
Ee pour que son inverse
appartienne
encore à
panneau, il faut et il suffit que m = 0.
Les Gments
inversibles
ou unités de l’anneau
sont, dans l’anneau,
des diviseurs
de 1.
Pour qu’un p-entier y divise un p-entier x, il faut
qu’il existe dans A un élément z tel que x = y.~.
En désignant désormais une unité de A par une
lettre minuscule
grecque, x = p” t, y = pnq, et
k
%=p m-n -. m, n, m- n sont les valeurs de la
rl
E
valuation
pour x, y, z ; - est une unité de A.
Y
z appartient
à A si, et seulement si, m - n 2 0.
Pour que y divise x dans A, il faut donc et il suffit
que u(x) 2 u(y) 2 0.
par une unité.
Tout élément de A est divisible
Le produit et le quotient de deux unités sont des
unités. L’ensemble
des unités est un sous-groupe
multiplicatif
de A.
des 2-entiers.
Ses
Ewnple.
- Si p = 2, A est l’anneau
unit&
aimi
$$A
sont les fractions
dont les deux
17
5
et
etc.
3 et
mais
3,- 3 6 E7,A. Dans
A, 6 divise
termes
-.12
5
sont
impairs,
Le quotient
est
”
le %-entier i.
l’unité 3.
2 et 6 ne diffèrent
multiplicativement
que de
CORPS
9-ADIQUES
-~~
li?
L’anneau
A est un cas particulier
d’un anneau
de valuation.
On dit que A est, dans un carpe
commutatif
K, un anneau de valuation
si c’est
1
un anneau et si, pour tout x E K, x ou x appar-.
,\
tient à A. Si les deux nombres appartiennent
B A+
ils en sont des unités. On montre que les seuls
anneaux de valuation
de Q sont les anneaux des
p-entiers.
III.
-
Idéaux
d’uu
anneau
de p-entiers
Soit un idéal # d’un anneau A de p-entiers.
L’ensemble des valeurs de la valuation
sur f est
un sous-ensemble
de N, il admet donc un phr6
petit élément. Si cette valeur minimale
est dro,
9 contient une unité E et c’est donc l’anneau lui-même (cf. p. 13).
Si la valeur
minimale
de la valuation
est m,
9 contient
un élément
à A, 9 contient
p”E.
Puisque
i appartieut
p” 5 x A = p”. Il contient
alors
F
tout nombre pmx, x étant un 616ment arbitraire
de
l’anneau. On peut noter 4, = p”. A.
Chaque idéal de l’anneau
est donc un idbrl
principal.
Le plus grand de tous, A exclu, est
.Y1 = pA, en ce sens que tout autre idéal lui est
inclus.
On peut exprimer cette idée autrement.
On dira
que dans A il n’y a qu’un nombre premier
p.
La d6composition
d’un nombre p-entier
en facteurs premiers est alors très simple : tout nombre est le produit
d’une puissance de p par une
unité,
LES
118
IV.
-
Une métrique
NOMBRES
p-adique
PREMIERS
-
sur Q
Un corps est doué d’une métrique
ou distance,
c’est-&lire
est un corps métrique, s’il existe sur le
corps une fonction p(z) à valeurs dans R+, ensemble
des réels positifs, telle que :
10 p(O)= 0 ;
20 &ry) = p(x)+(y),
d’où ~(1) = 1 ;
30 p(x + Y) G Pc4 + P(Y)*
Ainsi Q est un corps métrique relativement
à la
mhique
1x 1, valeur absolue de x, puisque :
lOl=O;
Iqq=l4IyJ;
I~+yl44+lyl.
On sait que le corps Q est complété dans le corps R
des nombres réels au moyen de cette métrique.
Rappelons en quoi consiste cette complétude.
Une
euite a,, de nombres rationnels qui converge vers une
limite rationnelle
jouit de la propriété
dite, en
France, de Cauchy : our tout E > 0 on peut trouver
un entier N tel que 7 a,,, - a, 1 < E pour tout m et
tout n supérieurs chacun a N. La réciproque
n’est
pas vraie.
On complète
alors Q au moyen de nouveaux
nombres, les réels, de telle sorte que dans le nouveau
corps R, sur-corps de Q, toute suite de Cauchy soit
convergente.
Soit maintenant
le corps Q, un nombre premier p
bien défini et la valuation
sur Q qui en résulte.
Prenons un réel arbitraire
r, compris entre 0 et 1.
A chaque élément x de Q attachons le réel rVto)= p(x).
Noue définissons
ainsi sur Q une fonction p. à valeurs
dane R+ telle que :
10 p(0) = 0 ;
20 p(zy) =pkw=
rvw+o(Y)= fJ(~)~p(Y)= p(x)+(y);
nf
[(W),(W)’ = sup. [&), p(y)].
30 p(x + y) é fl
LES
CORPS
Y-ADIQUES
119
Les deux premières propriétés
sont celles d’une
métrique.
La troisième
est plus restrictive
que
14% + y) < ~(4 + P(Y), puisque, dans R+ :
sup. (X, Y) Q x + Y
l’égalité n’ayant lieu que pour X = Y = 0.
Pour exprimer
ce fait, on dit que la métrique
ainsi définie est non archimédienne.
(Le corps n’est
plus ordonné. Ne pas confondre
avec les corps ordonnés non archimédiens.)
Ainsi se trouvent
définies sur Q une métrique
archimédienne
: la métrique classique p.(z) = ] x 1,
et les métriques p-adiques.
Il y a pour celles-ci un certain arbitraire,
puisque
0 < r < 1 et p premier, peuvent être pris à loisir.
Cependant,
au point de vue topologique,
les diverses métriques correspondant
au même premier p
sont équivalentes,
en ce que si l’une tend vers zéro,
il en est de même de toutes les autres.
On définira, à partir d’une métrique p-adique, les
suites de Cauchy, comme à partir de la métrique
classique. Mais ici les choses se simplifient.
En effet, si p(a, + 1 - a,) < E à partir d’un certain
rang N, comme :
dam -
4
= P Ram -
s-J
+ (a,-, - G-J + - . - + (a,+~- 41
G sup. [p(am -
am-drdam-, - amA - - l l
et que chaque valeur de p est inférieure
à E, il en
est évidemment
de même de leur borne supérieure :
« pour tout n 2 N, p(a, + 1-a,)
< E » 5 (( pour tout
m 2 N, et tout n > N, p(am - a,) < E 1).
D’ailleurs,
pour vérifier que p(x) tend vers zéro,
il suffit de vérifier que la valuation
p-adique carres;
pondante
tend vers + CO.
LES
a*? ~ Ainsi,
;g
.+
r
r;,
rl
.
”
NOMBRES
en mkrique
diadique,
la série :
s, = 1 + 2 + 22 + 29 + . . . + 2n
eut une suite de Cauchy. Elle converge d’ailleurs
dans Q - au sens diadique
- vers le nombre
négatif - 1.
Montrons-le
en examinant
la suite :
~,=-1-S,=-&-&-.22-29
**.2”=-2”+1.
n + 1 tend manifestement
vers l’infini avec n.
‘<EéGême
la série :
.j
1 + 2 + 2s + 26 + . . . + 22n+l + . . .
est une suite de Cauchy
diqne5-
convergeant
-
LES
PREMIERS
toujours
I
I
:
La valuation
b + kp”
du second
x, membre
“, =
est au moins
@ale B n, et donc la suite x,, tend vers “, au sens de
la mkique
p-adique,
de la fraction
i.
Elle montre
% = xnml + m,,p+l
aussi que :
+ kp”
0 < m, < p
et donc que la suite des x, se présente sous forme
de série :
x, = m, + m,p + m,p2 + . . . + rn,,p+l
+ kp”
positive,
S = m, + m,p + m,p2 + . , .
1
vers - :
3
ou
121
ou que tout élément de Q, de valuation
la limite p-adique
d’une série :
est
(1)
dont les coefficients
m sont compris entre 0 et p,
p exclu.
La réciproque
n’est pas vraie. Certaines de ces
séries n’ont pas de limite dans Q, exactement comme
certaines séries convergentes
en analyse ordinaire
n’ont pas de limite rationnelle.
Par exemple la série :
(1 + 2 + 29 + . . . + 2299
2
=-- 2(1 + 4 + . . . + 49
3
2
2 4”-1
=--34”
=_;Zen+1
=--.3
3
%a =
9-ADIQUES
La façon même de procéder montre que Ier qir
B Z+, quel que soit le signe
x2, *--, x, appartiennent
au sens dia-
expression dont la valuation
2n + 1 tend vers + a,
avec n.
D’ailleurs
nous savons résoudre les congruences
ax = b mod.p”,
b quelconque
sur Z, pour toute
valeur de n, a étant premier avec p (voir p. 50).
2% q, %, . . . . x,, sont les solutions pour les modules pl, p2, . . . , p”, nous pouvons écrire :
CORPS
1+1+2T+g+
I
a pour limite
nombre réel.
1
e, nombre
V. ,f
J
1
a-- +a+
1
irrationnel.
**a
Mais e est uu
Le corps p-adiqne
Par analogie, nous appellerons
entier p-adique
toute série S de la forme (l), qu’elle converge eu:
non dans Q. Les entiers p-adiques
forment
un
anneau P, qui contient comme sous-anneau
l’anneau A des p-entiers du 3 II, et par suite l’anneau Z
des entiers ordinaires.
Lorsqu’un
élément y de P appartient
à N, kr
,
f;
LES
la
NOMBRES
PREMIERS
LES
CORPS
.%ALIlQUES
123
.<_ ,
l”
suite S qui le représente est finie et n’est autre que
1Vuiture
de y en base p.
Nous n’avons jusqu’ici
représentk par des série5
que les dlkments p-entiers
de Q.
Mais soit un élément de Q qui n’est pas un p-entier. Il s’écrit p-” c, c étant
une unité
de A :
k=m,+m2p+m3p2+
. . ..
ml>0
s&ie finie si 6 est un élément de N, infinie
autres cas.
L’éUment
de Q s’écrira donc :
qp-”
+ m2pea+l
Par exemple
+ mgp-a+z
+ ...
:
des séries :
I: = m,p”
où a est entier
+ m2pa+’
positif,
+ m3paf2
nul ou négatif,
.:
,:
..
dans les
1
- = 1 + 2 + 23 + 26 + . . .
3
1
- = 2-l + 1 + 22 + 24 + . . . + 22% + . . .
6
L’ensemble
Signalons à ce sujet le &orèms
de Min~&i-Basse
:
Une forme quadratique
?I coefficients
rationnels
reprhente
zkro dans le corps Q des nombres rationnels
si, et seulement si,
elle représente
zéro dans le corps R des nombres rhels et dans
tous les corps des nombres p-adiquee.
(Rappelons
qu’une forme est un polynôme homogène. soit
par exemple une forme F(z, y, x) de trois variables.
Elle repr&
sente zéro dans un corps si l’équation
F (x, y, s) = 0 admet
au moins une solution dans ce corps c’est-à-dire
si 1’011peut.
trouver q,, ys, zs, éléments du corps, tels que F (a+ yo, 4) = 0.)
+ ...
et ou :
Odmi<p
est un corps, que ces séries - qui sont des suites
de Cauchy par rapport
à la mesure p-adique
convergent
ou non dans Q, au sens p-adique.
C’est
le corps p-Od+e,
qui contient Q comme sous-corps,
et ou toute suite de Cauchy converge.
Les corps de nombres p-adiques se sont révélés un
outil tr&s important
de la théorie des nombres pour
laquelle d’ailleurs Hensel les a créés. Leur utilisation
constitue la mdthde locale.
VI.
-
Anueau
des entier5
p-adiques
Dans l’anneau P des entiers d’un corps p-adique
les éléments inversibles
ou unités sont les skies
q+m2p+m3p2+
. . ..oùqn’estpasnul.
Comme pour l’anneau A des p-entiers
de Q, les
seuls idéaux de l’anneau sont de la forme 4, = p” . P.
Le seul idéal maximal de l’anneau
est .Y1 = p.P.
11 contient tous les autres. On peut dire, par suite,
qu’il n’y a dans P qu’un seul nombre premier p.
Les unités de P forment
un groupe multiplicatif.
Si 6 est une unité arbitraire,
tout élément du corps
s’écrit p” 5, n E Z.
En particulier
tout élément entier x (c’est-Mire
appartenant
à P), a une décomposition
unique en
facteurs premiers
: x = p” c, n > 0, n, valuation
de x. La divisibilité
dans P est alors très simple :
x divise y, si, et seulement si, V(X) < ~(y).
VII.
-
Théorhme
d’Ostrowski
Nous connaissons,
sur le corps Q des rationnels,
la métrique
ordinaire
et les métriques
p-adiques.
Signalons encore la m&
trique banale u (0) = 0, p(z) = 1 pour tout x # 0.
On peut se proposer
de trouver
toutes les métriqnes
passibles sur Q. Nous confondrons
évidemment
celles qui sont
topologiquement
équivalentes,
par exemple toutes celles dcduites de la même valuation.
Remarquons
qu’une métrique
I
-s
1 ,.
i.
LES
&t
p(-
oomme quand sa restriction
x) et p (z) ont pour carré,
, dont donc dgalss.
NOMBRES
PREMIERS
à N est comme. En effet
l’une et l’autre,
lu (9). Elles
Puis ai x = i,
p (x) = p (a) : p (b).
x = x, + r,p
OG
+
+,p’
+
:
mn+‘-1
xj<p,pW<p(l+m+
.
Posons
que comme
!J(d<P
mn+‘-1
m-l
D’ailleurs
z 2 p”,
d’dl
m-I
Alors
l
:
4-i-l
P
m-1
=
donc, en posant
indépendante
[p (x)]’
@Y
et en élevant
Faisons
à la puissance
tendre
P
= c, p.(x) < cd.
m-l
de x. Donc, pour tout
= p (XT) < cx’r
‘,
r vers l’infini.
Comme,
I
II (z) < cr .1.
c: tend vers
avec la même écriture
x =
1. Donc
p(x).
et par suite
p(x)
>
P@“+I)-p(y)
A l’écriture
.r < p”+l,
-
:
=p”(“f’)-p(y).
@n+l
-
p”)a
est indépendant
b et comme
x E N.
En particulier
[ -<1+1
1
pQ(n+l)
:
= p. (x*)
les deux membres
en base p :
=
de .r. Désignons-le
par la lettre b,
x < pn+l,
p(x)
> bfl, pour tout
p(z)
. . . +pk)mn
> ba?
de l’inégalité
& la puissance
> bf,
1
Faisons
posons
:
pa(n+l)
Elevons
en basep,
0 <y<pn+1-pn;
pn+1-y,
[p (a$]’
grâce
+m?=p
P
< -.pa(n+l)
m-l
c est une constante,
exposant r entier,
Le crochet
. . . + xnp”
p (1) = 1 et que :
préciser
.
a+1
z=1+1+...+1
~(x)<l+l+...+l=x,
r(X)CIL(~)+IL(~)m+~(x,)m*+
.
ce qui est permis.
m = pn,
p (z) > pa(“+l)
pour tout réN.
hIair nous pouvons
125
p. (x) < za.
XjQP.
Remarquons
.
B-ADIQUES
+ yqb) G ma + no.
Mais p (1) = 1 d’où 1~ ma + nb, pour tout o et tout
b.
Cette inégalité est absurde puisque le second membre tend
vara s6ro lorsque a et b tendent
vers + 00.
Pour un seul nombre premier p on a donc m = 11(p) < 1.
Pour tout autre premier lu prend la valeur 1.
Pour trouver
p (x), 1: naturel, on le décomposera
en ses factours premiers : x = p.qb.rC...
Alors
p(z)
= ma. On retrouve
une mkique
p-adique.
Venons au premier
cas énoncé où il existe un premier p
taIquem=~(p)>l.
Ecrivons
les entiers en base p :
avec
CORPS
et comme
Il suffit
m&ne de connaItre
çr sur l’ensemble
des nombres
premiers
de N. Tout nombre Ctant un produit de facteurs premiers, elle
aara alors en effet connue sur N.
soit donc nne certaine
m&ique
p, non banale. Ou bien
il existe dans N un nombre premier p tel que p(p) > 1, ou
bien ancnn nombre naturel ne jouit de cette propriété.
Dans le second cas il existe au moins un premier p tel que
p ) < 1, sans quoi la métrique
serait banale.
‘e en a-t-il deux ? Soit, si possible,
u (p) = tu < 1 et
IL(~) = A < 1 p # 2. Il existe alors, pour tout a et tout b
rtatnrols deux entiers relatifs x et y tels que zpa + y$ = 1,
puisqne pa et $ sont premiers
entre eux.
Comme p (z) et 12(y) sont inférieurs
à 1 (décomposer
z en
facteurs
premiers
et appliquer
20, p. 118),
p (zp”
LES
.
tendre
r vers l’infini.
1>7tend vers
p. (x) 3 a9
1 et :
i :
LES
NOMBRES
PREMIERS
.’ I
i g<
En
emelusion,
puisque
f
Q p (.z) < f,
>:;
p (z) = Xa, pour
tant x naturel.
Dow,
pour
tout
x 616ment
.‘.-+
?’ ;
; \ ,;
.: iv’
de Q :
CL(4 = I % la
Topologiquement,
cette métrique
est kquivalente
à la métrique classique par la valeur absolue.
Il n’y a donc sur Q que la métrique classique et les métriques
padiquer.
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dans la Worie
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des Nombres,
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1965.
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de l’Enseignement
math&natique,
no 6 : h?rodu~Lion à la thdorie
des nombres.
Quelques
problhmes
de la thdorie
des
nombres,
Genéve,
UnlversitB,
1963.
7. Même
collection
que le préc&dent,
no 9 : F. CEATELET. L’arifhm8tique
des corps qaadratiques,
Genbve,
UniversitB,
1962.
8. Albert
CHATELET,
ArithmtWque
ef algkbre
modernes,
3 tomes,
Paris,
Presses
Universitaires
de France,
1966.
9. Roger
GODEMENT,
Cours
d’algèbre,
Paris,
Hermann,
1966.
10. ;;w;
~TARD, Les livres arithmt%iques
d’Euclide,
Parts,
Hermann,
TABLE SYSTÉMATIQUE
DE
LA
Beaux-Arts
..........
Droit .................
Gbographie
..........
Histoire
..............
Jeux..
...............
Linguistique
.........
Littkrature
...........
TABLE
2
5
4
3
8
2
2
PHILOSOPHIE
AriBtOte et le LYC&. 928.
Ath&me
CL’). 1291.
Au-del& CL’). 725.
Dey;ttx!
et le rationalisme.
DES MATI&RES
cc
COLLECTION
QL
A
Mdecine..
PBdagogie
Philologie
Philosophie..
Psychologie,.
Questions
Religions
..........
.........
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...........
.... p...
........
sociales
..
. ., . .
1
4
2
1
t
5
Ett3380B’e
UZistolre
l’).
de
G4~;&3~ue des populationa
(Ls).
Croup& de pression (Les). SOS.
Guerre 63). 577.
Dialeot&e
(La), 363.
Epicurisme CL’), 810.
Masquea Gea). 905.
Esth&ique CL’). 635.
Mentalit& (Les). 646.
Esth&ique du cin&m, 751.
M;t$;%a
en aociologle (Le&.
Esthétique
industrielle
CL’).
957.
Po;$m
C3ociolosle de la).
Existentialisme (L’l. 253.
Hegel et l’ht%élian@m~. 1029. Prornoiion sociale (La). 1218.
Id$3,en France (Hlstom des). PropriW (Histoire de la). 36.
Pwcholwie
des meugles (LE),
Kant et le kantisme, 1213.
798.
Langage et la r>e,ns+ (Le), 693. Pwcholosle, ,m&le (La). 403.
Llbr&pm&e
(Hlstom de la), lb3af”;02B”“0”
C3ociolo& de
II,.
iPJTRODUcllON
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .. . .
CHAPITRE
PWSDtIER.
-
anneau
-
mr
lea
idhaus d’un
. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
Gh?rditb
commutatif
II.
-
-
III.
-
Anneaux
-
IV.
-
cMgruencw
-
v.
-
Th&rème
aritbmétiquw
-
VI.
-
VII.
-
VIII.
L’anneau
2 des entiers
euclidien.3
Rbidua
-
Un anneau rlg6brique
quadcatiquea
............
56
70
...
.............
114
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
-
Somme
IX.
-
Corps
-
x.
-
Le8 corps
SOHUIRE
32
43
a4
101
108
-
BIBLIOGRAPHIE
18
.............
Fermat.
Fonctions
...................
-
9
.
rlltiOM&
...................
de
-5
de quatre
finir
carrés
ou corps
p-adiquw
non euclidien
........
de Galois.
Lo&m
(Histoire de la). 225.
Logique niodeme (La). 745.
Marxisme (Le). 300.
M&whysiques
(Les grands problèmes). 623.
Morales (Les mandes dootrlnesl.
658.
Pen%% arabe (La). 915.
Pen& juive (La). 1181.
Personnalisme (Le). 395.
Phenoménologie CL&). 625.
Philosophes français d’aujour.
dl! iui (Les). 1279.
Philn soph_ie a@aiae et am&ri~
Snobisme (Le). 1141.
Sociét& animales. wxl&6 hw
maine, 696.
Sociolonie (Histoire
de la).
423. Vie am&loaine (La). 774.
CBUX um.
796.
‘Vie awlaise (La). 838.
Philosoph!e antique (La). 250. Vie rurale en Franq? (La). 242.
Philosophie chinoise (La). 707. Vi$ei”
(Soolologle de la).
Philoeonhie française (La). 170.
Philosophie indienne (La). (937,
m8di8vale
,
Philomphie
PSYCHOLOGIE
PSYCHANALYSE
Attention et 8es maladiea (L’),
541.
Auto&? (L’!. 703.
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C!03~ce
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Bourgeoisie (Les origines de la). MentalitBe (Les), 545.
Ori-tation
professionnelle (LX
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Campagne française C?miolo&
121.
Passions (Les). 943.
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Dy3~m?
des 82oupes
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““Y.
1969. -
Imprimerie
ËDIT. No 30 271
des Presses Universitaires de France. IMpRIMi EN FR*NCE
Vendôme (France)
IMP. NO 210%
Rel&ions humaines (Les). 672.
Relations
sexwllea
Watolre
des). 1074.
Relation8 sexuelles (Sociolwle
des). 1068.
RBussi- sociale (La). 1277.
R$z20$om
(Soclolopie des),