Thèse Déformations de structures hyperboliques coniques

Thèse
présentée en vue de l’obtention du
Doctorat de l’Université de Toulouse
Spécialité : Mathématiques Fondamentales
Déformations de
structures hyperboliques
coniques
par
Alexandre Paiva Barreto
Soutenance le 4 décembre 2009 devant le jury composé de :
Michel Boileau Université Paul Sabatier Directeur
Michael Heusener Université Blaise Pascal Rapporteur
Joan Porti Universitat Autònoma de Barcelona Rapporteur
Richard Cannary University of Michigan Examinateur
Jean-Pierre Otal Université Paul Sabatier Examinateur
Juan Soto University of Michigan Examinateur
Institut de Mathématiques de Toulouse
Ecole Doctorale de Mathématiques, Informatique et Télécommunications de Toulouse

Résumé
L’objet de cette thèse est l’étude des déformations de structures hyperboliques co-
niques de type topologique constant, sous l’hypothèse que la longueur de la singularité
reste uniformément majorée pendant la déformation. Etant donnée une suite pointée
(Mi; pi)de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ), où Mest une
variété di¤érentiable de dimension 3fermée, orientable et irréductible, et un entre-
lacs plongé dans M, on demontre le resultat suivant : soit la suite s’e¤ondre et dans
ce cas là Mest …brée de Seifert ou Sol, soit la suite sous-converge vers un espace
d’Alexandrov de dimension 3, complet et dont la métrique est hyperbolique de volume
…nie en de hors d’une famille …nie de quasi-géodésiques. On applique ce résultat au
cas où est un entrelacs petit, pour obtenir des constantes uniformes pour le volume
et le diamètre des variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ).
mots-clés : variétés de dimension 3, variétés hyperboliques coniques, déformation
de structures géométriques, espaces d’Alexandrov, convergence au sens de Hausdor¤-
Gromov, théorème de …bration.
i

.
en l’honneur du professeur Paulo Sabini (1972-2007)
Merci pour l’exemple de sa vie et de son dévouenement. Sa disparition soudaine m’a
profondément a¤ecté et son souvenir restera à jamais gravé dans mon coeur.
"Il faut croire aux étudiants.
Ils sont beaucoup plus intelligents et créatifs que les profs supposent."
Paulo Sabini

Remerciements
Je voudrais avant tout remercier très vivement mon directeur de thèse le professeur
Michel Boileau. Merci pour toute sa générosité, son dévouement, sa patience et son
soutien indéfectible. Merci d’avoir été bien plus qu’un directeur.
Je tiens à remercier chaleureusement le professeur Joan Porti pour de nombreuses
et précieuses discussions qui ont aidé à l’élaboration de cette thèse.
Je suis sincèrement reconnaissant aux professeurs Michael Heusener et Joan Porti
d’avoir accepté d’être mes rapporteurs. J’exprime aussi ma gratitude envers Richard
Canary, Jean-Pierre Otal et Juan Souto de m’avoir fait l’honneur d’accepter de parti-
ciper à mon jury.
Je tiens aussi à remercier ...
... le professeur Sebastião Marcos Firmo pour avoir dirigé mes premiers pas dans
la recherche et m’avoir guidé vers Toulouse.
... les professeurs qui ont marqué ma formation mathématique. Mes remerciements
vont en particulier à Nilson Bernardes da Costa, Francisco Xavier Fontenele Neto, Luis
Adrian Florit, Maria Luiza Correa e Paulo Sabini, dont le soutien est allé bien au-delà
des obligations professionnelles.
... le professeur Julio Cesar Rebelo pour son amitié et pour tant de conversations
mathématiques, politiques, sportives etc. Merci d’être l’ange gardien de mon innocence.
... les professeurs Jean-Marc Schlenker et Jean-Pierre Otal pour les enrichissantes
discussions mathématiques.
... l’Equipe Emile Picard pour son hospitalité et son agréable ambiance de travail.
En particulier, je voudrais remercier Agnès Requis et Jocelyne Picard pour l’aide
qu’elles ont su m’apporter en toute occasion (toujours avec une énorme patience).
... les collègues doctorants qui ont rendu mon séjour en France beaucoup plus facile
et agréable. Merci à Frédéric Protin et Landry Salle pour leur amitié. Merci à Anne
Granier et Cécile Poirier pour avoir été toujours prêtes à m’aider. Merci Alexandre
Dezzotti pour sa sympathie et pour avoir ri de mes mauvaises plaisanteries et blagues
iii

iv
très moyennes. Merci à ma "petite soeur" Claire Renard pour son amitié, pour sa
sincerité, pour toutes les conversations (mathématiques ou non) et sourtout pour tous
les sourires qui ont rapidement captivé tout le department. Merci à Kuntal, Benjamin,
Iman, Guitta, Tony, Boubbacar, Thomas, Yohann, Julien, Mathieu, Florient pour leur
compagnie pendant toutes ces années.
... les collègues Alexandre Dezzoti, Thomas Gauthier, Claire Renard et le professeur
Julio Cesar Rebelo qui ont eu la patience de lire et de corriger les versions prélimi-
naires de ce texte. Je vous remercie au nom de tous les "denotons par", "notons que",
"on a que", "pouisse", "outiles" ... et sourtout les accents (leur absence ou présence
inopinées).
... mes amis de l’université au Brésil qui m’ont accompagné tout au long de ce
voyage. Merci à mon frère spirituel Rodrigo Salomão et mes amis João Domingos et
Renato Alencar pour la chaleur de leur amitié.
... mes amis d’enfance Eduardo Barbosa Lima, Alexandre Villela, Fabio Moita et
Robson Bertolossi pour leur amitié sans frontières, en dehors du temps et de l’espace,
mais qui savent être présents lorsque c’est nécessaire.
... les amis brésiliens que j’ai rencontrés ici à Toulouse. Merci à Michely, Alessan-
dra et Valentin, Lucieth, Daniel et Poliana, Eliane et Leonardo, qui ont rendu mon
adaptation à la vie toulousaine beaucoup plus facile.
... ma petite Pudding au Lait (bien sûr à la sauce caramel !) Cynthia Ferreira de
m’avoir accompagné dans cette grande aventure. Merci pour tout son soutien, son
amour, sa "amizade" et sa présence indéfectible à mes côtés au cours de ces sept
dernières années. Cette thèse aura été notre premier enfant ...
... ma famille : Mon Papa Alberto, ma Maman Celia et mes frères Cão, Loba (tu
a été promue !) et Beto pour tout leur amour et leur soutien. Sans eux je n’aurais pu
mener ce travail à son terme.
Et …nalement, je voudrais exprimer ma gratitude à la Coordenaçãao de Pessoal de
Nivel Superior (CAPES) qui a …nancé mes études en France.