Thèse Déformations de structures hyperboliques coniques

Thèse
présentée en vue de l’obtention du
Doctorat de l’Université de Toulouse
Spécialité : Mathématiques Fondamentales
Déformations de
structures hyperboliques
coniques
par
Alexandre Paiva Barreto
Soutenance le 4 décembre 2009 devant le jury composé de :
Michel Boileau
Michael Heusener
Joan Porti
Richard Cannary
Jean-Pierre Otal
Juan Soto
Université Paul Sabatier
Directeur
Université Blaise Pascal
Rapporteur
Universitat Autònoma de Barcelona Rapporteur
University of Michigan
Examinateur
Université Paul Sabatier
Examinateur
University of Michigan
Examinateur
Institut de Mathématiques de Toulouse
Ecole Doctorale de Mathématiques, Informatique et Télécommunications de Toulouse
Résumé
L’objet de cette thèse est l’étude des déformations de structures hyperboliques coniques de type topologique constant, sous l’hypothèse que la longueur de la singularité
reste uniformément majorée pendant la déformation. Etant donnée une suite pointée
(Mi ; pi ) de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ), où M est une
variété di¤érentiable de dimension 3 fermée, orientable et irréductible, et un entrelacs plongé dans M , on demontre le resultat suivant : soit la suite s’e¤ondre et dans
ce cas là M est …brée de Seifert ou Sol, soit la suite sous-converge vers un espace
d’Alexandrov de dimension 3, complet et dont la métrique est hyperbolique de volume
…nie en de hors d’une famille …nie de quasi-géodésiques. On applique ce résultat au
cas où est un entrelacs petit, pour obtenir des constantes uniformes pour le volume
et le diamètre des variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ).
mots-clés : variétés de dimension 3, variétés hyperboliques coniques, déformation
de structures géométriques, espaces d’Alexandrov, convergence au sens de Hausdor¤Gromov, théorème de …bration.
i
.
en l’honneur du professeur Paulo Sabini (1972-2007)
Merci pour l’exemple de sa vie et de son dévouenement. Sa disparition soudaine m’a
profondément a¤ecté et son souvenir restera à jamais gravé dans mon coeur.
"Il faut croire aux étudiants.
Ils sont beaucoup plus intelligents et créatifs que les profs supposent."
Paulo Sabini
Remerciements
Je voudrais avant tout remercier très vivement mon directeur de thèse le professeur
Michel Boileau. Merci pour toute sa générosité, son dévouement, sa patience et son
soutien indéfectible. Merci d’avoir été bien plus qu’un directeur.
Je tiens à remercier chaleureusement le professeur Joan Porti pour de nombreuses
et précieuses discussions qui ont aidé à l’élaboration de cette thèse.
Je suis sincèrement reconnaissant aux professeurs Michael Heusener et Joan Porti
d’avoir accepté d’être mes rapporteurs. J’exprime aussi ma gratitude envers Richard
Canary, Jean-Pierre Otal et Juan Souto de m’avoir fait l’honneur d’accepter de participer à mon jury.
Je tiens aussi à remercier ...
... le professeur Sebastião Marcos Firmo pour avoir dirigé mes premiers pas dans
la recherche et m’avoir guidé vers Toulouse.
... les professeurs qui ont marqué ma formation mathématique. Mes remerciements
vont en particulier à Nilson Bernardes da Costa, Francisco Xavier Fontenele Neto, Luis
Adrian Florit, Maria Luiza Correa e Paulo Sabini, dont le soutien est allé bien au-delà
des obligations professionnelles.
... le professeur Julio Cesar Rebelo pour son amitié et pour tant de conversations
mathématiques, politiques, sportives etc. Merci d’être l’ange gardien de mon innocence.
... les professeurs Jean-Marc Schlenker et Jean-Pierre Otal pour les enrichissantes
discussions mathématiques.
... l’Equipe Emile Picard pour son hospitalité et son agréable ambiance de travail.
En particulier, je voudrais remercier Agnès Requis et Jocelyne Picard pour l’aide
qu’elles ont su m’apporter en toute occasion (toujours avec une énorme patience).
... les collègues doctorants qui ont rendu mon séjour en France beaucoup plus facile
et agréable. Merci à Frédéric Protin et Landry Salle pour leur amitié. Merci à Anne
Granier et Cécile Poirier pour avoir été toujours prêtes à m’aider. Merci Alexandre
Dezzotti pour sa sympathie et pour avoir ri de mes mauvaises plaisanteries et blagues
iii
iv
très moyennes. Merci à ma "petite soeur" Claire Renard pour son amitié, pour sa
sincerité, pour toutes les conversations (mathématiques ou non) et sourtout pour tous
les sourires qui ont rapidement captivé tout le department. Merci à Kuntal, Benjamin,
Iman, Guitta, Tony, Boubbacar, Thomas, Yohann, Julien, Mathieu, Florient pour leur
compagnie pendant toutes ces années.
... les collègues Alexandre Dezzoti, Thomas Gauthier, Claire Renard et le professeur
Julio Cesar Rebelo qui ont eu la patience de lire et de corriger les versions préliminaires de ce texte. Je vous remercie au nom de tous les "denotons par", "notons que",
"on a que", "pouisse", "outiles" ... et sourtout les accents (leur absence ou présence
inopinées).
... mes amis de l’université au Brésil qui m’ont accompagné tout au long de ce
voyage. Merci à mon frère spirituel Rodrigo Salomão et mes amis João Domingos et
Renato Alencar pour la chaleur de leur amitié.
... mes amis d’enfance Eduardo Barbosa Lima, Alexandre Villela, Fabio Moita et
Robson Bertolossi pour leur amitié sans frontières, en dehors du temps et de l’espace,
mais qui savent être présents lorsque c’est nécessaire.
... les amis brésiliens que j’ai rencontrés ici à Toulouse. Merci à Michely, Alessandra et Valentin, Lucieth, Daniel et Poliana, Eliane et Leonardo, qui ont rendu mon
adaptation à la vie toulousaine beaucoup plus facile.
... ma petite Pudding au Lait (bien sûr à la sauce caramel !) Cynthia Ferreira de
m’avoir accompagné dans cette grande aventure. Merci pour tout son soutien, son
amour, sa "amizade" et sa présence indéfectible à mes côtés au cours de ces sept
dernières années. Cette thèse aura été notre premier enfant ...
... ma famille : Mon Papa Alberto, ma Maman Celia et mes frères Cão, Loba (tu
a été promue !) et Beto pour tout leur amour et leur soutien. Sans eux je n’aurais pu
mener ce travail à son terme.
Et …nalement, je voudrais exprimer ma gratitude à la Coordenaçãao de Pessoal de
Nivel Superior (CAPES) qui a …nancé mes études en France.
Table des matières
Table des matières
v
1 Introduction
1
2 Rappels
2.1 Topologie de Dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Variétés de Seifert . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Espaces d’Alexandrov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Notions élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Convergence de Hausdor¤-Gromov . . . . . . . . .
2.3 Structures Géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Géométries Modèles et Variétés Géométriques . . .
2.3.2 Variétés Hyperboliques Coniques . . . . . . . . . .
2.3.3 Déformation de structures hyperboliques coniques
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7
7
7
8
10
10
15
18
18
22
26
3 Partie mince d’une variété conique
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Feuilletage canonique de la partie mince . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
31
32
4 Théorème de Fibration
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Esquisse de la preuve du théorème 4.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
37
40
5 Suites de Variétés Coniques
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Preliminaires . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 La suite Mi ne s’e¤ondre pas . . . . . . .
5.4 La suite Mi s’e¤ondre . . . . . . . . . . .
5.4.1 Cas où la limite a dimension 2 . .
5.4.2 Cas où la limite a dimension 1 . .
5.4.3 Cas où la limite a dimension 0 . .
5.4.4 Démonstration du théorème (5.4.2)
47
47
49
54
66
68
78
80
80
v
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TABLE DES MATIÈRES
6 Applications
6.1 Entrelacs petits . . . . . . . . .
6.2 Résultats de Compacité . . . .
6.3 Application à une conjecture de
6.4 Volume de Représentation . . .
vi
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83
83
84
85
87
A Complements sur les volumes de représentations
A.1 Démonstration de la proposition 6.4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Démonstration de la proposition 6.4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
91
93
Bibliographie
97
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Thurston
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Chapitre 1
Introduction
Ce texte s’intéresse aux structures hyperboliques coniques sur les variétés de dimension 3. Une variété di¤érentiable M fermée et de dimension 3 admet une structure
hyperbolique conique singulière le long d’un entrelacs
plongé dans M si elle ad-
met une métrique complète telle que tout point non-singulier (c’est-à-dire un point de
M
) possède un voisinage isométrique à un ouvert de H3 , l’espace hyperbolique de
dimension 3, et tout point singulier (c’est-à-dire un point de
) admet un voisinage
isométrique à un ouvert de l’espace obtenu en identi…ant par rotation les côtés d’un
dièdre de H3 d’angle
2 (0; 2 ]. Les angles
sont appellés angles coniques et sont,
par dé…nition, constants sur chaque composante de
.
Contrairement aux structures hyperboliques non-singulières, qui sont rigides d’après
le théorème de Mostow ([Rat]), les structures hyperboliques coniques peuvent être déformées. Hodgson et Kercko¤ ont démontré ([HK2]) à la …n des années quatre-vingt
dix que toute structure hyperbolique conique admet une petite déformation continue
paramétrée par ses angles coniques. La stratégie utilisée remonte aux techniques entreprises par Thurston pour démontrer son Théorème de Chirurgie Hyperbolique. En
fait, si l’on voit la structure hyperbolique complète sur M
comme une structure
hyperbolique conique d’angle zéro, Thurston a démontré que cette métrique complète
peut être deformée en des métriques non-complètes dont les completions donnent des
structures hyperboliques coniques d’angles coniques positives proches de zéro.
La di¢ culté pour déformer une structure hyperbolique conique est la possibilité
que la structure s’e¤ondre ou que l’entrelacs singulier s’auto-intersecte. En fait, les
travaux de Kojima, Hodgson-Kerckho¤ et Fuji montrent ([Koj], [HK] et [Fuj]) que le
seul phénomène à éviter est l’auto-intersection de la singularité. Sans cela la structure
hyperbolique conique peut être déformée librement sans e¤ondrement.
1
1. Introduction
2
L’objet de cette thèse est l’étude des déformations de structures hyperboliques
coniques sous l’hypothèse que la longueur de la singularité reste uniformément majorée pendant la déformation. Cette hypothèse permet d’éviter en particulier le cas
indésirable où la singularité devient dense dans l’espace de longueur limite. Cette
hypothèse est toujours véri…ée lorsque les holonomies des structures hyperboliques coniques convergent, ce qui est le cas, par exemple, si
est un entrelacs petit dans M
(voir dé…nition 6.1.2 et [CS]).
Etant donné un couple (M;
=
1
t ::: t
l ),
où M est une variété di¤érentiable
de dimension 3 fermée, orientable et irréductible, et
un entrelacs plongé dans M ,
on considère une suite pointée (Mi ; pi ) de structures hyperboliques coniques sur M
singulières le long de
. Quitte à extraire une sous-suite (voir section 1:2 et 1:3), on
peut supposer que la suite pointée (Mi ; pi ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) dont la dimension (de Hausdor¤)
est plus petite ou égale à 3. Notre but est de comprendre les propriétés métriques de
Z et, à partir d’elles, d’obtenir des informations topologiques sur la variété M .
L’étude décrite dans le paragraphee précedent est faite au chapitre 5. Elle est
divisée en deux partie selon que la suite Mi s’e¤ondre ou non. On dira que la suite Mi
s’e¤ondre si, pour toute suite de points pi 2 M
riemannien
Mi
rinj
(pi ) dans Mi
, la suite de ses rayons d’injéctivité
tend vers zéro. Cette dichotomie est très naturelle
et représente intuitivement le fait que le volume de la suite tende ou non vers zéro. En
fait, ces deux a¢ rmations sont équivalentes lorsque le diamètre de la suite Mi reste
uniformément majoré. En général, l’hypothèse que le volume de la suite tende vers
zéro est plus forte que l’hypothèse d’e¤ondrement.
Quand la suite Mi ne s’e¤ondre pas, on démontre que Z a dimension (de Hausdor¤)
3 et qu’il admet une structure hyperbolique, non complète et de volume …ni, en dehors
d’une famille …nie
Z
(peut-être vide) de quasigéodésiques de Z (pas nécessairement
disjointes). Dans ce cas-là, on conjecture que Z admet une structure hyperbolique
conique (singulière le long de
Z)
dans un sens plus général, où la singularité pourrait
être un graphe (voir la dé…nition de conifold dans [BLP]).
Quand la suite Mi s’e¤ondre, on démontre que l’entrelacs singulier
s’auto-
intersecte nécessairement à la limite et que la dimension (de Hausdor¤) de Z est
strictement plus petite que 3, ce qui implique (voir section 1:2) que Z est une variété
topologique connexe de dimension 2, 1 ou zéro. En utilisant une version plus générale
du théorème de …bration de Yamaguchi pour les espaces d’Alexandrov (voir chapitre
2), on démontre que la variété M est géométrique.
Le résultat précis obtenu est le suivant :
1. Introduction
3
Théorème 1.0.1 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible, et
un entrelacs plongé dans M . On suppose qu’il existe sur M
une suite Mi de structures hyperboliques coniques singulières le long de
sup fLMi (
j)
telle que
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Alors une des deux a¢ rmation ci-dessous est vraie :
i: la suite Mi s’e¤ ondre et M est …brée de Seifert ou Sol,
ii: la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et, il existe une suite de points pik 2 M
telle que la suite (Mik ; pik ) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers
un espace d’Alexandrov Z de dimension 3 qui admet une structure hyperbolique
non complète et de volume …ni sur le complémentaire d’une réunion …nie
Z
de quasigéodésiques et dont les bouts sont des cusps paraboliques. De plus, Z est
homéomorphe à M (en particulier, Z est compact) s’il existe " 2 ]0; [ tel que
les angles coniques
Si l’on suppose que
appartiennent tous à ]"; 2
ij
"[.
est connexe on a le corollaire suivant :
Corollaire 1.0.2 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible, et
un noeud plongé dans M . On suppose qu’il existe une suite
Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ), d’angles coniques
i
2 (0; 2 ]. Alors la suite
i
converge vers zéro si et seulement si :
i: sup fLMi ( ) ; i 2 N g < 1,
ii: lim diam (Mi ) = 1,
i!1
iii: la suite Mi ne s’e¤ ondre pas.
Remarque 1.0.3 Sous les hypothèses du corollaire précédent et dans le cas où
converge vers zéro, il existe une suite de points pik 2 M
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers M
i
telle que la suite (Mik ; pik )
muni de la structure hyper-
bolique complète.
Quand M est une variété hyperbolique et
simples de M , M
est une réunion …nie de géodésiques
admet une structure hyperbolique complète et la question de
l’existence d’une déformation entre ces deux structures par un chemin continu de
structures hyperboliques coniques de type topologique (M; ) se pose naturellement.
Plus précisément Thurston a conjecturé :
1. Introduction
4
Conjecture 1.0.4 Etant données une variété hyperbolique conique fermée, orientable
et
une réunion …nie de géodésiques simples et disjointes, il existe une famille M de
structures hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et d’angle conique
même pour tous les composantes) telle que
(le
varie de 0 à 2 .
Comme application du théorème 1.0.1, on obtient le résultat suivant qui donne des
informations sur cette conjecture.
Corollaire 1.0.5 Supposons que M est une variété hyperbolique et que
est une
réunion …nie de géodésiques simples de M . Soit M une déformation de cette structure
le long d’un chemin continu de structures hyperboliques coniques de type topologique
(M; ) et d’angles coniques
de
). Si
sup fLM (
2 (L; 2 ]
j)
;
[0; 2 ] (le même pour toutes les composantes
2 (L; 2 ] et j 2 f1; : : : ; lgg < 1,
alors L = 0 si et seulement si lim diam (M ) = 1. Dans ce cas là, le chemin s’étend
!L
continûment à [0; 2 ].
Remarque 1.0.6 Si la déformation M donnée dans le corollaire ci-dessus est maximale, alors les résultats de Kojima dans [Koj] permettent d’assurer que L = 0 si et
seulement si L
.
Une autre question intéréssante concernant les suites convergentes de variétés hyperboliques coniques (de même type topologique) est la compacité de la limite. Le
critère de compacité suivant est aussi une application du théorème 1.0.1 :
Corollaire 1.0.7 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible qui n’est pas …brée de Seifert ou Sol et
=
1 t:::t
l
un entrelacs
plongé dans M . Supposons qu’il existe une suite Mi de variétés hyperboliques coniques
de type topologique (M; ) et d’angles coniques
sup fLMi (
j)
ji
2 ]"; 2
"[, où " 2 ]0; [. Si
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1,
alors sup fdiam (Mi ) ; i 2 Ng < 1.
Quand l’entrelacs
corollaire ci-dessous :
est un noeud petit dans M (voir section 4.1), on obtient le
1. Introduction
5
Corollaire 1.0.8 Supposons que
est un noeud petit dans une variété di¤ érentiable
M de dimension 3 qui n’est pas …brée de Seifert ou Sol. Pour tout " 2 ]0; 2 [, il existe
une constante K = K (M; ") > 0 tel que
diam (M) < K,
pour toute variété hyperbolique conique M de type topologique (M; ) et dont les angles
coniques appartiennent à ]"; 2 ].
Sur le volume des variétés hyperboliques coniques, on a le résultat suivant :
Corollaire 1.0.9 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible qui n’est pas …brée de Seifert et
un entrelacs petit dans M . Alors,
il existe une constante V = V (M; ) > 0 telle que
V ol (M) > V ,
pour toute variété hyperbolique conique M de type topologique (M; ).
La dernière application utilise la notion de volume d’une représentation :
Corollaire 1.0.10 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible et
=
1
t ::: t
l
un entrelacs plongé dans M . Supposons que la
variété M a un volume simplicial nul (ce qui arrive, par exemple, si M est graphée) et
qu’il existe une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ),
d’angles coniques
ij
convergeant vers 2 (pour tout j 2 f1; : : : ; lg). Si une suite de re-
présentations d’holonomie associées
1
2 R (M
i
2 R (M
) converge vers une représentation
), alors M est …brée de Seifert ou Sol.
.
Chapitre 2
Rappels
2.1
Topologie de Dimension 3
2.1.1
Notions élémentaires
Soit une variété topologique M de dimension n 2 f2; 3g. Etant donné une sous-
variété S de M de codimension 1 et propremennt plongée (S \ @M = @S et T S est
transverse à T @M ), notons par N (S) un petit voisinage tubulaire ouverte de S. La
variété M
N (S) est appelé le découpage de M le long de S et sera notée M jS. On
dira que S sépare M quand M jS a au moins deux composantes connexes.
Dé…nition 2.1.1 On dira qu’une variété topologique M de dimension 3 est la somme
connexe des variétés topologiques M1 ; : : : ; Mk (aussi de dimension 3) et on écrira
M = M1 # : : : #Mk
s’il existe une sous-variété S de M telle que
i. les composantes connexes de S sont des sphères S 2 et séparent M ,
ii. M jS s’écrit comme l’union disjointe M10 t : : : t Mk0 de variétés topologiques et
chaque Mi est obtenue à partir de la composante Mi0 en recollant des boules B 3
sur ses composantes de bord provenant du découpage de M le long de S.
Notons que si une sphère S plongée dans M sépare et borde une boule d’un côté,
on obtiendra que M = M #S 3 . Cette remarque motive les dé…nitions suivantes :
Dé…nition 2.1.2 Soit une variété topologique M orientable et de dimension 3. La
variété M est dite première si elle n’est pas homéomorphe à S 3 et, pour toute decomposition en somme connexe M = M1 #M2 , au moins une des variétés Mi est
homéomorphe à S 3 . La variété M est dite irréductible si toute sphère plongée dans
M borde une boule.
7
2. Rappels
8
Un remarque important est que S 1
S 2 est l’unique variété topologique de dimen-
sion 3 orientable qui est première et pas irréductible.
Dé…nition 2.1.3 Un arc
proprement plongé dans une surface topologique S est
appelé essentiel s’il n’existe pas d’arc
dans @S tel que
S. Un arc qui n’est pas essentiel est appelé inessentiel.
[
borde un disque dans
Dé…nition 2.1.4 Soit S une surface proprement plongée dans M , qui sépare et sans
composantes connexes homéomorphes à S 2 où D2 . Un disque de compression pour
S est un disque fermé D plongé dans M tel que S \ D = @D et @D ne borde pas de
disque dans S. On dira que S est incompressible (compressible) si elle n’admet
pas (admet) un disque de compression. Un disque de @-compression pour S est un
disque fermé D, plongé dans M , dont le bord @D peut-être decomposé en deux arcs
= D \ S et
= D \ @M d’interieurs disjoints et tel qu’il n’existe pas de disque D0
contenu dans S avec
@D0 et @D0
@M . On dira que S est @-incompressible
(@-compressible) si elle n’admet pas (admet) un disque de @-compréssion. On dira
que S est essentielle lorsque elle est à la fois incompressible et @-incompressible.
On résume quelques propriétés des surfaces incompressibles dans la proposition
suivante (voir [Hat]).
Proposition 2.1.5 Soient une variété topologique M orientable et de dimension 3,
et une surface S qui sépare M , sans composante connexe homéomorphe à S 2 où D2 .
Alors :
i. S est incompressible (@-incompressible) si et seulement si toutes ses composantes
connexes sont incompressibles (@-incompressibles),
ii. une composante connexe Si de S est incompressible (@-incompressible) si et seulement si (si) l’application
i :
1 (Si )
!
1M
(i :
1 (Si ; @Si )
!
1 (M; @M )
)
induite par l’inclusion i : Si ,! M (i : (Si ; @Si ) ,! (M; @M )) est injective,
iii. supposons que S est homéomorphe à un tore T 2 et que M est irréductible. Alors S
est compressible si et seulement si elle borde un tore solide ou si elle est contenue
dans une boule.
2.1.2
Variétés de Seifert
Etant donné un couple ( ; ) de nombres entiers premiers entre eux, on dé…nit
T(
; ),
le tore solide …bré de type ( ; ), comme le quotient du cylindre D2
R muni
2. Rappels
9
de la …bration standard fdg
et d’angle de rotation
quotient. L’entier
2
. On note
V
(fdg
V
:
D2
est appelé l’indice de T(
un disque méridien pour T(
…bres
R ; d 2 D2 par un vissage V d’axe f0g
; )
; ).
; )
=
V
(f0g
fois. Le tore T(
R, de pas 1
R =V la projection
Notons que D =
qui intersecte la …bre
R), où d 6= 0, exactement
= 1, et exceptionnel si
R !T(
D2
V
D2
f0g est
R) une seule fois et les
; )
est dite régulier si
6= 1.
Dé…nition 2.1.6 Une variété topologique M de dimension 3 (peut-être avec bord) est
appelée variété (orientable) de Seifert (ou encore M admet une …bration de
Seifert, ou M est …brée de Seifert) si M est orientable et admet un feuilletage en
cercles tel que chaque …bre c admet un voisinage tubulaire Vc fermé et …bré (Vc est
une union de …bres) homéomorphe à un tore …bré T(
preserve les …bres et qui envoie c sur la …bre
V
(f0g
; )
par un homéomorphisme qui
R). Les …bres c dont le voisi-
nage Vc est homéomorphe à un tore exceptionnel (régulier) sont dites exceptionnelles
(régulières).
On remarque que la classi…cation des …bres donnée ci-dessus est exclusive, c’est-àdire, une …bre ne peut pas avoir un voisinage homéomorphe à un tore exceptionnel et
un autre homéomorphe à un tore régulier (voir [Jac]). Il découle de la dé…nition que
les …bres singulières sont contenues dans l’intérieur de M et qu’elles sont en nombre
…ni lorsque M est compacte.
Etant donnée une variété de Seifert M , soit B l’ensemble des …bres de M . On note
p : M ! B la projection qui associe à chaque point de M la …bre qui le contient. Les
voisinages modèles des …bres induisent une structure naturelle d’orbifold de dimension
2 (pas forcément orientable) sur B, dont l’ensemble singulier est discret et correspond
à l’image des …bres singulières par la projection p.
Dé…nition 2.1.7 Soit M une variété (orientable) de Seifert. L’ensemble B des …bres
de M muni de la structure d’orbifold de dimension 2 est appellé base de la …bration
de Seifert de M et l’application p : M ! B est appelée la projection canonique
sur la base.
On énonce quelques propriétés des variétés de Seifert :
Proposition 2.1.8 ([Jac]) Soit M une variété (orientable) de Seifert de base B.
Alors :
i. @M 6= ; si et seulement @B 6= ;. Par conséquent, les composantes de @M sont
des tores …brés,
2. Rappels
10
ii. supposons que @M 6= ; et soit N la variété obtenue en recollant un tore solide
V sur une composante de @M sans identi…er (à homotopie près) une …bre au
méridien de V . Alors la …bration de Seifert sur M s’étend à une …bration de
Seifert sur N ,
iii. si M n’est pas homéomorphe à S 2
S 1 ou P 3 #P 3 , alors M est irréductible.
Pour …nir cette section, on distingue une importante famille de variétés de Seifert :
Etan donné un tore solide fermée V , un lacet
un méridien s’il existe un disque D
plongé sur le bord de V est appellé
V tel que D \ @V = @D et
parametrise @D.
Une longitude pour
est un lacet l plongé sur le bord de V (basé sur le même point
que ) qui intersect
en un seule point et telle que les classes d’homotopie de
et l
engendrent le groupe fondamental du bord de V . Le couple ( ; l) est appéllé un couple
méridien/longitude pour V .
Dé…nition 2.1.9 Etant donné un couple (p; q) d’entiers premiers entre eux (q > 0),
on dé…nit l’espace lenticulaire Lp;q comme la variété topologique de dimension 3
obtenue en recollant deux tores solides fermés V et W de façon à ce qu’un méridien
de W soit recollé sur le lacet
p lq
du bord de V , où le couple ( ; l) dénote un couple
méridién/longitude pour V .
On remarque que les ensembles Lp;q sont bien dé…nis, dans la mesure où l’identi…cation proposée des courbes sur les bords des tores détermine (à isotopie près) les
homéomorphismes entre les bords des tores. On peut aussi obtenir les variétés lenticulaires Lp;q comme le quotient de S 3
C2 par l’action du groupe Zq de générateur
(z1 ; z2 ) 7 ! e
2.2
2.2.1
2 i
q
:z1 ; e
2 ip
q
:z2 .
Espaces d’Alexandrov
Notions élémentaires
Soit Z un espace métrique. Par convention, la métrique de Z sera notée dZ ( ; ).
Pour tout r
0 et pour tout sous-ensemble A
Z, on désigne les r-voisinages
métriques (ouverts et fermés) de A dans Z par
S
S
BZ (A; r) =
fz 2 Z ; dZ (z; a) < rg et BZ [A; r] =
fz 2 Z ; dZ (z; a)
a2A
rg :
a2A
Dé…nition 2.2.1 Un espace métrique Z est appelé un espace de longueur si
dZ (z1 ; z2 ) = inf fLZ ( ) ;
est une courbe recti…cable reliant z1 à z2 g ,
pour tous z1 ; z2 2 Z, où LZ ( ) représente la longueur d’une courbe
ce cas-là, la métrique dZ sera dite intrinsèque.
dans Z. Dans
2. Rappels
11
Une courbe dans un espace de longueur Z est une application
: I ! Z, continue
et paramétrée par longueur d’arc, où I est un intervalle de R. On dira qu’une courbe
: I ! Z est une géodésique minimisante de Z (ou segment géodésique minimisant
de Z lorsque I est compact) si elle réalise la distance entre deux points quelconques
de son image. C’est-à-dire, pour tous t1 ; t2 2 I,
dZ ( (t1 ) ; (t2 )) = LZ
Une géodésique de Z est une courbe
j[t1 ;t2 ]
= t2
t1 .
(2.1)
: I ! Z qui réalise localement la distance
entre les points de son image. Plus précisément, pour tout t0 2 I, il existe un intervalle
I tel que t0 2 int (J) et
Jt0
satisfait (2.1), pour tous t1 ; t2 2 Jt0 .
Quand tous les points d’un espace de longueur Z peuvent être reliés par un segment
géodésique minimisant, on dira que Z est (géodésiquement) complet. Le théorème
de Hopf-Rinow montre que cette notion de complétude coïncide avec la notion canonique de complétude pour les espaces métriques (Cauchy).
Etant données deux courbes ;
entre
et
]( ; ) =
est dé…ni par
lim
(s;t)!(0;0)
arccos
: [0; "[ ! Z telles que z0 =
(0) =
(0), l’angle
dZ ( (s) ; z0 )2 + dZ (z0 ; (t))2 dZ ( (s) ; (t))2
2:dZ ( (s) ; z0 )2 :dZ (z0 ; (t))2
!
,
lorsque cette limite existe. Notons que, d’après la loi des cosinus, si l’on prend un
triangle euclidien de côtés de longueur dZ ( (s) ; z0 ), dZ (z0 ; (t)) et dZ ( (s) ; (t)),
alors l’expression entre parenthèses représente le cosinus de l’angle
opposé au côté de longueur dZ ( (s) ; (t)) (…gure 2.1).
(t; s) 2 [0; ]
Fig. 2.1 –Interprétaton géométrique de ] ( ; )
Une charnière
( ; ) dans un point z0 d’un espace de longueur Z est le choix
de deux segments géodésiques minimisants
z0 =
(0) =
: [0; a] ! Z et
(0). On dé…nit l’angle de la charnière
angle existe. La longueur d’une charnière
: [0; b] ! Z tels que
( ; ) par ] ( ; ), lorsque cet
( ; ) est dé…nie par
LZ ( ; ) = min fLZ ( ) ; LZ ( )g .
2. Rappels
12
Pour tout k 2 R, on note M2k la variété riemannienne complète, simplement
connexe, de dimension 2 et de courbure sectionelle constante égale à k. On remarque
que comme toute paire de points distincts de M2k est reliée par un unique segment
géodésique, l’angle de toute charnières de M2k est bien dé…ni et que toutes charnières
de même angle et de segments de même longueur sont égales à isométrie prés.
Etant donne une charnière
( ; ) dans un espace de longueur Z, on appelle une
k-charnière de comparaison pour
LZ ( ) = LM2 ( ), LZ ( ) = LM2
k
( ; ) une charnière
;
et dZ ( (a) ; (b)) = dM2
k
k
de M2k tel que
(a) ; (b) . Notons
que les proprietés données dé…nissent une charnière de comparaison à isométrie près.
De plus, si k
0, toute charnière
( ; ) admet une k-charnière de comparaison. Pour
k > 0, la même a¢ rmation est véri…ée par les charnière
( ; ) avec LZ ( ; ) <
p
k
.
Dé…nition 2.2.2 On dit que un espace de longueur Z a courbure minorée par
k 2 R lorsqu’il satisfait l’une (et en fait le deux) des propriétés suivantes :
i. tout point z 2 Z admet un voisinage Uz tel que l’angle de toute charnière
contenue dans Uz est bien dé…ni. De plus, si
comparaison
;
, alors ] ( ; )
]
;
( ; )
( ; ) admet une k-charnière de
,
ii. tout point z 2 Z admet un voisinage Uz tel que, pour toute charnière
( ; )
contenue dans Uz , la fonction
(t; s) = arccos
satisfait
(t1 ; s1 )
dZ ( (s) ; z0 )2 + dZ (z0 ; (t))2 dZ ( (s) ; (t))2
2:dZ ( (s) ; z0 )2 :dZ (z0 ; (t))2
(t2 ; s2 ), si t1
t2 et s1
!
s2 .
On remarque que les propriétés (i) et (ii) sont equivalentes et qu’elles sont valables
globalement, c’est-à-dire, pour n’importe quelles charnières de Z ([BBI] - 10.3.1).
Dé…nition 2.2.3 Un espace d’Alexandrov est un espace de longueur, localement
compact, dont la courbure est minorée et la dimension est …nie. On l’appellera kespace d’Alexandrov si l’on veut préciser que la courbure est minorée par k 2 R. La
dimension d’un espace de Alexandrov est sa dimension de Hausdor¤ .
Proposition 2.2.4 ([BBI]) La dimension d’un espace d’Alexandrov Z est un entier.
De plus, tous les ouverts de Z ont la même dimension.
Proposition 2.2.5 ([BBI] et [SY]) Les espaces d’Alexandrov de dimension 1 (dimension 2) sont des variétés topologiques, peut-être à bord non vide, de dimension 1
(dimension 2).
2. Rappels
13
Soient un k-espace d’Alexandrov Z et un point z 2 Z. Notons Tz l’ensemble de tous
les segments géodésiques issus de z. On dira que
, 2 Tz sont équivalents ( tz
)
si et seulement si ] ( ; ) = 0. Cela dé…nit une relation d’équivalence sur Tz . De plus,
la fonction angle ( ; ) 7 ! ] ( ; ) est une métrique sur le quotient Tz = tz .
Dé…nition 2.2.6 Soient un espace d’Alexandrov Z et un point z 2 Z. Le complété
métrique de Tz = tz sera appelé espace des directions de Z en z et sera noté Dz Z.
Proposition 2.2.7 ([BBI]) Soient un espace d’Alexandrov Z de dimension n et un
point z 2 Z. Alors diam (Dz Z)
i. si n
et :
2, alors Dz Z est un 1-espace d’Alexandrov compact et de dimension n 1,
ii. si n = 1, alors Dz Z est un ensemble à un ou deux éléments.
Dé…nition 2.2.8 L’intérieur et le bord d’un espace d’Alexandrov Z de dimension
n, notés int (Z) et @Z, sont dé…nis (par recurrence) de la façon suivante :
i. si n
ii. si n
2, alors les notions coïncident avec celles des variétés topologiques,
3, alors @Z est l’ensemble des points z 2 Z tels que Dz Z est un espace
d’Alexandrov de dimension (n
1) avec bord et int (Z) = Z
Considérons l’espace topologique Dz Z
@Z.
[0; 1) (avec la topologie produit) et la
relation d’équivalence : ( ; t) t ( ; s) si et seulement si t = s = 0.
Dé…nition 2.2.9 Soient un espace d’Alexandrov Z et un point z 2 Z. L’espace tangent de Z en z est l’espace topologique quotient Tz Z = Dz Z
structure d’espace de longueur induite par la métrique
dTz Z ( ; t); ( ; s) =
où ( ; t) ; ( ; s) 2 Dz Z
p
t2 + s2
[0; 1) = t munie de la
2:t:s: cos (dDz Z ( ; )) ,
[0; 1) et la barre dénote la classe de ces éléments dans Tz Z.
Proposition 2.2.10 ([BBI]) Soient un espace d’Alexandrov Z de dimension n et un
point z 2 Z. Alors Tz Z est un 0-espace d’Alexandrov de dimension n.
Dé…nition 2.2.11 Soient un espace d’Alexandrov Z, un point z 2 Z et une direction
2 Dz Z représentée par un segment géodésique t 7! expz (t ) issu de z. La dérivée
d’une fonction lipschitzienne f : Z ! R dans la direction de
dfz ( ) = lim
t!0+
f (expz (t ))
t
f (z)
.
est dé…nie par
2. Rappels
14
Proposition 2.2.12 Soient un espace d’Alexandrov Z et un point z 2 Z. Il existe
une unique application dfz : Tz Z ! R telle que
dfz ( ; s) = s:dfz ( ) = s: lim
t!0+
f (expz (t ))
t
pour tout s 2 [0; 1[ et pour toute direction
f (z)
,
2 Dz Z représentée par un segment
géodésique t 7! expz (t ) issu de z. L’application dfz est appellée la dérivée de f en z.
Soient un espace d’Alexandrov Z et une constante
application localement lipschitzienne f : Z ! R est dite
courbe
: I ! Z, l’application t 7 ! f
t2
2
(t)
2 R. Quand @Z = ;, une
-concave si, pour toute
est concave. Quand @Z 6= ;,
notons D (Z) le double de Z muni de la structure d’espace de longueur induite et
soit p : D (Z) ! Z la projection canonique. Une application localement lipschitzienne
f : Z ! R est dite -concave si l’application f
p : D (Z) ! R est -concave.
Dé…nition 2.2.13 Une courbe
dans un espace d’Alexandrov Z est appellée une
quasi-géodésique si, pour tout
2 R et pour toute application -concave f : Z ! R,
f
est une application -concave.
Soient
> 0, un espace d’Alexandrov Z de dimension n et un point z 2 Z. Un
-strainer en z est une famille A = f
( i;
en z telle que, pour tous i; j 2 f1; : : : ; ng,
] ( i;
i)
>
et
] ( i;
j)
i)
; i 2 f1; : : : ; ngg de charnières de Z
; ] ( i;
2
j)
2
; ] ( i;
j)
2
< .
Notons que, comme toutes les charnières sont basées en z, les expressions ] ( i ;
] ( i;
j)
et ] ( i ;
j)
j ),
ont un sens. La longueur du -strainer A est dé…nie par
LZ (A) = min fLZ ( i ;
Dé…nition 2.2.14 Etant donnés
i)
; i 2 f1; : : : ; ngg .
> 0 et un espace d’Alexandrov Z de dimension
n, l’ensemble R (Z) des points de Z pour lesquels il existe un -strainer sera appelé
l’ensemble des points -réguliers de Z. Son complémentaire S (Z) sera appelé l’ensemble des points singuliers de Z. Le -rayon d’injectivité d’un point z 2 R (Z)
et le -rayon d’injectivité d’un sous-ensemble Y
R (Z) sont dé…nis par
Z
-rinj
(z) = sup fLZ (A) ; A est un -strainer en zg
Z
-rinj
(Y ) = inf
Z
-rinj
(z) ; z 2 Y :
On remarque que la dé…nition ci-dessus est, d’un certain point de vue, une généralisation de la dé…nition de rayon d’injectivité d’une variété riemannienne.
2. Rappels
15
Proposition 2.2.15 ([BBI], [SY] et [SY2]) Soient
> 0 et un k-espace d’Alexandrov
Z de dimension n. Alors
i. R (Z) est un ouvert dense de Z localement homéomorphe à des ouverts de Rn ,
Z (Y ) > 0, pour tout compact Y
1, alors -rinj
ii. Si k =
iii. Si n = 2, alors S (Z) = fz 2 int (Z) ; L (Tz Z)
ensembles fz 2 int (Z) ; L (Tz Z)
2
…nis.
2.2.2
2
R (Z),
g t @Z. De plus, les
g et fz 2 @Z ; L (Tz Z)
g sont
Convergence de Hausdor¤-Gromov
Soit Z un espace métrique. Rappelons que la distance de Hausdor¤ entre deux
sous-ensembles A et B de Z est dé…nie par
dH (A; B) = inf fr > 0 ; A
BZ (B; r) et B
BZ (A; r)g .
Lorsque il sera nécessaire d’expliciter l’espace Z et la métrique dZ en question, on écrira
dH;(Z;dZ ) (A; B) à la place de dH (A; B). On dira qu’une suite Ai de sous-ensembles de
Z converge au sens de Hausdor¤ vers un sous-ensembles A de Z si la suite de
nombres réels dH (Ai ; A) converge vers zéro.
Il est bien connu ([BBI] - section 7.3.1) que la distance dH dé…nit une métrique
sur l’ensemble F (Z) des sous-ensembles fermés de Z. La proposition ci-dessous énonce
quelques autres proprietés classiques de la distance de Hausdor¤.
Proposition 2.2.16 Soient un espace métrique Z et une suite Ai 2 F (Z) convergeant
au sens de Hausdor¤ vers A 2 F (Z).
i. A est l’ensemble des limites de toutes les suites de points ai 2 Ai (i 2 N),
ii. si Z est complet (compact) alors F (Z) est complet (compact),
iii. si Z est un espace de longueur et les ensembles Ai sont convexes, alors A est
convexe.
Dé…nition 2.2.17 La distance de Hausdor¤ -Gromov entre deux espaces métriques Z et Z 0 est dé…nie par
dHG Z; Z 0 = inf dH;(ZtZ 0 ;d) Z; Z 0 ; djZ = dZ et djZ 0 = dZ 0 .
On dira qu’une suite d’espaces métriques Zi converge au sens de Hausdor¤ Gromov vers un espace métrique Z lorsque la suite de nombres réels dHG (Zi ; Z)
converge vers zéro.
2. Rappels
16
C’est un fait remarquable que la classe C des espaces métriques compacts à isométrie près muni de la distance dHG est un espace métrique ([BBI]).
Remarque 2.2.18 La convergence de Hausdor¤ -Gromov peut-être vue comme une
convergence au sens de Hausdor¤ . Plus précisément, si une suite d’espaces métriques
Zi converge au sens de Hausdor¤ -Gromov vers un espace métrique Z, alors il existe
F
une sous-suite Zik et une métrique sur l’union disjointe Z = Z t Zik telle que Zik
converge vers Z au sens de Hausdor¤ . Cet observation nous permet d’écrire, sans
perte de généralité, qu’une suite de points zi 2 Zi converge au sens de Hausdor¤ -
Gromov vers un point de Z.
Proposition 2.2.19 ([BBI]) Soit une suite d’espaces de longueur Zi qui converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov vers un espace métrique Z. Alors le complété métrique de
Z est un espace de longueur.
Notons que la distance de Hausdor¤-Gromov entre un espace métrique et son
complété métrique est nulle. On peut ainsi supposer sans perte de généralité que les
limites de Hausdor¤-Gromov de suites d’espaces métriques sont toujours complètes.
Avec cette convention, la proposition ci-dessus a¢ rme que la limite de Hausdor¤Gromov d’une suite d’espaces de longueur est toujours un espace de longueur.
Dé…nition 2.2.20 Soient deux suites d’espaces métriques Zi et Zi0 convergeants au
sens de Hausdor¤ -Gromov respectivement vers des espaces métriques Z et Z 0 . On dira
qu’une suite d’applications fi : Zi ! Zi0 converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
vers une application f : Z ! Z 0 si, pour toute suite zi 2 Zi convergeant vers z 2 Z, la
suite fi (zi ) converge vers f (z).
Proposition 2.2.21 Soit une suite équicontinue d’applications fi : Zi ! Zi0 , où
Zi et Zi0 sont deux suites d’espaces métriques convergentes (au sens de Hausdor¤ Gromov). Alors la suite fi admet une sous-suite fik : Zik ! Zi0k convergente (au sens
de Hausdor¤ -Gromov).
Etant donné " > 0, une "-isométrie entre deux espaces métriques Z et Z 0 est une
application (pas nécessairement continue) f : Z ! Z 0 telle que BZ 0 (f (Z) ; ") = Z 0 et
dis (f ) = sup fdZ 0 (f (z1 ) ; f (z2 ))
dZ (z1 ; z2 ) ; z1 ; z2 2 Zg < ".
Proposition 2.2.22 ([BBI]) Soient Z et Z 0 deux espaces métriques . Alors :
i. si dHG (Z; Z 0 ) < ", il existe une 2"-isométrie f : Z ! Z 0 ,
ii. s’il existe une "-isométrie entre Z et Z 0 , alors dHG (Z; Z 0 ) < 2".
2. Rappels
17
Corollaire 2.2.23 ([BBI]) Une suite d’espaces métriques Zi converge au sens de
Hausdor¤ -Gromov vers un espace métrique Z si et seulement s’il existe une suite de
nombres réels "i > 0 convergeant vers zéro et une suite de "i -isométries fi : Z ! Zi .
La convergence de Hausdor¤-Gromov telle qu’elle a été dé…nie, est un outil puissant
pour étudier les suites d’espaces métriques compacts, mais elle devient très restrictive
dans le cas général. Pour combler cette lacune on a la généralisation ci-dessous.
Dé…nition 2.2.24 Un espace métrique pointé est un couple (Z; z0 ), où Z est un espace
métrique et z0 2 Z. Une suite d’espaces métriques pointés (Zi ; zi ) converge au sens
de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace métrique pointé (Z; z0 ) si elle satisfait
la propriété suivante : Pour tout r > " > 0, il existe i0 2 N et une suite d’applications
(pas nécessairement continues) fi : BZi (zi ; r) ! Z tels que, pour tout i
i0 ,
i. fi (zi ) = z0 ,
ii. dis (fi ) < ",
iii. BZ (z0 ; r
")
iv. fi (BZi (zi ; r))
BZ (fi (BZi (zi ; r)) ; "),
BZ (z0 ; r + ").
On remarque que, pour les espaces compacts, la convergence de Hausdor¤-Gromov
pointée implique la convergence de Hausdor¤-Gromov. De plus, si une suite d’espaces
métriques compacts Zi converge au sens de Hausdorf-Gromov vers un espace métrique
compact Z, alors pour tout point z0 2 Z, il existe une suite de points zi 2 Z telle que
la suite pointée (Zi ; zi ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers (Z; z0 ).
Une isométrie entre deux espaces métriques pointés (Z; z) et (Z 0 ; z 0 ) est une isomé0
trie f : Z ! Z qui l’envoi z sur z 0 . Comme précédemment, on peut toujours supposer
que la limite Hausdor¤-Gromov pointée d’une suite d’espaces métriques pointés est
complète. Après ces considérations, on a la proposition suivante :
Proposition 2.2.25 ([PP], [BBI]) Soit une suite (Zi ; zi ) d’espaces de longueur pointés qui converge au sens de Hausdor¤ -Gromov vers un espace métrique (Z; z0 ). Alors
i. (Z; z0 ) est un espace de longueur pointé et il est bien dé…nie à isométrie près,
ii. pour tout r > 0, la suite de boules BZi [zi ; r] (avec la métrique induite) converge
au sens de Hausdor¤ -Gromov vers la boule BZ [z0 ; r].
iii. si Zi est une suite de k-espace d’Alexandrov de dimension n, alors Z est un
k-espaces d’Alexandrov de dimension plus petite ou égale à n,
iv. si
i
: I ! Zi est une suite de quasi-géodésiques qui converge (ponctuellement)
vers une courbe
: I ! Z, alors
est une quasi-géodésique de Z.
2. Rappels
18
Le théorème suivant est appelé Théorème de Stabilité et il est dû à G.Perelman.
Théorème 2.2.26 ([Kap]) Pour tout k-espace d’Alexandrov Z compact et de dimension n, il existe " > 0 qui satisfait la propriété suivante : si Y est un k-espace d’Alexandrov compact, de dimension n et dHG (Z; Y ) < ", alors Y est homéomorphe à Z.
Corollaire 2.2.27 Soit (Zi ; zi ) une suite de k-espaces de longueur pointés de dimension n qui converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un k-espace de longueur
pointé (Z; z0 ). Alors, pour tout r > 0, il existe i0 2 N tel que les boules BZi [zi ; r] sont
homéomorphes à la boule BZ [z0 ; r], pour tout i
i0 . En particulier, si Z est compact,
alors il existe i0 2 N tel que Zi est homéomorphe à Z, pour tout i > i0 .
On termine la section avec un résultat sur les suites de variétés riemanniennes.
Proposition 2.2.28 ([Gro]) Soit (Mi ; pi ) une suite pointée de variétés riemanniennes
de dimension n, completes et à courbure uniformement pincée. Si la suite (Mi ; pi )
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé et la suite des rayons d’injectivité des
point pi converge vers zéro, alors la limite a dimension plus petite que n.
2.3
2.3.1
Structures Géométriques
Géométries Modèles et Variétés Géométriques
Pour tous n; k 2 N, on note Mnk l’unique (à isométrie près) variété riemannienne
complète, connexe, simplement connexe de dimension n et de courbure constante k.
Pour k égal à 0, 1 et
1, on écrira aussi En , Sn et Hn à la place de Mn0 , Mn1 et Mn 1 .
On présente rapidement la variété Hn .
Un modèle pour Hn est donné par la variété di¤érentiable
Rn+ = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; xn > 0g
muni de la métrique
hu; viHn =
p
hu; vi
(xn )2
,
où x 2 Rn+ , u; v 2 Tx Hn et h:; :i est la métique canonique de Rn . Les géodesiques de
Hn sont toutes les demi-droites et demi-cercles ortogonaux au plan xn = 0.
On dé…ni @Hn , le bord de Hn , comme le bord de Rn+ en tant que sous-espace topologique du compacti…é d’Alexandrov de Rn . Notons Hn = Hn t @Hn . Il est bien connu
que les géodesiques de Hn sont les demi-droites et demi-cercles de Rn+ orthogonaux à
@Hn \ Rn = f(x1 ; : : : ; xn ) 2 Rn ; xn = 0g .
2. Rappels
19
Quand n = 2, le groupe Isom+ (H2 ) des isométries positives de H2 peut-être identi…é à P SL2 (R). Premièrement, notons que R2+ = fz 2 C ; Im (z) > 0g. Le groupe des
isométries de H2 est donné par les applications
a b
az + b
A:z2H 7 !
2 H2 , où A =
cz + d
2
c d
!
2 SL2 (R),
et A représente la classe de A dans P SL2 (R). Une isométrie A 6= Id est dite :
ellipitique si tr2 (A) < 4 et F ix A \ H2 = fxg
H2
parabolique si tr2 (A) = 4 et F ix A \ H2 = fxg
@H2
hyperbolique si tr2 (A) > 4 et F ix A \ H2 = fx; yg
@H2 .
Quand n = 3, le groupe Isom+ (H3 ) des isométries positives de H3 peut-être identi…é à P SL2 (C). Premièrement, notons que R3+ t f(z; t) 2 C
des isométries de
3
H3
R ; t > 0g. Le groupe
est donné par les applications
(az + b) :(cz + d) + act2 ; t
A : (z; t) 2 H 7!
jcz + dj2 + jcj2 t2
3
2H
, où A =
a b
c d
!
2 SL2 (C)
et A représente la classe de A dans P SL2 (C). Notons que les isométries A 2 Isom+ (H3 )
s’étendent à une application dé…nie sur C
à C t C f0g =
@H3
\
R3
R. De plus, la restriction de cette extension
satisfait
A (z) = A (z; 0) =
(az + b) :(cz + d)
;0
jcz + dj2
!
t
az + b
2C.
cz + d
Une isométrie Id 6= A 2 Isom+ (H3 ) est dite :
ellipitique si tr2 (A) < 4 et F ix A \ H3 est une géodésique de H3 ,
parabolique si tr2 (A) = 4 et F ix A \ H3 = fxg
@H3 ,
loxodromique si tr2 (A) > 4 ou tr2 (A) 2 C, et F ix A \ H3 = fx; yg
@H3 .
Les paires (En ; Isom+ (En )) ; (Sn ; Isom+ (Sn )) et (Hn ; Isom+ (Hn )) sont appelées
respectivement géométrie euclidienne, géométrie sphérique et géométrie hyperbolique, et sont connues comme étant les 3 géométries classiques. On dé…nit
maintenant la notion plus générale de géométrie modèle.
Dé…nition 2.3.1 Une géométrie modèle de dimension n est un couple (X; G), où
X est une variété riemannnienne de dimension n orientable, connexe, simplement
connexe et G est un groupe de Lie d’isométries de X, maximal pour les propriétés :
i. G agi transitivement sur X avec stabilisateurs de points compacts,
2. Rappels
20
ii. il existe H < G qui agit de façon discrète sur X et tel que X=H soit compact.
Une (X; G)-structure sur une variété topologique M est la donnée d’un atlas
A(X;G) = f'i : Ui ! X ; i 2 Ig maximal pour les propriétés :
i. fUi gi2I est un recouvrement ouvert de M ,
ii. chaque 'i est un homéomorphisme sur les ouverts 'i (Ui ) de X,
iii. si Ui \ Uj 6= ;, alors il existe gij 2 G tel que, pour tout q 2 Ui \ Uj ,
gij
'i (q) = 'j (q) .
(2.2)
Une (Hn ; Isom+ (Hn ))-structure et aussi appelée une structure hyperbolique.
De façon analogue on dé…nit les notions de structure euclidienne et sphérique.
Dé…nition 2.3.2 On dira qu’une variété topologique M est géométrique quand elle
admet une (X; G)-structure. Une (X; G)-variété est un couple M; A(X;G) , où M est
une variété topologique et A(X;G) une (X; G)-structure sur M . Quand il n’y aura pas
de risque de confusion, on dira simplement que M est une (X; G)-variété ou que M
est modélé sur la géométrie (X; G). Les variétés modelés sur les géométries classiques
seront aussi appelés variétés euclidiennes, sphériques et hyperboliques.
Notons que l’atlas A(X;G) induit une structure riemannienne sur M de façon à ce
que les applications 'i deviennent des isométries. De plus, si N est une autre variété
topologique et si f : N ! M est un homéomorphisme local, on peut utiliser f pour
induire une (X; G)-structure sur N de façon à ce que f devienne une isométrie locale.
La propriéte (2.2) permet de développer une courbe
: [a; b] ! M dans X de
la façon suivante : soient '1 ; : : : ; 'k 2 A et P = fa0 = a; a1 ; : : : ; ak
subdivision de [a; b] telle que
([ai
1 ; ai ])
1 ; ak
= bg une
Ui . Quitte a composer les applications 'i
avec un élément de G, on peut supposer qu’elles véri…ent :
'i ( (ai )) = 'i+1 ( (ai ))
pour tout i = 1; : : : ; k
'0i ( (ai )) = '0i+1 ( (ai )) ,
et
1. Alors, l’application
j[a
i 1 ;ai ]
= 'i
j[ a
i 1 ;ai ]
est appelée un développement de . Notons que
: [a; b] ! X dé…ni par
, i = 1; : : : ; k
ne dépend que de la première carte
et que, pour tout g 2 G, la courbe g
Soient M = M; A(X;G)
est aussi un développement de .
f ! M son revêtement uniune (X; G)-variété et : M
versel. Fixons des points p0 2 M et pe0 2
1 (p
0 ) et une carte ' : U ! X de A(X;G)
f
tels que p0 2 U . Considérons l’appllication d : M ! X dé…nie de la façon suivante :
2. Rappels
21
f, on choisit un chemin
Pour tout qe 2 M
et on pose d (e
q) =
qe
qe
(1), où
f tel que
: [0; 1] ! M
qe
qe (0)
= pe0 et
représente le développment de
qe (1)
= qe
qe
en
utilisant ' comme première carte. L’application d (dite une développante de M ) est
un di¤éomorphisme local qui ne dépend que de la carte ' (voir [Rat]). De plus, il existe
un unique morphisme de groupes
=
d
:
1 (M )
! G tel que
d ( :e
q ) = ( ) d (e
q) ,
pour tout
dans
1 (M )
(2.3)
f. Ce morphisphe est appelé l’holonomie
et pour tout qe 2 M
de M associée à d et la propriété (2.3) est connue comme l’equivariance de d par .
f la structure riemannienne induite par la proNotons que si l’on considére sur M
jection , alors
1 (M )
f par isométries et l’application d est une isométrie
agit sur M
locale. Une autre remarque importante est que toutes les applications développantes
pour M peuvent être obtenues à partir d’une telle application d. Plus précisément, si d
est une appplication développante pour M , alors D = fg d ; g 2 Gg est l’ensemble de
toutes les développantes de la (X; G)-variété M . De plus, pour tout g 2 G, l’holonomie
g
associée à g d est dé…nit par
g
( )=g
( ) g
1.
Le résultat suivant est connu comme le théorème de géométrisation de ThurstonPerelman :
Théorème 2.3.3 Il existe 8 géométries modèles en dimension 3 qui sont : les (six)
^
géométries de Seifert (E3 , S3 , S2 E, H2 E, N il et SL
2 (R)), la géométrie hyperbolique (H3 ) et la géométrie résoluble Sol. De plus, si M est une variété topologique de
dimension 3 compacte, orientable et première, alors il existe une surface incompressible S dans M dont les composantes connexes sont homéomorphes à T 2 , et telle que
chaque composante de M jS peut-être modélé sur une des huit géométries ci-dessus.
Les 6 géométries de Seifert sont appellées ainsi car une variété topologique de
dimension 3 est une variété de Seifert si et seulement si elle peut-être modélée sur
une de ces 6 géométries. Pour les dé…nitions et propriétés des géométries modèles, on
renvoit le lecteur au papier de Peter Scott [Sco].
On termine la section avec quelques résultats sur les variétés hyperboliques :
Proposition 2.3.4 Soient M et N deux variétés hyperboliques homéomorphes. Fixons
des holonomies
M
et
N
pour M et N respectivement. Alors
M
et
N
sont conjugués
dans P SL2 (C) si et seulement si M et N sont isométriques.
Théorème 2.3.5 (de Mostow) Soient M et N deux variétés hyperboliques complètes, de volume …ni et de dimension n > 2. S’il existe une equivalence d’homotopie f : M ! N , alors il existe aussi une isométrie
: M ! N homotope à f . En
particulier, si M et N sont homéomorphes, alors elles sont isométriques.
2. Rappels
22
Proposition 2.3.6 Soient M une variété hyperbolique de dimension 3 et
désique fermée de M . Alors, il existe sur M
2.3.2
une géo-
une métrique hyperbolique complète.
Variétés Hyperboliques Coniques
Fixons
2 (0; 2 ] et k 2 R arbitraires. On note M2k ( ) l’espace obtenu en recollant
par rotation les faces d’un secteur dihedral d’angle
dans M2k . Plus précisément, soit R
la région de M2k delimitée par deux demi-plans P1 et P2 de M2k tels que @P1 = @P2 = r
et l’angle dihedral (du côté de R) est égale à
(…gure 2.2). Alors, M2k ( ) est l’espace
obtenu en recollant P1 et P2 par une rotation autour de r. La géodésique r sera
appelée géodésique singulière de M2k ( ) et les points de r seront dits singuliers. On
écrira H3 ( ), E3 ( ) et S3 ( ) à la place de M3 1 ( ), M30 ( ) et M31 ( ).
dans Mk3
Fig. 2.2 –Dihèdre d’angle
Dé…nition 2.3.7 Soient une variété di¤ érentiable M orientable de dimension 3, un
entrelacs
=
1
t ::: t
k
plongé dans M et
structure hyperbolique conique d’angle
= f
1; : : : ;
kg
(0; 2 ]. Une
sur le couple (M; ) est une structure
hyperbolique A(H3 ;P SL2 (C)) (non-complète) sur M
telle que :
i. il existe une (et une seule) métrique intrinsèque dM sur M telle que (M; dM ) est
le complété métrique de M
,
ii. tout point p appartenant à une composante
trique à un voisinage d’un point singulier de
i
de
H3 (
admet un voisinage isoméi ).
Une variété hyperbolique conique est un quadruplet M = M; ; ; A(H3 ;P SL2 (C)) ,
où M;
et
nique d’angle
sont comme ci-dessus et A(H3 ;P SL2 (C)) est une structure hyperbolique co-
sur (M; ). Quand la précision de la structure n’est pas importante on
dira simplement que M est une variété hyperbolique conique de type topologique
(M; ) (et d’angle conique
si l’on veut préciser les angles).
2. Rappels
23
Remarque 2.3.8 Une variété hyperbolique telle que nous l’avons dé…nie, est un espace d’Alexandrov avec courbure minorée par
Notons que si
= ; ou
1.
= f2 ; : : : ; 2 g, alors M est une variété hyperbolique
complète. On peut étendre la dé…nition de variété hyperbolique conique de façon à
admettre l’angles zéro sur les composantes de
. Pour cela il faut permetre que la
structure hyperbolique soit complète autour des singularités, c’est-à-dire, qu’un composante
i
puisse avoir un voisinage Ui tel que Ui
soit isométrique à une cusp
i
parabolique (de rang 2). Dans ce cas-là, on dira que l’angle conique
sante
i
est égal à zéro. Naturellement, le complété de M
i
sur la compo-
ne sera plus M , mais
M moins les composantes singulières dont les angles coniques sont nuls.
D’après le théorème d’hyperbolisation de Thurston, s’il existe une structure hyperbolique conique sur une paire (M; ), alors M
est hyperbolique, c’est-à-dire qu’il
existe une structure hyperbolique complète sur M
(voir [Koj]). Cette structure
(unique par Mostow) est, avec les notations précédentes, la structure hyperbolique
conique d’angle
= f0; : : : ; 0g.
On dé…nit les développantes et les holonomies d’une variété hyperbolique conique
de type topologique (M; ) comme celles de la structure hyperbolique sur M
.
Les modèles locaux autour des points singuliers d’une variété hyperbolique M per-
mettent d’obtenir plusieurs informations utiles sur la métrique autour de la singularité.
Nous les avons rassemblée dans la proposition suivante :
Proposition 2.3.9 Soit M une variété hyperbolique conique de type topologique (M; ),
d’angles coniques
=f
1; : : : ;
k g,
d’holonomie
:
1 (M
^ ! H3 (associée à ), où
plication développante d : M
revêtement universel de M
i. les composantes
ii. si
i
. Alors
de
) ! P SL2 (C) et d’ap^ !M
:M
est le
sont des géodésiques de M,
est un segment géodésique minimisant de M et int ( ) \
iii.
6= ;, alors
,
admet un voisinage ouvert maximal U = U1 t : : : t Uk , où chaque Ui est un
voisinage de
i
homéomorphe à un tore solide et les ouverts Ui = Ui
(appelés
cusps de M) admettent une structure produit du type T 2 [0; 1) de façon à ce que
chaque courbe (fxg
i
[0; 1))i soit une géodesique minimisante de M qui touche
orthogonalement et chaque feuille T 2
ftg
i
soit une sous-surface rieman-
nienne de M à courbure zéro, orthogonales aux géodésiques (fxg
incompressibles dans M
. Si l’angle
i
6= 0, alors les développés d
[0; 1))i et
1 (U )
i
sont des voisinages métriques disjoints des géodésiques gij distincts de H3 , c’està-dire qu’il existe "i > 0 tel que
d
1
(Ui ) =
[
fBH3 (gij ; "i )
gij g .
2. Rappels
24
1
De plus, les développés d
T2
ftg
des feuilles de Ui sont des sur-
i
faces equidistantes des géodésiques gij . Si l’angle
d
pés
1 (U )
i
1
d
iv. Soient
i
i
= 0, alors les développés
sont des horoboules centrées en pij distincts de @H3 et les dévelopT2
ftg
des feuilles de Ui sont des horosphères en pij ,
i
une composante de
une rotation d’angle
et
un méridien de
. Si
i
autour d’une des géodésiques gij . Si
i
6= 0, alors
i
( ) est
= 0, alors
( )
est un élément parabolique qui …xe un des points pij ,
v. Soient
Si
i
i
une composante de
et un couple ( ; ) méridién/longitude pour Ui .
6= 0, alors ( ) est un élément loxodromique de même axe que ( ) et dont
la longueur de translation coïncide avec la longueur de
i.
Si
i
est un élément parabolique qui …xe le même point à l’in…ni que
= 0, alors
( )
( ).
La proposition ci-dessus motive la dé…nition suivante :
Dé…nition 2.3.10 Soit M une variété hyperbolique conique de type topologique (M; )
et d’angles coniques
RM (
i)
(
i
=f
1; : : : ;
k g.
Pour tout i 2 f1; : : : ; kg, la constante non nulle
6= 0) présenté dans le (iii) de la proposition précédent est appelée rayon
d’injectivité normal de la composante
conique
i
= 0, on pose RM (
dé…ni par RM ( ) = min fR (
Soit
i
i)
i)
une composante de
existe une composante
i0
i.
Pour les composantes
i
de
d’angle
= 1. Le rayon d’injectivite normal de
sera
; i 2 f1; : : : ; kgg.
telle que
i
6= 0. Une remarque importante est qu’il
(avec peut-être i = i0 ) telle que, pour toute géodésique
de
gij , il existe au moins une géodésique gi0 j 0 telle que
RM (
i)
= RM (
i0 )
et
BH3 [gij ; RM (
De plus, il existe un segment géodésique
ment et tel que LM ( ) = 2:RM (
i)
i )]
\ BH3 gi0 j 0 ; RM (
minimisant qui rélie
= 2:RM (
i0 )
(= dM (
i;
i
i0 ),
à
si
i0 )
i0
i
6= ; .
orthogonale6=
i0 ).
La structure riemannienne sur le complementaire de la singularité permet de dé…nir
la notion de rayon d’injectivité et de volume.
Dé…nition 2.3.11 Soient M une variété hyperbolique conique de type topologique
(M; ) et g la métrique riemannienne induite par la structure hyperbolique sur M
Pour tout point p 2 M
, le rayon d’injectivité
d’injectivité de p dans la variété riemannienne (M
volume riemannien de la variété riemannienne (M
M
rinj
.
(p) de p dans M est le rayon
; g). Le volume de M est le
; g) et sera noté par V ol (M).
La proposition suivante dé…nit le polyhèdre de Dirichlet d’une variété hyperboliques coniques :
2. Rappels
25
Proposition 2.3.12 Soit M une variété hyperbolique conique de type topologique
^ ! H3 et
(M; ), d’angles coniques
= f 1 ; : : : ; k g, de développante d : M
d’holonomie
:
universel de M
1 (M
) ! P SL2 (C), où
. Etant donné p 2 M
etoilé DM = DM (p) dans
H3
^ !M
:M
1 (p)
et x 2 d
est le revêtement
, il existe un polyhèdre
tel que x 2 int (DM ) et M est isométrique au quotient
de DM par une identi…cation de ses faces. De plus :
i. pour chaque face F de DM , il existe un élément
F
y 2 H3 ; dH3 (x; y) = dH3 ( (
F
2
1 (M
F ) :x; y)
ii. DM est convexe si et seulement si les angles coniques
i
) tel que
;
appartiennent à [0; ].
L’intérieur du polyhèdre DM = DM (p) est isométrique à l’ensemble des points
non singuliers de M qui ont une seule géodésique minimisante d’extrémité p. Les
points singuliers de M sont associés aux points des arètes de DM contenues dans les
géodésiques gij décrites ci-dessus.
Une notion très important pour l’étude de déformations de structures hyperboliques coniques est celle d’e¤ondrement dont la dé…nition est :
Dé…nition 2.3.13 On dit qu’une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de type
topologique (M; ) s’e¤ ondre si, pour toute suite de points pi 2 M
Mi
rinj
, la suite
(pi ) converge vers zéro. Dans le cas contraire, on dira que la suite Mi ne s’ef-
fondre pas.
On termine cette section avec quelques résultats de base sur les variétés coniques.
Proposition 2.3.14 ([Fuj]) Etant données des constantes D1 ; D2 ; I > 0, il existe une
constante U = U (D1 ; D2 ; I) > 0 qui satisfait la propriète suivante : Soient une variété
hyperbolique conique M de type topologique (M; ) et deux points p; q 2 M
M (q)
rinj
M (p)
U si et rinj
I, dM (p; ) ; dM (q; )
D1 et dM (p; q)
. Alors
D2 .
Proposition 2.3.15 ([Fuj]) Soit Mi une suite de variétés hyperboliques coniques de
type topologique (M;
=
1
t ::: t
l)
et d’angles coniques (
i1 ; : : : ;
Si inf fRMi ( ) ; i 2 Ng > 0, alors il existe une suite de points pik 2 M
il )
2 (0; 2 )l .
tel que la
suite pointé (Mik ; pik ) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers une variété
hyperbolique conique M1 de dimension 3 et d’angles coniques
De plus, si
j
j
= lim
k!1
ik j
2 [0; 2 ].
> 0, pour tout j 2 f0; : : : ; lg, alors le type topologique de M1 est aussi
(M; ) (et en particulier, M1 est compact).
2. Rappels
2.3.3
26
Déformation de structures hyperboliques coniques
Dans ce paragraphe, M denotera une variété di¤érentiable, orientable, de dimension
3 et
=
1 (M
1
t ::: t
) de M
un entrelacs plongé dans M tel que le groupe fondamental
k
soit …niment engendré. On considera sur SL2 (C) la topologie
induite par la norme
"
a11 a12
a21 a22
#
= max fjaij j ; i; j 2 f1; 2gg
et sur P SL2 (C) = SL2 (C) = f Idg la topologie quotient.
Dé…nition 2.3.16 L’espace de représentations de M dans P SL2 (C) est l’ensemble R (M ) de tous les homomorphismes de
1M
dans P SL2 (C). Les éléments de
R (M ) sont appelés représentations. Une représentation
ductible si le groupe
(
1M )
2 R (M ) sera appelée ré-
P SL2 (C) …xe un point de @H3 . Les représentations
qui ne sont pas réductibles sont appellées irréductibles.
Fixons une présentation h 1 ; : : : ;
n
; r1 ; : : : ; rl i pour
1M .
On considère sur R (M )
la topologie dont la base est donné par les éléments
B ( ; V1 ; : : : ; Vn ) = f' 2 R (M ) ; ' ( k ) 2 Vk 8k = 1; : : : ; ng
où
2 R (M ) et, pour tout k 2 f1; : : : ; ng, Vk est un voisinage de ( k ) dans P SL2 (C).
La notion de convergence pour cette topologie est la notion de convergence ponctuel, c’est-à-dire, une suite de représentations
tation
2 R (M ) si et seulement si
i(
2 R (M ) converge vers une représen-
i
) converge vers
( ), pour tout
2
1M .
Le groupe P SL2 (C) agi sur R (M ) par conjugaison. Plus précisément, pour tout
2 R (M ), pour tout
2
1M
et pour tout A 2 P SL2 (C), on a A: ( ) = A ( ) A
1.
On considère sur R (M ) =P SL2 (C) la topologie quotient.
On peut munir R (M
voir R (M
) d’une structure algébrique. Plus précisément, on peut
) comme un sous ensemble algébrique fermé de C9n . Commençons pour
rappeler qu’on peut plonger le groupe P SL2 (C) dans C9 (voir [BMP]). Considérons
la présentation
1 (M
) = h 1; : : : ;
n
; r1 ; : : : ; r l i
et l’application injective
:
2 R (M
Comme l’image de
) 7! ( ( 1 ) ; : : : ; (
n ))
2 P SL2 (C)
C9n .
est un sous-ensemble algebrique fermé de C9n qui ne depend pas
(à isomorphisme algébrique près) de la présentation choisi ([BMP]), R (M
structure de fermé algébrique bien dé…nie.
) a une
2. Rappels
27
On remarque que toute holonomie d’une variété hyperbolique conique de type topologique (M; ) est irréductible ([Koj2]). De plus, les conjugués d’une représentation
irréductible sont contenus dans la même composante irréductible de R (M
Le quotient R (M
).
) =P SL2 (C) n’a pas une jolie structure comme R (M
).
Parcontre les représentations d’holonomie des variétés hyperboliques coniques de type
topologique (M; ) ont des voisinages avec des bonnes propriétés. Commençons par
dé…nir les coé…cients généralisés de remplissage de Dehn.
La longueur complexe d’un élément A non parabolique de P SL2 (C) est le
nombre complexe LC (A) = lA + i
A,
où lA et
sont respectivement la distance de
A
translation de A et l’angle de rotation de A. Il est connu (voir [CHK]) que l’application
LC est invariante par conjugation et qu’elle satisfait
jtrAj = 2: cosh
LC (A)
2
.
En particulier, si A est elliptique on a
i
jtrAj = 2: cosh
A
A
= 2: cos
2
) LC (A) = 2i: arccos
2
jtrAj
2
.
Etant donnée une variété hyperbolique conique M de type topologique (M; ) et
d’angle conique
=(
1; : : : ;
M. Fixons des méridiens
1; : : : ;
k
de
k)
2 ]0; 2 ]k , soit
1; : : : ;
k
la même géodésique de
une représentation d’holonomie de
et de longitudes
tels que les éléments
H3 .
M
M ( i)
et
1; : : : ;
M ( i)
k
pour les composantes
de P SL2 (C) laissent invariant
Alors, on peut dé…nir les applications continues
L :
2 R (M
) =P SL2 (C) ! (L
1
( );:::;L
k
( ))
Ck
L :
2 R (M
) =P SL2 (C) ! (L
1
( );:::;L
k
( ))
Ck
où L i ( ) = LC ( ( i )) et L i ( ) = LC ( ( i )), pour tout i 2 f1; : : : ; kg.
Comme, pour tout i 2 f1; : : : ; kg,
a un voisinage U
p:
2U
M
M
de
M ( i)
dans R (M
M
est un imaginaire pure et
pi :L
i
2U
M
! (q1 ( ) ; : : : ; qk ( )) 2 Rk
du système
M
+ qi :L
non, on
) =P SL2 (C) et deux application continues
! (p1 ( ) ; : : : ; pk ( )) 2 Rk et q :
qui sont les seules solutions sur U
M ( i)
i
=2 i
i 2 f1; : : : ; kg .
Les applications p et q sont appellés les coe…cients généralisés de remplissage de Dehn.
Notons que pi (
U
M
M)
=
2
i
et qi (
M)
, on peut supposer que 0 2
= pi (U
= 0, pour tout i 2 f1; : : : ; kg. Quitte à réduire
M
), pour tout i 2 f1; : : : ; kg.
2. Rappels
28
Rappelons le concept de chirurgie de Dehn. Soit M une variété topologique de
dimension 3 avec bord composé d’une union disjointe de tores @M = @M1 t : : : t @Mk .
Etant données des courbes fermées
M
1 ;:::; k
i
non triviales sur @Mi (i = 1; : : : ; k), on dé…nit
une variété tridimensionelle compacte obtenue à partir de M en recollant des
tores solides T1 ; : : : ; Tk sur les composantes de son bord par des homéomorphismes
i
: @Mi ! @Ti tels que
près, la variété M
1 ;:::; k
i ( i)
borde un disque dans Ti . On remarque que, à isotopie
ainsi obtenue ne depend pas des homéomorphismes choisis.
Supposons maintenant M est une variété hyperbolique conique de type topologique
(M; ) et d’angle conique
=(
1; : : : ;
k)
2 [0; 2 ]k (c’est-à-dire on admet les cusps
paraboliques de rang 2). Considérons l’application
F:
2V
M
! (F1 ( ) ; : : : ; F1 ( )) 2 R2 [ f1g
où, pour tout i 2 f1; : : : ; kg,
Fi ( ) =
(
(pi ( ) ; qi ( )) si
i
1
si
i
i)
de
Fixons des voisinages tubulaires ouvertes N (
solides et supposons que les éléments
i
où
i
=
i
i
1
i
et
i
6= 0
=0
i
.
homéomorphes à des tores
peuvent être écrits comme
et
i
R2 [ f1g ,
:::
i
=
est un chemin reliant le point base de M
i
à @N (
une couple méridien/longitude pour les tores N (
1
i
i
i)
;
et le couple
i;
est
i
i ).
Comme conséquence du théorème ci-dessous, les points de R (M
) =P SL2 (C)
associés aux représentations d’holonomie de structures hyperboliques coniques de type
topologique (M; ) ont des voisinages lisses. Il combine le théorème de chirurgie hyperbolique de Thurston (voir [BoP] - appendice) et le théorème de dé¤ormation de
Hodgson-Kerckho¤ (voir [Koj2])
Théorème 2.3.17 Soit
M
une représentation d’holonomie d’une variété hyperbo-
lique conique M de type topologique (M; ), alors il existe un voisinage V
de
M
dans le quotient R (M
FjV
) =P SL2 (C) tel que la restriction
M
:V
est un di¤ éomorphisme. De plus, si
Fi ( ) = 1
alors
ou
M
! F (V
2V
M
M
)
M
U
M
Ck
et, pour tout i 2 f1; : : : ; kg,
Fi ( ) 6= 1 et
qi ( )
2 Q,
pi ( )
est une représentation d’holonomie d’une variété hyperbolique coniques de type
topologique (N; ) dé…nie de la façon suivant :
2. Rappels
29
Etant donnés I1 = fi 2 f1; : : : ; kg ; Fi ( ) = 1g et I2 = f1; : : : ; kg
[
[
[
W =M
N ( i ) ) @W =
@N ( i ) .
i
i2I1
i2I2
I1 , notons
i2I2
Pour tout i 2 I2 , choisisons des entiers mi ; ni 2 Z premiers entre eux tels que
ni :qi ( ) = mi :pi ( ) .
Alors N est la variété obtenue en recollant des tores solides Ti sur les composantes du
bord de W de façon à tuer les courbes mi i + ni i . L’ensemble singulier de N est
G
G
=
it
i ,
i2I1
où les
i
i2I2
sont les âmes des tores Ti (i 2 I2 ). Les angles coniques sont égaux à
sur les composantes
i
et 0 sur les composantes
i
(i 2 I1 ) de
2 mi
pi
.
Les déformations des structures hyperboliques coniques sont bien comprises lorsque
les angles coniques sont décroissantes et plus petits au égaux à . Cette a¢ rmation
est une conséquence du théorème suivant dû à Kojima :
Théorème 2.3.18 ([Koj])Soient M une variété hyperbolique conique de type topologique (M; ) et d’angles coniques
M
=(
1; : : : ;
k)
2 [0; ]k et
M
une représentation
d’holonomie de M. Alors, il existe un chemin continu t 2 [0; 1] !
tel que
1
=
M,
0
t
)
est la représentation d’holonomie d’une variété hyperbolique
conique Mt de type topologique (M; ) et angles coniques
ti
2 R (M
est l’holonomie de la structure hyperbolique complète sur M
et, pour tout t 2 [0; 1),
applications t 7!
t
t
=(
t1 ; : : : ;
tk ),
où les
sont strictement décroisantes. Comme conséquence, si N est une
variété hyperbolique coniques de type topologique (M; ) et angles coniques
alors les variétés M et N sont isométriques.
N
=
M,
On termine la section avec deux propositions concernant aux variétés hyperboliques
coniques :
Proposition 2.3.19 (Schlä‡i) ([CHK])Supposons que l’on a un chemin continu Mt
(t 2 R) de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et d’angles coniques décroissantes. Alors la fonction t 7! V ol (Mt ) est croissante.
Proposition 2.3.20 ([CHK]) Soit Mi une suite de variétés hyperboliques qui convergent
au sens bilipschitz vers une variété hyperbolique M1 . Prenons une suite d’applications
(1 + "i )-bilipschitz fi : M1 ! Mi ,où "i > 0 converge vers 0. Alors, pour toute holono-
mie
1
de M1 , il existe une suite d’holonomies
où les morphismes (fi ) :
1 (M1 )
!
1 (Mi )
i
de Mi telle que
i
(fi ) !
sont induits par les applications fi .
1
,
.
Chapitre 3
Partie mince d’une variété
conique
3.1
Introduction
L’objectif de ce chapitre est de dé…nir la partie mince d’une variété hyperbolique de
dimension 3 et de comprendre topologiquement et géométriquement ses composantes
connexes complètes.
Dé…nition 3.1.1 Soit M une variété hyperbolique de dimension 3 (sans bord et peutêtre non complète) et
> 0. On dé…nit Mf ine ( ), la -partie mince de M , par
M
Mf ine ( ) = q 2 M ; rinj
(q) <
Dans ce chapitre, on note
M
et expq est dé…nie sur la boule BTq M (0; 3 ) .
f ! M le revêtement universel d’une variété
: M
di¤érentiable M . Le principal résultat pour comprendre la partie mince d’une variété
hyperbolique est le lemme suivant appelé lemme de Margulis (voir [KM, KM], [BGS]
et [BLP]) :
Lemme 3.1.2 Il existe constante
0
> 0 telle que : pour toute variété hyperbolique M
de dimension 3 avec holonomie , pour tout
2 (0;
0 ), pour toute composante connexe
e
P de Mf ine ( ) et pour toute composante connexe P de M1 (P), l’image par de
n
o
e
e
=
g
2
M
;
g
P
=
P
,
1
e
P
e est un groupe élémentaire d’éléments loxodromiques de P SL2 (C)
le stabilisateurde P,
(avec les même points …xes à l’in…ni) où un groupe élémentaire d’éléments paraboliques
de P SL2 (C) (avec un même point …xe à l’in…ni). On dira respectivement que
de type I ou de type II.
31
e
P
est
3. Partie mince d’une variété conique
32
Le résultat précis qu’on démontre dans ce chapitre est le suivant :
Proposition 3.1.3 Etant donné une variété hyperbolique M de dimension 3 (sans
bord et peut-être non complète) et
2 (0;
0 ),
soit P une composante connexe de
Mf ine ( ). Si l’adhérence de P dans M (munie de la structure d’espace métrique induite
par la métrique hyperbolique de M ) est complète au sens de Cauchy, alors une des deux
a¢ rmations suivantes est vraie :
i: P est homeomorphe à un tore solide et il est isométrique au quotient d’un
de H3 par un élément loxodromique de
voisinage métrique d’une géodésique
P SL2 (C) qui laisse
invariante et dont la longuer de translation est plus petite
au égale à .
ii: P est homeomorphe à T 2
de rang 2.
[0; 1) et il est isométrique à une cusp parabolique
La proposition ci-dessus est une conséquence de l’existence d’une feuilletage F de
codimension 1 sur P qu’on décrit dans la section suivante.
3.2
Feuilletage canonique de la partie mince
Fixons une variété hyperbolique M de dimension 3 (sans bord et peut-être non
complète) avec holonomie
et une application développante associée d, 2 (0; 0 ),
1
e de
une composante connexe P de Mf ine ( ) et une composante connexe P
M (P).
e on a les propriétés suivantes :
Par dé…nition (de la partie mince), pour tout point qe 2 P,
n
o
f
M
M ( (e
i: rinj
(e
q ) max 3 ; rinj
q )) ,
ii: il existe un lacet géodésique
basé en
(e
q ) et homotopiquement non trivial tel que
M
LM ( ) = 2:rinj
( (e
q )) ,
M ( (e
iii: 2:rinj
q )) = inf dM
q ; qe) ; g 2
f (g:e
e
P
.
Considérons sur H3 le feuilletage H dé…ni de la façon suivante :
si
e
P
est de type I et si
est la géodésique invariante par
sont les surfaces (H" )"2[0;1) dé…nies par
e,
P
alors les feuilles de H
H" = z 2 H3 ; dH3 (z; ) = " ,
si
e
P
est de type II, alors les feuilles de H sont les horosphères centrées sur le point
…xé à l’in…ni de
e.
P
3. Partie mince d’une variété conique
33
Remarque 3.2.1 Notons que, quelque soit le cas, les feuilles de H sont des surfaces
plongées dans H3 dont la courbure est nulle.
e un feuilletage
Comme l’application d est une isométrie locale, on peut dé…nir sur P
e (preservée par l’action de
F
e)
P
en tirant en arrière par d le feuilletage H. De plus,
l’equivariance de d par l’holonomie
utilisant l’isométrie locale
M.
permet de dé…nir une feuilletage F sur P en
On démontre maintenant une propriété importante du
feuilletage F :
Lemme 3.2.2 Le rayon d’injectivité est localement constante (et donc constante) sur
les feuilles de F.
e tel que (e
Preuve. Etant donné un point p 2 P, soit pe un point de P
p) = p.
e
e
Notons Fp et Fpe les feuilles de F et F qui passent respectivement par les points p et pe.
e et expq : BTq M [0; 3 ] !
Comme e agit de façon proprement discontinue sur P
P
BM [q; 3 ] est un di¤éomorphisme, il existe une famille maximale …nie
1; : : : ; k
de
lacets géodésiques basés en p tel que :
i: [ i ] 2
f1
e
P
1M
g, pour tout i 2 f1; : : : ; kg,
M (p) < 2 , pour tout i 2 f1; : : : ; kg.
ii: L := LM ( i ) = dM
p; pe) = 2:rinj
f ([ i ] :e
Comme conséquence de (ii) on obtient
pour tout g 2
e
P
L < dM
p; pe) ,
f (g:e
(3.1)
f[ 1 ] ; : : : ; [ k ]g.
A¢ rmation 1 : Il existe un voisinage ouvert V
pour tout qe 2 V et pour tout g 2
L < dM
q ; qe) ,
f (g:e
e
P
e de pe tel que
P
f[ 1 ] ; : : : ; [ k ]g.
Preuve : Supposons que l’a¢ rmation soit fausse. Il existe alors, une suite de points
e et une suite d’éléments gj 2 e f[ 1 ] ; : : : ; [ k ]g tel que limj!1 qej = pe et
qej 2 P
P
dM
qj ; pe) <
f (e
pour tout j 2 N. Donc
dM
p; pe)
f (gj :e
3
et
dM
qj ; qej )
f (gj :e
L,
dM
p; gj :e
qj ) + dM
qj ; qej ) + dM
qj ; pe)
f (gj :e
f (gj :e
f (e
= dM
qj ; qej ) + 2dM
qj ; pe) < L + < 3
f (gj :e
f (e
(3.2)
3. Partie mince d’une variété conique
34
f et 1 M agit de façon propre et discontinue
Comme BM
p; 3 ] est un compact de M
f [e
f, on peut supposer que la suite gj est constante égale à g 2 e f[ 1 ] ; : : : ; [ k ]g.
sur M
P
Comme lim qej = pe on a d’après (3.1) et (3.2) que
j!1
dM
p; pe) = L
f (g:e
et donc g 2 f[ 1 ] ; : : : ; [ k ]g, ce qui est une contradiction.
Soit " 2
M (p)
0; rinj
tel que L + 2" < 3 et BM
p; ")
f (e
V . Notons que
M
:
BM
p; ") ! BM (p; ") est une isométrie.
f (e
que
epe tel
Prenons q 2 BM (p; ") \ Fp arbitraire et soit qe l’unique point de BM
p; ") \ F
f (e
M
(e
q ) = q. Par construction, pour tout i 2 f1; : : : ; kg ; on a
dM
q ; qe) < L + 2" < 3
f ([ i ] :e
et donc il existe un lacet géodésique
i
basé en q tel que sont relévé issu de qe est
le segment géodésique minimisant réliant qe à [ i ] :e
q . Comme qe 2 Fpe, d (e
p) et d (e
q)
appartiennent à la même feuille de H. On a donc
dM
q ; qe) = LM ( i ) = dH3 ( ([ i ]) : (d (e
q )) ; d (e
q ))
f ([ i ] :e
p)) ; d (e
p)) = L.
= dH3 ( ([ i ]) : (d (e
D’après l’a¢ rmation (1), on a
M
2:rinj
(q) = inf dM
q ; qe) ; g 2
f (g:e
M (q) = r M (p).
et donc rinj
inj
e
P
=L
Preuve. (proposition 3.1.3) Pour véri…er l’assertion de la proposition, il su¢ t
de démontrer que les feuilles de F sont homeomorphes à des tores S 1
S 1 . Comme les
feuilles ont courbure nulle, il su¢ t par le théorème de Gauss-Bonnet de garantir que
les feuilles de F sont complètes.
Soient F une feuille de F dans P et pi une suite de Cauchy dans F . Notons que pi
est aussi une suite de Cauchy dans M car, pour tout q,q 0 2 F ,
dM q; q 0
dF q; q 0 .
Comme l’adhérence P de P dans M est complète par hypothèse, la suite pi converge
vers un point p1 2 P. En fait, p1 2 P car le rayon d’injectivité dé…nit une fonction
3. Partie mince d’une variété conique
35
continue sur M et il est constant sur les feuilles d’après le lemme précédent (la condition
sur l’application exponentielle est immédiate car tout le point de BM (p1 ; 3 ) sont dans
les boules BM (pi ; 3 ) pour i su¢ samment grand). On peut donc supposer que la suite
pi appartient à un voisinage trivialisant du feuilletage autour de p1 . Ceci implique
que p1 2 F .
.
Chapitre 4
Théorème de Fibration
4.1
Introduction
Le théorème de …bration est un résultat important pour l’étude des suites de variétés riemannienes de même type topologique et qui convergent vers un espace d’Alexandrov de dimension plus petite. Le premier théorème de …bration est du à Fukaya ([Fuk])
et concerne les suites de variétés riemaniennes à courbure pincée qui convergent vers
une variété riemanniennes. Ce résultat a été étendu par Takao Yamaguchi au cas des
suites de variétés riemanniennes avec courbure sectionnelle minorée et limite riemannienne ([Yam2]). Le résultat précis est :
Théorème 4.1.1 Soit (Mi ; pi ) une suite variétés riemaniennes complètes, de même
type topologique et courbure uniformement minorée, telle que (Mi ; pi ) converge au
sens Hausdor¤ -Gromov pointé vers une variété riemannienne pointée (Z; z0 ) complète
(peut-être non compacte). Si Y est un domain compact de Z, alors il existe, pour i
su¢ samment grand, une suite de couples (Ni ;
i
i ),
où Ni sont des domains de Mi et
: Ni ! Y sont des applications di¤ érentiables qui enduisent une structures de …bré
1
trivial sur Ni . De plus, pour tout y 2 Y , les …bres
i.
1
i
ii. b1
i
(y) satisfont :
(y) est une sous-variété fermée de Mi ,
1
i
1
i (y) ; R
T dim(Mi ) dim(Z) .
(y) = dim H1
seulement si F
dim
1
i
(y) . De plus, l’égalité arrive si et
En particulier, si dim (Mi ) = 3, dim (Z) = 1
et les …bres sont des surfaces fermées, alors les …bres ont genre
g=
1
b1
i
2
(y)
1,
c’est-à-dire elles sont homéomorphes à des sphères ou des tores,
iii. la suite
1
i
(y) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov vers y.
37
4. Théorème de Fibration
38
Plus tard, Yamaguchi a démontré aussi le théorème pour les espaces d’Alexandrov
([Yam]). La version ci-dessous est un cas particulier de son résultat et a été énoncé
par Shioya et Yamaguchi dans [SY].
Théorème 4.1.2 (Limite compacte) Etant donnés n 2 N et
=
(n) > 0 et "0 = "0 (n; ) > 0 et une application
=
satisfont :
> 0, il existe constantes
( ) : (0; "0 ) ! R+ qui
i. Soient Z un ( 1)-espace d’Alexandrov complet, compact et de dimension n et M
une variété riemannienne complète, à courbure sectionelle plus grand ou égale à
1 et tel que " = dHG (M; Z) < "0 . Si Y est un sous-ensemble de R (Z) tel que
Z
rinj
(Y ) > , alors il existe une sous-variété compacte et connexe N de M (peut-
être avec bord) et une structure de …bré localement trivial sur N induite par une
submersion,
(")-approximation et application
(")-quasi lipschitz f : N ! Y .
De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii) et (iii),
ii. lim
"!0
(") = 0.
La démonstration de ce résultat se fait en quatre étapes (analogues à celles dans
[Yam]). La première consiste à construir un plongement lipschitzien F de Y dans
l’espace de hilbert L2 (Z) de façon à avoir, pour chaque point y 2 Y , une sorte d’espace
tangent TF (y) F (Y )
L2 (Z) à F (Y ) en F (y), c’est-à-dire un espace a¢ ne de L2 (Z)
qui approxime bien un voisinage de F (y) dans F (Y ).
L’objectif de la deuxième étape est de trouver un voisinage tubulaire V de F (Y )
dans L2 (Z) avec une projection
: V ! F (Y ) bien dé…nie. Pour cela on utilise le …bré
normal à F (Y ), plus précisemment les sous-espaces a¢ nes TF (y) F (Y )? , où y 2 Y .
Dans la troisième étape, on trouve un plongement F de M dans L2 (Z) de façon
que, si "0 > 0 a été choisi su¢ samment petit, alors il existe une sous-variété compacte
et connexe N de M telle que F (N )
V et
(F (N )) = F (Y ). De plus, comme la
variété M est riemannienne, on peut choisir l’application F de classe C 1 .
La dernière étape consiste à véri…er que l’application f = F
1
F a les propriétés
voulues. Le fait que cette application induise une structure de …bré localement trivial
est une conséquence de la di¤érentiabilité de F ou on peut utiliser le théorème de
submersion Siebennman ([Fuk] - théorème 18.8).
On a besoin d’une version du théorème ci-dessus dans le cas où la limite Z n’est pas
compacte et Y est un sous-ensemble compact de R (Z). Pour adapter la démonstration
à ce cas là, il su¢ t d’utiliser une boule compacte Z = BZ [z0 ; R]
Y de Z (grande
par rapport à Y ) telle que tous les segments géodésique minimisantes reliant deux
points de Y soient contenus dans son intérieur. Comme dans le paragraphe précédent,
4. Théorème de Fibration
39
il existe un plongement F de Y dans L2 (Z) et un voisinage tubulaire V de F (Y ) dans
L2 (Z) avec une projection bien dé…nie. Si (M; p) est une variété riemannienne pointée,
fermée telle que la distance (de Hausdor¤-Gromov) entre les boules BM [z0 ; R] et Z
soit su¢ samment petite, alors on peut plonger BM [z0 ; R] dans L2 (Z) de façon que
la partie de BM [z0 ; R] "proche" de Y soit plongée dans V . A partir de là, on peut
reprendre la démonstration ci-dessus pour obtenir la sous-variété N de M (compacte
et connexe) et l’application f : N ! Y qui induit la …bration localement trivial.
Cette adaptation des arguments de Yamaguchi permet de démontrer le théorème
suivant.
Théorème 4.1.3 (Limite non compacte) Etant donnés n 2 N et
=
(n) > 0, "0 = "0 (n; ) > 0 et
= ( ) : (0; "0 ) !
R+
> 0, il existe
qui satisfont :
i. Soient (Z; z0 ) un ( 1)-espace d’Alexandrov pointé complet, non compact et de
dimension n, et (M; p) une variété riemannienne pointée compact,complète, à
courbure sectionelle plus grand ou égale à
1, dimension m
n et tel que
" = dHG ((BM [p; 100R] ; p) ; (BZ [z0 ; 100R] ; z0 )) < "0 .
Z (Y ) >
Si Y est un sous-ensemble compact de R (Z) tel que rinj
est un scallaire tel que Y
et R > 0
BZ [z0 ; R], alors il existe une sous-variété compacte
et connexe N de M (peut-être avec bord) et une structure de …bré localement
trivial induite par une submersion,
(")-approximation et application
(")-quasi
lipschitz f : N ! Y . De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii) et
(iii),
ii. lim
"!0
(") = 0.
Ce théorème admet le corollaire suivante :
Corollaire 4.1.4 Soit (Mi ; pi ) une suite variétés riemaniennes de dimension 3, complètes, de même type topologique et courbure uniformement minorée, telle que (Mi ; pi )
converge au sens Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandorv pointée (Z; z0 )
complète (peut-être non compacte). Si Y
R (Z) est un domain compact de Z, alors
il existe, pour i su¢ samment grand, une suite de couples (Ni ;
variétés de Mi et
i
i ),
où Ni sont des sous-
: Ni ! Y sont des submersions qui enduisent une structures de
…bré localement trivial sur Ni . De plus, les …bres satisfont les propriétés 4.1.1.(i), (ii)
et (iii).
Pour être complet, nous squissons dans ce chapitre la construction des plongements
de Y et BM [z0 ; R] dans L2 (Z) et du voisinage V , c’est-à-dire, les detailles des trois
prémières étapes de la démonstration.
4. Théorème de Fibration
4.2
40
Esquisse de la preuve du théorème 4.1.3
Etant donné n 2 N, soient (Z; z0 ) un espace d’Alexandrov pointé complet, non
Z (Y ) >
compact et de dimension n, Y un sous-ensemble compact de R (Z) tel que rinj
et R > 0 tel que Y
BZ [z0 ; R].
Notons Z la boule BZ [z0 ; 100R] muni de la structure d’espace métrique induite par
la métrique de Z. En général, Z n’est pas un espace de longueur avec cette métrique.
Plus précisément, il peut exister des points z; z 0 2 Z tel que
dZ z; z 0 < inf LZ ( ) ;
: [0; 1] ! BZ [z0 ; 100R] ;
(1) = z 0 .
(0) = z et
Par contre, il y a égalité lorsque les points z et z 0 appartiennent à la boule BZ [z0 ; 30R]
et, en particulier, à Y . Ce qui revient à dire qu’on peut utiliser les outils des espaces
d’Alexandrov pour les points de BZ [z0 ; 30R].
1ere étape : Plongement de Y dans L2 (Z), l’espace de Hilbert des fonctions carréintégrables sur Z muni de la mesure de Hausdor¤ n-dimensionelle
Fixons
classe
C1
,
.
> 0 et considérons une application décroissante h : R ! [0; 1] de
et tel que :
h (t) = 1, pour tout t 2 ] 1; 0],
h (t) = 0, pour tout t 2 [ ; 1[,
h0 (t) =
1
jh00 (t)j <
100
h0 (t)
2
, pour tout t 2
2
2 8
10 ; 10
,
, pour tout t 2 [0; 1],
2; 0
, pour tout t 2 0; 10 .
Graphe de la fonction h.
Considérons, pour tout z 2 Z, les applications fz : x 2 Z ! dZ (x; z) 2 R . Ces
applications sont lipschitziennes et, pour tout point x 2 BZ [z0 ; 30R] et pour toute
direction
2 Dx Z représenté par un segment géodésique minimisant
: t 2 [0; "[ ! expx (t ) 2 Z
4. Théorème de Fibration
41
issu de x, satisfont
d (fz )x ( ) = lim
fz
(t)
t
t!0+
où
x;z
fz (p)
=
cos (dDx Z ( ;
x;z )) ,
(4.1)
représente le sous-ensemble de Dx Z dont les éléments sont représentés par des
segment géodésique minimisantes qui relient x à z (voir [Yam]-proposition 1.6).
A¢ rmation : Pour tout z 2 Z, l’application Fz : x 2 Z ! h fz (x) 2 R appartient
à L2 (Z). En particulier, on a une application F : z 2 Z ! Fz 2 L2 (Z) bien dé…nie.
Preuve : Fixons z 2 Z. Comme Fz et Fz2 sont continues, elles sont automatiquement
intégrables au sens de Lebesgue.
Notons que, par la dé…nition de h, Fz est nulle sur Z
BZ (z; ) et plus petite que
1 sur BZ (z; ). C’est-à-dire, Fz est plus petite ou égale à la fonction caractéristique
BZ (z; )
de la boule BZ (z; ). En particulier, cela implique que
Fz2
Fz
BZ (z; )
et donc Fz 2 L2 (Z).
Fixons un point x 2 BZ [z0 ; 30R] et une direction
segment géodésique
fz
: t 2 ]0; "[ ! expx (t ) 2 Z issu de x. D’après 4.1, la fonction
est dérivable en zéro et (fz
d (Fz )x ( ) = lim
Fz
t!0+
= (h (fz
=
2 Dx Z représentée par un
(t)
t
)0 (0) =
Fz (x)
cos (dDx Z ( ;
= lim
h (fz
x;z )).
) (t)
h0 (dZ (x; z)) : cos (dDx Z ( ;
h (fz
) (0)) : (fz
)0 (0)
x;z ))
(4.2)
Considérons l’application
G:z2Z!
h0 (dZ (x; z)) : cos (dDx Z ( ;
x;z ))
2R
et, pour tout t 2 ]0; "[, l’application
Gt : z 2 Z !
Fz
(t)
t
) (0)
t
t!0+
))0 (0) = h0 ((fz
Alors :
Fz (x)
2R.
A¢ rmation : Les applications G et Gt ( t 2 ]0; "[) appartiennent à L2 (Z).
4. Théorème de Fibration
42
Preuve : Notons que, pour tout z 2 Z,
Gt (z) =
=
=
1
et donc Gt = : F
t
Fz
(t)
t
Fz (x)
h (dZ ( (t) ; z))
t
F
(t) (z)
(t)
h fz
(t)
F
=
h fz
(0)
t
h (dZ (p; z))
Fp (z)
t
=
=
h f
Fp
(t)
(t) (z)
h fp (z)
t
(z)
t
Fp 2 L2 (Z) d’après l’a¢ rmation précédente.
Soit S = sup fjh0 (c)j ; c 2 [0; ]g = sup fjh0 (c)j ; c 2 Rg < 1. Pour tout t 2 [0; "[,
on a
Pour tout z 2 Z,
Gt (z)
jh (dZ ( (t) ; z))
t
h (dZ (p; z))j
S: (dZ ( (t) ; z)
t
dZ (p; z))
S:t
S:dZ ( (t) ; p)
=
=S
t
t
Pour tout z 2 Z tel que dZ (z; p)
+ ", on a par dé…nition de h que
h (dZ (p; z)) = 0.
De plus,
dZ ( (t) ; z)
dZ (p; z)
dZ (p; (t))
+"
t
et donc h (dZ ( (t) ; z)) = 0. Alors Gt (z) = 0.
Soit H : Z ! R l’application dé…nie par
(
S si z 2 BZ (p; + ")
H (z) =
= S:
0 si z 2
= BZ (p; + ")
Donc H 2 L2 (Z) et Gt (z)
on a
lim Gt (z) = lim
t!0+
t!0+
Fz
(t)
t
BZ (p; +") (z) .
H (z), pour tout z 2 Z. D’après 4.2, pour tout z 2 Z,
Fz (x)
=
h0 (dZ (x; z)) : cos (dDx Z ( ;
x;z ))
= G (z) .
Le fait que G 2 L2 (Z) est donc une conséquence du théorème de convergence dominée
de Lebesgue.
4. Théorème de Fibration
43
Comme, pour tout z 2 Z et pour tout t 2 ]0; "[,
Gt (z) =
F
(t) (z)
Fp (z)
t
F
=
(t) F (p)
t
(z)
d’où Gt =
F
(t) F (p)
.
t
De plus
dFx ( ) = lim
F
(t)
t
t!0+
F (p)
= lim Gt = G ,
t!0+
c’est-à-dire, dFx ( ) 2 L2 (Z) et, pour tout x 2 Z,
dFx ( ) :z =
h0 fz (x) : cos (dDz Z ( ;
Considérons sur L2 (Z) la norme
s
kf k =
2
V ol (BEn (0En ; ))
:
Z
Z
z;x ))
.
(4.3)
jf j2 d
D’après le lemme 2.7 de [Yam], la restriction de F à Y est lipschitzienne et injective.
Pour …nir cette étape, il faut véri…er que F est une imersion au sens suivant :
Choisisons, pour tout x 2 Y
Ax = f
R (Z) \ BZ [z0 ; 30R],
(
xi ;
un -strainer en x de longueur LZ (A)
xi )
; i 2 f1; : : : ; ngg
. On remarque que, pour tout x 2 Y , on
peut etendre l’application dFx dé…nie par l’expression 4.3 en une application dFx :
Tx Z ! L2 (Z) (voir [Yam] - observation page 615). De plus, ces extensions dFx sont
est -quasi linéaire (voir lemme 2.8 de [Yam]), c’est-à-dire, la distance entre dFx ( )
n
P
0 (0))) :dF ( 0 (0)) est petite par rapport à
0 (0) denote
et
cos (dDx Z ( ; xi
( xi
x
xi
i=1
la direction de Dx Z associée à
xi ),
pour toute direction
la démonstration du lemme 2.8 de [Yam]), si
choix ne dépend que de n), les vecteurs dFx (
2 Dx Z. En fait (voir
a été choisi su¢ samment petit (ce
0
0
x1 (0)) ; : : : ; dFx ( xn (0))
linéairement indépendents et donc le sous-espace a…ne
x
= F (z) + dFx
0
x1 (0)
; : : : ; dFx
2 L2 (Z) sont
0
xn (0)
de L2 (Z) a dimension n et est une bonne approximation (par rapport à ) pour l’image
dFx (Tx Z) de Tx Z.
2eme étape : Construction d’un voisinage tubulaire V de F (Y ).
La premièr observation à faire est l’existence d’une constante uniforme
que, pour tout x 2 Y et pour tout z 2 BZ (x;
1 ),
bz = F (z) +
N
le sous-espace a…ne
?
x
1
telle
4. Théorème de Fibration
de L2 (Z) intersecte F (BZ (z;
44
1 ))
seulement en F (z). C’est l’assertion du lemme 3.4
de [Yam].
Fixons un ensemble maximal de point fxi ; i 2 g 2 Y tels que la distance entre
deux points quelconques soit plus grande ou égale à
10 .
1
Etant donnée une constante de
Lipschitz c pour la restriction de F à Y , notons Bi (i 2 ) la boule BL2 (Z) F (xi ) ; c101 .
S
Notons que B =
Bi est un voisinage de F (Y ) dans L2 (Z).
i2
Soit Gn l’ensemble de tous les sous-espaces de dimension n de L2 (Z). On peut
munir Gn d’une métrique en utilisant les angles entre les éléments de Gn comme
distance (voir [Yam] page 618 pour les détailles).
Considérons, pour tout i 2
, l’application constante Ti : b 2 Bi !
xi
2 Gn .
D’après le lemme 3.5 de [Yam], il existe une application lipschitzienne T : B ! Gn avec
constante de Lipschitz petite par rapport à
1
et dont la distance entre sa restriction
à chaque boule Bi et les applications Ti sont aussi petites par rapport à
1.
Soit N l’application orthogonale à T , c’est a dire, l’appplication
N : b 2 B ! T (b)? 2 Gn ,
où Gn représente l’ensemble de tous les sous-espaces de codimension n de L2 (Z). Cette
application permet de dé…nir, pour tout " > 0, les ensembles
N" = (x; v) ; x 2 Y et v 2 BN (x) (0; ")
et les applications &" : (x; v) 2 N" ! F (x) + v 2 L2 (Z). D’après les lemmes 3.8 et
3.9 de [Yam], pour "0 > 0 su¢ samment petit, les applications &" (" < "0 ) sont des
bijections sur des voisinages ouvertes V" = &" (N" ) de F (Y ) dans L2 (Z). De plus, les
projections
"
: V" ! F (Y ) dé…nie par
" (F
(x) + v) =
" (&" (x; v))
= F (x) sont
localement lipschitziennes.
3eme étape : Plongement d’une sous variété de M dans N" , pour " < "0 .
Supposons "0
1
et soit (M; p) une variété riemannienne pointée compacte,complète
et à courbure sectionelle plus grande ou égale à
1 tel que
" = dHG ((BM [p; 100R] ; p) ; (Z; z0 )) < "0 .
Considérons des "-approximations ' : Z ! BM [p; 100R] et
que ' soit measurable et
dZ (
' (z) ; z) < "
et
pour tout z 2 Z et pour tout q 2 BM [p; 100R].
dM (
: BM [p; 100R] ! Z tels
' (q) ; q) < "
4. Théorème de Fibration
45
Soient F : BM (p; 100R) ! L2 (Z) l’application dé…nie par
F (q) :z = h (dM (q; ' (z))) ,
pour tout q 2 M et pour tout z 2 Z.
Notons que les plongements F et F on été dé…nis à partir de la composition des
fonctions distance (à un point …xe) avec la même application h. Si "0 > 0 a été
choisi su¢ samment petit, on peut choisir une sous variété N de M dont la distance
Hausdor¤-Gromov à Y est plus petite que " et telle que F (N )
lemme 4.1 et [SY] - page 11).
N" (voir [Yam] -
Comme M est une variété riemannienne, on remarque qu’on peut utiliser l’application F 0 : BM [p; 100R] ! L2 (Z) de classe C 1 dé…nie par
F (q) :z = h
1
:
V ol (BM (' (z) ; "))
Z
dM (q; u) d
BM ('(z);")
!
à la place de l’application F (voir [Yam] - remarque 4.20 et [Yam2]).
Pour …nir la section, considèrons l’application f : N ! Y dé…nie par
f (q) = FjY
1
"
F (q) ,
pour tout q 2 N . Les arguments de Yamaguchi dans la section 4 de [Yam] (voir aussi
[SY] pages 11 et 12) s’appliquent mutatis mutandis pour véri…ér que f est une
(")-
approximation ( (") < ") et que cette application induit une …bration localement
trivial sur N .
.
Chapitre 5
Suites de Variétés Coniques
5.1
Introduction
Dans ce chapitre, on étudie les limites possibles pour la topologie Hausdor¤Gromov d’une suite de variétés hyperboliques coniques Mi de dimension 3 et de type
topologique constant.
Michihiko Fujii a donné des conditions (voir [Fuj] et aussi [HK]) qui permettent de
garantir que la limite d’une telle suite est encore une variété hyperbolique conique. De
plus, le type topologique de la limite reste le même quand les angles coniques on une
borne inférieure strictement positive.
En général, la limite est seulement un espace d’Alexandrov de dimension au plus 3
qui peut-être non compact. L’objectif de cette section est d’étudier ce type de convergence avec l’hypothèse que la longueur de la singularité reste uniformement bornée.
Dans ce chapitre, M denotera une 3-variété di¤érentiable fermée, orientable, irréductible de dimension 3 et
=
1 t: : :t
l
(decomposition en composantes connexes)
un entrelacs plongé dans M , telle que M
variété M
de M
est hyperbolique. On note par Mcomp la
munie de la structure complète et par
1 (M
), le groupe fondamental
.
On considère une suite de variétés hyperboliques coniques Mi de type topologique
(M; ) avec angles coniques
Mi seront notées
i
=(
i1 ; : : : ;
il )
2 [0; 2 )l . Les holonomies des variétés
: 1 (M
) ! P SL2 (C) et les applications développantes corres3
^
^
pondantes par di : Mi
! H , où M
désigne le revêtement universel de Mi
i
^
muni de la structure riemannienne induite par la projection i : M
! Mi
.
i
i
Pour …xer les notations, l’action d’un élément
transformation de revêtement s’écrira
2
1 (M
^
^
pe 2 M
7 ! :e
p2M
.
i
i
47
^
) sur M
comme
i
5. Suites de Variétés Coniques
48
Fixons i 2 N et j 2 f1; : : : ; lg. Pour R > 0 su¢ samment petit, le voisinage métrique
BMi (
de
j ; R)
= fx 2 Mi ; dMi (x;
j)
< Rg
est un tore solide plongé dans Mi . La borne supérieur des ces rayons R > 0 sera
notée Ri (
j)
et sera appelé rayon d’injectivité normal de
j
dans Mi .
Le résultat principal obtenu est le suivant :
Théorème 5.1.1 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible, et
un entrelacs plongé dans M . On suppose qu’il existe sur M
une suite Mi de structures hyperboliques coniques singulières le long de
sup fLMi (
j)
telle que
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Alors une des deux a¢ rmations est vrai :
i. la suite Mi s’e¤ ondre et M est …brée de Seifert ou Sol,
ii. la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et dans ce cas-là, il’existe une suite de points
pik 2 M
telle que la suite (Mik ; pik ) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) de dimension 3 qui admet
une structure hyperbolique non complète et de volume …ni sur le complémentaire
d’une réunion …nie
Z
de quasigéodésiques, et dont les bouts sont des cusps pa-
raboliques. De plus, Z est homéomorphe à M (en particulier, Z est compact) s’il
existe " 2 (0; ) tel que les angles coniques
ij
appartiennent tous à ("; 2
").
Ce chapitre est divisé en trois sections. Dans la première, on présente quelques
résultats généraux qui seront utiles pour les autres sections. La deuxièmme et troisièmme sections sont destinées à étudier respectivement les cas de non e¤ondrement et
d’e¤ondrement d’une suite de variétés hyperboliques coniques. Le théorème ci-dessous
est une conséquence directe des théorèmes 5.3.4 et 5.4.2.
5. Suites de Variétés Coniques
5.2
49
Preliminaires
Lemme 5.2.1 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3 fermée, orientée,
un entrelacs plongé dans M et T t S 1 S 1 un tore plongé dans M
irréductible,
M
. Si
est hyperbolique, alors T sépare M et satisfait une, et une seule, des a¢ rmations
ci-dessous :
i. T est parallèle à une composante connexe de
(donc borde un tore solide dans
M ),
ii. T borde un tore solide d’un côté de M et
iii. T est contenu dans une boule de M
S3
d’un côté de M et
est contenu dans l’autre côté,
. Il borde l’exterieure d’un noeud dans
est contenu dans l’autre côté.
Preuve. Supposons que T n’est pas parallèle à une composante connexe de
Comme M
.
est hyperbolique (atoroïdal et irréductible), T sépare M et est com-
pressible dans M
. On peut écrire
M =U tV ;
T
U
=
Supposons sans perte de généralité que
\U
U
cas :
et
V
=
\V .
6= ;. On divise la démonstration en deux
Fig. 5.1 –T compressible dans V (gauche). T compressible dans U (droite)
1ere cas : T est compresible dans V
Prenons un disque de compression D
compression de T le long de D. Comme M
B
M
V et soit S la sphère obtenue par la
est irréductible, S borde une boule
.
Le disque D ne peut pas être contenu dans B, sinon U serait contenu dans B, ce
qui n’est pas possible puisq’on supposé
que
V
= ; et V est un tore solide.
2eme cas : T est compresible dans U
U
6= ;. Alors
V
B
V , ce qui implique
5. Suites de Variétés Coniques
50
Prenons un disque de compression D
compression de T le long de D. Comme M
B
M
U et soit S la sphère obtenue par la
est irréductible, S borde une boule
.
Si D n’est pas contenu dans B, alors U
n’est pas possible. Donc
d’un noeud dans
V
V
B et, comme dans le cas précédent, ce
B, ce qui implique que
V
S3.
= ; et V est l’exterieur
Lemme 5.2.2 Soient M une variété di¤ érentiable fermée de dimension 3 et B une
boule fermée contenue dans M . Soit encore un tore T de dimension plongé dans B et
qui separe M . Notons M = U tT W , où W est la composante de M jT contenue dans
B. Si W est homeomorphe à un extérieur de noeud dans S 3 , alors on peut remplacer
W par un tore solide V sans changer le type topologique de M .
Preuve. Notons M = M int (B). On rappelle le résultat élémentaire de topologie
que toute variété obtenue en recollent une boule fermée de dimension 3 sur le bord de
M est di¤éomorphe à M .
Soit B 0 une boule fermée de dimension 3 et un di¤éomorphisme h : @B ! @B 0 tel
que la variété B [h B 0 obtenue en utilisant h pour recoller B et B 0 soit di¤éomorphe à
S 3 . Notons que la variété V 0 = (U \ B) [h B 0 (@B
Fixons un méridien m de V
0,
U \ B) est un tore solide fermé.
c’est-à-dire m borde un disque dans V 0 .
Fig. 5.2 –Tore solide V 0 = (U \ B) [h B 0 .
Soient V un autre tore solide fermé, ( ; l) un couple méridien/longitude pour V
et un di¤éomorphisme g : @V 0 ! @V qui envoie m sur l. Alors la variété V 0 [g V
obtenue en utilisant g pour recoller V 0 et V est di¤éomorphe à S 3 et donc la variété
B = (V 0 [g V )
int (B 0 ) est di¤éomorphe à une boule fermée.
Par construction, B = (U \ B) [g V . Alors, la variété M [Id B = (M
W ) [g V
obtenue en utilisant Id : @B ! @B pour recoller M et B est di¤éomorphe à M .
Lemme 5.2.3 Soient M une variété di¤ érentiable fermée de dimension 3,
un en-
trelacs (di¤ érentiable) plongé dans M , M une variété hyperbolique conique de type
5. Suites de Variétés Coniques
51
topologique (M; ) et B un voisinage métrique de
homeomorphe à un tore solide.
Notons par g la métrique hyperbolique existant sur M
et soit h une métrique
riemannienne sur M tel que :
i. h coïncide avec g en dehors de B,
ii. h est une "-perturbation (" 2 (0; 1)) de g sur M
kvkg
pour tout x 2 M
, c’est-à-dire
kvkh < ",
(5.1)
n
et tout v 2 Kx = u 2 Tx (M
o
2 .
) ; kukg
Alors, la distance de Hausdor¤ -Gromov entre la variété riemannienne N = (M; h)
et M est plus petite au égale à 4"D, où D = 1 + diamM (M ).
Preuve. Pour démontrer l’assertion du lemme, il su¢ t de véri…er que l’application
identité Id : M ! N est une 2"D-isométrie, c’est-à-dire, pour tout x; y 2 M ,
jdN (x; y)
dM (x; y)j < 2"D.
Prenons x; y arbitraires dans M et soit
: [0; dM (x; y)] ! M un segment géodé-
sique minimisant (dans M) entre x et y. Comme
a codimension 2, il existe une courbe
: [0; L] ! M (parametré par longuer d’arc dans M) telle que
L < dM (x; y) +
"
2.
Alors
dN (x; y)
dM (x; y)
LN ( )
Z
L
LM ( ) +
0
(t)
0
= "L +
0
g
et, en particulier, diamN (M )
et
"
2
(t)
h
dt +
"
2
(5.2)
"
"
< ":dM (x; y) +
+
2
2
2
"D
2D.
: [0; dN (x; y)] ! N un ségment géodésique minimisante (dans N ) entre
x et y. Comme précédemment, il existe une courbe
((0; L0 ))
longueur d’arc dans N ) telle que
D’après (5.1), pour tout z 2 N
: [0; L0 ] ! N (parametrée par
et L0 < dN (x; y) + 2" .
N
et pour tout v 2 Kz tel que gz (v; v) = 2, on a
kvkh > 1. Cette remarque implique que fu 2 Tz (M
tout z 2 N
M
"2
":diamM (M ) + "
Soit
((0; L))
, et donc
0
(t)
0
g
(t)
h
< ",
) ; hz (u; u) = 1g
Kz , pour
5. Suites de Variétés Coniques
52
pour tout t 2 [0; L0 ]. Alors, le calcul ci-dessus s’applique mutatis mutandis à la courbe
et on obtient
dM (x; y)
dN (x; y)
2"D.
Prenons une suite de points pi 2 M et supposons que la suite (Mi ; pi ) converge au
sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ). Notons
Z l’ensemble de tous les points d’accumulation possibles des suites de points de
Z
.
Proposition 5.2.4 Supposons que la suite (Mi ; pi ) converge au sens de Hausdor¤ Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) et soit
J0 =
Si L = sup fLMi (
j)
j 2 f1; : : : ; lg ; lim dMi (pi ;
i2N
j)
6= 1 .
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1, alors il existe une sous-suite
(Mik ; pik ) tel que, pour tout j 2 J0 , la composante
j
de
converge au sens de
Z
j
Hausdor¤ -Gromov pointée vers une courbe fermée
Z (en général non simple).
S Z
En particulier, Z =
j est compact. Si de plus Z a dimension 3, alors chaque
j2J0
courbe
Z
j
est une quasi-géodésique de Z dont la longuer est donnée par
LZ
Dans ce cas-là, on a
Z
Z
j
= lim LMik (
j)
k21
<1.
6= Z.
Preuve. Comme L < 1, la dé…nition de limite permet de supposer que, quitte à
extraire une sous-suite, il existe R > 0 tel que
j
BMi (pi ; R), pour tout j 2 J0 <
1 et i 2 N. Fixons j 2 J0 et considérons une famille de paramétisations
de
j
i
: S 1 ! Mi
par la longueur d’arc dans Mi . Comme L < 1, cette famille est équicontinue
et donc ([Pet] - chapitre 10) la suite converge au sens de Hausdor¤ Gromov pointé
vers une courbe
composantes
j
Z
j
: S 1 ! Z. Par dé…nition de structure hyperbolique conique, les
sont des géodésiques de Mi . Comme Z a dimension 3 et la classe des
quasi-géodésiques est fermée pour la convergence au sens de Hausdor¤-Gromov sans
e¤ondrement ([BBI] page 403),
Z
j
est une quasi-géodésique dont la longueur est la
limite des longueurs (voir [PP]).
Si
Z
= Z, alors il existe j 2 J0 tel que
Z
j
est une courbe de longueur in…ni. Cela
contredit le fait que les quasi-géodésiques sont des courbes de longueur …nie.
Nous isolons dans la proposition suivante un cas particulieur qui est une conséquence immédiate de la proposition (2.3.15).
5. Suites de Variétés Coniques
53
Proposition 5.2.5 Supposons que sup fRi (
Alors il existe une suite de points pik 2 M
j)
; i 2 Ng = 1, pour tout j 2 f1; : : : ; lg.
tel que la suite (Mik ; pik ) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers une 3-variété hyperbolique complète, de volume
…ni et homéomorphe à M
. De plus, les suites d’angles coniques (
ij )i2N
convergent
vers 0, pour tout j 2 f1; : : : ; lg.
La proposition suivante distingue des propriétés importantes des composantes
de
j
dont le rayon d’injectivité normal devient in…ni.
Proposition 5.2.6 Supposons que, pour un certain indice j 2 f1; : : : ; lg,
lim Ri (
i!1
j)
= 1.
Alors
i. lim LMi (
i2N
ii. lim
i2N
ij
j)
= 0, si inf
ij
> 0,
= 0, si inf LMi (
j)
> 0.
i2N
i2N
Preuve. Si une des assertions ne se véri…e pas, on peut trouver une sous-suite Mik
telle que le volume du tube au tour de
j
tend vers l’in…ni. Ceci n’est pas possible car
la suite Mi a volume uniformement majoré.
Pour …nir la section, rappellons un résultat classique de la théorie des variétés
coniques (voir [Sal], [BBBPM] - lemme 6.2, [HK] - lemme 3.8, [BP] - lemme 1.5 page
75) :
Lemme 5.2.7 Etant donné M une variété hyperbolique conique fermée et de type
topologique (M; ), soit N ( ) un voisinage fermé de
dont les composantes connexes
sont des tores solides. Alors on peut déformer la métrique dans N ( ) (dans N ( )
) pour obtenir une métrique complète non singulière, de volume …ni et à courbure
minorée par
1 (pincée entre
1 et 0) sur M (sur M
).
5. Suites de Variétés Coniques
5.3
54
La suite Mi ne s’e¤ondre pas
L’objectif de cette section est d’étudier le cas où la suite Mi ne s’e¤ondre pas. Sans
perte de généralité, cette hypothèse implique l’existence d’une suite pi 2 M
que
tel
n
o
Mi
r0 = inf rinj
(pi ) ; i 2 N > 0 ,
Mi
où rinj
(pi ) denote le rayon d’injectivité riemannien de pi dans la variété hyperbolique
non complète Mi
. Quitte à extraire une sous-suite, la proposition (2.2.25) nous
permet d’a¢ rmer que la suite (Mi ; pi ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé
vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ). D’après la dé…nition de la convergence
Hausdor¤-Gromov pointée, la boule BZ (z0 ; r0 ) est isométrique à une boule de rayon
r0 dans H3 . Comme la dimension d’Hausdor¤ d’un espace d’Alexandrov est un entier
bien dé…ni, Z a dimension 3.
Nous sommes intéréssés par le cas où la longueur de la singularité reste uniformement bornée. C’est-à-dire, que
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
D’après la proposition (5.2.4), quitte à extraire des sous-suites, chaque composante
de
j
satisfait une, et une seule, des deux a¢ rmations suivantes :
1. supfdMi (pi ;
j)
; i 2 Ng < 1 et
pointé vers une quasi-géodésique
2. lim dMi (pi ;
j)
i2N
j
Z
j
converge au sens de Hausdor¤-Gromov
Z,
= 1.
Cette dichotomie nous permet d’écrire
0
=
F
=
et
j
j2J0
où l’ensemble J0
l’ensemble J1
L’ensemble
0
t
1
=
1
F
avec
j
,
j2J1
f1; : : : ; lg contiens les indices j qui satisfont l’a¢ rmation (1) et
f1; : : : ; lg les indices j qui satisfont l’a¢ rmation (2).
Z
=
S
j2J0
Z
j
Z
(5.3)
est compact et correspond à l’ensemble de tous les points d’accumulation possibles des
suites de points de
.
Le lemme suivant montre que l’hypothèse de non e¤ondrement impose des restictions sur la longueur et les angles coniques des composantes singulieres contenues dans
0.
5. Suites de Variétés Coniques
55
Lemme 5.3.1 Supposons que
n la suite Mi ne os’e¤ ondre pas et soit une suite de points
Mi
pi 2 M
tel que r0 = inf rinj
(pi ) ; i 2 N > 0. Si
L = sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
alors
0 < l = inf fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 J0 g ,
et
sup fRi (
j)
0 < a = inf f
ij
; i 2 N et j 2 J0 g
; i 2 N et j 2 J0 g < 1 .
Preuve. Notons V0 le volume d’une boule de rayon r0 dans H3 et soit
R = sup fdMi (pi ;
j)
; i 2 N et j 2 J0 g + r0 .
Notons que R < 1 car, par construction, les composantes
j
(j 2 J0 ) restent à disBMi (
tance uniformement majorée des points pi . On a donc que BMi (pi ; r0 )
pour tout i 2 N et j 2 J0 .
j ; R),
Fixons i 2 N et j 2 J0 . Tout point q de Mi a au moins une géodésique minimisante
qui le relie orthogonalement à
j.
En utilisant l’application développante et ces géodé-
siques minimisantes, on peut développer la variété Mi dans une région A de H3 (
delimitée par deux plans orthogonaux à la géogésique singulière de H3 (
d’une longueur LMi (
j)
ij )
et distants
l’un de l’autre. On obtient alors, un compact K
A dont
l’interieur se plonge dans Mi et tel que V olH3 (K) = V ol (Mi ).
Comme BMi (pi ; r0 )
dans BH3 (
ij )
BMi (
(R) \ A, où BH3 (
géodésique singulière de
V0 = V ol (BMi (pi ; r0 ))
ij )
H3 (
j ; R),
ij ).
ij )
le developpé de BMi (pi ; r0 ) dans A est contenu
(R) est le voisinage tubulaire de rayon R de la
Alors
V olH3 (
ij )
BH3 (
ij )
(R) \ A =
ij
2
:LMi (
2
j ) : sinh (R)
et donc
LMi (
j)
V0
>0
: sinh2 (R)
Une fois que la longueur de
minorés (pour j 2 J0 ), si sup fRi (
j
et
ij
2V0
>0.
L: sinh2 (R)
et les angles coniques
j)
ij
restent uniformement
; i 2 N et j 2 J0 g = 1, il existe une sous-suite
Mik dont le volume devient in…ni. Cela n’est pas possible car le volume de Mi est
uniformement majoré par le volume de Mcomp (voir proposition 2.3.19).
Remarque 5.3.2 L’a¢ rmation sup fRi (
si
0
j)
; i 2 N et j 2 J0 g < 1 est immédiate
a au moins deux composantes connexes. En e¤ et les composantes de
0
restent
à distance …nie les unes des l’autres. Cependant, elle n’est pas immédiate quand
est connexe.
0
5. Suites de Variétés Coniques
56
Rappelons un résultat dû à Hodgson et Kerckho¤ qui sera utilisé dans la démonstration du théorème principal de cette section (voir [BP] - proposition 3.1 page 39 et
[CHK] - théorème 6.20 et ses extensions page 117-118) :
Lemme 5.3.3 Soit (Mi ; pi ) une suite de variétés hyperboliques coniques pointées de
dimension 3 et de même type topologique (M; ) qui converge au sens de Hausdor¤ Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) de dimension 3. Pour tout
" > 0 et pour tout compact K
suites d’éléments de
Z qui ne contien pas des points d’accumulation de
, il existe i0 = i0 (K; ") 2 N et une suite fi : K ! Mi (i
i0 )
d’homéomorphismes (1 + ")- bilipschitz sur leurs images.
On présente maintenant, le résultat principal de cette section. On véri…e que, si
la suite ne s’e¤ondre pas et la longueur de la singularité reste uniformement majorée,
alors la limite est un espace d’Alexandrov de dimension 3 (peut-être non compact)
dont la métrique est hyperbolique presque partout. En utilisant les notations établies
dans l’introduction de cette section, l’énoncé précis est le suivant :
Théorème 5.3.4 (non e¤ondrement) Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas
et qu’elle véri…e
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Alors il existe une suite de points pik 2 M
tel que la suite (Mik ; pik ) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov Z de dimension 3 et
qui satisfait les propriétés suivantes :
i. Z
Z
Z
(voir 5.3) est une variété hyperbolique de volume …ni (non complète si
6= ;) dont les bouts sont en nombre …ni et sont des cusps paraboliques de
rang 2,
ii. Z est compact (et par conséquent homéomorphe à M ) si et seulement si
1
= ;,
iii. si Z n’est pas compact, il existe une bijection entre les composante connexes
de
1
et les bouts Cj de Z
Z.
En fait, chaque bout Cj de Z
Z
est la limite
au sens de Hausdor¤ -Gromov pointée des voisinages métriques BMi (
j
1,
j
j ; ri )
de
où ri > 0 est une suite strictement croissante et non bornée. De plus,
les angles coniques
ij
de ces composantes convergent vers 0 ou 2 , et pour ce
dernier cas, on sait que la longueur de la composante
j
converge vers 0.
Preuve. Comme a été fait dans l’introduction de cette section, l’hypothèse que la
suite Mi ne s’e¤ondre pas implique, sans perte de généralité, l’existence d’une suite
pi 2 M
tel que
n
o
Mi
r0 = inf rinj
(pi ) ; i 2 N > 0
5. Suites de Variétés Coniques
57
et (Mi ; pi ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov
pointé (Z; z0 ) de dimension de Hausdor¤ 3.
1ere étape : démonstration de l’assertion (i).
D’après la proposition de controle du rayon d’injectivité (2.3.14), tout point de
Z
Z
est limite d’une suite de points de Mi
uniformement minoré. Cela implique que Z
A¢ rmation 1 : V ol (Z
Z)
dont le rayon d’injectivité reste
Z
est une variété hyperbolique.
< 1.
Preuve : Supposons le contraire et soit K un compact de Z
Z
dont le volume
soit strictement plus grand que V ol (Mcomp ). Fixons une suite "i > 0 convergeant
vers zéro. D’après la proposition (5.3.3), il existe une sous-suite Mik et une suite
d’homéomorphismes fi : K ! Mi (1 + "i )- bilipschitziens sur leurs images. Comme les
applications fk deviennent de plus en plus proches d’une isométrie, il existe k0 2 N tel
que
V ol (Mcomp ) < V olMi (fi (K))
V ol (Mi ) .
Cela donne une contradiction car (proposition 2.3.19)
sup fV ol (Mi ) ; i 2 Ng
Comme la limite de
de Z
Z.
est le compact
V ol (Mcomp ) .
Z,
les bouts complets de Z sont ceux
D’après proposition (3.1.3) (voir aussi [BLP] - théorème 5.3), les bouts
complets de Z
Z,
s’il y en a, sont des cusps paraboliques de 2. De plus, ils sont en
nombre …ni d’après l’a¢ rmation (1).
2eme étape : démonstration des assertions (ii) et (iii).
Si Z est compact, il est imédiat que
1
= ;. Supposons maintenant que Z n’est
pas compact. Le lemme (5.3.1) nous permet de choisir R > 0 tel que
BMi (
j ; Ri ( j ))
BMi pi ;
R
10
pour tout j 2 J0 et tout i 2 N. Soit K un compact de Z qui contient la boule BZ (z0 ; R)
(et donc
Z)
dans son interieur et tel que
Z=Z
où Ck t T 2
int (K) = C1 t : : : t Cm ,
[0; 1) sont des bouts cuspidaux de Z.
5. Suites de Variétés Coniques
58
Prenons une suite "i > 0 convergeant vers zéro et un bout C1 t T 2
Z. Considerons une suite de compacts C1i =
T2
[0; ti ]
[0; 1) de
C1 avec la suite ti > 0
strictement croissante et non bornée. Quitte à extraire des sous-suites, la proposition
(5.3.3) nous donne une suite de plongements f1i : C1i ! Mi (1 + "i )-bilipschitz sur
leurs images. Pour tout i 2 N, notons
A1i = f1i (C1i )
et
B1i = f1i (C11 )
A1i .
Quitte à retirer un nombre …ni d’indices de la suite, on peut supposer que les
images A1i sont contenues dans M
. On remarque que
lim diamMi (A1i ) = 1.
(5.4)
i!1
Pour véri…er ceci, …xons c1 2 C11 et notons q1i = f1i (c1 ) 2 A1i . Il su¢ t de noter
que, par construction, la suite (A1i ; q1i ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers
(C1 ; c1 ).
Considérons une suite de représentations d’holonomie
1i
: Z
Z ! P SL2 (C)
pour les structures hyperboliques induites sur l’intérieur des ensembles B1i par celles
des Mi . Par dé…nition, la suite B1i converge au sens bilipschitz vers le compact C11 ,
alors on peut supposer (proposition 2.3.20) que
1i
où '1 : Z
(f1i )
! '1 ,
(5.5)
Z ! P SL2 (C) est l’holonomie de la structure hyperbolique induite sur
l’interieur de C1 par celle de Z, et (f1i ) : Z
Z!
1 (M
) sont les applications
canoniques induites par les restictions des plongements f1i à C11 .
Considérons les tores T1i = f1i T 2
f0g plongés dans M
. Comme K contient
la boule BZ (z0 ; R), les tores T1i ne peuvent pas être parallèles à une composante de
0.
Soit
1
un lacet non trivial sur T 2
f0g
C11
C1 . Comme C1 est une cusp
parabolique, '1 ( 1 ) est parabolique (non-trivial) et donc la convergence (5.5) nous dit
que
1i
(f1i ) ( 1 ), et par conséquence (f1i ) ( 1 ), sont non triviaux pour i su¢ samment
grand. Quitte à éliminer un nombre …ni d’indices de la suite, on peut supposer que les
courbes f1i
sont non-triviales dans Mi . Ceci implique que les tores T1i ne peuvent
pas être contenus dans des boules de M .
Par le lemme (5.2.1), les tores T1i bordent des tores solides W1i dans M (avec,
peut-être une l’âme singulière). Par construction
A1i
W1i
M
0,
pour tout i 2 N. D’après (5.4), on a
lim diamMi (W1i ) = 1.
i!1
5. Suites de Variétés Coniques
59
On peut repéter la même construction pour chaque cusp Ck de Z de façon à obtenir
des suites de tores Tki t T 2 , k 2 f1; : : : ; mg et i 2 N, qui bordent des tores solides
Wki dans M
0
et dont le diamètre deviens in…ni.
On obtient ainsi une suite de variétés de dimension 3
m
S
Wki
Mi = Mi
k=1
à bord toroidal tel que M peut-être obtenue par remplissage de Dehn sur les composantes de bord. Par construction, les variétés Mi convergent au sens de Hausdor¤-
Gromov vers le compact K. Quitte à retirer un nombre …ni d’indices de la suite, on
peut supposer par le théorème de stabilité de Perelman ([Kap]), que les variétés Mi
sont toutes homéomorphes à K (et en particulier homéomorphes entre elles).
Pour tout i 2 N et pour tout k 2 f1; : : : ; mg, choisisons un lacet non trivial
T2
f0g
ki
sur
Ck dont l’image par fki borde un disque dans Wki .
A¢ rmation 2 :
0
6= ;.
Preuve : Supposons par contradiction que
0
lacs
a été supposé non vide, on a déjà que
pi et
1
= ; (et donc
1
=
Z
= ;). Comme l’entre-
6= ;. Comme la distance entre
devient in…nie, quitte à eliminer un nombre …ni d’indices, on peut supposer
que les composantes de
1
sont contenues dans le complementaire de Mi . De plus, le
lemme (5.2.1) assure que les variétés Mi doivent être homeomorphes à un tore solide
ou être contenues dans une boule de M
Comme
Z
.
= ;, l’interieur du compact K est une variété hyperbolique et les
variétés Mi convergent au sens bilipschitz vers K. En particulier, les variétés Mi sont
homeomorphes à K et donc elles ne peuvent pas être homeomorphes à un tore solide.
Alors les variétés Mi sont contenues dans une boule de M
.
Comme précédament, on peut choisir une suite de représentations d’holonomie
i
:
1 Mi
! P SL2 (C) pour les structures hyperboliques induites sur l’intérieur des
variétés Mi et une représentation d’holonomie ' pour la structure hyperbolique induite
sur l’intérieur de K de façon à ce que
i
(fi )
!',
(5.6)
où fi : K ! Mi sont des homeomorphismes provenantes de la convergence bilip-
schitz de la suite Mi vers K.
Par construction, il y a un lace
dans K telle que ' ([ ]) est un élément non trivial
de P SL2 (C) (par exemple on a les éléments associés aux bouts cuspidaux dont l’image
par ' est un élément parabolique). Si les variétés Mi sont contenues dans des boules
de M
, alors
i
(fi ) ([ ]) = 1P SL2 (C) ,
5. Suites de Variétés Coniques
60
pour tout i 2 N. Cela est une contradiction avec le choix de . Donc
0
ne peut pas
être vide.
Comme la distance entre pi et
1
devient in…nie, quitte à eliminer un nombre
…ni d’indices, on peut supposer que les composantes de
1
sont contenues dans le
complementaire de Mi . De plus, l’a¢ rmation précédent uni au lemme (5.2.1) assure
que les composantes de Mi
tores solides de l’âme
j
de
1
sont des
et que deux composantes distinctes n’appartiennent pas à la
j
même composante de Mi
Comme
Mi qui contiennent une composante
Mi .
a un nombre …ni d’éléments et que les variétés Mi sont toutes ho-
1
méomorphes à K, quitte a extraire une sous-suite, on a une application injectif qui
associe à chaque composante
j
de
1,
une composante Ckj de Z, c’est-à-dire,
contenue dans la composante Wkj i de Mi
i2N
j)
est
Mi , pour tout i 2 N.
Rappelons que toute composante connexe
lim dMi (pi ;
j
j
de
satisfait (par dé…nition)
1
= 1. Comme les tores Tkj i = @Wkj i restent à distance …nie des points
pi et sont parallèles à
j
, on a forcément que lim Ri (
i!1
j)
= 1.
A¢ rmation 3 : Les angles coniques des composantes de
1
2 .
convergent vers zéro ou
Preuve : En fait, la dé…nition des structures coniques hyperboliques implique que
kj i
est une rotation d’angle
tr2
kj i
fkj i
kj i .
kj i
fkj i
=
kj i
donc
tr2
'k j
kj i
kj i
fkj i
kj i
Alors
=
e
i: k i
j
2
+e
= 2: cosh i:
Comme 'kj
kj i
i: k i
j
2
kj i
2
i:
=e
+ 2 = 2 cos
kj i
+e
kj i
+2
+2 .
= 4), la convergence (5.5) implique que la limite de
j
Le comportement des composantes de Mi
i!1
doit être
j)
=1
Mi qui contiennent les composantes
(si elles existent) est donc bien compris. Supposons que Mi
composantes non singuliers.
kj i
devient zéro, car lim Ri (
et le volume de la suite est uniformement majoré.
1
kj i
2 P SL2 (C) sont des éléments paraboliques non triviaux (et
0 ou 2 . De plus, si la limite est 2 , la longueur de
de
i:
Mi a aussi des
5. Suites de Variétés Coniques
Notons
61
le sous-ensemble de f1; : : : ; mg qui contient les indices qui ne sont pas
associés aux composantes de
sont contenus dans Wki
M
(fki ) (
ki
pour tout i 2 N.
Fixons k 2
1.
Pour tout k 2
, les disques bordés par fki
ki
et donc
ki )
=
ki (fki
ki )
= 1P SL2 (C) ,
abitraire. Comme, pour tout i 2 N, l’élément 'k (
(5.7)
ki )
2 P SL2 (C)
est parabolique (non trivial), on peut supposer que les classes d’homotopie des courbes
ki
dans
kis
1 Ck
tZ
Z sont toutes distinctes. Sinon il existai une sous-suite de courbes
dans la même classe d’homotopie et la convergence (5.5) donnerait que
'(
1is )
= 1P SL2 (C) ,
ce qui est impossible. Appliquons la même construction pour tous les indices k 2 .
A¢ rmation 4 : Etant donné k 2 , il existe i0 2 N tel que, pour tout i > i0 , le tore
solide Wki contient une géodésique simple fermée
Preuve : Fixons k 2
et notons
n
Z
inf rinj
=
Comme les applications fkij
Ck1
Z
ki .
(z) ; z 2 Ck1
2
o
> 0.
: Ck1 ! Bki deviennent de plus en plus proches d’une
isométrie, il existe i1 2 N tel que
Mi
rinj
(q) > ,
pour tout i > i1 et pour tout q 2 Bki (en particulier, pour tout q 2 Tki ).
Assertion 1 : Il existe i0 > i1 tel que, pour tout i > i0 , il existe un lacet
Wki tel que
ki
est homotopiquement non trivial dans l’intérieur de M
ki
dans
et leur
longueur est plus petite que .
Preuve de l’assertion 1 : Considérons les lacets composés par deux segments géodésiques de mêmes extrémités, de même longueurs plus petite que
2.
On remarque
que ces lacets sont toujours homotopiquement non triviaux car sinon on obtien, après
développement, deux arcs géodésiques distincts avec les mêmes extrémités dans H3 ,
ce qui n’est pas possible.
Dire que Wki n’admet pas ce type de lacet dans sont intérieur signi…e que tous les
points de Wki ont rayon d’injectivité plus grand au égal à 2 . Ceci est une contradiction
5. Suites de Variétés Coniques
62
car le volume des variétés Mi est uniformement majoré et que, par hypothèse, le
diamètre des composantes Wki devient in…ni.
Fixons i > i0 et soit
Wki un lacet avec les propriétés données par l’assertion
(1). D’après [Koj] (lemme 1.2.4), le lacet
une géodésique fermée
M
ki
est librement homotope (dans M
. De plus, la longueur de
ki
)à
est plus petite que
car la longueur des lacets le long de cette homotopie est strictement décroissante. Une
fois que les points du tore Tki ont rayon d’injecivité plus grand que , l’images de ces
homotopies doit être entièrement contenue dans les intérieus de Wki . En particulier,
Wki .
ki
Si
ki
n’est pas simple, alors elle donne origine à un lacet
0
composé par deux
segments géodésiques de mêmes extrémités et de même longueurs plus petite que 4 .
Notons que ceci implique que le rayon d’injectivité des extrémités de
que 4 . On peut appliquer la même contruction pour le lacet
nouvelle géodésique fermée
ki
0
0
est plus petite
de façon à obtenir une
Wki dont la longueur est plus petite que 4 . Comme le
rayon d’injéctivite des points de Wki ont une borné inférieure (compacité), ce procédé
doit …nir après un nombre …ni d’étapes et donc on peut supposer que
ki
est simple.
Quitte à retirer un nombre …ni d’éléments de la suite, l’a¢ rmation (3) permet de
supposer que, pour tout i 2 N et pour tout k 2 , il existe une géodésique fermée
ki
dans le tore solide Wki .
Pour tout i 2 N, on peut voir le type topologique des variétes hyperboliques coS
niques Mi comme M; [
ki , où les angles coniques sur les géodésiques ki sont
k2
égaux à 2 . D’après la proposition (5.2.1), les tores Tki sont parallèls aux géodésiques
m
S
[
admet une structure hyperbolique complete (voir
ki . De plus, M
ki
k=1
[Koj2]) qu’on va denoter par Mcomp .
Pour tout i 2 N et pour tout k 2
d’homotopie du lacet
ik
, notons (pki ; qki ) 2 Z
Zt
1 Ck ,
la classe
Ck . Quitte à éliminer un nombre …ni d’indices, le Théorème
de Chirurgie Hyperbolique de Thurston (théorème 2.3.17) donne une suite de variétés
hyperboliques (complètes) M (pi1 ; qi1 ; : : : ; pim ; qim ) di¤éomorphes à M
et telles
que
Vi := V ol (M (p1i ; q1i ; : : : ; pmi ; qmi )) < V ol (Mcomp ) ,
où (pki ; qki ) = 1, pour tout i 2 N et pour tout k 2 f1; : : : ; mg
Comme, pour chaque k 2
classes d’homotopie des
ki
(5.8)
.
, les paires (pki ; qki )i2N sont distinctes (parce que les
le sont), une sous-suite M (p1is ; q1is ; : : : ; pmis ; qmis ) telle
5. Suites de Variétés Coniques
63
que
lim k(pkis ; qkis )k = lim (pkis )2 + (qkis )2 = 1
s!1
; pour tout k 2
s!1
existe toujours. D’après le Théorème de Chirurgie Hyperbolique on a
lim Vis = V ol (Mcomp ) .
(5.9)
s!1
Rappelons que le volume riemannien d’une variété hyperbolique est un invariant
topologique (théorème de Mostow 2.3.5). Comme les variétés M (pi1 ; qi1 ; : : : ; pim ; qim )
sont di¤éomorphes entre elles, la suite des volumes Vi est constante. Ceci contredit les
assertions 5.8 et 5.9. D’où Mi
ce qui implique que
1
de Z est une bijection.
Mi ne peut pas avoir de composantes non singulières,
6= ; et que la correspondence entre les composantes de
1
et
Corollaire 5.3.5 Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et qu’elle véri…e
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
S’il existe " 2 (0; ) tel que les angles coniques
alors il existe une suite de points pik 2 M
ij
appartiennent tous à ("; 2
"),
tel que la suite (Mik ; pik ) converge au
sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) compact
et de dimension 3 (donc homéomorphe à M ). De plus, il existe un compact
est une union …ni de quasigéodésiques de Z tel que Z
Z
Z
Z qui
est une variété hyperbolique
non complète de volume …ni.
Comme conséquequence de la démonstration du théorème (5.3.4), on a le critère
de compacité suivant :
Corollaire 5.3.6 Supposons que
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1
n
o
Mi
et qu’il existe une suite de points pi 2 M
telle que inf rinj
(pi ) ; i 2 N > 0 et
la suite pointée (Mi ; pi ) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace
d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) (de dimension 3). Alors :
i. Si l
2, Z est compact si et seulement si
sup fdiamMi ( ) ; i 2 Ng < 1,
ii. Si l = 1, Z est compact si et seulement si
inf f
1i
; i 2 Ng > 0 ,
5. Suites de Variétés Coniques
64
Le prochain résultat démontre qu’on peut obtenir une conclusion plus fort quand
les angles coniques sont tous plus petits ou égaux à
. On remarque que le résultat
est vrai sans hypothèses aditionelles sur la suite Mi (voir [Koj] et [BoP]), mais la
démonstration utilise des outils beaucoup plus sophistiqués.
Proposition 5.3.7 Supposons que la suite Mi ne s’e¤ ondre pas et qu’elle véri…e
sup fLMi (
Si les angles coniques
ij
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
sont tous plus petits au égaux à , alors il existe une suite de
tel que la suite (Mik ; pik ) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
points pik 2 M
pointé vers une variété hyperbolique coniques de dimension 3 dont les angles coniques
sont les limites des angles coniques de Mi . De plus, toute composante
les angles coniques
ij
j
de
dont
convergent vers zéro correspondent à un cusp parabolique à la
limite. En particulier, la limite est compact si et seulement si
inf f
ij
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg > 0 .
Preuve. On utilise les notation de la démonstration du théorème précedent. D’après
la proposition (2.3.15), il su¢ t de controler le rayon d’injectivité singulier des composantes de
0.
Fixons une composante
j
de
0.
Pour tout i 2 N, prenons
i
un
segment géodésique de longueur minimimal parmi tous les segments géodésiques de
Mi ayant une extrémité sur
tersecte
de
i.
0
j,
l’autre sur
0
et non contenus dans
orthogonalement et sa longueur est égale à 2Ri (
j ).
j.
Alors
i
in-
Notons qi le millieu
Quitte a extraire une sous-suite (proposition (2.2.25)), on peut supposer que
la suite (Mi ; qi ) converge encore vers un espace d’Alexandrov de dimension 3 (en fait
c’est l’espace d’Alexandrov Z avec un nouveau point base).
Fixons i 2 N. Commes les angles coniques sont tous plus petits ou égaux à , on
peut developper la variété Mi dans une région R entre deux plans avec une perpendicullier commune et ayant distante LMi ( i ) un de l’autre. La même preuve donne dans
lemme (5.3.1) permet d’obtenir que
inf Ri = inf
i2N
i2N
LMi ( i )
>0.
2
La dernier assertion est une conséquence du lemme (5.3.1) et du théorème précédent.
Dans le cas où
est connexe, nous démonstrons le resultat suivant :
5. Suites de Variétés Coniques
65
Corollaire 5.3.8 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible, et
un noeud plongé dans M . On suppose qu’il existe une suite
Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ), d’angles coniques
i
2 (0; 2 ]. Alors la suite
i
converge vers zéro si et seulement si :
i: sup fLMi ( ) ; i 2 N g < 1,
ii: sup fdiam (Mi ) ; i 2 N g = 1,
iii: la suite Mi ne s’e¤ ondre pas.
Remarque 5.3.9 Sous les hypothèses du corollaire précédent et dans le cas où
converge vers zéro, il existe une suite de points pik 2 M
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers M
i
telle que la suite (Mik ; pik )
muni de la structure hyper-
bolique complète.
Preuve. Supposons que la suite
on peut supposer que
i
i
converge vers zéro. Sans perte de généralité
2 (0; ], pour tout i 2 N. D’après [Koj], il existe un chemin
continu (parametré par l’angle conique) de structures hyperboliques coniques de type
topologique (M; ) qui relie la structure hyperbolique conique de M0 à la structure
hyperboliqe complète sur M
. De plus, par unicité de la structure hyperbolique
conique pour les angles plus petis au egaux à
(encore [Koj]),ce chemin contiens les
structures hyperboliques coniques des Mi , pour tout i 2 N. Alors, pour tout point
p 2 M , la suite (Mi ; p) converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers (M
; p) muni
de la structure hyperbolique complète. Ceci implique les assertions (ii) et (iii). L’assertion (i) est une conséquence du théorème de chirurgie hyperbolique de Thurston
qui implique que
lim LMi ( ) = 0.
i!1
Supposons maintenent que les assertion n(i), (ii) et (iii) sont
o vraies. Alors, il existe
Mi
une suite de points pik 2 M
telle que inf rinj (pik ) ; k 2 N > 0 et la suite pointée
(Mik ; pik ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov
pointé (Z; z0 ) non compact et de dimension 3. D’après le corollaire (5.3.6), la suite
doit converger vers zéro.
i
5. Suites de Variétés Coniques
5.4
66
La suite Mi s’e¤ondre
L’objectif de cette section est d’étudier le cas où la suite Mi s’e¤ondre. Par dé…nition, cette hypothèse implique que
lim rMi
i!1 inj
(pi ) = 0 ,
Mi
, où rinj
(pi ) denote le rayon d’injectivité rie-
pour toute suite de points pi 2 M
mannien de pi dans la variété hyperbolique non complète Mi
Rappelons que
=
1 t:::t
l
.
représente la decomposition de
connexes disjointes et que le rayon d’injectivité normal de
dans Mi (c’est-à-dire, la
j
borne supérieur des rayons R > 0 tels que le voisinage BMi (
solide plongé dans Mi ) sera notée Ri (
j ).
ne peut pas s’e¤ondrer quand sup fRi (
1)
Fixons p 2
1.
1)
j ; R)
de
est un tore
D’après la proposition (5.2.5), la suite Mi
Alors, quitte a réordoner les composantes de
sup fRi (
en composantes
; i 2 Ng = 1, pour tout j 2 f1; : : : ; lg.
, on peut supposer que
; i 2 Ng < 1 .
Quitte à extraire une suite, la proposition (2.2.25) nous permet
d’a¢ rmer que la suite (Mi ; p) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un
espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ). Nous sommes intéréssés par le cas où la longueur
de la singularité reste uniformement bornée. C’est-à-dire, que
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
D’après la proposition (5.2.4), cette hypothèse implique que, quitte à extraire des soussuites, chaque composante
j
de
satisfait une, et une seule, des deux a¢ rmations
suivantes :
1. supfdMi (p;
j)
; i 2 Ng < 1 et
pointé vers une courbe fermé
2. lim dMi (p;
i2N
j)
Z
j
j
de Z,
= 1.
Cette dichotomie nous permet d’écrire
0
=
F
j
j2J0
où l’ensemble J0
converge au sens de Hausdor¤-Gromov
et
=
0
t
1
=
1
F
avec
j
,
j2J1
f1; : : : ; lg contiens les indices j tels que la composante
l’a¢ rmation (1) et l’ensemble J1
j
satisfait
f1; : : : ; lg les indices j tels que la composante
j
satisfait l’a¢ rmation (2). Par construction, 1 2 J0 et
sup fRi (
j)
; i 2 N et j 2 J0 g < 1 ,
(5.10)
5. Suites de Variétés Coniques
Notons que
1
67
= ; si et seulement si
sup fdiamMi ( ) ; i 2 Ng < 1 .
L’ensemble
Z
=
S
j2J0
Z
j
Z
est compact et correspond à l’ensemble de tous les points d’accumulation possibles des
suites de points de
.
La proposition suivante donne des informations sur la dimension de la limite d’une
suite de variétés hyperboliques coniques que s’e¤ondre.
Proposition 5.4.1 Etant donné pi 2 M , supposons que la suite (Mi ; pi ) converge
au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ). Si la
suite Mi s’e¤ ondre et véri…e
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
alors la dimension de Z est strictemment plus petite que 3.
Preuve. D’après la proposition (5.2.4),
Z
est compact et satisfait
Z
= Z si
et seulement si la dimension de Z est strictemment plus petite que 3. On peut donc
supposer que
Z
6= Z.
Fixons un point z1 2 Z
une suite qi 2 M
et soit
tel que
lim qi = z1
i!1
Z
= dZ (z1 ;
BMi qi ;
et
3
Z)
> 0. Alors il existe toujours
\ BMi
;
3
=;.
Par construction, la suite (Mi ; qi ) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers
(Z; z1 ). Comme la suite Mi s’e¤ondre , on a
Mi
lim rinj
(qi ) = 0 .
i2N
Le lemme (5.2.7) permet de changer les métriques de Mi sur BMi
;3
de
façon à obtenir une suite Ni de variétés riemanniennes complètes, homéomorphes à
M
, de volume …ni et à courbure sectionelle pincée. Quitte à extraire une sous-
suite, on peut supposer (voir proposition 2.2.25) que la suite (Ni ; qi ) converge au
sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Y; y1 ). Notons
que, par construction, les boules BNi qi ; 3
et BMi qi ; 3
BY y1 ; 3 et BZ z1 ; 3 sont aussi isométriques et on a
Ni
lim rinj
(qi ) = 0 .
i2N
sont isométriques. Alors
5. Suites de Variétés Coniques
68
On a par la proposition (2.2.28) que Y , et donc BZ z1 ; 3
t BY y1 ; 3 , ont
des dimensions de Hausdor¤ strictement plus petites que 3. Comme la dimension d’un
espace d’Alexandrov est un entier bien dé…nie, Z a aussi dimension strictement plus
petite que 3.
Notre objective est de démontrer le théorème suivant :
Théorème 5.4.2 (e¤ondrement) Supposons que la suite Mi s’e¤ ondre et qu’elle
véri…e
sup fLMi (
j)
Alors il existe un point p 2
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
tel que la suite (Mi ; p) sous-converge au sens de
Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) de dimension
plus petite ou égale à 2. De plus :
i. si dimH (Z) = 2 et @Z = ;, alors M est …brée de Seifert,
ii. si dimH (Z) = 2 et @Z 6= ;, alors M est une espace lenticulaire,
iii. si Z est homéomorphe à S 1 , alors M est une variété euclidienne, nilpotente ou
resoluble,
iv. si Z est homéomorphe à [0; 1], [0; 1[ ou ] 1; 1[, alors M est une espace lenticulaire,
v. si dimH (Z) = 0, alors M est une variété euclidienne, nilpotente ou spherique.
vi. lim Ri (
i!1
j)
= 1, pour toute composante
lim dMi (p;
i!1
j
j)
de
telle que
=1.
On sépare la démonstration de ce théorème selon la dimension de la limite Hausdor¤Gromov de la suite Mi . Le lemme précédent dit que les seules possibilités pour cette
dimension sont 2, 1 où 0.
5.4.1
Cas où la limite a dimension 2
Théorème 5.4.3 (e¤ondrement - dimension 2) Supposons que sup fRi (
1 et qu’il existe p 2
1
; i 2 Ng <
tel que la suite (Mi ; p) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) de dimension 2. Si
sup fLMi (
alors
1)
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
5. Suites de Variétés Coniques
69
i. M est …brée de Seifert,
ii. si @Z 6= ;, alors @Z a seulement une composante connexe et M est un espace
lenticulaire,
iii. si Z n’est pas compact, alors lim Ri (
i2N
j)
= 1, pour toute composante
j
de
1.
Preuve. D’après la proposition (2.2.5), Z est une variété topologique de dimenF
sion 2, peut-être avec bord. On peut décrire le bord de Z comme @Z =
@Zk , où
k2
@Zk sont les composantes connexes de @Z. Notons que chaque composante @Zk est
homéomorphe à un cercle ou à une droite.
On peut (lemme ) déformer la métrique des variétés hyperboliques coniques Mi
sur des voisinages métriques de
de plus en plus petits de façon à obtenir une suite
de variétés riemanniennes complètes Ni (homéomorphes à M ), à courbure sectionnelle
plus grande ou égale à
1 (voir lemme 5.2.7). De plus, on peut supposer (lemme 5.2.3)
que
1
,
i
pour tout i 2 N. Cette dernière a¢ rmation revient à dire que (Ni ; p) converge encore
dHG ((Mi ; p) ; (Ni ; p))
(au sens de Hausdor¤-Gromov pointé) vers (Z; z0 ).
On sépare la démonstration en deux cas selon la compacité de Z :
1ere cas : Z est compact.
Les assertions découlent directement des résultats de Shioya et Yamaguchi dans
[SY]. Si Z n’a pas de bord, le théorème 0.2 de [SY] s’applique à la suite Ni et M est
…brée de Seifert. Si Z a du bord, le corollaire 0.4 [SY] de s’applique a la suite Ni et
alors M admet une decomposition en somme connexe non triviale, lorsque Z véri…e
une des conditions suivantes :
Z a genre non nul
Z a au moins 2 composantes de bord
Z admet au moins deux points coniques
Comme M a eté supposée irréductible, ce type de décompostion en somme connexe
(non triviale) ne peut pas arriver d’où Z est homéomorphe à un disque fermée avec
au plus un point conique dans sont intérieur. D’après le théorème 0.3 de [SY], M est
un espace lenticulaire , et donc …bré de Seifert.
2eme cas : Z n’est pas compact.
5. Suites de Variétés Coniques
70
Comme indiqué dans l’introduction (5.10),
sup fRi (
j)
; i 2 N et j 2 J0 g < 1
et donc il existe R > 0 tel que
BMi (
j ; Ri ( j ))
pour tout i 2 N et pour toute composante
BMi p;
R
10
0.
j
Considérons K une 2-sous-variété compacte et connexe de Z qui contient la boule
BZ (z0 ; R) (et donc
Z)
et telle que @K est une union disjointe de cercles et que Z
K
est une union disjointe de composantes de diamètre in…ni.
Notons
= fk 2
; @Zk \ K 6= ;g. Si @Z 6= ;, on suppose de plus que :
6= ;, c’est-à-dire K \ @Z 6= ;,
@Zk \ K = @Zk , pour tout k 2
tel que la composante @Zk est compacte,
@Zk \ K est connexe, pour tout k 2 .
Notons, pour tout k 2 , @Kk la (seule par construction) composante connexe de
@K tel que @Zk \ @Kk 6= ;. On peut décrire le bord de K comme
@K =
F
k2
@Kk t
F
@Km ,
m2
où @Km sont les composantes de @K qui ne touchent pas le bord de Z.
Comme
Z
K, on remarque que, pour tout k 2
par construction les propriétés :
tel que @Zk \
Z
6= ;, on a
k2 ,
@Zk \
Z
Soit
=
int (@K \ @Zk ).
(2) la constante donnée par le théorème de …bration (4.1.3). Comme K
est compacte, la proposition (2.2.15) assure que les ensembles
C = fz 2 K
@Z ; L (Tz Z)
Ck = fz 2 @Zk \ K ; L (Tz Z)
2
g
g
@Kk
(k 2 )
des -points coniques de K et @Kk sont …nis. On peut toujours augmenter K si nécessaire de façon à ce que C soit contenu dans l’intérieur de K. Prenons s1
tel que
BK [z; s1 ] est homéomorphe à D2 , pour tout z 2 C,
BK [z; s1 ]
int (K), pour tout z 2 C,
s2 > 0
5. Suites de Variétés Coniques
71
BK [z; s1 ] \ BK [z 0 ; s1 ] = ;, pour tout z; z 0 2 C [
Pour tout z 2 C [
S
k2
S
Ck ,
k2
Ck et pour tout k 2 , on a
Bk (@Kk ; s2 ) \ BK (z; s1 ) 6= ; si et seulement si z 2 Ck .
Considérons le sous-ensemble compact Y de Z dé…ni par
Y =K
S
F
BK (z; s1 )
z2C
Uk
R (Z) \ K ,
k2
où Z est l’ensemble des points -réguliers de Z et, pour tout k 2 ,
Uk = BK (@Zk ; s2 ) [
S
BK (z; s1 ) .
z2Ck
Alors, on peut décrire le bord de Y comme
@Y =
F
k2
@Yk t
F
z2C
@Yz t
F
@Km
m2
Fig. 5.3 –Compact K et points -coniques de C et Ck
Comme Y est compact, la proposition (2.2.15) implique qu’il existe
str:rad (Y )
> 0 tel que
.
Considérons la constante "o = "o (2; ) donnée par le théorème de …bration (4.1.3).
5. Suites de Variétés Coniques
72
Etant donné R0 > 0 tel que K
BZ [z0 ; R0 ], notons B = BZ [z0 ; 100R0 ]. Comme
(Ni ; p) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers (Z; z0 ), on peut supposer
que
"i := dHG BNi p; 100R0 ; B < "o ,
pour tout i 2 N. En fait, par dé…nition de la convergence de Hausdor¤-Gromov pointé,
la suite "i converge aussi vers zéro.
Le théorème de …bration (4.1.3) appliqué au compact Y donne une suite Ni de sous-
variétés de M compactes, connexes et de dimension 3, une suite
vers zéro et une suite de
i -approximations
i
> 0 convergeant
pi : Ni ! Y qui induisent sur Ni une
structure de …bré localement trivial dont les …bres sont des sous-variétés compactes de
dimension 1 (image reciproque des points de Y ) de Ni .
A¢ rmation 1 : Les …bres des projections pi sont des cercles.
Preuve : L’unique possibilité à éliminer est celle d’une …bration par intervalles fermés.
Mais dans ce cas-là, les …bres devraient relier des composantes du bord des Ni . Ceci
n’est pas possible, par exemple, pour les …bres au-dessus d’un point y à l’intérieur de
Y , car leurs longueurs deviennent arbitrairement proches de zéro et leurs distances au
bord de Ni ont une borne inférieure positive et uniforme.
Comme conséquence de l’a¢ rmation ci-dessus, @Ni = pi 1 (@Y ). De plus, comme
M est orientable, les composantes du bord de Ni sont des tores. On veut maintenant,
comprendre les composantes de Ni
Ni .
A¢ rmation 2 : Soit C une composante de @Y et Ti les composantes de @Ni qui lui
sont associées (c’est-à-dire Ti = pi 1 (C)). Alors les composantes Bi de Ni
int (Ni )
tels que @Bi = Ti convergent au sens de Hausdor¤ -Gromov vers la composante B de
Z
int (Y ) tel que @B = C.
Preuve : Cette a¢ rmation est une conséquence des dé…nitions de la convergence au
sens de Hausdor¤-Gromov et des espaces de longueur.
Soit une suite de points bi 2 Bi qui converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers un
point z 2 Z. Supposons que z 2
= B.
1er cas : z 2 Y
C
En utilisant les …bres au dessus du point z, on peut trouver une suite de points
ni 2 int (Ni ) convergeant (au sens de Hausdor¤-Gromov) vers z et telle que
I = inf fdNi (ni ; Ti ) ; i 2 Ng > 0.
5. Suites de Variétés Coniques
73
Fig. 5.4 –Région Bi converge au sens de Hausdor¤-Gromov vers la région B
La dé…nition de la convergence au sens de Hausdor¤-Gromov implique que
lim dNi (ni ; bi ) = 0.
i!1
Cependant, ceci ne peut pas arriver car, pour tout i 2 N, on a
dNi (ni ; bi )
dNi (ni ; Ti )
2ème cas : z 2 B 0 , où B 0 est une composante de Z
I.
int (Y ) di¤erente de B
Notons C 0 = @B 0 et I = inf fdNi (bi ; Ti ) ; i 2 Ng et . Comme dZ (z; C) > 0, on a
I > 0.
Supposons que I
dZ (z; C 0 ). Quite a extraire une sous-suite, il existe une suite
de points ti 2 Ti convergeant vers un point z 0 2 C (car la suite Ti converge au sens de
Hausdor¤-Gromov vers C) et telle que, pour tout i 2 N,
1
I+ .
i
0
Il découle de l’inégalité ci-dessus que z 2 BZ [z; I]
dNi (ti ; bi )
B 0 . Ceci est une contradiction
car dZ (B 0 ; C) > 0. Alors I > dZ (z; C 0 ).
Notons d = dZ (z; C 0 ) et soient un point z 00 2 C 0 \ BZ (z; d) et une suite
si 2 Ti0 = pi 1 (C)
convergeant vers le point z 00 . Comme BNi (bi ; d) converge (au sens de Hausdor¤Gromov) vers BZ (z; d) et, pour tout i 2 N, BNi (bi ; d)
points
b0i
Bi , il existe une suite de
2 Bi convergeant au sens de Hausdor¤-Gromov vers z 00 . Alors
lim dNi b0i ; si = 0.
i!1
5. Suites de Variétés Coniques
74
Ceci est une contradiction car, pour tout i 2 N,
dNi b0i ; si
dNi Ti0 ; Ti
et il existe i0 2 N tel que inf fdNi (Ti0 ; Ti ) ; i
i0 g > 0.
L’a¢ rmation ci-dessus montre que la bijection existant entre les composantes de
bord de Z
Z
Y et celles de Ni
Y et de Ni
B de Z
Ni s’etend à une bijection sur les composantes de
Ni . De plus, le diamètre des régions de Ni
Ni associées à une région
Y est uniformement majoré si et seulement B est compact.
Par construction, les régions Ni contiennent le point p et ont un diamètre uni-
formement majoré. Comme lim dMi (p;
i2N
j)
= 1, pour toute composante
quitte à extraire des sous-suites, on peut supposer que
En fait,
1
1
Ni
sera contenu dans l’union des composante de Ni
devient in…ni.
A¢ rmation 3 : Pour i su¢ samment grand, Ni
solides.
Preuve :Les tores du bord de Ni
les propriétes de la région de Z
j
de
1,
Ni , pour tout i 2 N.
Ni dont le diamètre
Ni est une union disjointe de tores
Ni peuvent être séparés en 3 types distincts selon
Y associées. Pour la démonstration, on distingue ces
3 types :
1er type : Les tores Tiz
pi 1 (@Yz )
@Ni , z 2 C.
Pour ce cas-là, on utilise le raisonnement que Shioya et Yamaguchi ont donné dans
la preuve du théorème 0.2 de [SY]. En utilisant un rééchelonnement de la métrique par
raport à la longueur de la …bre et le théorème de stabilité de Perelman, ils véri…ent
que les régions Biz de Ni
Ni bordés par les tores Tiz sont des tores solides qui se
recollent sur les bords de Ni sans tuer la …bre.
2eme type : Les tores Tik
Fixons k 2
pi 1 (@Yk )
et notons @Yk la (seule) composante de @Y qui touche Uk . On peut
decomposer @Yk en deux arcs simples
tels que
et
de mêmes extrémités, disons P et Q, et
est contenu dans Uk et l’interieur de
que, si @Zk = @Kk , alors
de Ni
@Ni , k 2 .
= @Yk et
Ni bordés par les tores
est contenu dans Z
= P = Q est dégéneré. Notons
Uk . Notons
Bik
les régions
Tik .
On utilise de nouveau les constructions de Shioya et Yamaguchi. Cette fois les
arguments proviennent de la démonstration du théorème 0.3 de [SY]. Ils véri…ent
5. Suites de Variétés Coniques
75
Fig. 5.5 –@Y touche le voisinage Uk de @Zk
avec les mêmes techniques qu’on peut choisir dans les régions Bik des sous-régions
Bik qui convergent au sens de Hausdor¤-Gromov vers les voisinages Uk de
D2 .
homéomorphes à
et sont
De plus, il véri…ent aussi que le bord des régions Bik se
recollent sur le bord de Ni de façon à tuer la …bre. Plus précisément, pour tout z 2 ,
le sous ensemble fzg
@D2 est une …bre de la …bration de Seifert sur le bord de Ni .
Notons que, si @Zk = @Kk , cette construction implique que les régions Bik
et Bik
coïncident et sont automatiquement homéomorphes à un tore solide.
Supposons maintenant que @Zk 6= @Kk (et donc que
n’est pas dégénéré). Les
…brations induites par les projections pi donnent des anneaux plongés dans Ni
dessus de . Ces anneaux, avec les disques DiP et DiQ qui, d’après [SY],
respectivement sur les …bres pi 1 (P ) et pi 1 (Q), deviennent des sphère
dans Ni
. Ces sphères Si séparent Ni et
côté. De l’autre côté on a des régions
Bik
0
au
se recollent
Si plongées
est, par construction, contenu d’un
contenues dans les régions Bik et tels que
Bik = Bik t int DiP t int DiQ t Bik .
Comme, pour tout i 2 N, Ni
boules dans Ni
régions
Bik
est irréductible, ces sphères Si doivent border des
. De plus, comme
0
6= ; par hypothèse, on a forcément que les
sont homéomorphes à des boules et que Bik \
sont homéomorphes à des tores solides contenus dans M
= ;. Alors les régions Bik
.
On remarque que la démonstration ci-dessus véri…e aussi que l’existence d’une
composante non compacte dans le bord de Z implique que
1
= ;. Ceci car Z
Y
a une seule composante non borné qui est limite (au sens de Hausdor¤-Gromov) des
boules Bik
M
. Pour distinguer ce résultat on énonce :
5. Suites de Variétés Coniques
76
Fig. 5.6 –région Bik qu’aproche la région Uk
Corollaire 5.4.4 Supposons que
0
6= ; et qu’il existe p 2
0
tel que la suite (Mi ; p)
converge au sens de Hausdor¤ -Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov pointé
(Z; z0 ) de dimension 2. Si
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
et @Z a une composante non compacte, alors
pi 1 (@Km )
3eme type : Les tores Tim
1
= ;.
@Ni , m 2
Fixons m et notons Bim les régions de Ni
.
Ni bordés par les tores Tim . Comme
on a vu dans le paragraphe avant cette a¢ rmation, ces régions peuvent contenir des
composantes de
j
0,
BMi (
1.
Comme BZ (z0 ; 10R)
BMi (pi ; R), les tores Tim ne peuvent pas être paralleles
j ; Ri ( j ))
a une composante de
0
(
0
6= ; par hypothèse). Si Bim \
(5.2.1) permet d’a…rmer que les régions
qu’une seule composante
j
i2N
j)
Bim
1
6= ;, alors le lemme
sont des tores solides qui ne contiennent
m
1 . De plus, les tores Ti
Tim restent à distance …ni de
de
remarque que, comme les tores
on a forcément que lim Ri (
K et, pour toute composantes connexe
sont paralleles à
p et lim dMi (p;
i2N
j.
j)
= 1, ce qui véri…e l’assertion (iii) du théorème.
On
= 1,
Il reste à comprendre les régions Bim qui ne contiennent pas une composante de
1
dans sont intérieur. D’après la lemme (5.2.1), les régions Bim sont homéomorphes
5. Suites de Variétés Coniques
77
à un tore solide (type I) ou à un exterieur d’un noeud dans S 3 (type II). De plus, si
les régions Bim sont de type II, les tores Tim doivent être contenus dans une boule de
Ni . En utilisant le lemme (5.2.2), on peut toujours remplacer les composantes de type
II par des tores solides sans changer le type topologique de Ni . On peut donc, sans
perte de généralité, supposer que toutes les composantes Bim des tores solides.
Les tores solides de Ni
Ni peuvent se recoller sur le bord de Ni de deux façons
distinctes. Soit en tuant les …bres (de la …bration de Seifert) sur la composante du
bord, c’est-à-dire, le bord des disques méridiens se recollent sur les …bres de @Ni , soit
en ne tuant pas les …bres. Notons Wi , la variéte obtenue par l’union de Ni avec toutes
les composantes de Ni
Ni qui ne tuent pas les …bres. La …bration de Seifert sur Ni
(de base Y ) s’étend de façon naturelle en une …bration de Seifert sur Wi dont l’espace
sous-jacent de la base est la surface topologique Y obtenue en recollant des disques
sur les composantes du bord de Y associées aux composantes ajoutées à Ni .
Notons que, d’après la démonstration de l’a¢ rmation 3 (et avec les mêmes nota-
tions), les tores Biz , z 2 C, sont contenus dans Wi et les tores Bik , k 2 , sont contenus
dans Ni
Wi . Notons aussi que, si Wi = Ni (donc @Y = ; et @Z = ;), la variété Ni
(et donc M ) est …brée de Seifert, ce qui véri…e l’assertion (i).
On suppose à partir de maintenant que Wi 6= Ni (donc @Y 6= ; et @Wi 6= ;). S’il
existe un arc essentiel
sus de
proprement plongé dans Y, alors les …brations induites audes-
donnent des anneaux essentiels proprement plongés dans Wi . Par construction,
toutes les composantes de Ni
Wi sont des tores solides qui se recollent sur le bord
de Wi de façon à tuert la …bre (de la …bration de Seifert sur Wi ). Alors, ces anneaux
deviennent des sphère essentielles dans Ni , ce qui est impossible à cause de l’iréducti-
bilité des variétés Ni . Donc Y a exactement une composante de bord, au plus un point
conique dans son intérieur et une caracteristique d’Euler non négative. Comme Y est
compact, cela signi…e que Y est homéomorphe à un disque D2 . En particulier, cela
implique que Z a au plus une composante de bord et au plus un point conique dans
son intérieur. Sinon on peut augmenter K de façon à contenir plus d’un point conique
dans son intérieur ou toucher plus d’une composante du bord de Z. Si l’on fait ça, Y
aurait plus d’un point conique dans son intérieur ou plus d’une composante de bord.
Pour …nir notons que Y homéomorphe à D2 implique que Wi est homéomorphe à un
tore solide et Ni est alors un espace lenticulaire .
5. Suites de Variétés Coniques
5.4.2
78
Cas où la limite a dimension 1
Théorème 5.4.5 (e¤ondrement - dimension 1) Supposons que sup fRi (
1 et qu’il existe p 2
1
1)
; i 2 Ng <
tel que la suite (Mi ; p) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé (Z; z0 ) de dimension 1. Si
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 ,
alors
i. Z est homéomorphe à S 1 et M est une variété euclidienne, nilpotente ou resoluble,
ii. Z est homéomorphe à [0; 1] et M est un espace lenticulaire ou une variété euclidienne, nilpotente, resoluble ou prismatique,
iii. Z est homéomorphe à [0; 1[ ou ] 1; 1[ et M est un espace lenticulaire ou une
variété prismatique. De plus, lim Ri (
i2N
j)
= 1, pour toute composante
j
de
1.
Preuve. On sépare la démonstration selon la compactié de Z :
1ère cas : Z est compact.
Sous cette hypothèse, Z est homéomorphe à S 1 ou [0; 1]. De plus, l’assertion (iii)
est vide et les deux premièrs assertions découlent directement des résultats de Shioya
et Yamaguchi [SY].
Si Z est homéomorphe à S 1 , l’irrédutibilité de M implique que M est un …bré
en tores sur S 1 et admet une des géométries E 3 , N il ou Sol (voir remarque avant le
théorème 0.5 et la table 1 de [SY]).
Si Z est homéomorphe à [0; 1], l’irrédutibilité de M implique qu’elle est un espace
lenticulaire ou une variété euclidienne, nilpotente, resoluble ou prismatique (voir la
table 1 de [SY]).
2ème cas : Z n’est pas compact.
Sous cette hypothèse, Z est homéomorphe à [0; 1[ ou ] 1; 1[.
Comme précédemment, on peut déformer la métrique des variétés hyperboliques
coniques Mi sur des voisinages de
de plus en plus petits de façon à obtenir une suite
de variétés riemanniennes complètes Ni (homéomorphes à M ), à courbure sectionelle
plus grande ou égale à
1 et tel que la suite (Ni ; p) converge au sens de Hausdor¤-
Gromov pointé vers (Z; z0 ).
Comme a été remarque dans l’introduction (5.10),
sup fRi (
j)
; i 2 N et j 2 J0 g < 1
5. Suites de Variétés Coniques
79
et donc il existe R > 0 tel que
BMi (
j ; Ri ( j ))
pour tout i 2 N et pour toute composante
BMi p;
R
10
0.
j
;
Prenons un compact K de Z,
homeomorphe à l’intervalle [0; 1] et qui contient BZ (z0 ; R) et le bord de Z, s’il en a
un (dans ce cas-là, @Z = f0g).
Considérons
=
(1) la constante donné par le théorème (4.1.3) et soit Y = K U ,
ou U est un petit voisinage ouvert du bord de Z, s’il en a un. D’après la proposition
(2.2.15), il existe
> 0 tel que -str:rad (Y )
.
Considérons la constante "o = "o (1; ) donnée par le théorème (4.1.3).
Etant donné R0 > 0 tel que K
BZ [z0 ; R0 ], notons B = BZ [z0 ; 100R0 ]. Comme
(Ni ; p) converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers (Z; z0 ), on peut supposer
que
"i := dHG BNi p; 100R0 ; B < "o ,
pour tout i 2 N. En fait, par dé…nition de la convergence de Hausdor¤-Gromov pointé,
la suite "i converge aussi vers zéro.
Le théorème de …bration (4.1.3) donne une suite Ni de sous-variétés de M com-
pacts, connexes et de dimension 3, une suite
i -approximations
i
convergeante vers zéro et une suite de
pi : Ni ! Y qui induisent une structure de …bré localement trivial
dont les …bres sont des sous-variétés compactes (image reciproque des points de Y ) de
dimension 2 de Ni .
De façon simillaire au cas où Z a dimension 2, les …bres sont fermées. D’après le
théorème de …bration (4.1.3), les feuilles sont di¤éomorphes à des sphères ou des tores.
A¢ rmation 1 : Les …bres sont des tores S 1
S1.
Preuve : Supposons que les …bre sont des sphères et …xons z1 2 Z
généralité, il existe un suite de points qi 2 Ni
B. Sans perte de
qui converge au sens de Hausdor¤-
Gromov vers z1 .
Assertion : Il existe i0 2 N tel que, pour tout i > i0 , il existe un lacet homotopiquement non trivial (dans M
)
i
de longueur plus petite au ègal R0 basé en
qi .
Supposons que l’assertion est vrai et …xons i > i0 . Soit S la sphère du bord de Ni qui
sépare M en deux composantes où l’une contient l’entrelacs singulier
Vi , contient le lacet
contient
i
i
(et donc le point qi ). Comme M
doit être homéomorphe à une boule et donc
trivial (dans M
et l’autre, notée
est irréductible, le cotê qui
i
doit être homotopiquement
). Ceci contredit l’assertion et donc les …bres sont des tores.
5. Suites de Variétés Coniques
80
Pour …nir la preuve de l’a¢ rmation, démontron l’assertion ci-dessus.
Preuve de l’assertion : Considérons les lacets basés en qi et composés par deux
segments géodésiques de mêmes extrémités et de même longueurs plus petite que
R0
2 .
On remarque que ces lacets sont toujours homotopiquement non triviaux car H3
n’admet pas un tel lacet.
Dire qu’il n’existe pas un tel lacet signi…e que les points de qi ont un rayon
d’injectivité plus grand au égal à
R0
2 .
De plus, un tel lacet est contenu dans Vi
par construction. Ceci est une contradiction avec l’hypothèse d’e¤ondrement et donc
l’assertion est vrai.
Comme dans le théorème précédent, on peut supposer que le composantes de
Ni
Ni associées à composantes non bornées de Z
K sont des tores solides. D’après
l’hypothèse d’irréductibilité (qui implique, en particulier que M n’est pas homéomorphe à S 2
S 1 ), l’a¢ rmation ci-dessous implique que M est un espace lenticulaire
où une variété prismatique (voir table 1 de [SY]).
5.4.3
Cas où la limite a dimension 0
Ce cas a été traité par Shioya et Yamaguchi dans [SY]. Pour être complet, on
presente l’énoncé du resultat obtenu :
Théorème 5.4.6 (e¤ondrement - dimension 0) Supposons que sup fRi (
1 et qu’il existe p 2
1
1)
; i 2 Ng <
tel que la suite (Mi ; p) converge au sens de Hausdor¤ -Gromov
pointé vers un espace d’Alexandrov pointé de dimension zero. Alors M est une variété
euclidienne, nilpotente ou spherique.
5.4.4
Démonstration du théorème (5.4.2)
Preuve du théorème (5.4.2). D’après la proposition (5.2.5), la suite Mi ne peut
pas s’e¤ondrer quand sup fRi (
que
j)
; i 2 Ng = 1, pour tout j 2 f1; : : : ; lg. Supposons
sup fRi (
et …xons p 2
1.
1)
; i 2 Ng < 1
Quite a extraire une sous-suite, on peut supposer que la suite pointée
(Mi ; p) sous-converge au sens de Hausdor¤-Gromov pointé vers un espace d’Alexandrov
pointé (Z; z0 ). Comme la suite Mi s’e¤ondre, Z a dimension plus petite ou égale à 2.
Alors, les assertions (i), (ii), (iii), (iv) et (vi) sont conséquence directe des résultats
précédents. L’assertion (v) est véri…é dans [SY] (voir la table 1).
5. Suites de Variétés Coniques
81
Remarque 5.4.7 Le théorème ci-dessus ne donne pas d’informations sur la compacité
de la limite. Si dans un chemin continu M , où
2 (a; b)
[0; 2 ], de variétés hyperbo-
liques coniques de type topologique (M; ) il existe une suite M
i
d’angles décroissants
qui s’e¤ ondre, alors la limite ne pourra pas être compact car, d’après Schlä‡i, la suite
V ol (Mti ) est croissante.
Corollaire 5.4.8 Supposons que la suite Mi s’e¤ ondre et qu’elle véri…e
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Alors M est …brée de Seifert où Sol.
Remarque 5.4.9 En particulier, le corollaire ci-dessous implique : Si M n’est pas
…brée de Seifert où Sol et que la suite V ol (Mi ) converge ver zéro, alors forcément
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg = 1.
.
Chapitre 6
Applications
On présente ici quelques applications des résultats obtenus. Dans ce chapitre M
désigne une variété di¤érentiable de dimension 3 fermée, orientable et irréductible,
et
=
1
t ::: t
l
(decomposition en composantes connexes) un entrelacs (non
vide) plongé dans M tel que M
est hyperbolique. On considère une suite de
variétés hyperboliques coniques Mi de type topologique (M; ) avec angles coniques
i
=(
6.1
i1 ; : : : ;
il )
2 [0; 2 )l .
Entrelacs petits
Comme conséquence de la dé…nition d’une structure hyperbolique conique et de
la topologie choisie pour R (M
gueur de l’entrelacs singulier
), le critère suivant permet d’assurer que la lond’une suite de variétés hyperboliques coniques de type
topologique (M; ) reste uniformement majorée :
Lemme 6.1.1 Soient une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et une suite
la suite
i
i
de représentations d’holonomie pour les variétés Mi . Si
converge vers une représentation
sup fLMi (
Dé…nition 6.1.2 Soit
j)
1
2 R (M
), alors
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
un entrelacs plongé dans M . On dira que
s’il existe un voisinage tubulaire ouvert N ( ) de
tel que M
est petit dans M
N ( ) ne contient pas
de surfaces essentielles plongées dont le bord (s’il existe) est une réunion de méridiens
de
.
Remarque 6.1.3 D’après [HT] (lemme 3), si une variété di¤ érentiable M fermée et
orientable admet un entrelacs petit plongé dans son intérieur, alors M est irréductible
83
6. Applications
84
et ne contient aucune surface incompréssible. En particulier, M ne peut pas être modélé
sur les ’admet pas les géométries Sol, Nil et Euclidienne.
Soit une suite
de représentations pour les variétés hyperboliques coniques Mi . Si
i
est petit, il découle de la théorie de Culler-Shallen (présentée dans [CS]) que la suite
i
converge vers une représentation
1
obtient
sup fLMi (
j)
2 R (M
). D’après le critère précédent, on
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1.
On vient de démontrer le lemme suivant :
Lemme 6.1.4 Soit Mi une suite de variétés hyperboliques coniques de type topologique
(M; ). Si
est un entrelacs petit dans M , alors
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1 .
Le lemme précédent et le théorème (5.1.1) impliquent :
Corollaire 6.1.5 Soient M une variété di¤ érentiable de dimension 3, fermée, orientable, irréductible qui n’est pas …brée de Seifert et
un entrelacs petit dans M . Alors,
il existe une constante V = V (M; ) > 0 telle que
V ol (M) > V ,
pour toute variété hyperbolique conique M de type topologique (M; ).
Preuve. Supposons qu’une telle constante V n’existe pas. Comme
est petit dans
M , il existe alors une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique
(M; ) telle que
i: sup fLMi (
j)
; i 2 N et
j
composante de
g < 1,
ii: limi!1 V ol (Mi ) = 0 (et donc la suite Mi s’e¤ondre).
D’après le théorème (5.4.2) et la remarque (6.1.3), M est …brée de Seifert.
6.2
Résultats de Compacité
Corollaire 6.2.1 Supposons que M n’est pas …brée de Seifert ou Sol et soit une suite
Mi de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et d’angles coniques
ji
2 ]"; 2
"[, où " 2 ]0; [. Si
sup fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg < 1,
alors sup fdiam (Mi ) ; i 2 Ng < 1.
6. Applications
85
Preuve. Supposons que sup fdiam (Mi ) ; i 2 Ng = 1 et soit une sous-suite Mik
telle que
lim diamMik (M ) = 1.
k!1
Comme M n’est pas …bré de Seifert ou Sol, le théorème (5.1.1) implique que la suite
Mik ne peut pas s’e¤ondrer. De plus, comme les angles coniques
obtient forcément que
ji
2 ]"; 2
"[ on
n
o
sup diamMik (M ) ; k 2 N < 1.
Ceci est une contradiction.
Remarque 6.2.2 Dans le résultat précédent, si on a aussi une borne inférieure uniforme pour la longueur de la singularité, c’est-à-dire
inf fLMi (
j)
; i 2 N et j 2 f1; : : : ; lgg > 0,
l’assertion reste vraie pour des angles coniques
Corollaire 6.2.3 Supposons que
ji
2 ]"; 2 ], où " 2 ]0; 2 [.
est petit dans M et que M n’est pas …bré de Seifert.
Pour tout " 2 ]0; [, il existe K = K (M; ") > 0 tel que
diamM (M ) < K,
pour toute variété hyperbolique conique de type topologique (M; ) et dont les angles
coniques appartiennent à ]"; 2
"[.
Preuve. Fixons " 2 ]0; [. Si l’assertion est fausse, alors il existe une suite Mi
de variétés hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et d’angles coniques
ji
2 ]"; 2
"[ telles que
lim diam (Mi ) = 1.
i!1
Comme
est petit dans M et M n’est pas …bré de Seifert (ni Sol d’après la re-
marque 6.1.3), il découle du corollaire précédent et du lemme (6.1.4) que cela est une
contradiction.
6.3
Application à une conjecture de Thurston
Quand M est une variété hyperbolique et que
désiques simples, M
est une réunion …nie de géo-
admet une structure hyperbolique complète et la question
de l’existence d’une déformation entre ces deux structures par un chemin continu de
structures hyperboliques coniques de type topologique (M; ) se pose naturellement.
Plus précisément Thurston a conjecturé :
6. Applications
86
Conjecture 6.3.1 Etant données une variété hyperbolique conique fermée, orientable
et
une réunion …nie de géodésiques simples et disjointes, il existe une famille M de
structures hyperboliques coniques de type topologique (M; ) et d’angle conique
même pour tous les composantes) telle que
(le
varie de 0 à 2 .
Le résultat de cette section concerne l’étude de cette conjecture.
Corollaire 6.3.2 Supposons que M est une variété hyperbolique et que
est une
réunion …nie de géodésiques simples de M . Soit M une déformation de cette structure
le long d’un chemin continu de structures hyperboliques coniques de type topologique
(M; ) et d’angles coniques
de
). Si
sup fLM (
2 (L; 2 ]
j)
;
[0; 2 ] (le même pour toutes les composantes
2 (L; 2 ] et j 2 f1; : : : ; lgg < 1,
alors L = 0 si et seulement si lim diam (M ) = 1. Dans ce cas là, le chemin s’étend
continûment à [0; 2 ].
!L
Preuve. Commençons pour remarquer que l’existence d’un tel chemin de déformation est une conséquence du théorème (2.3.17).
Supposons que lim diam (M ) = 1 et soit une suite
!L
i
2 (L; 2 ] convergeant vers
L. Comme M est hyperbolique (donc n’est pas …brée de Seifert ou Sol), on a par le
théorème (5.1.1) que la suite M
i
ne peut pas s’e¤ondrer. De plus, comme
lim diam (M i ) = 1
i!1
et que les angles coniques sont égaux sur toutes les composantes connexes de
, on a
L = 0.
Supposons maintenant que L = 0. Si lim diam (M ) 6= 1, il existe alors une suite
i
2 (0; 2 ] convergeant vers 0 telle que
!L
fdiam (M i ) ; i 2 Ng < 1.
Comme précédemment, la suite M
i
(6.1)
ne peut pas s’e¤ondrer. De plus, l’hypothèse que
L = 0 implique (théorème 5.1.1) qu’il existe une sous-suite de M
i
dont le diamètre
devient in…ni. Ceci est une contradiction avec (6.1).
Remarque 6.3.3 Si la déformation M donnée dans le corollaire ci-dessus est maximale, alors les résultats de Kojima dans [Koj] permettent d’assurer que L = 0 si et
seulement si L
.
6. Applications
6.4
87
Volume de Représentation
Rappelons rapidement la dé…nition de volume de représentations et quelques de ses
propriétés. On renvoi le lecteur intéréssé à [Fra] et [Dun] pour les detailles. On remarque
que l’hypothèse d’irréductibilité sur M n’est pas necéssaire pour ces dé…nitions.
Notons
de
=
1
t ::: t
k
et considérons un voisinage ouverte U = U1 t : : : t Uk
, où chaque Ui est un voisinage de
des structures produit
cuspidaux de M
1
et Vij t
T2
i
homéomorphe à un tore solide. Fixons
T2
[0; 1) i sur les ouverts Ui = Ui
appelées les bouts
^ !M
. On note : M
le revêtement universel de M
[0; 1)
ij
1 (U ).
i
les composantes de
Dé…nition 6.4.1 Etant donnée une représentation 2 R(M
), une application
3
^
di¤ érentiable par morceaux d : M
! H qui preserve l’orientation est appelé une
pseudo-développante pour
si elle satisfait :
i. d est equivariante par
(voir 2.3),
ii. Il existe ro 2 [0; 1) tel que, pour tout (p; r0 )ij 2 Vij , la courbe
t 2 [ro ; 1) 7 ! d (p; t)ij 2 H3
est une geodesique de H3 parametré par longueur d’arc. De plus, il existe des
points
ij
2 @H3 (dependent seulement des indices i et j), tels ques
lim d (p; t)ij =
t!1
ij
2 @H3 .
On note !d l’unique forme di¤ érentielle de degré 3 sur M
d VH3 , où VH3 est la forme volume de
Z
V olM ( ) =
H3 .
M
où R
qui satisfait
Le volume de 2 R(M
Z
!d = d VH3 < 1 ,
!d =
) est dé…ni par
R
^ est une région fondamentale pour l’action de
M
1 (M
^.
) sur M
On remarque qu’il existe toujours une application pseudo-développante pour une
représentations
2 R(M
) donnée et que le volume d’une représentation ne dépend
pas de l’application pseudo-développante choisi. Le résultat suivant présente quelques
propriétés de la foction volume
V olM
: R(M
Proposition 6.4.2 La fonction V olM
vantes
) ! R+ .
est continue et satisfait les propriétés sui-
6. Applications
i: V olM
88
( ) = 0, pour toute représentation
ii: la fonction V olM
V olM
2 R (M
se factorise au quotient R (M
( ) = V olM
) réductible,
) =P SL2 (C). C’est-à-dire,
(A: ), pour toute représentation
élément A 2 P SL2 (C).
2 R(M
) et tout
iii: Soient N une variété di¤ érentiable fermée, orientable et de dimension 3, et
un
entrelacs plongé dans N . Supposons qu’il existe un di¤ éomorphisme f : (N; ) !
(M; ), alors
V olM
pour toute représentation
( ) = V olN
2 R (M
(
f ),
).
Les deux propositions suivantes concernent à des propriétés essentielles des volumes
de représentations pour les applications données. La première relie la notion de volume
de représentations à l’operation de remplissage de Dehn. On remarque qu’une version
de la première pour les variétés fermées apparait sans démonstration complète dans
[Dun]. La deuxième identi…e le volume d’une variété hyperbolique conique au volume de
son holonomie. Pour être complet, on presente leurs démonstrations dans l’appendice
de ce manuscrit.
Proposition 6.4.3 Etant donné une variété di¤ érentiable W avec bord de tores compact, orientable et de dimension 3, soit M une variété fermé obtenue par remplissage
de Dehn sur les composantes de bord W . Pour toute représentation
V olM ( ) = V olM
où
(
2 R (M ) on a
i ),
dénote l’union des âmes des tores ajoutés à W et i :
l’application canonique induite par l’inclusion i : M
1 (M
,! M .
)!
1 (M )
est
Proposition 6.4.4 Soient M une variété hyperbolique conique de type topologique
(M; ) et
M
2 R(M
) une représentation d’holonomie pour M. Alors
V ol(M
où V ol(M
) = V olM
) est le volume riemannien de M
(
M ),
.
Comme conséquence des propositions ci-dessus, on a deux applications des résultats
du chapitre précédent concernant aux volumes des répresentations d’holonomie de
variétés hyperboliques coniques Mi :
6. Applications
89
Corollaire 6.4.5 Etant donnée une suite Mi de variétés hyperboliques coniques de
type topologique (M; ), soit
Si la suite
i
i
une suite de représentations d’holonomies associées.
converge vers une représentation
V olM
(
1)
1
2 R (M
= 0 (en particulier, si
1
) tel que
est réductible),
alors M est est …brée de Seifert ou Sol.
Preuve. D’après la proposition (6.4.4), on a
V ol (Mi ) = V olM
pour tout i 2 N. Comme la fonction V olM
est continue on a,
lim V ol (Mi ) = lim V olM
i!1
( i) ,
( i ) = V olM
i!1
(
1)
=0.
Alors, la suite Mi nécessairement s’e¤ondre et donc la conclusion découle des résultats
de la section précédent.
Corollaire 6.4.6 Supposons que la variété M a volume simplicial, noté kM k, nulle
et soit une suite
la suite
i
i
de représentations pour les variétés hyperboliques coniques Mi . Si
converge vers une représentation
1
satisfont tous
lim
i!1
ij
2 R (M
) et les angles coniques
=2 ,
alors M est …brée de Seifert ou Sol.
Preuve. Comme les angles coniques convergent vers 2 , on a
1 ([
pour tout méridien
représentation
par l’inclusion
1
de
]
))
1 (M
. Alors la représentation
2 R (M ) (c’est-à-dire
de M
1
=
1
1
2 R (M
, où
) se factorize à une
est l’application induite
dans M ). Comme le volume simplicial de M est nulle par
hypothèse, on a (voir [Fra]) V olM (
V olM
= 1P SL2 (C) ,
(
1)
1)
= V olM
= 0 et donc (proposition 6.4.3)
(
1
Alors l’assertion découle du corollaire précédent.
) = V olM (
1)
=0.
.
Annexe A
Complements sur les volumes de
représentations
A.1
Démonstration de la proposition 6.4.3
Notons
^ !M
:M
et
M
f ! M les revêtements universels de M
:M
et M respectivement. On rappelle un lemme élémentaire d’algèbre multilinéaire qui
sera utilisé dans la démonstration de la proposition :
Lemme A.1.1 Soient E, F n-spaces vectoriels, T : E ! F une application lineaire
et ! une n-forme lineaire alternée sur F . Si T n’est pas un isomorphisme alors T !
est nulle.
Preuve. (de la proposition 6.4.3) Soit U = M
W et considérons sur chaque
composante connexe Ul une paramétrisation non-injective T 2 [0; 1]
G
G
@W =
T 2 f0g l
et
=
T 2 f1g
l
l
telle que
l
En utilisant cette paramétrisation, on peut dé…nir une application f : M ! M
telle que
i: fjW : W ! M
ii: fjU : Ul !
l
l
est un di¤éomorphisme,
est une projection radial sur
f ((fzg
l,
c’est-à-dire, pour tout z 2 T 2 ,
[0; 1])l ) = f(z; 1)l g ,
iii: f est di¤érentiablement homotope à IdM . En particulier,
f = (IdM ) = Id
91
1M
A. Complements sur les volumes de représentations
92
où f et (IdM ) sont les applications au niveau des groupes fondamentaux induites par f et IdM respectivement.
f ! H3 une application pseudoFixons une représentation 2 R (M ) et soit d : M
f!M
f est une application telle que M fe = f
développante pour . Si fe : M
M , on
e
obtient que l’application df = d f est encore une application pseudo-développante
pour
car
f =
Id
1M
=
.
Par construction, la di¤erentielle de f n’est pas un isomorphisme sur les points de
U. Comme, pour tout point p 2 U,
!df (p) = (df (p)) !d (f (p)) ,
il découle du lemme (A.1.1) que !df est nulle sur U et donc
Z
Z
V olM ( ) =
!df =
!df .
M
(A.1)
W
f telle que M
^ ! M
Etant donné une application ei : M
^ ! H3
construir une application pseudo-développante di : M
1 (W ) (et donc ! = i !
à ce qu’elle coïncide avec df ei sur
d
d
i
^
M
#
M
ei
f
! M
#
i
! M
Assertion : La forme !di est nulle sur U
fe
, on peut
pour
i de façon
sur W ).
d
f
! M
! H3
#
f
f
ei = i
! M
.
Admetons que l’assertion est vraie. D’après (A.1), on obtient
Z
Z
Z
Z
V olM ( i ) =
!di =
!di =
i !df =
!df = V olM ( ).
M
Preuve de l’assertion : Comme
W
W
W
est une isométrie locale,
f et donc d M
di¤érentiable de dimension 1 plongée dans M
M
de courbes di¤erentiables. De plus, di
1 @W ,
1 @W
d
M
1(
M
1(
1(
) est variété
) est une union
) car, pour tout pe 2
A. Complements sur les volumes de représentations
M
et donc
fe ei (e
p) = (f
di (e
p) = df ei (e
p) = d
1 (U
Cela implique que di
1 (U
pe 2
M)
ei (e
p) = f ((i
93
) (e
p)) 2 f (@W )
fe ei (e
p) 2 d
M
1
( ) .
) est d’ intérieur vide et donc que, pour tout
), la di¤érentielle d(di ) (e
p) de di en pe, n’est pas un isomorphisme.
D’après le lemme (A.1.1), pour tout pe 2
1 (U
),
di VH3 (e
p) = d(di ) (e
p) VH3 (di (e
p))
est nulle. Comme
A.2
est une isométrie locale, on obtient que !di est nulle sur U
.
Démonstration de la proposition 6.4.4
Pour tout r > 0, considérons l’application pseudo-développante dr pour
de la façon suivant.
Soient Ui = T 2
[0; 1)
i
les bouts cuspidaux de M
et Vij = R2
M
dé…nie
[0; 1)
ij
^ associés. Considerons la variété di¤érentiable à bord toroidal
les bouts de M
S
Mr = M ( [ {nt int (Ui ))
et notons que
fr = M
^
M
S
Soient Sij le stabilisateur (par l’action de
i;j int (Vij ) .
1 (M
^ ) de chaque bout
) sur M
2 @H3 un point …xe du groupe M (Sij ). Etant donné une application
^ ! H3 pour M associée à M , dé…nissons l’application
développante dM : M
^ ! H3 par les propriétes suivantes :
dr : M
Vij et
ij
dr j g = d j g
Mr
Mr
Pour tout p 2 R2 , drj(fpg
H3 qui relie d (p; r)ij
Comme dr et
paramétrize (par longueur d’arc) la geodesique de
[r;1))ij
à
ij .
sont des isométries locales positives, la construction nous donne
que
!dr jM = VM jM
r
r
où VM est la forme volume de la structure riemannienne induite sur M
structure hyperbolique conique.
Le lemme ci-dessous se trouve dans [Fra] :
par la
A. Complements sur les volumes de représentations
94
Lemme A.2.1 Soient une représentation 2 R(M
), une application pseudo3
^
développante d : M
! H et r 2 [0; 1). Fixons un boute cuspidal U = T 2 [0; 1)
et notons, pour tout t 2 [0; 1), At l’aire du tore T 2
de M
ftg avec la métrique
induite par d. Alors, pour tout t 2 [r; 1), on a
At
Ar
et r
Z
et
T 2 [r;1)
!d
Ar .
Preuve. Soit V = R2 [0; 1) une composante connexe de
supposons que lim d (p; t) = 1 2
p2
T 2.
t!1
1 (U).
Pour simpli…er,
@H3
dans le modèle du demi-espace, pour tout
R2
[0; 1) induite par d et considérons, pour
Notons par g la métrique sur
tout t 2 [r; 1), les applications
dt : (x; y) 2 R2 7 ! d(x; y; t) 2 H3 .
Le comportement de d sur V nous permet de dé…nir a; b : R2 ! R et h : R2 ! R+
telles que, pour tout (x; y) 2 R2 et pour tout t 2 [r; 1),
dr (x; y) = (a(x; y); b(x; y); h(x; y))
dt (x; y) = a(x; y); b(x; y); h(x; y)et
et
r
.
Pour tout t 2 [r; 1), notons par g t la métrique sur R2 induite par dt . Alors, pour
tout (x; y) 2 R2 et pour tout v1 ; v2 2 T(x;y) R2
t
g(x;y)
(v1 ; v2 ) =
hdd (x; y; t) (v1 ; 0) ; dd (x; y; t) (v2 ; 0)i
h(x; y)2 e2(t r)
et donc, pour tout t 2 [r; 1), le coe¢ cient de la forme volume de R2 ; g t est donné
par
t (x; y)
A¢ rmation :
=
s
t (x; y)
k@x dt (x; y)k2 k@y dt (x; y)k2 h@x dt (x; y); @y dt (x; y)i
.
h(x; y)4 e4(t r)
1
et r
r (x; y),
pour tout (x; y) 2 R2 et t 2 [r; 1).
Preuve : Comme
k@x dt (x; y)k2 = @x a(x; y)2 + @x b(x; y)2 + e2(t
et
h@x dt ; @y dt i = @x a @y a + @x b @y b + e2(t
on a
k@x dt k2 k@y dt k2
h@x dt ; @y dt i
e2(t
r)
r)
r)
h
@x h(x; y)2
@x h@y h
e2(t
k@x dr k2 k@y dr k2
e2(t
r)
r)
k@x dr (x; y)k2
h@x dr ; @y dr i ,
i
h@x dr ; @y dr i .
A. Complements sur les volumes de représentations
95
Alors, pour tout (x; y) 2 R2 et t 2 [r; 1), on obtient
1
t (x; y)
et r
r (x; y)
R2 un domaine tel que, pour tout t 2 [r; 1), R
Fixons R
soient des domaines fondamentaux pour l’action de
R2
.
[t; 1) et Rt = R
1 (M
R2
) sur
ftg respectivement. Pour tout t 2 (r; 1) on a
ZZ
ZZ
1
1
At =
to (x; y) dx dy
r (x; y) dx dy = t r Ar .
t
r
e
e
R
R
et donc
Z
T 2 [r;1)
=
!d
ZZZ
t (x; y)
Z
dx dy dt =
R [r;1)
Ar
Z
[t; 1) et
At dt
[r;1)
r t
e
ftg
dt = Ar lim
Z
0
t!1 r t
[r;1)
eu du = Ar
Maintenant nous sommes en position de démontrer la proposition :
Preuve. (de la proposition 6.4.4) Pour tout (r; i) 2 [0; 1)
l’aire du tore
T2
frg
i
f1; : : : ; kg, notons Ar;i
avec la métrique induite par dM et . La métrique autour
de la singularité permet de garantir que
lim
r!1
k
X
Ar;i = 0.
i=1
D’après le lemme précedent on a
V olM
(
M)
=
Z
!dr
V ol (Mr ) +
M
k Z
X
i=1
(T 2 [r;1))i
!dr ,
pour tout r 2 [0; 1). Alors
0
jV olM
( )
V ol (Mr )j
k Z
X
i=1
(T 2 [r;1))i
!dr
i=1
et donc
V ol (M
) = lim V ol (Mr ) = V olM
r!1
k
X
( ) .
Ar;i
.
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