Enoncé et corrigé

Devoir n˚3
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Devoir n˚3
I)
5 points
On souhaite effectuer une comparaison des capacités physiques de deux joueurs de football. On a relevé les distances parcourues par ces joueurs durant le dernier championnat.
8 8,5 9 9,5 10 10,5
Distance (en km)
Joueur 2 :
Nombre de matchs (en km) 0
8
14
7
7
1
8 8,5
Distance (en km)
Nombre de matchs (en km) 8
7
Attention : le joueur appelé 1 est en deuxième.
Joueur 1 :
9
4
9,5
10
10
2
10,5
8
1. Représenter sur un même graphique les nuages de points associés
Pour bien voir les différences, on a tracé les courbes, mais ce n’est pas nécessaire.
Le joueur 1 est en bleu, le joueur 2 en rouge.
Rang du quartile Q3 : 28 (car 37 × 3/4 = 27, 75). Donc Q3 = 9, 5.
Ecart interquartile : Q3 − Q1 = 0, 5
3. En quoi ces deux joueurs se distinguent-ils ?
Leurs moyennes sont comparables (9,19 et 9, 22). Mais le joueur 1 a un écart interquartile plus important, ce qui veut dire que ses distances de courses sont plus
variables.
Le joueur 2 parcourt entre 9 et 9,5 km la moitié du temps. Il reste très proche de
sa moyenne 9,22.
Le joueur 1 effectue des parcours plus variables. La moitié du temps, il varie entre
8,5 et 10.
On peut résumer cela en disant que le joueur 2 est plus régulier.
On peut remarquer que les statistiques ne portent pas sur le même nombre de
matchs, mais cela ne renseigne pas sur les joueurs.
II)
2. Pour chacun des deux joueurs, déterminer la moyenne et l’écart interquartile (c’està-dire Q3 − Q1 )
– • Joueur 1 :
Effectif total : 39.
Moyenne : 9,19
Rang du quartile Q1 : 10 (car 37/4 = 9, 75). Donc Q1 = 8, 5.
Rang du quartile Q3 : 30 (car 37 × 3/4 = 29, 25). Donc Q3 = 10.
Ecart interquartile : Q3 − Q1 = 1, 5
– • Joueur 2 :
Effectif total : 37.
Moyenne : 9,22
Rang du quartile Q1 : 10 (car 37/4 = 9, 25). Donc Q1 = 9.
3 points
1. Les instructions successives vont provoquer les effets suivantes :
N = 0; S = 0
i = 1 ; N = 0 + 12 ; S = 0 + 240 ; Affichage : 12 et 240
i = 2 ; N = 12 + 24 = 36 ; S = 240 + 1200 = 1440 Affichage : 36 et 1440
i = 3 ; N = 36 + 42 = 78 ; S = 1440 + 3360 = 4800 ; Affichage : 78 et 4800
i = 4 ; N = 78 + 71 = 149 ; S = 4800 + 7810 = 12610 ; Affichage : 149 et 12610
12610
Calcul final :
. Affichage final : 84, 63
149
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n4 x4
2. L’algorithme calcule finalement
n1 + n2 + n3 + n4
C’est la définition de la moyenne. Donc la moyenne des dépenses dans la situation
décrite est de 84,63 euros.
III)
4 points
Lors d’un calcul, un élève a obtenu pour une série statistique une moyenne égale à 8 et
un effectif total égal à 9. Son professeur lui signale qu’il a oublié une valeur et que la
Devoir n˚3
moyenne est en réalité égale à 7, 5.
1. La valeur oubliée est inférieure à 8 car sinon la moyenne serait supérieure à 8 et ne
pourrait pas être 7, 5
2. Appelons T le total trouvé par l’élève. Comme il a trouvé un effectif de 9 et une
T
moyenne de 8, c’est que
= 8, donc T = 8 × 9 = 72
9
Appelons x la valeur manquante.
72 + x
T +x
=
La véritable moyenne est
10
10
72 + x
Donc on doit résoudre l’équation :
= 7, 5, c’est-à-dire :
10
72 + x = 10 × 7, 5 = 75.
Donc x = 75 − 72 = 3
3. Sachant de plus que la médiane est 8,5 donner un exemple d’une série qui correspond
aux conditions.
Il faut choisir 10 valeurs, avec la moitié des valeurs inférieures à 8,5 et la moitié
supérieure à 8,5. Il faut de plus une moyenne de 7,5 c’est-à-dire un total de 75.
On peut essayer de faire un partage voisin de 30 + 45 par exemple.
On peut choisir 5 valeurs à peu près égales dans la moitié inférieure (à peu près
6), et 5 valeurs à peu près égales (9) dans la moitié supérieure. On ajuste quelques
valeurs pour vérifier les conditions
Par exemple : 3, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9
IV)
8 points
Voici les températures moyennes de Madrid et Washington, en degrés celsius, arrondies.
mois
j f m
a
m
j
j
a
s
o n d
Madrid
5 7 10 13 16 21 24 24 20 15 9 6
Washington 0 1 5 11 17 21 24 24 19 13 7 1
Pour les calculs de médianes et quartiles, il faut ordonner les données :
Madrid : 5, 6, 7, 9, 10, 13, 15, 16, 20, 21, 24, 24
Washington : 0,1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 24, 24
1. Pour chacune de ces deux villes :
a) calculer l’étendue de la série des températures
Madrid : 24 − 5 = 19
Washington : 24 − 0 = 24
b) Température moyenne annuelle :
Madrid : 14,17
Washington : 11,92
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c) déterminer la médiane de la série.
Il faut d’abord ranger les données en ordre croissant.
L’effectif est pair (12), donc on prend la moyenne des deux valeurs centrales :
13 + 15
= 14
Madrid :
2
11 + 13
= 12
Washington :
2
d) déterminer les quartiles Q1 et Q3 de la série
Ici l’effectif total est exactement divisible par 4, ce qui facilite les calculs.
Q1 est la 3ème valeur et Q3 est la 9ème.
Madrid : Q1 = 7 ; Q3 = 20
Washington : Q1 = 1 ; Q3 = 19
2. Complétez les phrases suivantes et justifiez vos réponses
a) « Il fait plus chaud à Madrid qu’à Washington »
On peut le voir avec les moyennes : 14, 17 > 11, 92
b) « Les écarts de température sont moindres à Madrid »
On peut le voir avec les étendues : 19 < 24
De plus l’écart interquartile Q3 − Q1 à Madrid est de 13 alors qu’il est de 18 à
Washington. Cela veut dire que, pendant la moitié de l’année, les écarts sont
moindres à Madrid.
c) « A Madrid, la moitié de l’année, il fait approximativement entre ... et ... »
Tout dépend de quelle moitié on parle, et si on parle simplement de durée en
tout ou de mois consécutifs.
Si la ville veut faire de la publicité en montrant qu’il ne fait pas trop froid, on
peut répondre de la manière suivante :
entre 15 et 24 (il s’agit des mois les plus chauds)
Si une ville concurrente veut faire du tort à Madrid :
entre 5 et 13 (les mois les plus froids)
Si on veut tenir compte un peu des deux, on peut choisir l’intervalle entre Q1
et Q3 :
entre 7 et 20
3. Les deux villes peuvent-elles affirmer : "Ici, la température est supérieure ou égale
à 13˚C pendant au moins la moitié de l’année" ? (justifier)
Oui, en interprétant "la moitié de l’année" comme : "6 mois sur 12". On le voit
sur les données triées ou d’après les calculs des médianes : dans chaque cas il y a 6
valeurs strictement supérieures à la médiane. Pour Madrid, la médiane est 14. Pour
Washington, la médiane est 12 mais la première valeur strictement supérieure à 12
est 13.
C’est vrai aussi si on parle de 6 mois consécutifs (de mai à octobre pour les deux
villes)