Activité kinesthésique - Eu-HOU

Ce#projet#a#été#financé#avec#le#soutien#de#la#Commission#européenne.Ce#document#n’engage#que#son#auteur#et#la#
Commission#n’est#pas#responsable#de#l’usage#qui#pourrait#être#fait#des#informations#qui#y#sont#contenues.#
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Guide!pour!construire!un!Orrery!à!échelle!humaine1!
Comment#se#promener#sur#les#orbites#du#Système#Solaire#
L’Orrery est une représentation des orbites des différents objets du Système Solaire (planètes,
astéroïdes, comète) à l’échelle. Il permet de montrer les orbites elliptiques, de prédire les positions
des planètes au cours du temps et de réaliser une modélisation dynamique du Système Solaire, où
les participants jouent le rôle des planètes. Ce guide indique les étapes à suivre pour construire un
Orrery à échelle humaine de manière simple, mais précise. L’origine des positions correspond au
1er janvier 2005. En marchant le long des orbites, par intervalle de temps de 16 jours, on ressent
directement les régularités, les différences de mouvement le long d’une orbite ou entre les orbites.
En particulier, on pourra vérifier les lois de Kepler, la conservation de l’énergie, ou des
configurations particulières (alignement, transit…).
Le matériel requis comporte : une feuille ou un carton qui permettra de positionner simplement le
soleil et les foyers des ellipses pour les différentes orbites (patron ou châssis) ; des cordes de
différentes longueurs permettant de tracer simplement les ellipses ; des craies pour tracer les
orbites ; des positions pour représenter les positions des planètes à différents instants.
Les tableaux résumant tous les nombres sont mis en annexe.
Toutes les distances sont données en mètre pour l’Orrery (ou planétaire) avec une échelle par
rapport au Système Solaire de 1 UA : 1m (1 UA = 149 597 870 700 m)
Préparation!
Une ellipse peut être décrite par ses deux foyers, la longueur de son grand rayon (demi-grand axe,
a), son excentricité (e). Les deux foyers sont distants d’une longueur 2ae ; le demi-petit axe, b, vaut
𝑏=𝑎!1−𝑒!. La figure 1 indique comment tracer une ellipse selon la méthode dite « du
jardinier ».
%
1 Ce guide est directement inspiré du guide en anglais rédigé par Erin Higgins (Thornhill College, Derry), Ryan O’Hare
Figure 1 : Principe
de construction
d’une ellipse. La
distance FM+LF’ est
constante pour tous
les points M et égale
à 2a.

1. Préparation du modèle : Le tableau 1 en annexe donne les directions des axes principaux des
ellipses par rapport au point vernal2 dans la constellation des Poissons, ainsi que la distance
entre les foyers (2ae) pour chaque orbite. Le Soleil est un des foyers de toutes les ellipses ; il est
placé au centre du modèle. La direction du point vernal est orientée vers la droite. L’angle3
(noté L dans le tableau) correspondant à chaque position est compté à partir de la direction du
point vernal, positivement dans le sens trigonométrique (anti-horaire) qui est le sens de
déplacement de toutes les planètes. Indiquez alors sur le modèle les directions des axes des
ellipses. Vous pouvez également vous servir de ce modèle comme un rapporteur.
La figure 2 ci-dessous montre la direction du second foyer des ellipses de chaque objet étudié
du Système Solaire par rapport au Soleil. La distance au second foyer est notée entre
parenthèses et les distances relatives pour chaque objet (à une échelle réduite) sont indiquées
par des points rouges sur chaque axe. Les valeurs de l’angle L sont indiquées également le long
du plus grand cercle.
2 Le point vernal est le point de l’équinoxe de printemps.
3 L est appelée la longitude écliptique héliocentrique.
Figure 2 : Direction du second foyer des orbites des objets du Système Solaire & distance entre les
foyers (en UA).

1. Préparation des cordes
Le tableau 1 en annexe donne les indications nécessaires pour construire les orbites des
planètes jusqu’à Saturne, ainsi que pour la comète Encke.
• Une corde, de longueur 4m, permet de marquer les positions des seconds foyers de
chaque ellipse. La distance entre 2 foyers est égale à 2ae. Cette valeur est fournie dans
le tableau 1.
• Pour chaque orbite, il faudra une corde ayant la longueur du grand axe (2a), plus une
marge d’au moins 20 cm. Elle servira à tracer l’ellipse, et également à placer les
positions des planètes au cours du temps le long de l’ellipse.
2. Tracé d’une orbite
• Placez une extrémité de la corde sur la position du Soleil, et alignez-la avec l’axe
correspondant à l’orbite choisie. Mettez alors une marque au sol correspondant à la
position du foyer.
• Prenez la corde correspondant à cette orbite. Pour tracer l'ellipse correspondante, deux
personnes tiennent un bout de la corde sur chaque foyer, et une troisième personne
tourne autour des foyers, en maintenant la corde tendue. Le résultat ressemblera à la
figure 3.
• Les maquettes fournies en annexe pour chaque planète donnent les directions de la
position de la planète à des instants séparés par un nombre de jours terrestres constant.
Les planètes avancent dans la direction anti-horaire. Indiquez sur le numéro (ou lettre)
de chaque position (et éventuellement le nombre de jours correspondant).
Figure 3 : Tracé des orbites des différentes planètes (+comète Encke) jusqu’à Jupiter
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Utilisation!de!l’Orrery!
L’observation de l’Orrery permet de retrouver les trois lois de Kepler. Ces lois ont pour but
d’expliquer l’observation des mouvements des planètes. Ces lois particulières peuvent s’inscrire
dans le cadre plus général de la loi de gravitation formulée par Newton. L’Orrery permet ainsi de
retrouver l’idée de conservation de l’énergie.
Prise de données e.g. pour la comète Encke :
Numéro (ou lettre) de la
position
Distance moyenne
au Soleil
Longueur parcourue
Vitesse
1ère%loi%de%Kepler%:%les%orbites%des%planètes%sont%des%ellipses%%
En construisant l’Orrery, ou simplement en le regardant, le caractère elliptique des orbites est
apparent. Dans un premier temps, il faut comprendre comment marcher le long des orbites en
suivant les positions indiquées. Pendant que l’enseignant ou l’animateur donne un rythme régulier,
correspondant à 16 jours, les participants avancent de positions en positions. Il faut faire attention
au cas particulier de Jupiter (pas de temps 160 jours) et de Encke (pas de temps de 80 jours).
La plupart des orbites sont presque circulaires, et le Soleil est au centre de l’orbite. L’orbite de la
comète Encke montre clairement le caractère elliptique des orbites. Vous pouvez regarder, par
exemple, l’évolution de la distance entre les positions et de la distance au Soleil le long de l’orbite.
Vous pouvez alors remplir le tableau ci-dessus pour la comète Encke, en indiquant pour plusieurs
paires de positions, la distance moyenne au Soleil, la distance entre deux positions (ou longueur
parcourue), et la vitesse associée. Vous pouvez alors discuter de l’évolution de la vitesse en
fonction de la distance au Soleil. Regardez ensuite les orbites d’autres planètes, Jupiter et la Terre
par exemple, pour voir si votre discussion était correcte.
2ème%loi%de%Kepler%:%loi%des%aires%
Nous avons déjà vu que les vitesses des planètes varient le
long de l’orbite. Plus elles sont loin du Soleil, plus elles vont
lentement. Kepler conjectura alors que l’aire balayée par la
planète dans une période de temps constante ne varie pas. La
figure de droite montre deux aires ASB et SCD balayées
pendant un intervalle de temps t. Ces deux aires sont donc
égales selon la deuxième loi de Kepler. Dans le cas de
l’Orrery, on considèrera deux positions consécutifs,
correspondant à un intervalle de temps est de 16 jours (80
jours pour Encke et 160 jours pour Jupiter).
La mesure de l’aire balayée pour une ellipse n’est pas simple. Mais on peut supposer ici que la
portion d’ellipse entre A et B (ou entre C et D) est quasiment circulaire, en utilisant le rayon moyen.
Pour un cercle de circonférence 2𝜋𝑅 et de surface!𝜋𝑅!, l’aire d’un secteur de longueur d’arc s, est
exactement : !
!!"
𝜋𝑅!=!!"
!. Cette relation est une approximation raisonnable dans le cas de l’ellipse
pour une petite longueur s. Pouvez-vous vérifier cette loi avec vos mesures précédentes ?

3ème%loi%de%Kepler%
En utilisant le nombre de positions le long de l’orbite et en estimant un rayon moyen pour chaque
planète, tracez le graphe de 𝑇!!𝑒𝑛!𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛!𝑑𝑒!𝑟!. Si la troisième loi de Kepler est vérifiée, vous
devez obtenir une ligne droite passant par l’origine.
Conservation%de%l’énergie%
Lorsque Kepler trouva sa deuxième loi, il comprit que cela impliquait l’existence d’une force
exercée sur la planète constamment dirigée vers le Soleil. Il écrivit à un collègue : « Une chose est
certaine : du Soleil émane une force qui saisit la planète ».
La forme Newtonienne des lois de Kepler correspond à la conservation de l’énergie. Sur l’ensemble
de l’orbite, la somme de l’énergie potentielle associée à cette force et de l’énergie cinétique est
conservée. Ainsi, le carré de la vitesse en fonction de la distance au Soleil doit être de la forme,
𝑓𝑟=!
!. Vous pouvez tracer le graphe 𝑣!!𝑒𝑛!𝑓𝑜𝑛𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛!𝑑𝑒!1/𝑟 dans le cas d’une orbite très
allongée.
Rotation%et%détection%d’exoplanètes%
Il peut être intéressant de montrer la différence entre la rotation d’un corps rigide et la rotation
Képlerienne observée dans le Système Solaire. Pour cela, placez plusieurs personnes sur 4 axes
autour du Soleil. Tapez régulièrement dans vos mains, et demandez à la personne sur l’orbite de
Mercure d’avancer jusqu’à la marque suivante. Les autres personnes doivent rester alignées. Il
apparaît alors que les personnes les plus éloignées vont beaucoup plus vite.
L’étude de la troisième loi, ou de la conservation de l’énergie a montré que la vitesse diminue avec
le rayon dans le cas du mouvement Képlerien. On se rend également compte de la variation de la
vitesse en avançant le long des orbites selon les positions indiquées comme expliqué plus haut.
% %
Planète
extrasolaire
Etoile
Planète extrasolaire et étoile
vue du dessus
(Pas à l’échelle)
Planète
extrasolaire
Planète extrasolaire et étoile
vues par la tranche de
l’orbite. (pas à l’échelle)
Etoile
.
.
Centre de masse
Centre de masse
Observateur
Temps
Vitesse radiale
Observateur