Notes de Cours PS 91 Forces I. Forces `a distance

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PS91
Notes de Cours PS 91
Forces
I. Forces à distance
I. 1 Attraction gravitationnelle
Deux corps ponctuels de masses respectives mA et mB s’attirent avec des forces de mêmes valeurs
(mais vectoriellement opposées), proportionnelles à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par A et
B. La force exercée par A sur B s’écrit
~A/B = −G mA mB ~ur
F
r2
−−
→
où ~r = AB et ~ur est le vecteur unitaire de A vers B : ~ur = ~r/r où r = k~rk. La constante
gravitationnelle vaut G = 6, 6742 × 10−11 N.m2 .kg−2 . On peut généraliser pour un système S de
masses ponctuelles mi , i = 1, 2, 3 . . . et la force exercée par le système sur un corps ponctuel A vaut
alors
X mA mi
X mi
~S/A = −
F
G
~uri = mA~g où ~g = −
G 2 ~uri
2
r
ri
i
i
i
est le champ de gravité au point A. Si le système de masse m est une sphère homogène (densité
volumique constante) de centre O, alors la force exercée sur A a pour direction la droite passant par
O et A et
m
F~S/A = mA~g où ~g = −G 2 ~ur
r
−→
où ~r = OA et ~ur est le vecteur unitaire de O vers A. Par exemple, à la surface de la Terre :
k~g k = 9, 81m.s−2 .
m1
m2
~r1
~r2
A
m3
~r
~r3
A
O
~r4
m4
Figure 1 – Champ de gravité en A dû à un système de masses ponctuelles (à gauche) et une sphère
homogène de centre O (à droite).
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I. 2 Force électromagnétique
Force électrostatique de Coulomb
Toute charge qA au point A exerce sur une charge qB au point B immobile une force,
appelée force de Coulomb de la forme :
~A/B =
F
1 qA qB
~ur
4πε0 r 2
où ε0 = 8, 854 × 10−12 F.m−1 est la permittivité électrique dans le vide.
Ainsi la force est attractive si qA qB < 0 et répulsive si qA qB > 0. On peut généraliser pour un
système S de charges ponctuelles qi , i = 1, 2, 3 . . . et la force exercée par le système sur A vaut alors
~S/A =
F
X
i
1 qA qi
~
~uri = qA E
4πε0 ri2
où
~ =
E
1 X qi
~ur
4πε0
ri2 i
i
est le champ électrique au point A crée par l’ensemble des charges qi .
Figure 2 – Lignes de champ d’un dipôle électrique (à gauche) et produites par deux charges positives
2q et q (à droite).
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Force magnétique
Force s’exerçant sur une particule chargée q animée d’une vitesse ~v en présence d’un
~ (en Tesla) :
champ magnétique B
~ = q~v ∧ B
~
F
Conséquence : la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse et au champ magnétique.
Figure 3 – Action de la force magnétique sur une particule animée d’une vitesse initiale horizontale.
Force de Lorentz
Force s’exerçant sur une particule chargée q animée d’une vitesse ~v en présence d’un
~ B)
~ :
champ électromagnétique (E,
~ = q(E
~ + ~v ∧ B)
~
F
I. 3 Intéraction nucléaire
L’interaction forte est responsable de la cohésion du noyau. Sans elle, les forces de répulsions
électromagnétiques entre protons feraient éclater le noyau. La portée de l’interaction forte est d’environ 10−15 m, c’est-à-dire la taille d’un noyau atomique. C’est cent fois plus que l’interaction faible,
mais négligeable devant les portées infinies de la gravitation et de l’interaction électromagnétique.
L’interaction forte est la plus forte des interactions fondamentales. Sa constante de couplage est
environ cent fois plus grande que celle de l’interaction électromagnétique, un million de fois plus que
celle de l’interaction faible, et 1039 fois plus que celle de la gravitation.
L’interaction faible est responsable de la désintégration radioactive de particules subatomiques et
est à l’origine de la fusion nucléaire dans les étoiles. Cette force fondamentale est la plus faible des
interactions non gravitationnelles. Aux énergies habituellement considérées en physique nucléaire, on
la modélise par une interaction effective simplifiée (force de Fermi) dont la constante de couplage est
environ 10 000 fois moindre que celle de l’interaction électromagnétique et 1 000 000 fois moindre que
celle de l’interaction nucléaire forte. Cela s’explique entre autres par le fait que son champ d’action
est très limité.
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II. Forces de contact
II. 1 Contact entre solide : force de frottement sec
Le frottement représente l’action d’une surface rigide sur un solide, action qui s’oppose
au mouvement du solide par rapport à la surface. La force exercée par la surface sur le
~ et la force de frottement f~ :
solide est la somme de la réaction normale N
~ =N
~ + f~
R
~
R
~
N
~v
f~
Figure 4 – Force de frottement.
L’expérience montre qu’il faut distinguer deux cas : le cas statique ~v = 0 et le cas dynamique ~v 6= 0.
Force de frottement dynamique
La loi de Coulomb dynamique des frottements (déduite des observations) s’écrit :
~ k ~v
f~ = −µd kN
k~v k
où ~v désigne la vitesse relative du point de contact du solide par rapport à la surface et µd est le
coefficient de frottement dynamique qui dépend de la température et l’état de surface de contact et
de la nature des surfaces.
Force de frottement statique
Si on exerce sur un corps immobile une force F~ext d’intensité croissante, l’expérience montre que
~ext k ≤ f max (force d’arrachement), le corps reste immobile. Dans ce cas, on observe que
tant que kF
~ k = f max
kf~k ≤ µs kN
où µs est le coefficient de frottement statique qui dépend de la nature et de l’état des surfaces en
contact. En général µs ≥ µd .
Condition de contact et décollement
~ = N~n où ~n est le vecteur unitaire normal à la paroi
On peut toujours écrire l’effort normal : N
orienté vesr le corps et N ≥ 0. La condition de décollement est donnée par N = 0. En pratique,
on cherche, sous l’hypothèse qu’il y a contact, à quelle condition N < 0, ce qui est physiquement
inacceptable et siginifie que l’hypothèse n’est plus valable.
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II. 2 Contact entre solide et fluide
Force de pression
Les molécules constituant un fluide (gaz ou liquide) sont en perpétuel mouvement. Les
particules bougent sans cesse, dans toutes les directions et au gré des chocs. La pression
p est la force moyenne par unité de surface due aux particules venant frapper une paroi.
Ainsi un solide ou une surface δS en contact avec un fluide subit une force dirigée selon
la normale ~n à la surface :
δF~p = p δS~n
Il faut noter que la pression peut ne pas être constante dans le fluide et dépend du point M ou elle
s’applique, on note p = p(M ). Dans le cas d’une surface plane S soumise à une pression constante
alors on a simplement F~p = p S~n. La pression se mesure en Pascal (Pa) et 1 Pa = 10−5 bar = 1
N.m−2 .
Bouteille de gaz : Une bouteille de volume V est remplie d’un gaz maintenu à la température T
(en Kelvin (K)). La pression à l’intérieur de la bouteille est constante et vérifie l’équation des gaz
parfaits :
pV = nRT
où R = 8, 3144621J.K−1 .mol−1 et n est la quantité de matière (en mole).
Barrage hydraulique : A la profondeur h par rapport à la surface libre, la pression de l’eau dans le
barrage vérifie la relation fondamentale de la statique :
p(h) = p0 + ρe gh
où p0 est la pression atmosphérique (environ 1 bar) et ρe est la masse volumique de l’eau (ρe ≈
1000kg.m−3 ). La force résultante sur l’ensemble du barrage est donnée par l’intégrale de surface
Z
~
Fp =
p(h)~n dS
barrage
Poussée d’Archimède :
Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant
sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids
du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède. Le point
d’application de cette force est le centre ce masse du fluide déplacé.
bouteille de gaz
sous pression
barrage hydraulique
Figure 5 – Illustrations.
5
poussée d’Archimède
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Frottement fluide et force de traı̂née
Un frottement fluide est une force de frottement qui s’exerce sur un objet qui se déplace dans
un fluide ; elle dépend de la vitesse relative ~v de l’objet et du fluide. L’exemple typique est celui
d’une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluide
qui s’exerce sur elle est importante, jusqu’à ce que soit atteint un régime d’équilibre où la force de
frottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante.
Loi linéaire pour les faibles vitesses : Dans ce cas, l’écoulement est dit rampant et la force de
traı̂née F~ est due uniquement aux phénomène visqueux, on a
F~ = −kµ~v
où k est un coefficient dépendant de la forme de l’objet et µ la viscosité dynamique du fluide.
Loi quadratique pour les fortes vitesses : Dans ce cas la force de traı̂née est en grande partie due
à la différence de pression entre l’avant et l’arrière de l’objet, on a
1
F~ = − Cx ρSk~v k~v
2
où Cx est le coefficient de traı̂née dépendant de la forme de l’objet, ρ la masse volumique du fluide
et S est l’aire de projection de l’objet sur un plan perpendiculaire à la vitesse.
Figure 6 – Ecoulement d’air autour d’un objet : à gauche l’écoulement est rampant et la force de
traı̂née suit une loi linéaire ; à droite l’écoulement est turbulent à l’arrière de l’objet et la force de
traı̂née suit une loi quadratique.
Objet
Cx
disque
sphère
demi-sphère + cône
aile d’avion
1,32
0,45
0,04
0,03
Table 1 – Valeur du coefficient de traı̂née (sans dimension) en fonction de la forme de l’objet.
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III Forces dans les systèmes mécaniques
Fil inextensible
Le fil inextensible peut être vu comme un ressort de raideur infinie. Lorsqu’il est accroché à un solide,
il transmet un effort dont le point d’application est le point d’attache du fil sur le solide et dont
la direction est portée par le fil. L’amplitude de l’effort transmis dépend des équations d’équilibre.
Attention : si c’est une tige qui remplace le fil, l’effort transmis peut avoir une direction quelconque
(y compris dans une direction autre que celle de la tige).
point d’attache
point d’attache
poulie
tige
fil tendu
T~2
~
R
T~
T~1
solide
solide
Figure 7 – Pour un fil tendu, la direction de la force est portée par le fil, ce n’est pas forcément
vrai pour une tige rigide (ceci est dû à la masse de la tige). Dans le cas de la poulie, la tension du
fil est constante kT~1 k = kT~2 k si (i) le fil glisse sans frottement ou bien (ii) si le fil ne glisse pas et
entraı̂ne ainsi la poulie de masse négligeable.
Ressort
Un ressort linéaire est caractérisé par sa raideur k (en N/m) et sa longueur à vide l0 . Lorsqu’un
ressort est attaché à un système mécanique, il transmet une force de rappel telle que : son point
d’application est le point d’accroche du ressort, sa direction est celle du ressort, son sens est tel que
le ressort tend à revenir à sa longueur au repos, son amplitude est proportionnelle à l’allongement
l − l0 du ressort (l étant la longueur du ressort) :
F~ = −k(l − l0 )~ex
l0
l
~ex
l
Figure 8 – Ressort.
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