chapitre 4

CHAPITRE 4
FORMES PARTICULIERES ET APPLICATIONS DES EQUATIONS
DE BASE DE LA MECANIQUE DES FLUIDES
Nous considérons, dans ce chapitre, les relations usuelles de la
Mécanique des Fluides obtenues en introduisant, dans les expressions tra-
duisant la conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie, les
relations de comportement des fluides newtoniens et des fluides parfaits.
Les relations ainsi obtenues nous conduiront aux formes habituel-
les des équations de là dynamique des fluides - équations d'EULER et de
NAVIER-STOKES - et, par intégration, aux relations de BERNOULLI, SAINT-
VENANT, ... qui permettent de traiter simplement un nombre important des
problèmes usuels de la pratique industrielle courante.
Il en sera de même pour la relation exprimant la conservation de
l'énergie, relation dont la forme dépend des variables thermodynamiques
utilisées et aussi des hypothèses simplificatrices qui peuvent être faites
(écoulements isotherme, adiabatique, isentropique, etc.).
© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- 4.2 -
4,1 , RELATIONS LIEES AU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA
QUANTITE DE MOUVEMENT
4.1.1 FLUIDES NEWTONlENS
4.1.1.1 Rela^ion^_genérales
Si l'on introduit la pression p et le tenseur T des contraintes
visqueuses de composantes T.,, la relation 3.17 devient
dui
8
9Ti'
P
cfti 3x. 3x.
soit sous forme vectorielle
->
P
ÏÏt" * ^ "
grac* p
*
div
" (*•! >
Cette relation montre que, par unité de volume, la quantité
d'accélération d'une particule fluide est égale à la résultante des forces de :
- volume (ou de champ) : f
- pression : - grad p
- viscosité : div T traduisant le "frottement fluide".
- f'-rme ïntrïnsèque
Si la position de la particule fluide est repérée par son abscis-
se curviligne s(t) le long de sa trajectoire T sur laquelle une orientation
a été choisie, on a u = ut, avec u = — et t tangente orientée de T. Comme
"*"/ \ -> d t
^p- = ^, la relation (4.1) s'écrit :
ds R
p du *
+ pu2
| . J _ ^J
p + djy
- (4.2)
Q t K
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- 4,3 -
d'où, en projection sur la tangente t, la normale n et la binormale b à la
trajectoire (triëdre de Serret Frenet), les trois relations scalaires,
>!r*-!i=ft-!f^ft
'ÎT-*n~ï**f
n
° =
fb-t
+
\
La projection suivant n, 2ième relation » met en évidence la rela-
tion entre la composante normale des forces extérieures et de frottement, le
gradient de pression dans cette direction et la "force" centrifuge (accélé-
ration normale) liée au rayon de courbure R de la trajectoire.
4.1.1.2. Statique des_fluides
Si le fluide est en équilibre, c'est-à-dire au repos (u = 0) par
rapport à un repère donné, les contraintes d'origine visqueuse s'annulant
avec la vitesse, 1 = 0, on obtient la relation fondamentale de la statique
des fluides
f - grad P (4.3)
traduisant le fait que :
Dana un fluide newtonien en équilibre, les forces volumiques déri-
vent d'un potentiel*
proposition qui est évidemment vraie, a fortiori, pour un fluide parfait.
Le fait que, pour qu'il y ait équilibre les forces de volume
doivent dériver d'un potentiel, c'est à dire,
-> -* \
f « - grad V
conduit à la relation de base :
p + V - constante (4.4)
traduisant le fait que, dans un fluide en équilibre, les surfaces isobares
(p = este) sont des surfaces équipotentielles (v = este).
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- 4.4 -
A
~ S^ât^gue_d^s_fJ_u|des_|ncomQressjbj_es_ou_hYdrostat]_gue
- dans le champ de pesanteur
Prenons un système d'axes Oxyz, où
z est dirigé suivant la verticale ascendante
f = pg et V = pgz
d'où la relation fondamentale
p + pgz = este
On en déduit que :
. les surfaces isobares sont des
plans horizontaux,
. la surface libre des liquides est une surface horizontale
(pression atmosphérique = este), d'où le principe des vases communicants,
. la différence des pressions entre deux points A et B d'un li-
quide rie dépend que de la différence de leur cqte z - z
PA
+
pg ZA
=
PB *
pg ZB
d'où PA - PB
=
Ps
(ZB -
ZA)
d'où le principe de Pascal selon lequel les pressions se transmettent inté-
gralement (si + Ap en un point, + Ap en tout pcjint du fluide) - expérience
du tonneau de Pascal.
Applications pratiques :
. presse hydraulique, balance manométrique, ...
. manomètre différentiel à tube en U.
~ dans un champ de force quelconque (mais dérivant d'un potentiel)
On a, dans ce cas, en admettant que les forces de pesanteur sont
toujours présentes, ï = pg + f, où ?' représente les autres forces volumi-
ques appliquées.
On en déduit
pg + f' = grad p
d'où f' = grad (p + Pgz)
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- 4.5 -
*
ou encore en posant p = p + pgz
f' = grad p
Les forces f peuvent être d'origine électrique, magnétique
(exemple i pompe magnétique, balance de Cotton), mais, le plus souvent, ce
sont des "forces" d'inertie qui apparaissent lorsque l'on exprime l'équili-
bre dans un repère en mouvement non uniforme par rapport à un repère fixe
(repère galiléen).
•*• ^
Le plus souvent les forces ff dérivent d'un potentiel V et l'on
a une relation analogue à (4.8),
* ^
p + 7* = constante
Exemples :
->• , •*•• ->
•*• Récipient soumis à une accélération ye constante suivant Ox : f = - pye
(force d'inertie d'entraînement) et 7' = p'jyjx.
- Vase en rotation uniforme : ?' = pw2r (force centrifuge) et V' *~ P^2y
B
~ §ÎËÎl9y®-^êË l'yides_compressib!es
La relation fondamentale P +V = este s'applique toujpurs, mais,
du fait de la variation de p avec, notamment, la pression, l'expression du
potentiel est en général plus complexe et l'on doit souvent revenir à la
forme différentielle :
dp + dV = 0
où dV peut être exprimé en fonction du travail des forces extérieures pour
un déplacement dM, sous la forme :
dv « - î.dM .
a) Cas des forces de pesanteur
Dans le cas particulier où les forces de volume sont les forces
de pesanteur, on a :
? - Pg ,
d'où dV * pgdz ,
ce qui conduit à la relation différentielle :
dp + pgdz = 0 .
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