Chapitre 9 - Ecoulement non stationnaire - en conduite

CHAPITRE 9
ECOULEMENT NON STATIQNNAIRE, EN CONDUITE,
DE FLUIDE COMPRESSIBLE
© [E.RIEUTORD], [1985], INSA de Lyon, tous droits réservés.

- IX.1 -
ECOULEMENT NON STATIONNAI RE, EN CONDUITE, DE FLUIDE COMPRESSIBLE
Lorsque, dans un réseau de canalisations véhiculant un fluide, on
modifie localement les conditions d'écoulement (mise en route ou arrêt
d'une pompe, manoeuvre d'une vanne, etc.), on introduit dans le fluide une
discontinuité portant sur les paramètres eux-mêmes (pression, vitesse) ou
sur leurs dérivées (-r£, -^, etc.)- En raison de l'élasticité du milieu
dt ox
(fluide+conduite , cette discontinuité se propage de proche en proche avec
une célérité souvent élevée, affectant ainsi rapidement une zone étendue de
l'écoulement considéré.
Cette perturbation, dont l'amplitude peut être importante et qui
se propage, est communément appelée onde» En hydraulique, c'est souvent
sous le vocable de coup de bélier que l'on regroupe l'ensemble de ces phé-
nomènes, cette désignation ayant pour origine les variations de pression
extrêmement brutales qui sont souvent observées.
De par leur nature, et hormis les cas particuliers de résonance,
les phénomènes liés à l'élasticité du milieu s'amortissent rapidement
(quelques aller et retour d'onde), conduisant soit à un nouveau régime per-
manent, soit, en présence de surface déformable (surface libre par exemple)
ou encore de volume, de grandes dimensions (réservoir d'air comprimé, ...) à
des mouvements d'ensemble le plus souvent de caractère oscillatoire que
l'on peut analyser directement en faisant abstraction de lfélasticité du
milieu.
Dès lors, l'étude des régimes transitoires peut être traitée :
- soit de façon générale avec prise en compte de l'élasticité du
milieu, ce qui conduit à une évaluation précise des paramètres (pression,
vitesse, etc.) en chaque point du fluide et quel que soit l'instant consi-
déré,
- soit de façon simplifiée en supposant le fluide incompressible
et la conduite indéformable, d'où une estimation de valeurs moyennes,
concernant les mouvements dfensemble des domaines fluides considérés.
Dans le présent chapitre, nous traiterons principalement du cas
général et des méthodes de résolution associées. Le cas particulier du
fluide incompressible correspondant au "mouvement en masse" ne sera exami-
né que brièvement à propos de quelques exemples classiques.
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- IX.2 -
9.1. EQUATIONS DE BASE
Lfétude des écoulements non permanents en conduite de fluide
compressible est très complexe.
On simplifiera considérablement le problème si l'on peut considé-
rer 1*écoulement comme unidimensionnel.
Cela sera possible en première approximation si :
- la conduite a une section lentement variable,
- les rayons de courbure sont grands par rapport aux diamètres,
- la déformation de la paroi reste de très faible amplitude.
Dans ces conditions, on a un écoulement à direction sensiblement
permanente et les paramètres caractéristiques peuvent être représentés à
chaque instant t par leur valeur moyenne dans une section normale aux li-
gnes de courant.
1 ff . ~ 1 f ->
Par exemple, p = — pds pu - — pu as
S
"S
b
JS
La section considérée qui, en raison du caractère quasi unidirec-
tionnel de l'écoulement, est presque plane, sera repérée par son abscisse
curviligne prise sur l'axe de la conduite (par exemple centre de gravité de
la section).
Les valeurs moyennes des paramètres considérés seront alors des
fonctions de x et de t seulement.
9.1.1. Equation de conservation
- Masse
En désignant par p(x,t) la valeur moyenne de la masse volumique
dans une section d'abscisse x au temps t, la conservation de la masse
contenue entre deux sections d'abscisse x et x+Ax s'exprime par la rela-
tion :
d [ -T; , fSpS 9puSl,
~ PS dx - [— + —Jdx = 0
' Ax JAx
et, ceci étant vrai quel que soit Ax, on a, dans chaque section S,
•f-f1-0 <»-'>
Si l'écoulement est permanent, il vient,
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- IX.3 -
puS « m « este ,
traduisant la constance du débit massique m quelle que soit la section.
- Quantité de mouvement (en projection sur l'axe de la conduite)
Comme pour l'équation de continuité, les valeurs considérées sont
des valeurs moyennes. Dans ces conditions, l'équation intégrée sur une
tranche d'épaisseur Ax représentant un petit domaine AD permet d'écrire en
projection sur ox (= oxj pour les composantes du tenseur des contraintes).
L >£sdx = jA-^sdx+l **•"*/,
Fsd*
Ax Ax
JAD 3
;Ax
où f est la valeur moyenne de la composante sur x des forces de volume «
f ^T i ' ! I f
Or, -—J- di =. j T, . n. ds « I T- . n. ds + T. . n. ds
9>V !J J 1J J lj J
JàD
J
;S
'S ^AS,
n L
TJ. n. ds ?M 0 car, pour les faces normales à la direction de
k
J J
l'écoulement, les contraintes de viscosité ont une composante sur ox négli-
geable (TU ~ (A + 2p) -r—^ négligeable devant p et il en est de même pour
la résultante des contraintes tangentielles si les sections sont peu in-
curvées.
Sur la paroi, la composante de la contrainte dans le système
d'ânes représenté ci-contre est :
n-^.,1^
TJ «
T*2
- l^ (* + 2y) - 0
T5 = T^2 - 0
l'axe ex] étant orienté selon une génératrice
de la conduite et 0x2 suivant la normale à la
paroi.
Finalement, le terme visqueux se réduit à la composante tangen-
tielle T] = y ——f (on retrouve la loi de Newton).
dX2
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- IX.4 -
En projection sur ox, on a alors
Tf . d$L cos a « ïf x dx
où T est une valeur moyenne de Tj sur le périmètre x«
Dfoù la relation i
Lsf£d*--IJsa*-L'«"" • Ltsd*
et si Ax -* 0
- du SP
Tf
X
p_.-.JU_
+f
ou encore en introduisant le diamètre hydraulique D = —
*3?--s*^* ™
H.
Nous avons vu que T- est de la forme T = - C^.y p|u|u où C est le coeffi-
cient de frottement à la paroi, fonction essentiellement du nombre de
Reynolds — et de la rugosité relative de la paroi —.
En écoulement turbulent, la valeur de C est prise habituellement
égale à celle du régime permanent.
En écoulement laminaire, il est par contre possible, selon une
méthode proposée par ZIELKE^), d'exprimer C en fonction du profil des
vitesses réel.
- Energie
II convient ici de choisir la variable thermodynamique s, h ou e la
mieux adaptée à la nature de l'écoulement considéré (isentropique, isenthal-
pique, ...).
a. Formulation à partir de l'énergie interne
On considère la relation générale :
d(e + | u.u)
p -_ « Q^ _ div(q -f pu - T.U) -s- î,u
(1) ZIELKE W. : Frequency dépendent friction in transient pipe flow,
A.S.M.E., Journal of Basic Engineering, mars 1968, pp. 109-115.
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