Modélisation de la propagation d`un virus
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PROJET DE PHYSIQUE P6-3 STPI/P6-3/2010 - 001 Modélisation de la propagation d’un virus Enseignant Responsable du Projet : M. Jérôme YON Victor CAMEO PONZ Laura LANCE Alban MERCIER STPI/P6-3/2010 - 001! Jérémy RISSO BOURGÈS Cécile VASSEUR Aurore VIMONT 1 Table des matières 1. INTRODUCTION 5 2. MÉTHODOLOGIE - ORGANISATION DU TRAVAIL 6 3. TRAVAIL RÉALISÉ ET RÉSULTATS 7 3.1 L'approche de la maladie 7 3.1.1 Le virus de la grippe 7 3.1.2. Les bases de données 8 3.2. Le modèle SIR 11 3.2.1. Présentation du modèle 11 3.2.2.Interprétation des équations 12 3.2.3 Résolution de l'équation 13 3.3. Des exemples d'application 14 3.3.1 “Fittage” de nos données 14 3.3.2. Amélioration du modèle 15 3.3.3 Résolution numérique de ce modèle pour un cas particulier 16 4. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES 22 5. BIBLIOGRAPHIE 23 6.ANNEXES 24 1. Documentation 24 2. Listings des programmes réalisés 25 3. Propositions de sujets de projets 28 Rapport_P6-3_2010_001! 2 INFORMATIONS Date de Remise du Rapport : 16/06/2010 Référence du projet : STPI/P6-3/2010 - 001 Intitulé du projet : Modélisation de la propagation d’un virus Type de projet : Simulation et Optimisation Objectif du projet : L'objectif principal de ce projet est de comprendre et de parvenir à implémenter un modèle informatique traduisant la propagation d'un virus comme par exemple la grippe A. Dans un second temps, nous tenterons d'améliorer le modèle et en chercher les limites. Dans le but de modéliser ce programme, nous nous familiariserons avec le logiciel SciLab, qui va nous permettre de traiter le modèle. Rapport_P6-3_2010_001! 3 NOTATIONS, ACRONYMES Individus : - S : Suspectés - I : Infectés - R : Retirés R0 Ce paramètre détermine le nombre de personnes infectés par un individu ayant contracté le virus avant sa mort ou sa guérison. Si il est inférieur à 1, I(t) décroit. En revanche, s’l est supérieur à 1 on est en présence d'une épidémie. Le but pour enrayer une épidémie et donc de faire chuter ce "R0" soit en vaccinant la population soit prenant d'autres précaution faisant baisser "bêta". (Attention "R0" n'a rien à voir avec R(t)). Rapport_P6-3_2010_001! 4 1. INTRODUCTION Cela fait depuis plusieurs siècles, que les virus déciment des populations entières. Depuis environ un siècle nous sommes capables de prévoir l'évolution de ces virus avec de plus en plus de précision à court et à long termes. Notamment,ce qui concerne la connaissance du nombre de personnes à vacciner pour enrayer le virus. Plusieurs facteurs sont à prendre en compte afin d’arriver à l'élaboration d'un modèle de propagation comme par exemple le taux d'infection, le nombre de naissances... Ces modèles sont de plus en plus difficiles à mettre en œuvre compte tenu du nombre de paramètres à prendre en compte comme la situation géographique, les moyens sanitaires, la fréquence de contact entre différentes personnes...etc. Il existe différents modèles dont les modèles de Bernoulli,Reed-Frost et SIR. [1] Notre projet s'appuie essentiellement sur le modèle SIR : - S : personnes susceptibles d'être infectées. - I : personnes infectées. - R : personnes immunisées, c'est-à-dire les personnes retirées du groupe de la chaîne de transmission. Ce modèle a été inventé en 1924 par 3 chercheurs : Soper, Kermack et McKendrick. Leur méthode est toujours considérée comme valide. A l'époque, ces chercheurs ont essayé de comprendre pourquoi la grande pandémie de grippe espagnole de 1918 n'avait pas infecté toute la population. 2009. Il est aujourd'hui régulièrement utilisé comme par exemple dans le cas de la grippe A en La véracité de ce modèle dépend du nombre de paramètres, plus les paramètres sont nombreux, plus ce modèle se rapproche de la réalité. Il est clair que reposant sur seulement 3 catégories de personnes le modèle SIR seul est inutilisable de nos jours. Ce modèle étant assez simpliste, nous avons tenté de l'améliorer par l'augmentation des paramètres et des facteurs à prendre en compte. Rapport_P6-3_2010_001! 5 2. MÉTHODOLOGIE - ORGANISATION DU TRAVAIL Tout d'abord, nous nous sommes tous intéressés au modèle de base dans le but de pouvoir partager équitablement les tâches à réaliser. Notre travail s'est divisé en trois binômes. Un premier binôme s'est attelé à la compréhension des différentes équations et du modèle de base SIR. Le deuxième s'est attaché à trouver un modèle informatique à l'aide du logiciel SciLab permettant de modéliser. Le troisième, quant à lui, s'est occupé de l'optimisation et l'amélioration de ce modèle. Enfin, nous avons cherché à confronter ces différents modèles à la réalité pour connaître leurs limites. Rapport_P6-3_2010_001! 6 3. TRAVAIL RÉALISÉ ET RÉSULTATS 3.1 L'approche de la maladie 3.1.1 Le virus de la grippe La grippe est un virus. La définition d'un virus [2] est une particule de dimension très faible soit 0,02 à 0,3 µm (pour les plus gros virus). Il s'agit donc de particules ayant la capacité de traverser des filtres habituellement utilisés pour arrêter les bactéries. Les moyens de transmission de la grippe sont : - par voie aérienne par l'intermédiaire de particules rejetées par les sujets infectés en toussant, crachant ou en éternuant. - par un contact rapproché d'une personne infectée comme par exemple en s'embrassant ou en se serrant la main. - par contact avec les objets touchés par une personne contaminée (poignée de porte, clavier d'ordinateur, rampe...). Les modes de prévention préconisés par le gouvernement sont : - port de masques en cas de contamination pour ainsi éviter la transmission par voie aérienne à d'autres personnes de notre entourage. - se laver les mains régulièrement dans la journée. Elle apparaît entre octobre et avril dans l'hémisphère Nord et entre avril et octobre dans l'hémisphère Sud. Il est important de savoir, notamment dans le cadre de notre projet, que les sujets qui ont la grippe deviennent contagieux un jour avant et le restent durant sept jours. La vitesse de propagation croît rapidement avec une très forte concentration de population (métro, écoles...). Contrairement à ce que l'on pourrait penser les virus de la grippe survivent plus longtemps dans un temps sec et froid. Les personnes les plus sensibles aux virus de la grippe sont : les plus jeunes, les personnes âgées, et les malades souffrant de maladies graves comme le sida, les cancers. L'efficacité du vaccin dépend en grande partie de l'âge et de l'état immunitaire des personnes vaccinées. Rapport_P6-3_2010_001! 7 3.1.2. Les bases de données Pour notre projet de P6-3, nous avons eu besoin d'exploiter une importante quantité de données concernant des virus. Nous avons donc trouvé ces informations sur le site internet du réseau Sentinelles. [3] Ce réseau a été créée en 1984 à l'initiative du professeur Alain-Jacques Valleron. Le site est soutenu par l'INSERM (Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale) et l'INVS (Institut National de Veille Sanitaire). Le but de ce réseau est de surveiller 14 principaux indicateurs de santé en France. Il est composé de 1280 médecins généralistes répartis sur l'ensemble du territoire qui se chargent de collecter et envoyer les données concernant ces maladies. Ainsi, le Réseau Sentinelle met à la disposition de tous des données actualisées chaque semaine depuis 1984. Nous avons choisi le virus de la grippe car c'est un thème d'actualité qui revient chaque année. Tout d'abord voici une première visualisation du nombre de cas grippaux par semaine depuis 1984. Figure 1 : cas de grippe en France en fonction du temps Rapport_P6-3_2010_001! 8 Figure 2 : Cas de grippe en fonction du temps pour 3 régions différentes Comme on peut le constater en visualisant 3 régions différentes, on remarque que les courbes suivent la même tendance quelques soient les régions sélectionnées. Maintenant en sélectionnant une période de 52 semaines, on remarque 2 pics de contamination successifs chaque année correspondant aux mois de février et décembre. Rapport_P6-3_2010_001! 9 Figure 3 : Pic de contamination en 1993 Nous souhaitons maintenant voir si ces données suivent le modèle SIR dont nous allons faire l'exploitation ci-après. Par la suite, nous nous appliquerons à réaliser le “fittage” de notre courbe afin de trouver les paramètres applicables à ce modèle pour nos données. Rapport_P6-3_2010_001! 10 3.2. Le modèle SIR 3.2.1. Présentation du modèle Le modèle SIR On considère une population fermée, c'est à dire qu’il n’y a pas de naissance ni de mort et que le virus choisi ne possède pas de période d'incubation. On obtient trois équations différentielles : Le modèle SIR est du à Kermack et McKendrick en 1927. A.G. McKendrick était un médecin militaire de l'armée britannique. Il était sous les ordres de Ronald Ross en 1901 en Sierra Leone pendant une campagne anti-paludique. R. Ross l'a encouragé à appliquer les techniques mathématiques aux problèmes médicaux. Kermack et McKendrick se sont servis des données de l'épidémie de peste à Bombay de décembre 1905 à juillet 1906 pour tester leur modèle. [4] De ce modèle découlent plusieurs modèles comme le modèle SEIR (Susceptible Explosed Infection Recovered ). On note : - S(t) : le nombre de personnes susceptibles d'être infectées - I(t) : le nombre de personnes infectées - R(t) : le nombre de personnes ayant acquis l'immunité - "bêta" : le taux d'infection (développé partie 3.3.2 ) - "gamma" : le taux de recouvrement/guérison/convalescence, "recovery rate" en anglais (développé partie 3.2.2.) - "R0" : La valeur clé déterminant l'évolution temporelle de l'épidémie. Rapport_P6-3_2010_001! 11 3.2.2.Interprétation des équations (1) : On a un signe « - » car avec le temps ce groupe se réduit. En effet l'épidémie a déjà touché un certain nombre de personnes. La valeur est proportionnelle au nombre d'infectés, au nombre de susceptibles d'être infectés et à β. β représente le taux d'infection c'est à dire le taux de probabilité de transmission du virus et le nombre de contacts entre un sujet infecté et des personnes susceptibles de l’être. (2) : Cette équation décrit l'accroissement du nombre d'infectés au fil du temps. On a la somme du nombre précédent avec le signe « + » pour signifier que le nombre d'infecté croît avec le temps et le second terme, négatif, qui signifie qu'un nombre d'infectés s'immunise. Donc γ représente le taux d'immunisés. (3) : Second terme positif qui représente bien l'accroissement du nombre de retirés c'est à dire le taux d'immunisés. L'épidémie nécessite une chaîne de transmission : des infectés doivent contaminer des susceptibles. Il y a propagation si et seulement si le nombre de I croît ce qui implique βd avec d la période contagieuse >1 Ro : taux de reproduction. Si X peut contaminer plus d'une personne (Ro >1 ) la maladie va flamber. p : pourcentage de personnes à immuniser pour stopper l'épidémie p>1- 1/Ro pour faire baisser le nombre de personnes susceptibles d'être infectées. Nous allons maintenant appliquer ce modèle à des situations concrètes comme par exemple : quels sont les résultats d'une campagne de vaccination ( en fonction du nombre de personnes à vacciner et de l'instant t auquel ces personnes sont vaccinées). Nous allons partir du modèle de base, imaginer une vaccination fictive et observer les changements sur la propagation du virus. Rapport_P6-3_2010_001! 12 3.2.3 Résolution de l'équation Le système d'équation différentielles fournit par le modèle SIR n'est pas linéaire, il est donc mathématiquement impossible (ou très difficile dans certains cas particuliers) de trouver les solutions exactes. Pour trouver des solution approchées il faut utiliser l'outil informatique. Le logiciel SciLab nous a permis de résoudre le système SIR et ses variantes de manière relativement facile. Il est distribué gratuitement avec son code source sur Internet. Il est disponible pré-compilé au téléchargement sous différentes plateformes. Il est compatible entre autres sur Windows, MacOS X et plusieurs distributions Unix. C'est un logiciel de calcul numérique qui stocke les variables sous forme de matrices. Il fonctionne en écrivant des lignes de commandes, mais il donne également la possibilité d’exécuter des scripts qui permettent d'implémenter une procédure de calcul et d'affichage assez facilement. Pour résoudre les équations différentielles on utilisera la commande ode sous SciLab, elle implémente la méthode d'Adams ( [5] : pour la démonstration qui au dessus de notre niveau). Le script complet en disponible en annexe pour le détail de la résolution sous SciLab. Pour introduire des paramètres en plus du modèle simple il suffira d’ajouter quelques lignes à ce script. Cela sera fait et expliqué un peu plus tard dans ce rapport. Figure 1 : Exemple de courbe fournie par le script mentionné plus haut. On distingue facilement les trois types de population ainsi que leur évolution dans le temps. Rapport_P6-3_2010_001! 13 3.3. Des exemples d'application 3.3.1 “Fittage” de nos données Le “fittage” des données est la méthode qui consiste à comparer les données tirées de l'expérience avec un modèle théorique afin de pouvoir définir le modèle théorique le plus proche de la réalité observée. Pour cela on définit une distance entre deux courbes et on essaye de minimiser cette distance en faisant varier les paramètre du modèle théorique. Dans le cas du modèle SIR simple on ferra varier bêta et gamma. Cette opération est encore facilitée par SciLab qui permet de minimiser une fonction grâce à la commande leastsq. Cette fonction de SciLab utilise une distance entre deux courbes au sens des moindres carrés. C’est à dire qu’elle cherche à minimiser la somme du carré de la différence entre chaque point du modèle théorique et expérimental. Nous avons réussis à implémenter la procédure de “fittage” (script en annexe) mais elle ne marche du tout, les paramètres trouvés par ce script ne correspondent pas à ceux des points expérimentaux. Voici par exemple ce qu’on peut obtenir : On voie ici la courbe théorique (continue), qui se rapproche le plus de la courbe expérimentale (discrète) selon leastsq. On remarque directement que les deux courbes ne correspondent pas du tout. Nous pensons que cela est du au fait que la fonction leastsq demande en entré des valeur initiales pour les paramètres recherchés pour avoir un point d’entrée dans la fonction qui donne la distance entre les deux courbes. Mais si la fonction tombe sur un minimum local, elle va s’arrêter et renvoyer des paramètres erronés au lieu de continuer pour trouver le minimum global, ce qui renverrait à priori les bons paramètres. Rapport_P6-3_2010_001! 14 3.3.2. Amélioration du modèle En partant du modèle de base, nous avons tenté d'améliorer les équations afin qu'elle correspondent mieux à la réalité. En effet, de nombreux paramètres rentrent en jeu lors de la propagation d'un virus et ne sont pas pris en compte dans le modèle de base. Nous avons donc modifié les équations en rajoutant certains paramètres : le nombre de morts, la vaccination, la durée limitée de l'immunité... Rappel du modèle de base : On introduit un nouveau facteur : ν. Ce paramètre prend en compte la durée limitée de l'immunité, puisque l'efficacité d'un vaccin n'est pas illimitée dans le temps. Un certain nombre d'individus immunisés redeviennent donc sains, sans défenses immunitaires. Les équations sont donc modifiées : Remarque : Ce coefficient, qui est utilisé dans certaines équations a cependant un problème : un certains nombre d'individus, même si ils sont immunisés depuis une heure, redeviendra sain. Ce facteur ne représente qu'un pourcentage, plutôt que de prendre compte du temps d'immunité. [6] Nous introduisons ensuite une nouvelle catégorie de population : M(t), les morts liés à la maladie. Pour cela, il faut également introduire un nouveau facteur : δ, taux de mortalité des malades. Plus ce coefficient est grand, plus la maladie est mortelle. Rapport_P6-3_2010_001! 15 Enfin, on introduit le paramètre vaccination aux équations. La vaccination se traduit par le fait que certaines personnes passent du statut « individu sain (S) » au statut « individu immunisé R », sans être malade. Soit p le pourcentage de vaccinés. On obtient : On obtient ainsi des équations plus complètes, mais de nombreux coefficients sont à connaître. A partir de ces équations, nous avons cherché à modifier les coefficients pour influer sur la propagation de la maladie. Pour exploiter le problème, nous avons étudié une maladie fictive sur une période trop courte pour que la durée de l'immunité soit prise en compte. Les coefficients ont été définis arbitrairement. Ces expériences ont été effectuées grâce au logiciel Scilab. 3.3.3 Résolution numérique de ce modèle pour un cas particulier Les objectifs de cette partie sont de savoir comment se résout le modèle avec différents paramètres et quelle est l’influence d’une stratégie de vaccination. On pose : Le nombre d'individus sains initial : S(0)=1000000; Le nombre d'individus infectés initial : I(0)=10; Le nombre d'individus infectés initial : R(0)=0; Le taux de contamination : β=1/3000000; Le taux de guérison : γ=1/20; Le taus de mortalité : δ=5/1000; Le taux d'immunité : ν=0; Le pourcentage de vaccination par jour : p=0. Rapport_P6-3_2010_001! 16 Figure 1 : Résolution sans intervention de l’homme Sans intervention, on observe un pic de malades qui dépend des coefficients de la maladie. Ce pic est toujours présent, mais il apparaît plus ou moins tôt, et plus ou moins fortement, selon les valeurs des coefficients. Lors d'une épidémie, on cherche à diminuer l'amplitude de la propagation en intervenant de différentes manières. ----On prend maintenant γ=1/10. Figure 2 : Résolution avec augmentation de gamma Rapport_P6-3_2010_001! 17 Si l'homme intervient sur les malades, en les soignant ou en les isolants, c'est le taux de guérison qui diminue. En effet, on limite le fait que les malades contaminent d'autres personnes. Cela influe donc sur le coefficient γ. Plus il est grand, plus la guérison est rapide, et donc la propagation de la maladie est faible. Ici, le nombre d'individus infectés aux sommet du pic est de 3 millions contre 6 millions avec γ=1/20. ----- On prend maintenant β=1/5000000 et γ=1/20 : Figure 3 : Résolution avec Beta plus faible Si l'homme intervient grâce à de la prévention, ce sont les personnes saines qui sont moins vulnérables. La prévention consiste en des mesures d'hygiène, des fermetures d'écoles, le port de masque...Cela influe sur le taux de contamination β. Plus il est faible, moins un individu contaminé pourra infecter d'individus sains. Comme on le voit sur la courbe suivante, non seulement l'amplitude est plus faible (5 millions contre 6 millions au moment du pic), mais le temps de propagation est décalé dans le temps (le pic est situé le 65ème jour au lieu du 38ème). Cela permet d'avoir plus de temps pour vacciner la population, afin de diminuer le nombre d'infectés. ----- Si on combine ces deux interventions, on réduit beaucoup l'effet de la propagation. Rapport_P6-3_2010_001! 18 β=1/5000000 et γ=1/10. Figure 4 : Résolution avec augmentation de Gamma et diminution de Beta Le pic est situé aux alentours du 60ème jour, et le nombre d'infectés y est d'un peu plus de 2 millions. Rapport_P6-3_2010_001! 19 Modèle avec vaccination Nous allons maintenant étudier l'effet de la vaccination, qui semble être le moyen le plus efficace pour lutter contre un virus aujourd'hui. Pour cela, nous reprenons les données du graphique1, en introduisant la vaccination. Tout d'abord, dans le cas d'une maladie connue (on possède déjà le vaccin, et l'épidémie est anticipée), si p=5% de la population saine est vaccinée chaque jour dès le premier jour. On peut voir que le nombre d'infectés est très faible, de l'ordre de la centaine (invisible sur la figure). La vaccination préventive est donc très efficace. Figure 5 : Modèle avec vaccination permanente ----------- Rapport_P6-3_2010_001! 20 Voici maintenant le cas d'une épidémie inattendue. Le vaccin n'est pas mis en place dès le premier jour. Puis au bout de 30 jours, ce vaccin est accessible, 10% de la population saine se fait vacciner chaque jour, sous l'effet de la panique. Enfin, à partir du 50ème jour, le nombre de malades commençant à diminuer, 5% de la population se fait vaccinée quotidiennement. Figure 6 : Modèle avec vaccination progressive L'efficacité du vaccin est incontestable, au pic, le nombre d'infectés est de moins de 2 millions. Cependant, il est beaucoup moins efficace que le vaccin permanent, qui est plus préventif. Rapport_P6-3_2010_001! 21 4. CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES De nos jours et depuis des siècles les épidémies ont décimés des populations entières (sida, tuberculose, peste…). Il est donc devenu nécessaire pour l’homme de pouvoir maîtriser la propagation de ces virus.. Un des domaines d’application de l’épidémiologie théorique est l’étude des maladies transmissibles par le biais de modèles mathématiques. Comme nous l’avons vu tout au long de notre projet, le modèle SIR permet de modéliser la propagation d’un virus au sein d’une population ainsi que de déterminer le taux de vaccination permettant de stopper la propagation du virus. L’utilisation de ces modèles à des fins prédictives, ou en outil de support aux décideurs de santé publique, nécessite que les paramètres inclus dans les modèles soient estimés à partir de données réelles. C’est ce que nous nous sommes efforcés de faire soit à partir des données que nous possédions. La réalisation de ce projet nous a permis de découvrir un aspect assez inconnu dans le traitement des épidémies. En effet nous n’imaginions pas que les mathématiques et l’informatique pouvaient jouer un rôle tout aussi important que la médecine dans l’éradication des virus. Grâce à ce projet nous avons mesuré l’ampleur du champ d’action des sciences dans de nombreux domaines. Nous sommes parvenus à implémenter le modèle et à le résoudre numériquement cependant le fittage n’a pas abouti. Nous pensons que ceci est du à un problème de méthode numérique. Le travail de groupe, la répartition de tâches ainsi que la gestion du temps nous ont fait prendre conscience que gérer un projet ne se prend pas à la légère. En effet nous avions décidé de séparer le travail en binôme mais ce schéma n’a pas été respecté car les différentes parties de notre travail se recoupaient et ne pouvaient être prises indépendamment les unes des autres. De même, nous avons du mettre en place certaines règles précises afin que chacun puisse avoir accès au travail des autres et ainsi permettre une collaboration la plus optimale possible. Ceci étant, ce projet n’a pas permis d’application vraiment concrète comme la réalisation d’un produit ou d’expériences. Bien que le sujet nous ait semblé fortement théorique au départ, l’exploitation du modèle et la réalisation de simulations de propagations virales nous a fait réaliser l’importance des modélisations. En effet, soigner une population est un impératif d’ordre moral et humain mais il comporte également un aspect financier important pour l’Etat. L'utilisation de ce modèle peut permettre de trouver un compromis idéal entre ces deux aspects. Rapport_P6-3_2010_001! 22 5. BIBLIOGRAPHIE [1] Reed-Frost Epidemic Model : http://www.osc.edu/education/si/projects/epidemic/index.html (valide le 18/05/10) [2] La grippe : http://www.vulgaris-medical.com/dossier/la-grippe-9/la-grippe-9.html (valide le 03/06/10) [3] Bases de données de différents virus en France : Sentinelle http://sentiweb.org et http://websenti.u707.jussieu.fr/sentiweb/?page=table ( valides le 22/03/10 ) [4] Anderson Gray McKendrick : http://en.wikipedia.org/wiki/Anderson_Gray_McKendrick (valide le 15/06/10) [5] Predictor-Corrector Methods : http://www.ecs.fullerton.edu/~mathews/n2003/abmmethod/ AdamsBashforthProof.pdf (valide le 19/04/10) [6] Analyse numérique : http://www.cmi.univ-mrs.fr/~fboyer/Enseignement/M1_AN/projet0910.pdf ( valide le 29/03/10 ) [7] Chaussées et modèle SIR : http://france.meteofrance.com/content/2008/3/142-48.pdf (valide le 07/06/10) [8] Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées : http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00362947_v1/ (valide le 16/05/10) [9] Les phénomènes radiatifs : http://www.meteo-midi.fr/rayonnement.html (valide le 22/03/10) [10] Les modèles de prévision de Météo France : http://www.cnrm.meteo.fr/passion/modele1.htm (valide le 14/05/10) [11] Analyse du comportement radiatif de matériaux de l'infrastructure routière : http://www.cnrm.meteo.fr/icam2007/ICAM2007/extended/manuscript_212.pdf (valide le 11/05/10) Rapport_P6-3_2010_001! 23 6.ANNEXES 1. Documentation D’autres modèles Il existe plusieurs modèles. Ils se différencient selon les hypothèses. On peut donner comme exemples les modèles suivants : Le modèle de Bernoulli : En 1760, dans un mémoire de l’Académie des Sciences de Paris, D.Bernoulli propose une modélisation d’une épidémie de variole pour tenterde savoir si l’inoculation de la maladie présente plus d’avantages que derisques pour la population sujette à cette épidémie. Il faut savoir qu’à l’époque les vaccins n’existent pas, la technique d’inoculation est trèscontroversée et la maladie fait des ravages. Le modèle Reed-Frost : Deux chercheurs en médecine à l’université de John’s Hopkins, Lowell Reedet Wade Hampton Frost ont développé un modèle dans les années 20 qui apour but de répondre à ce type de question : On introduit un individu atteint dans une population : que va-t-il se passer? Utilisation du logiciel SciLab© 5.2.2 Documentation PDF rédigée par Jean-Bernard Blaisot et Jérôme Yon sur l’utilisation du logiciel : Présentation générale Environnement graphique Traitement signal Traitement images Optimisation “fittage” Modélisations et applications_Enoncé Modélisations et applications_Solutions Rapport_P6-3_2010_001! 24 2. Listings des programmes réalisés CODE 1 : Propagation sans intervention // Définition du système d'équation // X = [S I R] // Xpoint = [dS/dt dI/t dR/dt] function Xpoint=SIRsystem(t,X) Xpoint(1)=-b*X(1)*X(2)+n*X(3) Xpoint(2)=b*X(1)*X(2)-g*X(2)-d*X(2) Xpoint(3)=g*X(2)-n*X(3) Xpoint(4)=d*X(2) endfunction //Définition des paramètres du modèle //b correspond à beta //g correspond à gamma //d correspond à delta //n correspond à nu b=1/(3*S0); g=1/20; d=5/1000; n=0; //Définition des conditions initiales, Xinit //Xinit correspond X au temps 0 S0=1000000; I0=10; R0=0; M0=0; Xinit=[S0;I0;R0;M0]; //Définition des bornes du temps et du nombre de points borneSup=200; nbrPts=5000; Temps=linspace(0,borneSup,nbrPts); //Résolution du système X=ode(Xinit,0,Temps,SIRsystem); //Affichage guerrison="taux de guérision (gamma) : " + string(g); infection="taux de d''infection (beta) : " + string(b); mortalite="taux de mortalité(delta) : " + string(d); close f=figure("Figure_name","Résolution du Modèle SIR simple") plot(Temps,X(1,:),Temps,X(2,:),Temps,X(3,:),Temps,X(4,:),f); legend(['Personnes saines','Personnes infectées','Personnes guéries','Personnes mortes']); titre=[guerrison;infection;mortalite] xtitle(titre,"Temps en jours","Population") -------------------CODE 2 : Vaccin Permanent // Définition du système d'équation // X = [S I R] // Xpoint = [dS/dt dI/t dR/dt] function Xpoint=SIRsystem(t,X) Rapport_P6-3_2010_001! 25 Xpoint(1)=-b*X(1)*X(2)+n*X(3)-tauxVacc(t)*X(1) Xpoint(2)=b*X(1)*X(2)-g*X(2)-d*X(2) Xpoint(3)=g*X(2)-n*X(3)+tauxVacc(t)*X(1) Xpoint(4)=d*X(2) endfunction //taux de vaccination function P=tauxVacc(t) P=5/100; endfunction //Définition des paramètres du modèle //b correspond à beta //g correspond à gamma //d correspond à delta //n correspond à nu b=1/(3*S0); g=1/20; d=5/1000; n=0; //Définition des conditions initiales, Xinit //Xinit correspond X au temps 0 S0=1000000; I0=10; R0=0; M0=0; Xinit=[S0;I0;R0;M0]; //Définition des bornes du temps et du nombre de points borneSup=100; nbrPts=5000; Temps=linspace(0,borneSup,nbrPts); //Résolution du système X=ode(Xinit,0,Temps,SIRsystem); //Affichage guerrison="taux de guérision (gamma) : " + string(g); infection="taux de d''infection (beta) : " + string(b); mortalite="taux de mortalité(delta) : " + string(d); close f=figure("Figure_name","Résolution du Modèle SIR simple") plot(Temps,X(1,:),Temps,X(2,:),Temps,X(3,:),Temps,X(4,:),f); legend(['Personnes saines','Personnes infectées','Personnes guéries','Personnes mortes']); titre=[guerrison;infection;mortalite] xtitle(titre,"Temps en jours","Population") --------------CODE 3 : Vaccin progressif // Définition du système d'équation // X = [S I R] // Xpoint = [dS/dt dI/t dR/dt] function Xpoint=SIRsystem(t,X) Xpoint(1)=-b*X(1)*X(2)+n*X(3)-tauxVacc(t)*X(1) Rapport_P6-3_2010_001! 26 Xpoint(2)=b*X(1)*X(2)-g*X(2)-d*X(2) Xpoint(3)=g*X(2)-n*X(3)+tauxVacc(t)*X(1) Xpoint(4)=d*X(2) endfunction //taux de vaccination function P=tauxVacc(t) if t<30 then P=0; else if t<50 then P=10/100; else P=5/100 end end endfunction //Définition des paramètres du modèle //b correspond à beta //g correspond à gamma //d correspond à delta //n correspond à nu b=1/(3*S0); g=1/20; d=5/1000; n=0; //Définition des conditions initiales, Xinit //Xinit correspond X au temps 0 S0=1000000; I0=10; R0=0; M0=0; Xinit=[S0;I0;R0;M0]; //Définition des bornes du temps et du nombre de points borneSup=100; nbrPts=5000; Temps=linspace(0,borneSup,nbrPts); //Résolution du système X=ode(Xinit,0,Temps,SIRsystem); //Affichage guerrison="taux de guérision (gamma) : " + string(g); infection="taux de d''infection (beta) : " + string(b); mortalite="taux de mortalité(delta) : " + string(d); close f=figure("Figure_name","Résolution du Modèle SIR simple") plot(Temps,X(1,:),Temps,X(2,:),Temps,X(3,:),Temps,X(4,:),f); legend(['Personnes saines','Personnes infectées','Personnes guéries','Personnes mortes']); titre=[guerrison;infection;mortalite] xtitle(titre,"Temps en jours","Population") Rapport_P6-3_2010_001! 27 3. Propositions de sujets de projets Le modèle SIR ne signifie pas seulement Soper, Kermack et McKendrick mais aussi Safran, Isba, Route. Selon, un rapport de 2004 de Météo-France le modèle SIR est un modèle numérique de comportement radiatif de la chaussée. On pourrait à l’aide de ces données fournies par le modèle SIR et les modèles de prévision numérique de Météo-France déterminer la température de la chaussée ainsi que son humidité sur une surface de 8 kilomètres de côté[7]. On serait donc capable d’affirmer si la chaussée est glissante ou non. Expliquons sur quoi se base ce modèle, selon le Bulletin des Laboratoires des Ponts et Chaussées [8], « l’émissivité infrarouge est un paramètre nécessaire pour les modèles numériques de prévision de la température ainsi que de l’état de la surface quelle que soit la situation météorologique ». Effectivement, comme nous le rappelle Météo-Midi, il existe différents modes de transmission de la chaleur dont la conduction, la convection et le rayonnement. Les rayonnements infrarouges peuvent donc nous apporter de la chaleur. Il faut savoir que tout corps en rayonnant émet de la chaleur. Donc, la surface terrestre rayonne, notamment en infrarouges, comme le souligne Météo-Midi « la Terre est trop froide pour émettre un rayonnement visible »[9]. De plus, le rayonnement terrestre dépend également du type de matériau utilisé pour construire la route. Prenons un exemple simple, nous savons tous qu’un corps blanc renverra la plupart de l’ énergie reçue alors qu’un corps noir absorbera la plupart de l’énergie. Ce modèle se révèle être un véritable atout pour les services d’entretien routier pour la prévision de l’état de la route en hiver. Ce modèle a de multiples applications. Comme par exemple, l’évaluation de la température de la chaussée de l’aéroport Paris Charles de Gaulle[10]. Le modèle SIR a été évalué durant l’hiver 2006-2007, sur les stations météo des autoroutes. Les conclusions sont qu’il faut encore améliorer ce modèle en prenant soin par exemple de paramétrer un modèle de circulation et des dégivreurs [11]. De plus, une remarque et non des moindres a été émise : lorsque le modèle donnait des résultats erronés, cela était du en grande partie à une prévision des données météorologiques faussée. En effet, le site du CNRM nous renseigne sur le fait que les stations météo routières sont très rarement équipées de capteurs de neige de profondeurs. D’où une incertitude des mesures. Une proposition de projet serait donc de modéliser l’état de la chaussée en France métropolitaine à l’aide du modèle SIR que nous avons présenté juste au-dessus et des prévisions météorologiques. Dans cette présentation, nous avons montré que ce modèle n’est pas encore tout à fait au point et qu’il reste à améliorer certaines choses. Ce projet pourrait donc se diviser en deux parties, de façon similaire à notre projet : modélisation de la propagation d’un virus, l’étude du modèle de base SIR (Safran-Isba-Route) et l’optimisation de ce dernier. Rapport_P6-3_2010_001! 28
