Assertion Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui

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1
A
As ss se er rt ti io on n
Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui peut être « vraie » ou « fausse »,
mais jamais les deux à la fois.
E
Ex xe em mp pl le es s: : (3 > 0), (3 = 0) sont des assertions.
L’énoncé « L’avenue des Champs Élysées est située à Paris » est vrai.
L’énoncé « 2 divise 13 » est faux.
A
Ax xi io om me e
Un axiome est un principe que l’on admet, et à partir duquel on peut démontrer d’autres
propriétés à l’aide de la logique.
E
Ex xe em mp pl le e: : On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes. Cette propriété ne se démontre
pas, on l’admet et autour de cette propriété, on obtient d’autres propriétés de la géométrie plane.
P
Pr ro op po os si it ti io on n
Une proposition P est un énoncé qui contient des variables, qui est vrai pour certaines valeurs
qu’on leur affecte et faux pour toutes les autres.
E
Ex xe em mp pl le e: : La proposition “x >5” est vraie pour les nombres strictement supérieurs à 5 et est
fausse pour tous les autres nombres.
À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d’autres grâce aux
c
co on nn ne ec ct te eu ur rs s
l
lo og gi iq qu ue es s. .
Voici les trois premiers connecteurs logiques :
n
né ég ga at ti io on n ( (n no on n) ) ,
c
co on nj jo on nc ct ti io on n
(
(e et t) ) ,
d
di is sj jo on nc ct ti io on n
(
(o ou u) )
N
Né ég ga at ti io on n d d’ ’u un ne e p pr ro op po os si it ti io on n
E
Ex xe em mp pl le es s: : La négation de la proposition ″x >5 ″ est ″ 5
≤
x ″ .
Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" alors la négation de P est : "le triangle ABC
n’est pas rectangle"
A
At tt te en nt ti io on n : : La négation de la proposition « ce pull est noir » n’est pas « ce pull est blanc »
mais tout simplement « ce pull n’est pas noir ».
L
Le es s c co on nn ne ec ct te eu ur rs s l lo og gi iq qu ue es s « « e et t » » , , « « o ou u » »
L
La a c co on nj jo on nc ct ti io on n d de e d de eu ux x p pr ro op po os si it ti io on ns s
La négation d’une proposition “P”, notée “nonP”, est une proposition qui est vraie lorsque
P est fausse, fausse lorsque P est vraie. On lui attribue une table de vérité :
P non P
V
F F V
Soient P et Q deux propositions. La conjonction de ces deux propositions est notée :
“P
e
et t Q”, cette proposition est vraie lorsque les deux propositions sont vraies et elle est
fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :
P Q P e et t Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

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2
E
Ex xe em mp pl le es s: : 1) La conjonction des deux propositions ″ 5
≤
x ″ et ″ 5
≥
x ″ n’est autre que x = 5.
2) Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" et Q est la proposition : "le triangle ABC est
isocèle" alors «P et Q» est la proposition : "le triangle ABC est rectangle et isocèle"
D
Di is sj jo on nc ct ti io on n
E
Ex xe em mp pl le e: : La négation de la proposition “ x > 5” est “ x  5”.
E
Ex xe em mp pl le es s: : "4 est pair"
o
ou u "5 est pair" est vrai (en effet, la première propriété est vraie ).
"4 est pair"
o
ou u "4 est inférieur à 5" est vrai .(en effet, les deux propriétés sont vraies)
L
Lo oi is s d de e D De e M Mo or rg ga an n (Soient P P et Q Q deux propriétés)
E
Ex xe em mp pl le e: : Le contraire de
≤= 0
4
2
x
x
est
(
)
0ou 4
2
>≠ xx
Soient P et Q deux propositions. La disjonction de ces deux propositions est notée :
″P o ou u Q ″ , cette proposition est vraie lorsque au moins l’une des deux propositions est
vraie, et elle est fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :
P Q P o ou u Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
Non (P e et t Q) est ( Non ( P) o ou u Non (Q) ) .
P Q P e et t Q Non(P
e
et t Q)
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
V
V
V
Non (P o ou u Q) est ( Non ( P) e et t Non (Q) ) .
P Q
Non(P) Non(Q) Non(P) e
et t Non(Q)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V

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3
I
Im mp pl li ic ca at ti io on n
E
Ex xe em mp pl le e: : La négation de la proposition “x >5” est “x  5”.
E
Ex xe em mp pl le es s: :
1) 6360 ≤⇒≤≤ xx est vraie (il suffit de prendre la racine carrée des trois membres de
l’inégalité)
2) Le théorème , s si i deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, a al lo or rs s elles sont
parallèles entre elles, se traduit par une implication de la forme:
(
)
(
)
( ) ( ) ⊥∆ ⊥∆ d
d
2
1
⇒
(
)
(
)
21
// ∆∆
3) ABC triangle équilatéral implique ABC triangle isocèle : ABC équilatéral
⇒
ABC isocèle.
L
L’ ’é éq qu ui iv va al le en nc ce e e en nt tr re e d de eu ux x p pr ro op po os si it ti io on ns s
E
Ex xe em mp pl le e: : Pour tous réels x et y, on a l’équivalence :
(
)
0ou 00 ==⇔=× yxyx
R
Ré éc ci ip pr ro oq qu ue e d d’ ’u un ne e i im mp pl li ic ca at ti io on n
Soient P et Q deux propositions. L’implication “P
⇒
⇒ Q” se lit ″P implique Q ″ ou
″P est une condition suffisante de Q ″ ou ″Q est une condition nécessaire de P ″.
Elle peut se traduire aussi par « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ».
Voici sa table de vérité :
P Q P
⇒ ⇒ Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
T
Tr ra an ns si it ti iv vi it té é d de e l l’ ’i im mp pl li ic ca at ti io on n
Soient P
1
, P
2
et P
3
trois propositions. (P
1
⇒
⇒ P
2
) e et t (P
2
⇒
⇒ P
3
)
⇒
⇒ (P
1
⇒
⇒ P
3
)
Soient P et Q deux propositions. La proposition “( Q
⇒
⇒ P ) s’appelle la réciproque ou
l’implication réciproque de l’implication (P
⇒
⇒ Q )”.
Soient P et Q deux propositions. “P
⇔
Q”, est la proposition “(P
⇒
⇒
Q) et (Q
⇒
⇒
P)”.:
Voici sa table de vérité :
P Q P
⇔
Q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V

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4
R
Re em ma ar rq qu ue e : : Pour montrer qu'une implication p
⇒
⇒ q est fausse, il suffit de se mettre dans une
situation dans laquelle p est vérifiée, alors que q ne l'est pas.
E
Ex xe em mp pl le e: : "n est pair
⇒
⇒ n est un multiple de 6" est une implication fausse car 4 est pair et 4
n'est pas un multiple de 6.
R
Re em ma ar rq qu ue e : : Si ( Q
⇒
⇒ P ) est la réciproque de l’implication (P
⇒
⇒ Q ), alors elles sont vraies
toutes les deux, si et seulement si (P
⇔
Q ) est vraie.
E
Ex xe em mp pl le e: :
Quelle est la réciproque de l’assertion « Tout professeur a été élève » ?
S
So ol lu ut ti io on n : :
Toute personne ayant été élève est professeur. Qui est évidemment une assertion fausse.
E
Ex xe em mp pl le es s d de e r ra ai is so on nn ne em me en nt ts s m ma at th hé ém ma at ti iq qu ue es s
C
Co on nt tr ra ap po os sé ée e d d’ ’u un ne e i im mp pl li ic ca at ti io on n
L
L’ ’u ut ti il li is sa at ti io on n d de e l la a c co on nt tr ra ap po os sé ée e p po ou ur r r ré és so ou ud dr re e u un n p pr ro ob bl lè èm me e m ma at th hé ém ma at ti iq qu ue e
E
Ex xe em mp pl le e: : Montrer que si a et b sont des réels distincts de 2, et si a≠b, alors
2
1
2
1−
≠
−
b
a
.
S
So ol lu ut ti io on n : : La contraposée de l’énoncé est si a et b sont des réels distincts de 2, et si
2
1
2
1−
=
−
b
a
, alors a=b. Et cela est vrai, car
2
1
2
1−
=
−
b
a
⇒ 22
−
=
−
ba ⇒ a=b.
R
Ra ai is so on nn ne em me en nt t p pa ar r l l’ ’a ab bs su ur rd de e
E
Ex xe em mp pl le e: : Montrer que pour tout nombre réel x différent de − 1 on a :
1
32 +
+
x
x différent de 2.
S
So ol lu ut ti io on n : : Raisonnement par l'absurde.
Supposons qu'il existe un nombre réel x différent de − 1 pour lequel
1
32 +
+
x
x soit égal à 2,
alors 2232
+
=
+
xx dans ce cas, on a 23
=
, ce qui est impossible.
Donc pour tout nombre réel x différent de
− 1 on a : 2
1
32 ≠
+
+
x
x.
Soient P et Q deux propositions. La proposition “(P
⇒
⇒ Q)
é
éq qu ui iv va au ut t à à (nonQ
⇒
⇒ nonP)”.
Pour montrer que P
⇒
⇒ Q, on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on
cherche une contradiction . Ainsi, si P est vraie alors Q doit être vraie et donc «P
⇒
⇒ Q » est
vraie.

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5
L
L’ ’u ut ti il li is sa at ti io on n d de e c co on nt tr re e- -e ex xe em mp pl le e
Pour montrer qu’une assertion
(
)
xP est fausse, il suffit de trouver un x∈E tel que
(
)
xP soit
fausse.
E
Ex xe em mp pl le e: : L’implication 93
2
<⇒<xx est-elle vraie ?
S
So ol lu ut ti io on n : : Cette assertion est fausse. En effet, on peut le montrer, en choisissant le contre-
exemple suivant : 34
<
−
mais
(
)
3
2
34 >− ,
R
Ra ai is so on nn ne em me en nt t p pa ar r d di is sj jo on nc ct ti io on n d de es s c ca as s
E
Ex xe em mp pl le e: : Montrer que pour tout entier naturel n, le produit n(n + 1) est divisible par 2.
S
So ol lu ut ti io on n : :
On sait qu’un entier naturel n peut être pair ou impair.
- Si n est pair, alors il existe un entier k tel que kn 2
=
et dans ce cas, on a :
(
)
(
)
1221 +=+ kknn
(
)
(
)
[
]
1221 +=+ kknn , ce qui prouve que le produit n ( n + 1) est divisible par 2.
- Si n est impair, alors il existe un entier k tel que 12
+
=
kn et dans ce cas, on a :
(
)
(
)
(
)
112121 +++=+ kknn
(
)
(
)
(
)
[
]
11221 ++=+ kknn , ce qui prouve que le produit n ( n + 1) est divisible par 2.
Q
Qu ua an nt ti if fi ic ca at te eu ur rs s
Les quantificateurs sont les deux symboles : « ∃ qui signifie "Il existe " » et « ∀ qui signifie
“Quelque soit” ou “Pour tout” »
Les quantificateurs ∃ et ∀ servent à la formulation des énoncés mathématiques à l’aide des
éléments d’un ensemble donné E .
E
Ex xe em mp pl le e: : “ Pour tout nombre réel x il existe un nombre réel y tel que y
2
= x ” se traduit par :
∀ x ∈ℝ, ∃ y ∈ℝ, y
2
= x
L
L’ ’o or rd dr re e d de es s q qu ua an nt ti if fi ic ca at te eu ur rs s d da an ns s u un ne e e ex xp pr re es ss si io on n m ma at th hé ém ma at ti iq qu ue e
Si l’on utilise deux fois le même quantificateur, l’ordre n’a pas d’importance ; on peut donc
écrire dans l’ordre qu’on veut ∀ x ∈ E ∀ y ∈ F …. ou encore ∃ x ∈ E ∃ y ∈ F ….
Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important :
- Dans l’écriture : ∀ x ∈ E ∃ y ∈ F … y dépend de x .
- Dans l’écriture ∃
y ∈ F ∀ x ∈ E…. y est indépendant de x .
P
our montrer que
x
∈
E
v
é
rifie la propri
é
t
é
P
, on consid
ère
toutes les possibilit
é
s pour
x
.