Assertion Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui

Assertion
Une assertion est une phrase (énoncé mathématique) qui peut être « vraie » ou « fausse »,
mais jamais les deux à la fois.
Exemples: (3 > 0), (3 = 0) sont des assertions.
L’énoncé « L’avenue des Champs Élysées est située à Paris » est vrai.
L’énoncé « 2 divise 13 » est faux.
Axiome
Un axiome est un principe que l’on admet, et à partir duquel on peut démontrer d’autres
propriétés à l’aide de la logique.
Exemple: On sait que deux droites sont soit parallèles soit sécantes. Cette propriété ne se démontre
pas, on l’admet et autour de cette propriété, on obtient d’autres propriétés de la géométrie plane.
Proposition
Une proposition P est un énoncé qui contient des variables, qui est vrai pour certaines valeurs
qu’on leur affecte et faux pour toutes les autres.
Exemple: La proposition “x >5” est vraie pour les nombres strictement supérieurs à 5 et est
fausse pour tous les autres nombres.
À partir de différentes propositions logiques, on peut en construire d’autres grâce aux connecteurs
logiques.
Voici les trois premiers connecteurs logiques : négation (non) , conjonction (et) , disjonction (ou)
Négation d’une proposition
La négation d’une proposition “P”, notée “nonP”, est une proposition qui est vraie lorsque
P est fausse, fausse lorsque P est vraie. On lui attribue une table de vérité :
P
non P
V
F
F
V
Exemples: La négation de la proposition ″x >5 ″ est ″ x ≤ 5 ″.
Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" alors la négation de P est : "le triangle ABC
n’est pas rectangle"
Attention : La négation de la proposition « ce pull est noir » n’est pas « ce pull est blanc »
mais tout simplement « ce pull n’est pas noir ».
Les connecteurs logiques « et » , « ou »
La conjonction de deux propositions
Soient P et Q deux propositions. La conjonction de ces deux propositions est notée :
“P et Q”, cette proposition est vraie lorsque les deux propositions sont vraies et elle est
fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :
P
Q
P et Q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
[email protected]
1
Exemples: 1) La conjonction des deux propositions ″ x ≤ 5 ″ et ″ x ≥ 5 ″ n’est autre que x = 5.
2) Si P est la proposition : "le triangle ABC est rectangle" et Q est la proposition : "le triangle ABC est
isocèle" alors «P et Q» est la proposition : "le triangle ABC est rectangle et isocèle"
Disjonction
Soient P et Q deux propositions. La disjonction de ces deux propositions est notée :
″P ou Q ″, cette proposition est vraie lorsque au moins l’une des deux propositions est
vraie, et elle est fausse dans tous les autres cas. Voici sa table de vérité :
P
Q
P ou Q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Exemple: La négation de la proposition “x >5” est “x 5”.
Exemples: "4 est pair" ou "5 est pair" est vrai (en effet, la première propriété est vraie ).
"4 est pair" ou "4 est inférieur à 5" est vrai.(en effet, les deux propriétés sont vraies)
Lois de De Morgan (Soient P et Q deux propriétés)
Non (P et Q) est ( Non(P) ou Non (Q) ).
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P et Q
V
F
F
F
x 2 = 4
Exemple: Le contraire de 
est x 2 ≠ 4 ou x > 0
x ≤ 0
(
Non(P et Q)
F
V
V
V
)
Non (P ou Q) est ( Non(P) et Non (Q) ).
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
Non(P)
Non(Q)
F
F
V
V
F
V
F
V
[email protected]
2
Non(P) et Non(Q)
F
F
F
V
Implication
Soient P et Q deux propositions. L’implication “P ⇒ Q” se lit ″P implique Q ″ ou
″P est une condition suffisante de Q ″ ou ″Q est une condition nécessaire de P ″.
Elle peut se traduire aussi par « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ».
Voici sa table de vérité :
P
Q
P⇒Q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
Exemple: La négation de la proposition “x >5” est “x 5”. V
Transitivité de l’implication
Soient P1, P2 et P3 trois propositions. (P1 ⇒ P2 ) et (P2 ⇒ P3 ) ⇒ (P1 ⇒ P3 )
Exemples:
1) 0 ≤ x ≤ 36 ⇒ x ≤ 6 est vraie (il suffit de prendre la racine carrée des trois membres de
l’inégalité)
2) Le théorème , si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont
parallèles entre elles, se traduit par une implication de la forme:
(∆1 ) ⊥ (d )
⇒ (∆1 ) // (∆ 2 )

(∆ 2 ) ⊥ (d )
3) ABC triangle équilatéral implique ABC triangle isocèle : ABC équilatéral ⇒ ABC isocèle.
L’équivalence entre deux propositions
Soient P et Q deux propositions. “P ⇔ Q”, est la proposition “(P⇒ Q) et (Q ⇒ P)”.:
Voici sa table de vérité :
P
V
V
F
F
Q
V
F
V
F
P⇔Q
V
F
F
V
Exemple: Pour tous réels x et y, on a l’équivalence :
x × y = 0 ⇔ ( x = 0 ou y = 0)
Réciproque d’une implication
Soient P et Q deux propositions. La proposition “( Q ⇒ P ) s’appelle la réciproque ou
l’implication réciproque de l’implication (P ⇒Q )”.
[email protected]
3
Remarque : Pour montrer qu'une implication p⇒q est fausse, il suffit de se mettre dans une
situation dans laquelle p est vérifiée, alors que q ne l'est pas.
Exemple: "n est pair ⇒n est un multiple de 6" est une implication fausse car 4 est pair et 4
n'est pas un multiple de 6.
Remarque : Si ( Q ⇒ P ) est la réciproque de l’implication (P ⇒Q ), alors elles sont vraies
toutes les deux, si et seulement si (P ⇔ Q ) est vraie.
Exemple:
Quelle est la réciproque de l’assertion « Tout professeur a été élève » ?
Solution :
Toute personne ayant été élève est professeur. Qui est évidemment une assertion fausse.
Exemples de raisonnements mathématiques
Contraposée d’une implication
Soient P et Q deux propositions. La proposition “(P⇒ Q) équivaut à (nonQ ⇒nonP)”.
L’utilisation de la contraposée pour résoudre un problème mathématique
1
1
.
≠
a−2 b−2
Solution : La contraposée de l’énoncé est si a et b sont des réels distincts de 2, et si
1
1
1
1
=
=
, alors a=b. Et cela est vrai, car
⇒ a − 2 = b − 2 ⇒ a=b.
a−2 b−2
a−2 b−2
Exemple: Montrer que si a et b sont des réels distincts de 2, et si a≠b, alors
Raisonnement par l’absurde
Pour montrer que P ⇒Q, on suppose à la fois que P est vraie et que Q est fausse et on
cherche une contradiction. Ainsi, si P est vraie alors Q doit être vraie et donc «P ⇒Q » est
vraie.
Exemple: Montrer que pour tout nombre réel x différent de −1 on a :
Solution : Raisonnement par l'absurde.
Supposons qu'il existe un nombre réel x différent de −1 pour lequel
alors 2 x + 3 = 2 x + 2 dans ce cas, on a 3 = 2 , ce qui est impossible.
2x + 3
≠ 2.
Donc pour tout nombre réel x différent de −1 on a :
x +1
[email protected]
4
2x + 3
différent de 2.
x +1
2x + 3
soit égal à 2,
x +1
L’utilisation de contre-exemple
Pour montrer qu’une assertion P( x ) est fausse, il suffit de trouver un x∈E tel que P( x ) soit
fausse.
Exemple: L’implication x < 3 ⇒ x 2 < 9 est-elle vraie ?
Solution : Cette assertion est fausse. En effet, on peut le montrer, en choisissant le contre2
exemple suivant : − 4 < 3 mais (− 4 ) > 33 ,
Raisonnement par disjonction des cas
Pour montrer que x∈E vérifie la propriété P, on considère toutes les possibilités pour x.
Exemple: Montrer que pour tout entier naturel n, le produit n(n + 1) est divisible par 2.
Solution :
On sait qu’un entier naturel n peut être pair ou impair.
- Si n est pair, alors il existe un entier k tel que n = 2k et dans ce cas, on a :
n (n + 1) = 2k (2k + 1)
n (n + 1) = 2[k (2k + 1)] , ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par 2.
- Si n est impair, alors il existe un entier k tel que n = 2k + 1 et dans ce cas, on a :
n (n + 1) = (2k + 1)(2k + 1 + 1)
n (n + 1) = 2[(2k + 1)(k + 1)] , ce qui prouve que le produit n(n + 1) est divisible par 2.
Quantificateurs
Les quantificateurs sont les deux symboles : « ∃ qui signifie "Il existe " » et « ∀ qui signifie
“Quelque soit” ou “Pour tout” »
Les quantificateurs ∃ et ∀ servent à la formulation des énoncés mathématiques à l’aide des
éléments d’un ensemble donné E.
Exemple: “ Pour tout nombre réel x il existe un nombre réel y tel que y2 = x ” se traduit par :
∀x∈ℝ, ∃y∈ℝ, y2 = x
L’ordre des quantificateurs dans une expression mathématique
Si l’on utilise deux fois le même quantificateur, l’ordre n’a pas d’importance ; on peut donc
écrire dans l’ordre qu’on veut ∀x∈E ∀y∈F …. ou encore ∃x∈E ∃y∈F ….
Mais si les quantificateurs sont différents, leur ordre est important :
- Dans l’écriture : ∀x∈E
- Dans l’écriture
∃y∈F
∃y∈F …
y dépend de x.
∀x∈E…. y est indépendant de x.
[email protected]
5
Quantificateurs et la négation
La négation de “∀x∈E, x vérifiant une certaine propriété p ” est “∃x∈E tel que x ne vérifie
pas p”. La négation de “∃x∈E, x vérifiant une certaine propriété p ” est “∀x∈E tel que x ne
vérifie pas p”.
Exemple: Ecrire une expression mathématique traduisant l’assertion « Tout réel possède un
opposé ». Donner sa négation.
Solution :
∀a∈ℝ
Sa négation est ∃a∈ℝ
∃b∈ℝ
a+b = 0,
∀b∈ℝ
a +b ≠ 0.
[email protected]
6
Exercices à faire à la maison
Exercice 1- Donner la négation des propositions suivantes :
1. Cette chemise est blanche.
2. Toutes les voitures sont rouges.
3. Cette balle est rouge ou elle est bleue.
4. Cette fleur est grande et elle est rouge.
5. Le nombre 2 n'est pas rationnel et il est supérieur à 1.
Exercice 2- Donner la réciproque et la contraposée des implications suivantes :
1. Si un quadrilatère est un losange alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
2. Si a > b et b >c alors a > c.
3. Si (d) est parallèle à (d′) et (d′) est parallèle à (d″) alors (d) est parallèle à (d″).
4. Si deux droites ne sont pas sécantes alors elles sont parallèles.
5. Si A′ est le symétrique de A par rapport à (d) alors (d) est la médiatrice de [AA′].
Exercice 3- Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔, ⇒ ou ⇐ :
x∈ℝ, x 2 = 4 ⋯⋯⋯ x = 2
Exercice 4- Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes :
1. Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
2. Pour chaque entier naturel, on peut trouver un entier strictement plus grand.
3. Soit f une fonction définie sur ℝ.
a) f est strictement monotone sur ℝ,
b) f est constante,
c) f ne prend pas de valeur négative.
Exercice 5- Les assertions suivantes sont elles vraies ou fausses ? Donner leurs négations.
1. ∃x∈ℝ ∀y∈ℝ
y2 > x ,
2. ∃x∈ℝ
∀y∈ℝ
x+ y > 0,
3. ∀x∈ℝ
∃y∈ℝ
x+ y > 0,
Exercice 6- Soient n un entier naturel non nul. Montrer qu'il n'existe pas d'entier naturel m tel
que n 2 + 1 = m 2 .
Exercice 7- Comment Euclide a-t-il démontré que « Si deux angles d'un triangle sont égaux
entre eux, alors les côtés opposés à ces angles égaux sont aussi égaux entre eux » ?
Exercice 8 – Montrer que si a et b sont des entiers tels que a2 + b2 est impair, alors a et b sont
de parité différente.
[email protected]
7
Exercice 91. L’implication (0 < x < y et a < b ) ⇒ xa < yb est-elle vraie ou fausse?
1 1
2. L’implication ( xy ≠ 0 et x < y ) ⇒
< est-elle vraie ou fausse?
y x
Exercice 10- Soit I un intervalle de ℝ et f une fonction définie sur I.
Exprimer à l'aide de quantificateurs les propriétés suivantes :
a) f est la fonction nulle.
b) f s'annule sur I.
c) f est à valeurs positives.
[email protected]
8