polytechnique mathsa 16 2012

Sur les espaces hermitiens -
proposition de sujet n˚ 16
Pr´eambule
Les parties III et IV sont ind´ependantes des parties I et II.
On consid`ere l’espace vectoriel complexe de dimension n,V=Cn. Si x= (x1, ..., xn) et
y= (y1, ..., yn) sont des vecteurs de V, on pose :
hx|yi=
n
X
i=1
xiyikxk=hx|xi
(yid´esigne le nombre complexe conjugu´e de yi).
On repr´esentera par <(z) la partie r´eelle d’un nombre complexe z, et par =(z) sa partie
imaginaire.
On notera L(V) l’ensemble des applications lin´eaires (ou op´erateurs) de Vdans lui-
mˆeme, Mn(C) l’ensemble des matrices carr´ees complexes d’ordre n. On repr´esentera
par le mˆeme symbole un ´el´ement de L(V) et la matrice qui lui est associ´ee dans la base
canonique de V.
Partie I : Endomorphismes d’un espace hermitien
1. Si un ´el´ement Tde L(V) est tel que hT u|ui= 0 pour tout ´el´ement ude V, montrer
que T= 0. (T u repr´esente l’image de upar T.)
2. Pour tout ´el´ement Tde L(V), montrer qu’il existe un op´erateur unique T∗∈ L(V)
v´erifiant hT u|vi=hu|T∗viquels que soient les vecteurs uet vde V.
3. T∈ L(V) est dit normal si T T ∗=T∗T. Montrer que Test normal si et seulement
si kT uk=kT∗ukpour tout ´el´ement ude V.
4. Montrer que pour un op´erateur T, il y a ´equivalence entre les propri´et´es suivantes :
(a) T∗=T−1
(b) ∀u∈V, ∀v∈V, hT u|T vi=hu|vi
(c) ∀u∈V, kT uk=kuk.
Si Tv´erifie l’une de ces propri´et´es, alors Test dit unitaire.
5. Soit Aun ´el´ement de MnC. Montrer que Aest normal si et seulement si il existe
une matrice unitaire Uet une matrice diagonale Dtelles que : A=UDU∗. (On
pourra v´erifier qu’une matrice triangulaire normale est diagonale.)
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6. Si Test un op´erateur normal, montrer que Test hermitien si et seulement si ses
valeurs propres sont r´eelles, et que Test unitaire si et seulement si ses valeurs
propres ont un module ´egal `a l’unit´e.
7. Soit Aet Bdeux ´el´ements normaux de Mn(C). Montrer que Aet Bcommutent
si et seulement si il existe une matrice unitaire Utelle que U∗AU et U∗BU soient
diagonales.
Partie II : In´egalit´es v´erifi´ees par les valeurs propres
1. Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn(C). Si {λi,16i6n}est l’ensemble des valeurs
propres de A, d´emontrer la relation :
X
i|λi|26X i,j |aij |2,16i, j 6n
(On pourra utiliser la somme des ´el´ements de la diagonale principale de AA∗.)
Dans quel cas a-t-on l’´egalit´e ? Que peut-on en d´eduire pour une matrice unitaire ?
2. Soit Hun op´erateur hermitien.
(a) Montrer que pour tout vecteur unitaire xde V(kxk= 1), hHx|xiest compris
entre deux valeurs propres de H.
(b) Inversement, si cest un nombre r´eel compris entre deux valeurs propres de
H, montrer qu’il existe un vecteur unitaire yde Vtel que hHy|yi=c.
3. Si λest une valeur propre d’un ´el´ement quelconque Ade L(V), montrer que <(λ),
=(λ), |λ|2sont respectivement compris entre deux valeurs propres de :
A+A∗
2,A−A∗ 2i, A∗A
4. Montrer qu’un op´erateur Hest hermitien et a toutes ses valeurs propres positives
ou nulles si et seulement si il existe un op´erateur Ttel que H=T T ∗.
Partie III : Localisation des valeurs propres
A= (aij )16i,j6nd´esigne un ´el´ement de Mn(C). On pose :
Li=
n
X
j=1
j6=i
|aij |Cj=
n
X
i=1
i6=j
|aij |.
1. Si |aij > Li, quel que soit i, montrer que la matrice Aest inversible.
2. On suppose Ainversible, on pose :
A−1= (αij )d=X
i,j |αij |.
Montrer que si E= (eij ) est un ´el´ement de Mn(C) tel que |eij |<1
dquel que soit
le couple (i, j), la matrice A+Eest inversible.
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3. Si les aij sont r´eels et si aii > Liquel que soit i, montrer que :
(a) Le d´eterminant de Aest positif. (On pourra consid´erer les matrices B(t) =
(bij (t)) avec bij (t) = taij pour i6=jet bii(t) = aii + (t−1)Li.)
(b) Si λest une valeur propre de Ade module maximum, et <(λ)>0, alors
miniLi<|λ|6maxi(Li+aii).
4. Quel que soit i, on suppose aii 6= 0, on pose :
si=Li
|aii|
Si on a s1>... >sn, 0 6=s1s2<1, on pose :
q=rs1
s2
et on consid`ere la matrice B= (bij ) d´efinie par :
b11 =q2a11,
b1j=qa1jpour j6= 1,
bi1=qai1pour i6= 1,
bij =aij pour i6= 1, j 6= 1
Montrer que Best inversible. Que peut-on en d´eduire pour A?
5. Montrer que les valeurs propres d’une matrice quelconque A= (aij ) sont contenues
dans la r´eunion des domaines du plan complexe d´etermin´es par :
|aii −z||ajj −z|6LiLj.
Si la matrice Aest telle que aii soit r´eel positif, et que aiiajj > LiLj, quels que
soient iet j,i6=j, montrer que les valeurs propres de Aont des parties r´eelles
strictement positives. Montrer que si de plus tous les aij sont r´eels, le d´eterminant
de Aest positif.
Partie IV : G´en´eralisation de la partie III
On conserve les notations de la partie III, on suppose connue l’in´eglit´e de H¨older :
n
X
k=1
akbk 6 n
X
k=1 |ap|p!
1
p n
X
k=1 |bk|q!
1
q
,
o`u ak,bksont des nombres complexes, p,qdes nombres r´eels strictement positifs tels
que : 1
p+1 q= 1
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1. Soit A= (aij ) un ´el´ement de Mn(C), montrer que s’il existe un nombre ncompris
entre 0 et 1 tel que |aii|> Lα
iC1−α
iquel que soit i, la matrice Aest inversible.
(On pourra consid´erer un vecteur x= (x1, ..., xn) tel que Ax = 0 et montrer :
Lα
iC1−α
i|xi|6X
j=1
j6=i
|aij |α(|aij |1−α|xj|).)
2. A´etant quelconque, on pose :
L= max
i(|aii|+Li), C = max i(|aii|+Ci), S = max i(2|aii|+Li+Ci).
Si λest une valeur propre de A, montrer que :
|λ|6√LC, |λ|61
2S.
3. Montrer que quel que soit le nombre r´eel αcompris entre 0 et 1, les valeurs propres
de A= (aij ) sont contenues dans la r´eunions des domaines du plan complexe
d´etermin´es par :
|aii −z||ajj −z|6Lα
iC1−α
i.Lα
jC1−α
j.
FIN
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