Sur les espaces hermitiens proposition de sujet n˚ 16 Préambule Les parties III et IV sont indépendantes des parties I et II. On considère l’espace vectoriel complexe de dimension n, V = Cn . Si x = (x1 , ..., xn ) et y = (y1 , ..., yn ) sont des vecteurs de V , on pose : hx|yi = n X xi y i kxk = hx|xi i=1 (yi désigne le nombre complexe conjugué de yi ). On représentera par <(z) la partie réelle d’un nombre complexe z, et par =(z) sa partie imaginaire. On notera L(V ) l’ensemble des applications linéaires (ou opérateurs) de V dans luimême, Mn (C) l’ensemble des matrices carrées complexes d’ordre n. On représentera par le même symbole un élément de L(V ) et la matrice qui lui est associée dans la base canonique de V . Partie I : Endomorphismes d’un espace hermitien 1. Si un élément T de L(V ) est tel que hT u|ui = 0 pour tout élément u de V , montrer que T = 0. (T u représente l’image de u par T .) 2. Pour tout élément T de L(V ), montrer qu’il existe un opérateur unique T ∗ ∈ L(V ) vérifiant hT u|vi = hu|T ∗ vi quels que soient les vecteurs u et v de V . 3. T ∈ L(V ) est dit normal si T T ∗ = T ∗ T . Montrer que T est normal si et seulement si kT uk = kT ∗ uk pour tout élément u de V . 4. Montrer que pour un opérateur T , il y a équivalence entre les propriétés suivantes : (a) T ∗ = T −1 (b) ∀u ∈ V, ∀v ∈ V, hT u|T vi = hu|vi (c) ∀u ∈ V, kT uk = kuk. Si T vérifie l’une de ces propriétés, alors T est dit unitaire. 5. Soit A un élément de Mn C. Montrer que A est normal si et seulement si il existe une matrice unitaire U et une matrice diagonale D telles que : A = U DU ∗ . (On pourra vérifier qu’une matrice triangulaire normale est diagonale.) 1 Projet maths A (XLC) 2012 Sur les espaces hermitiens 6. Si T est un opérateur normal, montrer que T est hermitien si et seulement si ses valeurs propres sont réelles, et que T est unitaire si et seulement si ses valeurs propres ont un module égal à l’unité. 7. Soit A et B deux éléments normaux de Mn (C). Montrer que A et B commutent si et seulement si il existe une matrice unitaire U telle que U ∗ AU et U ∗ BU soient diagonales. Partie II : Inégalités vérifiées par les valeurs propres 1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (C). Si {λi , 1 6 i 6 n} est l’ensemble des valeurs propres de A, démontrer la relation : X X |λi |2 6 |aij |2 , 1 6 i, j 6 n i i,j (On pourra utiliser la somme des éléments de la diagonale principale de AA∗ .) Dans quel cas a-t-on l’égalité ? Que peut-on en déduire pour une matrice unitaire ? 2. Soit H un opérateur hermitien. (a) Montrer que pour tout vecteur unitaire x de V (kxk = 1), hHx|xi est compris entre deux valeurs propres de H. (b) Inversement, si c est un nombre réel compris entre deux valeurs propres de H, montrer qu’il existe un vecteur unitaire y de V tel que hHy|yi = c. 3. Si λ est une valeur propre d’un élément quelconque A de L(V ), montrer que <(λ), =(λ), |λ|2 sont respectivement compris entre deux valeurs propres de : A − A∗ , 2i A + A∗ , 2 A∗ A 4. Montrer qu’un opérateur H est hermitien et a toutes ses valeurs propres positives ou nulles si et seulement si il existe un opérateur T tel que H = T T ∗ . Partie III : Localisation des valeurs propres A = (aij )16i,j6n désigne un élément de Mn (C). On pose : Li = n X |aij | Cj = n X j=1 i=1 j6=i i6=j |aij |. 1. Si |aij > Li , quel que soit i, montrer que la matrice A est inversible. 2. On suppose A inversible, on pose : A−1 = (αij ) d= X |αij |. i,j Montrer que si E = (eij ) est un élément de Mn (C) tel que |eij | < le couple (i, j), la matrice A + E est inversible. 2 1 d quel que soit Projet maths A (XLC) 2012 Sur les espaces hermitiens 3. Si les aij sont réels et si aii > Li quel que soit i, montrer que : (a) Le déterminant de A est positif. (On pourra considérer les matrices B(t) = (bij (t)) avec bij (t) = taij pour i 6= j et bii (t) = aii + (t − 1)Li .) (b) Si λ est une valeur propre de A de module maximum, et <(λ) > 0, alors mini Li < |λ| 6 maxi (Li + aii ). 4. Quel que soit i, on suppose aii 6= 0, on pose : si = Li |aii | Si on a s1 > ... > sn , 0 6= s1 s2 < 1, on pose : r s1 q= s2 et on considère la matrice B = (bij ) définie par : b11 = q 2 a11 , b1j = qa1j pour j 6= 1, bi1 = qai1 pour i 6= 1, bij = aij pour i 6= 1, j 6= 1 Montrer que B est inversible. Que peut-on en déduire pour A ? 5. Montrer que les valeurs propres d’une matrice quelconque A = (aij ) sont contenues dans la réunion des domaines du plan complexe déterminés par : |aii − z||ajj − z| 6 Li Lj . Si la matrice A est telle que aii soit réel positif, et que aii ajj > Li Lj , quels que soient i et j, i 6= j, montrer que les valeurs propres de A ont des parties réelles strictement positives. Montrer que si de plus tous les aij sont réels, le déterminant de A est positif. Partie IV : Généralisation de la partie III On conserve les notations de la partie III, on suppose connue l’inéglité de Hölder : n X ak b k 6 k=1 n X ! p1 |ap |p n X ! 1q |bk |q , k=1 k=1 où ak , bk sont des nombres complexes, p, q des nombres réels strictement positifs tels que : 1 1 + =1 p q 3 Projet maths A (XLC) 2012 Sur les espaces hermitiens 1. Soit A = (aij ) un élément de Mn (C), montrer que s’il existe un nombre n compris entre 0 et 1 tel que |aii | > Lαi Ci1−α quel que soit i, la matrice A est inversible. (On pourra considérer un vecteur x = (x1 , ..., xn ) tel que Ax = 0 et montrer : X Lαi Ci1−α |xi | 6 |aij |α (|aij |1−α |xj |).) j=1 j6=i 2. A étant quelconque, on pose : L = max(|aii | + Li ), i C = max(|aii | + Ci ), i S = max(2|aii | + Li + Ci ). i Si λ est une valeur propre de A, montrer que : |λ| 6 √ LC, 1 |λ| 6 S. 2 3. Montrer que quel que soit le nombre réel α compris entre 0 et 1, les valeurs propres de A = (aij ) sont contenues dans la réunions des domaines du plan complexe déterminés par : |aii − z||ajj − z| 6 Lαi Ci1−α .Lαj Cj1−α . FIN 4