CALCUL NUMERIQUE

CALCUL NUMERIQUE
1) ENSEMBLE DES NOMBRES
A ) DEFINITIONS ET NOTATIONS
• IN est l'ensemble des nombres entiers naturels . IN = { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
• ZZ est l'ensemble des nombres entiers relatifs (ou nombres entiers) ZZ = { ... , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
• ID est l'ensemble des nombres décimaux . ( nombres s'écrivant n × 10 p avec n et p dans ZZ )
Ex : 26 x 10 – 2 = 0,26 ; – 7 x 10 4 = – 70000
• IQ est l'ensemble des nombres rationnels . ( nombres que l'on peut écrire sous la forme p
q , p étant un nombre entier et q un entier non nul )
Ex : 2
3 , 8
8 , – 5 7
• On appelle nombre irrationnel tout nombre que l'on ne peut pas écrire sous la forme p
q , p étant un nombre entier et q un entier non nul )
Ex: 2 , 3 , π
• IR est l'ensemble des nombres réels , c'est à dire qui sont soit rationnels , soit irrationnels.
B ) SYMBOLES D’INCLUSION
Soit A et B deux ensembles :
A ⊂ B se lit : "A est inclus dans B" , "A est contenu dans B" ou "A est une partie de B"
A ⊂ B signifie que tout élément de l'ensemble A appartient à l'ensemble B.
Si A n'est pas inclus dans B on note : A ⊄ B
Ex : IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ IQ ⊂ IR
IQ ⊄ ZZ car par exemple 2
5 ∈ IQ et 2
5 ∉ ZZ
2 ) RAPPELS
A) PRODUITS
Soit a , b , c et d des réels :
REGLE DES SIGNES
• a × ( – b ) = ( – a ) × b = – a b
• ( – a ) × ( – b ) = ab
PRODUIT NUL
Dire qu'un produit est nul signifie que l'un des facteurs au moins est nul
SIMPLIFICATION
Si a c = b c et c ≠ 0 , alors a = b
DISTRIBUTIVITE
• c ( a + b ) = c a + c b
• ( a + b ) × ( c + d ) = a c + a d + b c + b d
PRODUITS
REMARQUABLES
• ( a + b ) ² = a ² + 2 a b + b ²
• ( a – b ) ² = a ² – 2 a b + b ²
• ( a + b ) ( a – b ) = a ² – b ²
B ) QUOTIENTS Soit a , b , c et d des réels avec c et d non nuls :
GENERALITES
a
1 = a ; 0
c = 0 ; a 0 = impossible
REGLE DES SIGNES
– a
c = a
– c = – a c ; – a – c = a c
SIMPLIFICATION a d
c d = a
c Attention : a + d c + d ≠ a c
EGALITE
a
c = 0 équivaut à a = 0 ; a
c = b d équivaut à a d = b c
ADDITION
a
c + b
c = a + b c ; a c + b d = a d + b c c d
MULTIPLICATION
a
c × b
d = a b c d
DIVISION
1
c
d
= d
c ;
a
b
c
d
= a d
bc ( avec b ≠ 0 ) ; a
c
d
= a d
c ;
a
c
d = a
c d

C ) PUISSANCES Soit a et b des réels et p et q des entiers :
DEFINITION
a 0 = 1 ; a p = a × a × … × a ( p facteurs , p ≥ 1 ) ; a 1 = a
a – p = 1
a p ; a –1 = 1 a
( a ≠ 0 )
SIGNE
Pour p pair ( – a ) p = a p et pour p impair ( – a ) p = – a p
REGLES DE CALCUL
Pour a et b non nuls :
a p × a q = a p + q ; a p
a q = a p – q ; ( a p ) q = a p q = ( a q ) p
( a b ) p = a p × b p ; ( a
b ) p = a p
b p
NOTATION SCIENTIFIQUE
La notation scientifique d'un nombre décimal est de la forme a×10 p où a est un nombre décimal ayant
un seul chiffre non nul avant la virgule et p est un entier .
Ex: 0,0452= 4 ,52 × 10 – 2 ; 12478 = 1,2478 × 10 4
D) RACINES CARREES
DEFINITION
Lorsque a est un nombre positif , a désigne l'unique nombre positif dont le carré est égal à a .
attention: un nombre négatif n'a pas de racine carrée .
REGLES DE CALCUL
Pour a et b positif :
a² = ( a ) ² = a
a p = ( a ) p ( p entier naturel )
ab = a b ; a
b = a
b ( b ≠ 0 )
MISE EN GARDE
• Il n'existe pas de relation simple entre a + b et a + b
• si a < 0 alors a² = – a
EQUATION X 2 = a
Soit a un réel , l'équation x 2 = a
• n'admet pas de solution si a < 0
• admet une unique solution 0 si a = 0
• admet deux solutions a et – a si a > 0
3 ) LES NOMBRES PREMIERS
A ) DIVISEUR D'UN NOMBRE ENTIER NATUREL
Soit a ∈ IN, b ∈ IN*.
On dit que a est divisible par b si le résultat de la division de a par b est un nombre entier,
c’est à dire :
a
b = c ( donc a = bc ) où c ∈ IN
On dit alors que a est un multiple de b ou que b
est un diviseur de a.
Rem : Tout nombre entier naturel non nul a admet au moins deux diviseurs, 1 et a.
Ex :
12 = 4 × 3 = 1 × 12 = 6 × 2
4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12
Par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12 ÷ 5 ∉ IN
B ) NOMBRES PREMIERS
Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
Ex :
12 n’est pas premier
5 est premier

Rem:
• Par convention 1 n’est pas premier.
• 2 est le seul nombre premier pair.
• Il y a un infinité de nombres premiers
• Les nombres premiers inférieurs ou égaux à 100 sont :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97. ( voir crible d’Eratosthène )
C ) DECOMPOSITION EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS
Tout entier supérieur ou égal à 2 est premier ou produit de facteurs premiers.
Rem :
• Lorsqu’on écrit un entier comme produit de facteurs premiers, on dit qu’on décompose cet entier en produit de facteurs premiers.
• On peut démontrer que cette décomposition est unique.
Ex :
• 28 = 2 × 14 = 2 × 2 × 7 = 2² × 7 • 60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
28 2 60 2
14 2 30 2
7 7 15 3
1 5 5
1
D) APPLICATION
• Simplifier une fraction : A = 56 × 67
14 × 24
On décompose chacun des nombres 56, 67, 14 et 24.
56 = 2 × 28 = 2 × 2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 7 = 23 × 7
67 est un nombre premier
14 = 2 × 7 et 24 = 2 × 12 = 2 × 2 × 6 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
On en déduit : A = 23 × 7 × 67
2 × 7 × 23 × 3 = 67
6
• Simplifier une expression avec des racines carrées : B = 63 × 105
On décompose chacun des nombres 63 et 105.
63 = 3 × 21 = 3 × 3 × 7 = 32 × 7 et 105 = 3 × 35 = 3 × 5 × 7
On en déduit : B = 63 × 105 = 32 × 7 × 3 × 5 × 7 = 3 × 7 3 × 5 = 21 15.
• Faire la somme ou la différence de deux fractions : C = 3
50 + 8 105 – 5 42
On doit mettre ces trois fractions au même dénominateur (on va chercher le plus petit multiple commun à 50, 105 et 42)
50 = 2 × 52 ; 105 = 3 × 5 × 7 et 42 = 2 × 3 ×7
Le plus petit multiple commun des dénominateurs est alors : 2 × 3 × 52 × 7, et on obtient :
C = 3 × 3 × 7
2 × 3 × 52 × 7 + 8 × 2 × 5 2 × 3 × 52 × 7 – 5 × 52 2 × 3 × 52 × 7 = 63 + 80 – 125 2 × 3 × 52 × 7 = 18 2 × 3 × 52 × 7 = 2 × 32 2 × 3 × 52 × 7 = 3 52 × 7 = 3
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