Chapitre 5 : Les nombres entiers et décimaux

Chapitre 5 : Les nombres
entiers et décimaux
1) Nombres entiers :
● Un nombre entier naturel est un nombre que l’on peut trouver dans la
nature (compter ses doigts, compter les arbres, …).
● 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 et 9 sont les dix chiffres qui permettent
d’écrire tous les nombres que l’on veut.
Exemples : 1 054 est un nombre de quatre chiffres.
7 est un nombre d’un seul chiffre.
● Pour lire les grands nombres plus facilement, on regroupe ses chiffres par
tranches de trois en partant de la droite.
Exemple : 1049258763 s’écrit 1 049 258 763
Ce nombre se lit : « un-milliard-quarante-neufmillions-deux-cent-cinquantehuit-mille-sept-cent-soixante-trois ».
Remarques :
● On place des traits d’union partout.
● Les mots cent et vingt prennent un « s » au pluriel lorsqu’ils ne sont pas
suivis par un autre nombre.
● Les mots « millions » et « milliards » prennent un « s » au pluriel mais pas
le mot « mille ».
2) Rang d’un chiffre dans l’écriture d’un
nombre entier :
Quand on écrit un nombre, la place de chaque chiffre détermine sa valeur :
9 unités est plus petit que 1 million, même si 9 est plus grand que 1 !
Pour trouver le rang de chaque chiffre, on peut s’aider d’un tableau :
MILLIARDS
c
d
u
1
MILLIONS
c
d
u
0
4
9
MILLE
c
d
u
2
5
8
UNITES
centaines dizaines unités
7
6
3
u pour unités (de milliards, de millions, de mille, simple )
d pour dizaines (de milliards, de millions, de mille, d’unités)
c pour centaines (de milliards, de millions, de mille, d’unités)
Pour le nombre 1 049 258 763
1 est le chiffre des unités de milliards
0
centaines de millions
4
dizaines de millions
9
unités de millions
2
centaines de mille
5
dizaines de mille
8
unités de mille
7
centaines (d’unités)
6
dizaines (d’unités)
3
unités (simples).
Remarques :
● Chaque chiffre représente une valeur dix fois plus grande que le chiffre
qui est juste après lui. Le chiffre le plus important est celui de gauche.
● Le tableau se prolonge à gauche des milliards mais on utilisera plutôt une
autre notation pour les nombres très grands.
3) Nombres décimaux :
Certains nombres ne sont pas entiers.
Exemple : 21,4573 est un nombre décimal. C’est l’écriture à virgule.
21,4573 = 21 + 0,4573
partie entière
partie décimale.
On peut placer ce nombre dans un tableau qui complète celui des nombres
entiers :
u
c
d
2 est le chiffre des dizaines
1 est le chiffre des unités
4 est le chiffre des dixièmes
5 est le chiffre des centièmes
7 est le chiffre des millièmes.
3 est le chiffre des dix-millièmes
u
2
1
,
4
5
partie entière
partie décimale
Ce nombre peut aussi s’écrire en lettres :
« vingt-et-un virgule quatre-mille-cinq-cent-soixante-treize.
dix-millièmes
d
Partie
décimale
centièmes
u
virgule
dixièmes
c
d
UNITES
unités
c
MILLE
dizaines
MILLIONS
centaines
MILLIARDS
partie décimale
millièmes
partie entière
7
3
Remarques :
● Attention à ne pas confondre dixièmes qui s’écrit avec un x et dizaines qui
s’écrit avec un z. Les centaines et les centièmes ne doivent pas être
confondus non plus.
● Un nombre entier est toujours décimal : 12 = 12,0
Un nombre décimal est entier lorsque sa partie décimale est égale à zéro.
L’ensemble des nombres entiers fait partie de l’ensemble encore plus grand
des nombres décimaux.
● Les zéros placés à gauche de la partie entière et à droite de la partie
décimale sont inutiles. Les autres zéros sont indispensables :
0012,0400 = 12,04
● Un nombre décimal a une écriture à virgule FINIE.
Certains nombres ne sont pas décimaux comme le résultat de la division de
10 par 3 (qui ne se termine jamais).
● Le tableau se prolonge à droite des dix-millièmes mais on arrondira les
nombres qui ont plus de 3 chiffres après la virgule.
4) Fraction décimale :
Un nombre décimal a une écriture à virgule mais aussi une écriture
fractionnaire appelée fraction décimale (fraction de dénominateur 10 ou 100
ou 1000, … ).
Exemple :
4 dixièmes s’écrit
4
10
5 centièmes s’écrit
5
100
et 7 millièmes s’écrit
7
1000
On a donc
21, 457 = 21 +
4
5
7
+
+
10 100 1000
ou bien
21, 457 = 21 +
457
1000
ou bien
21, 457 =
21 457
1000
Remarques :
● Un nombre décimal peut s’écrire de nombreuses manières possibles avec
l’écriture à virgule et l’écriture fractionnaire.
● Pour écrire une fraction, on commence par placer la barre de fraction SUR
la grosse interligne.
5) Demi-droite graduée :
Les nombres entiers et décimaux peuvent être placés sur une demi-droite
graduée (comme les dates en histoire, les températures sur un thermomètre,
la règle graduée, … ).
Exemple :
O
0
1
B
2
A
3
x
4
Pour graduer une demi-droite, on choisit une unité que l’on reporte
régulièrement à partir de l’origine qu’on appelle O.
On ECRIT : 0, 1, 2, 3 sous les petits traits … qui sont la graduation.
On oriente la demi-droite en mettant une flèche vers les nombres les plus
grands et on écrit x juste sous la flèche.
Sur une demi-droite graduée, un point est repéré par un nombre appelé
abscisse.
L’abscisse du point O est zéro.
L’abscisse du point A est 4.
On note A(4) ou xA = 4
L’abscisse du point B est 2,5. On note B(2,5) ou
xB = 2,5.
Cette demi-droite est appelée « axe des x » ou « axe des abscisses ».
Remarques :
● Sur une demi-droite graduée, on note les points AU DESSUS du trait et
les nombres EN DESSOUS.
● Lorsqu’on écrit xA, la lettre A s’écrit SOUS la grosse interligne et « en
miniature ».
● Attention, un point n’est pas égal à un nombre. C’est l’abscisse d’un point qui
est égale à un nombre.
6) Comparer deux nombres décimaux :
Comparer deux nombres, c’est indiquer le plus petit, le plus grand, ou s’ils
sont égaux.
« est plus petit que » ou « est inférieur à » s’écrit en symbole mathématique

Ce symbole s’écrit sur DEUX interlignes, avec le « pointu » sur la première
interligne.
« est plus grand que » ou « est supérieur à » s’écrit

Le côté le plus large du symbole est toujours du côté du nombre le plus
grand.
« est exactement égal à » s ‘écrit
« n’est pas égal à » s’écrit

(sur une seule interligne).

Pour comparer deux nombres en écriture décimale :
● On compare les parties entières : le nombre le plus grand est celui qui a la
plus grande partie entière.
● Si les parties entières sont égales, alors on compare les chiffres des
dixièmes : le nombre le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des
dixièmes.
● Si les chiffres des dixièmes sont égaux, alors on compare les chiffres des
centièmes ;
● Et on fait la même chose jusqu’à ce que les deux nombres aient des
chiffres différents.
Exemples :
27,1
2,35


 26
3 8
26,93 car 27
2,8
car
2,35 = 2,350
1,58376
7,9


7,85
1,584
car 3  4
car 9  8
Remarque : on peut aussi rajouter des zéros pour avoir le même nombre de
chiffres après la virgule. On compare alors les parties décimales si les
parties entières sont égales : 7,90

7,85
car 90  85
7) Ranger une liste de nombres :
● Ranger des nombres dans l’ordre croissant veut dire les ranger du plus
petit au plus grand : 1  2  3  4
● Ranger des nombres dans l’ordre décroissant veut dire les ranger du plus
grand au plus petit : 4  3  2  1
● Pour encadrer un nombre, on écrit un nombre plus petit et un nombre plus
grand que lui :
Pour encadrer le nombre 2,4, on peut écrire
2

2,4  3
Sur une demi-droite graduée, les nombres sont rangés de la gauche vers la
droite dans l’ordre croissant.
● Pour intercaler un nombre entre deux autres, on choisit un nombre qui est
placé entre les deux sur la demi-droite graduée :
Pour intercaler un nombre entre 3 et 4 on peut écrire
3

3,5  4
Annexe : extrait du programme officiel 2016 :
Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux.
Connaissances et compétences associées
Exemples de situations, d'activités et de ressources pour l'élève
Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux
Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des
regroupements par milliers.
- Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions,
milliards) et leurs relations.
Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres
(jusqu'à 12 chiffres).
Situations dont la résolution mobilise des connaissances sur la
numération ou des conversions d'unités de numération.
Illustrer les grands nombres à l'aide d'exemples d'ordres de grandeurs
(population française, population mondiale, rayon de la Terre, âge du
système solaire...).
Le travail sur certaines unités de masse ou de longueur et sur leurs
relations (gramme, kilogramme, tonne ; centimètre, mètre, kilomètre,
etc.) permet un retour sur les règles de numération.
Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer
sur une demi-droite graduée adaptée.
Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal.
- Spécificités des nombres décimaux.
Associer diverses désignations d'un nombre décimal (fractions décimales,
écritures à virgule et décompositions).
- Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des
nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal),
valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l'écriture à virgule d'un
nombre décimal (point de vue positionnel).
Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée.
Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux.
- Ordre sur les nombres décimaux.
Situations nécessitant :
- d'utiliser des nombres décimaux pour rendre compte de partage de
grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples ;
- d'utiliser différentes représentations : mesures de longueurs et aires,
une unité étant choisie ;
- de faire le lien entre les unités de numération et les unités de
mesure (dixième/dm/dg/dL, centième/cm/cg/cL/centimes d'euros,
etc.).
La demi-droite numérique graduée est l'occasion de mettre en
évidence des agrandissements successifs de la graduation du 1/10 au
1/1000.
Repères de progressivité
Il est possible, lors de la résolution de problèmes, d'aller au-delà des repères de progressivité identifiés pour chaque niveau.
En début du cycle, les nombres sont abordés jusqu'à 1 000 000, puis progressivement jusqu'au milliard. Ce travail devra être entretenu tout
au long du cycle 3.
Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux centièmes en début de cycle pour s'étendre aux dix-millièmes en 6e.