Algèbre homologique - IMJ-PRG

TD n◦1 : Algèbre homologique
Faisceaux Pervers – M2 Mathématiques Fondamentales
Dans cette feuille, A désignera une catégorie abélienne et T une catégorie
triangulée.
Suites exactes
Exercice 1. (Lemme du serpent) Montrer que le morphisme de suites
exactes de A suivant :
A
B
/
u
v
0
B′
/
0
/
Exercice 6. Soient M, N, P des objets de A. Caractérisez les complexes
ker u → ker v → ker w → coker u → coker v → coker w .
Exercice 2. (Lemme des cinq) On considère le diagramme suivant, où les
lignes sont des suites exactes dans A :
A′
B
/
C
/ B′
/
f
C′
/ E
_
/
D
∼
/
∼
/
D′
/
Objets injectifs
Exercice 3. Soit I un objet de A. Montrer qu’il y a équivalence entre
• le foncteur HomA (−, I ) est exact
• toute suite exacte courte
0→I →X →Y →0
f
(1)
0 → M →M → 0
homotopes à zéro. Même question avec
f
g
0 → M → N → P → 0.
Plus généralement, montrer qu’un complexe homotope à 0 est somme directe de décalés de complexes de la forme (1) avec f un isomorphisme.
E′
Montrer que f est un isomorphisme.
est scindée.
Exercice 5. Soit X ∈ C + (A). Une résolution injective de X est un quasiisomorphisme s : X → I . Montrer que si t : X → J est une autre résolution
injective alors I ≃ J dans K (A).
Catégorie homotopique
C′
/
induit une suite exacte
A
Exercice 4. Soit I ∈ C + (A) un complexe d’objets injectifs, borné à
gauche. Montrer que si I est acyclique, alors I est homotope à zéro. Est-ce
que cela reste vrai si I n’est pas borné ?
w
A′
/
C
/
On dit que I est injectif.
Exercice 7. Soit I ∈ C + (A) un complexe d’objets injectifs.
(i) Si X ∈ C (A) est acyclique, montrer que tout morphisme de complexes
f : X → I est homotope à zéro.
(ii) Si Y ∈ C (A), montrer que tout quasi-isomorphisme I −→ Y est
scindé dans K (A).
En déduire que si A a assez d’objets injectifs, alors le foncteur naturel
K + (inj A) → D + (A) est une équivalence de catégories.
Exercice 8. Montrer que Hn (Hom•A (X , Y )) ≃ HomK (A) (X , Y [n]).
Université Paris Diderot
TD n◦1 : Algèbre homologique
Catégories triangulées
Exercice 9. Montrer que pour tout objet X de T , les foncteurs
HomT (X , −) et HomT (−, X ) (à valeurs dans la catégorie des groupes abéliens) sont cohomologiques.
f
g
Faisceaux Pervers – M2 Mathématiques Fondamentales
• il existe des transformations naturelles ǫ : F G → 1 (counité) et η :
1 → G F (unité) telle que les compositions
f
Exercice 11. Soit X → Y → Z
un triangle distingué de T . Montrer que
f est un isomorphisme si et seulement si Z ≃ 0.
Exercice 12. Soit f : X → Y un morphisme dans T . Montrer que si f
est un monomorphisme, alors il existe Z ∈ T tel que Y ≃ X ⊕ Z , et que
via cet isomorphisme, f est l’inclusion canonique.
Exercice 13. Soit C une sous-catégorie épaisse de T . Soit X ∈ T tel que
HomT (C, X ) = 0. Montrer que pour tout Y dans T , le foncteur quotient
T → T /C induit un isomorphisme
HomT (Y , X ) ≃ HomT /C (Y , X ).
Exercice 14. Soient F : X → Y et G : Y → X deux foncteurs entre les
catégories X et Y. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
• pour X ∈ X et Y ∈ Y, on a un isomorphisme
ηG
Gǫ
soient les transformations identité.
Dans ce cas on dit que (F , G ) forment une paire adjointe.
Exercice 15. Soit (F , G ) une paire adjointe de foncteurs. Montrer que
F G → 1 (resp. 1 → G F ) est un isomorphisme si est seulement si G (resp.
F ) est pleinement fidèle.
Exercice 16. Soient (F , G ) une paire adjointe de foncteurs entre catégories
abéliennes. Montrer que G (resp. F ) est exact à gauche (resp. à droite).
Exercice 17. Soient (F , G ) une paire adjointe de foncteurs entre catégories
triangulées. Montrer que F est exact si et seulement si G l’est.
Troncation
Exercice 18. Pour un complexe X ∈ C (A), on définit les opération de
truncation suivantes :
τ≥n (X ) = · · ·
Adjonction
ǫF
G −→ G F G −→ G
h
Exercice 10. Soit X → Y → Z
un triangle distingué de T . Montrer que
0
le triangle est scindé (i.e. isomorphe à X → X ⊕ Z → Z ) dans les cas
suivants :
(i) h = 0
(ii) f se rétracte, c’est-à-dire qu’il existe k : Y → X telle que kf = idX .
Fη
F −→ F G F −→ F
/
τe≥n (X ) = · · ·
τ≤n (X ) = · · ·
/
/
0
0
/
/
0
im dn−1
Xn−2
/
Xn−1
Xn−2
/
Xn−1
/
coker dn−1
/
Xn
/
/ ker dn
/
Xn+1
/
Xn+2
/
···
Xn+1
/
Xn+2
/
···
0
/0
/
···
im dn
/0
/
···
/
HomY (F (X ), Y ) ≃ HomX (X , G (Y ))
naturel en X et en Y .
τe≤n (X ) = · · ·
/
/
Xn
/
Université Paris Diderot
TD n◦1 : Algèbre homologique
Faisceaux Pervers – M2 Mathématiques Fondamentales
(i) Montrer que la cohomologie des complexes tronqués est donnée par
0
si k < n
k
k
H (τ≥n (X )) = H (e
τ≥n (X )) =
k
H (X ) si k ≥ n
0
si k > n
Hk (τ≤n (X )) = Hk (e
τ≤n (X )) =
k
H (X ) si k ≤ n
Montrer que D = RHom•Z (, Z) est une auto-équivalence de D b (Z-mod) et
calculer D(Z/nZ).
(ii) Montrer que les flèches naturelles τe≥n (X ) → τ≥n (X ) et τ≤n (X ) →
τe≤n (X ) sont des quasi-isomorphismes.
(iii) Montrer que l’on a des suites exactes dans A
En déduire que pour A, B ∈ A, on a
0 → τe<n (X ) → τ≤n (X ) → Hn (X )[−n] → 0
0 → τ≤n (X ) → X → τe>n (X ) → 0
En déduire les triangles distingués associés dans D(A).
≥0
Exercice 19. Soit D (A) la sous-catégorie pleine de D(A) formé des
complexes X tels que Hi (X ) = 0 pour i < 0. On note ι≥0 : D ≥0 (A) →
D(A) le plongement naturel. Montrer que (τ≥0 , ι≥0 ) est une paire adjointe.
Exercice 20. Soit X ∈ C (A) tel que Hi (X ) = 0 pour i < a et i > b, avec
a < b fixés. Montrer que X est quasi-isomorphe à un complexe concentré
en degrés a, a + 1, . . . , b.
Pour les exercices suivants on supposera que A a assez d’objets injectifs.
Exercice 24. Montrer que pour X ∈ D(A) et Y ∈ D + (A) on a
Hn (RHom•A (X , Y )) ≃ HomD (A) (X , Y [n]).
HomD (A) (A, B[n]) ≃ ExtnA (A, B).
Exercice 25. Montrer que la suite exacte courte dans A
0→A→B →C →0
est scindée si et seulement si Ext1A (C , A) = 0.
Exercice 26. On suppose que ExtiA (A, B) = 0 pour tout i > 1 et tous
A, B ∈ A. Montrer que pour X ∈ C b (A), on a
M
X ≃
Hi (X )[−i ]
dans D b (A). L’isomorphisme est-il canonique ?
Catégories dérivées
Exercice 21. Montrer que D(A) est abélienne si est seulement si A est
semisimple.
Exercice 22. Montrer qu’un morphisme de complexe s : X −→ Y est un
quasi-isomorphisme si et seulement si son cone est acyclique.
Exercice 23. Pourquoi le foncteur HomZ (−, Z) ne donne pas une notion
de dualité satisfaisante sur la catégorie Z-mod des Z-modules de type fini ?
Université Paris Diderot