- une proposition est une forme propositionnelle,
- si pest une variable propositionnelle, alors p´ecrit tout seul est une forme propositionnelle,
- si Pest une forme propositionnelle, alors ¬Pl’est aussi,
- si Pet Qsont deux formes propositionnelles, alors P∧Q,P∨Q,P→Qet P↔Qle sont aussi.
Dans une forme propositionnelle, quand on remplace les variables par des propositions, on obtient une
proposition `a laquelle on peut attribuer une valeur de v´erit´e. On peut ´egalement dresser la table de v´erit´e
d’une formule, en fonction des valeurs de v´erit´e des variables qui la composent.
Exemples 7
•f(p, q) = p∧q,
•g(p, q) = p∨q,
•P(p) = p∨p, c’est une tautologie,
•Q(p) = p∧p, c’est une contradiction.
Il y a 16 formes propositionnelles fonctions de 2 variables :
p q f1f2f3f4f5f6f7f8f9f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1
0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1
on reconnaˆıt :
f1=⊥f2=p↓q f3f4f5=p∧q f6f7f8=p↔q
f9f10 f11 f12 f13 =p→q f14 f15 =p∨q f16 =⊤
La forme propositionnelle f2est not´ee ↓“pierce”.
On peut exprimer p↓qen fran¸cais en disant “ni p, ni q”.
D´efinition : Une fonction d’interpr´etation (ou interpr´etation) est une application
I:PA−→ {0,1}
p7−→ I(p)
cette application attribue `a chaque variable propositionnelle une valeur logique, et permet donc d’´evaluer
la valeur de v´erit´e d’une forme propositionnelle sur PA. Une forme propositionnelle poss´edant nvariables
admet 2ninterpr´etations diff´erentes.
D´efinition : Soit Pune forme propositionnelle. On appelle mod`ele de Ptoute interpr´etation qui rend P
vraie.
Exemples 8
•P=p∧qalors Id´efinie par I(p) = 0 et I(q) = 1 est un mod`ele de P
•Q=p∨(q∧r): alors Id´efinie par I(p) = I(q) = I(r) = 0 est un mod`ele de Q
•toute interpr´etation est mod`ele d’une tautologie, et une contradiction n’admet pas de mod`ele.
Exercice de cours 8. D´eterminer (si possible) un mod`ele des formes propositionnelles suivantes ;
A= (p∧ ¬q)∨(q→p); B= (p→q)∧(p→ ¬q)C= ((p→q)∨(r→p)) →p.
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