Brevet blanc janvier 2014 énoncé et corrigé

Brevet blanc
Math´ ematiques
Jeudi 23 janvier 2014
Le sujet comporte huit exercices ind´ependants :
Quatre points seront attribu´es au soin, aux unit´es et `a la clart´e de vos ex-
plications.
L’utilisation d’une calculatrice est autoris´ee.
Aucun prˆet de mat´eriel n’est autoris´e.
Dur´ee : 2 heures

Exercice 1 (5 points)
On donne le programme de calcul suivant.
•Choisir un nombre.
•Lui ajouter 3.
•Multiplier cette somme par 4.
•Enlever 12 au r´esultat obtenu.
1. Montrer que si le nombre choisi au d´epart est 2, on obtient comme r´esultat 8. (0,5pt)
2. Calculer la valeur exacte du r´esultat lorsque :
(a) le nombre choisi est 1
3,(1pt)
(b) le nombre choisi est √5. (1pt)
3. (a) A votre avis, comment peut-on passer, en une seule ´etape, du nombre de d´epart au r´esultat
final ? (0,5pt)
(b) D´emontrer votre r´eponse. (2pts)
Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l’´evaluation.
Exercice 2 (3 points)
On rappelle que : (a+b)2=a2+2ab+b2; (a−b)2=a2−2ab+b2; (a+b)(a−b) = a2−b2.
On donne les expressions suivantes : A= (3√2 + 5)2et B= (√7 + 3)(√7−3)
Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez toutes les ´etapes de calcul.
1. Ecrire Asous la forme a+b√2 o`u aet bsont des nombres entiers. (1,5pt)
2. Calculer B.(1,5pt)
Exercice 3 (4,5 points)
On donne les nombres :
•A=3
7−2 7×21 8
•B=3×102×1,8×10−3
6×104
•C=√12 −5√75 + 2√147
1. Calculer Aet donner le r´esultat sous la forme d’une fraction irr´eductible. Ecrire toutes les ´etapes du
calcul. (1,5pt)
2. (a) Donner l’´ecriture d´ecimale de B.(1pt)
(b) Exprimer Ben ´ecriture scientifique. (0,5pt)
3. Ecrire Csous la forme a√3, o`u aest un nombre entier. (1,5pt)

Exercice 4 (6 points)
1. Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm. (1pt)
2. D´emontrer que ce triangle est rectangle en A. (1,5pt)
3. On appelle O le centre du cercle circonscrit `a ce triangle.
(a) O`u se trouve le point O ? Justifier votre r´eponse. (1pt)
(b) En d´eduire le rayon de ce cercle. (0,5pt)
4. Construire le point D pour que le quadrilat`ere ABDC soit un rectangle. Le point D appartient-il au cercle
circonscrit au triangle ABC ? Justifier. (2pts)
+
D
+E
+F
Exercice 5 (4,5 points)
Un parc de jeu a une forme triangulaire. Il est repr´esent´e
sur la figure ci-contre o`u les dimensions ne sont pas respect´ees.
Les dimensions r´eelles de ce terrain sont :
DE = 12 m ; EF = 9 m ; DF = 15 m.
1. On veut construire ce triangle `a l’´echelle 1/200.
(a) Recopier et compl´eter le tableau ci-dessous : (1pt)
DE EF DF
Dimensions r´eelles 12 m 9 m 15 m
Dimensions du dessin 6 cm
(b) Construire le triangle DEF.(1pt)
2. Montrer que le terrain de ce parc poss`ede un angle droit.(1,5pt)
3. Calculer l’aire r´eelle de ce parc.(1pt)
2 m
48 m
3 m
+
O
+
P
+
P′
+
B
+
B′
Exercice 6 (4 points)
Un touriste veut connaˆıtre la hauteur du phare de la pointe V´enus situ´e dans la commune de Mahina.
Pour cela, il met `a l’eau une bou´ee B, munie d’un drapeau d’une hauteur BB’ de 2 m.
Puis, il s’en ´eloigne jusqu’`a ce que la hauteur du drapeau semble ˆetre la mˆeme que celle du phare.
Le touriste se trouve alors au point O.
La figure suivante repr´esente la situation `a cet instant.
1. Montrer que les droites (BB′) et (P P ′) sont parall`eles. (1pt)
2. Calculer la hauteur PP’ du phare. (3pts)

Exercice 7 (3 points)
1
−1
−2
−3
−4
123−1−2
C
0
Le graphique ci-contre repr´esente la courbe C
d’une fonction g.
Par lecture graphique, recopier et compl´eter :
1. L’image de 1 par la fonction gest . . . (0,5pt)
2. Les ant´ec´edents de 0 par la fonction gsont . . . (1pt)
3. g(2) = ... (0,5pt)
4. Les nombres qui ont pour image -3 par la
fonction gsont . . . (1pt)
Exercice 8 (6 points)
Cet exercice est un questionnaire `a choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demand´ee.
Pour chacune des questions, trois r´eponses sont propos´ees, une seule d’entre elles est exacte. Une bonne r´eponse
rapporte un point. Une mauvaise r´eponse enl`eve 0,25 point. L’absence de r´eponse ne rapporte ni n’enl`eve aucun
point. Si le total des points est n´egatif, la note globale attribu´ee `a l’exercice est 0.
Pour chacune des six questions, indiquer sur la copie le num´ero de la question et recopier la r´eponse exacte.
Questions R´eponse 1 R´eponse 2 R´eponse 3
Pour les questions 1, 2 et 3, on consid`ere la fonction d´efinie par : f(x) = (x−1)(x+ 3)
1 L’image de 2 par fest : 5 2(x+ 3) -3
2 Un ant´ec´edent de -4 par fest : 0 -1 -2
3 L’image de 1 −√2 par fest : 2(1 −2√2) 2 + 2√2 2 + 3√2
Les questions suivantes sont ind´ependantes
4 Soit gla fonction telle que
g(x) = √x−1 alors :
5 a pour image -2
par g
0 n’a pas d’image
par g
2 est l’image de -3
par g
5 Soit la fonction ld´efinie par
l(x) = −2x2
-2 est l’image de :
0 1 et -1 2
6 Soit la fonction h:x7→ 4−x2.
-1 a pour image :
5 3 6