Examen de Physique Statistique

Licence de Physique et Mécanique
Année 2009-2010
Examen de Physique Statistique
Durée 3 heures
Mercredi 2 juin 2010
Sac et trousse au fond de la salle. Calculatrices interdites.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note.
Compte-tenu de la longueur du sujet, le barème sera sur plus de 20 points.
Exercice 1 :
Question de cours
On considère un gaz parfait constitué de N particules de masse m en contact avec un
thermostat à la température T et confinées dans un volume V .
1 – Justifiez les différents termes dans l’expression de la fonction de partition :
Z
Z
1
· · · d~q1 · · · d~pN e−βH(~q1 ,...,~pN )
Z=
N !h3N
Que vaut β ? Écrivez l’Hamiltonien H(~q1 , . . . , p~N ).
zN
V
avec z = 3 et donnez l’expression de λT en fonction de T ,
N!
λT
m et de constantes universelles.
2 – Montrer que l’on a Z =
3 – Rappelez les définitions et calculez : l’énergie libre, l’énergie moyenne, l’entropie et le
potentiel chimique du gaz parfait.
N-B. : on donne
Z∞
dx e
−ax2
=
r
π
et la formule de Stirling : ln N ! ≃ N ln N −N pour N ≫ 1.
a
−∞
Exercice 2 :
Suspension Brownienne
On considère N particules mésoscopiques sphériques de rayon R en suspension dans un
liquide dont la température T est fixée (par exemple un verre de lait, de l’encre,. . .voir la
figure ci-après). Les particules, dont la densité est supérieure à celle du liquide, sont soumises au champ de gravité ~g = −g~uz et aux chocs avec les molécules de liquides. On notera
m = v0 (ρpart − ρliq ) > 0 leur masse effective dans le fluide (en notant ρpart et ρliq les masses
volumiques des particules et du liquide et v0 = 4πR3 /3 leur volume). On notera S la section
du conteneur cylindrique et L sa hauteur.
1
Figure 1 – Schéma d’une cartouche d’encre de chine. Les pigments (noir de fumée) sont des
particules de carbone d’environ 50 nm de diamètre et de masse volumique ρpart ≈ 2 g.cm−3
bien décrites par l’ensemble canonique.
1 – Courant de diffusion
1.1 ) Expliquez pourquoi la suspension peut être décrite dans l’ensemble canonique. On
assimilera le comportement des particules à celui d’un gaz parfait de particules de masse m
soumises au champ de pesanteur. Écrire, sans la calculer, la fonction de partition du système.
Quelle est la probabilité pour d’avoir un micro-état ?
1.2 ) Justifiez que la répartition verticale de la densité de particules est donnée par
n(z) = n0 e−mgz/kB T avec n0 une constante. Déterminer n0 en fonction de N , S, L, mg et kB T .
1.3 ) Comme la densité de particules est inhomogène, un courant de particules va s’établir.
On note Jdiff (z) le flux de particules et D le coefficient de diffusion des particules dans le
liquide.
Reproduisez le schéma ci-dessus et indiquez-y le sens de ce courant de diffusion.
Rappelez la loi de Fick.
1.4 ) En déduire l’expression de Jdiff (z) en fonction de D, m, g, n(z) et kB T .
2 – Courant de dérive
2.1 ) Écrire la force gravitationnelle qui s’applique sur une particule.
2.2 ) En raison de la viscosité η du fluide, les particules subissent une force qui s’oppose à
leur mouvement : F~ = −γ~v avec γ = 6πηR. Que vaut la vitesse limite verticale vd , ou vitesse
de dérive, atteinte par les particules ?
2.3 ) Représentez sur le schéma précédent le sens du courant de particules associé, et
donnez son expression Jdérive (z) en fonction de m, g, n(z) et γ.
3 – Que se passe-t-il pour les courants de Jdiff (z) et Jdérive (z) à l’équilibre ? En déduire la
relation d’Einstein :
kB T
D=
6πηR
2
Exercice 3 :
Fluctuations de densité dans un fluide et compressibilité
On s’intéresse aux fluctuations du nombre N de particules contenues dans un sous-volume
V d’un fluide (gaz ou liquide). On suppose le fluide en contact avec un thermostat qui fixe la
température T . On rappelle que la grande fonction de partition de l’ensemble grand-canonique
s’écrit
X
Ξ(T, µ, V ) =
e−β(El −µNl )
l
avec l un indice pour les micro-états d’énergie El et de nombre de particules Nl .
1 – Faire un schéma représentant la situation. Pourquoi utilise-t-on une description grandcanonique ? Que vaut β ? Qu’est-ce que µ et par qui est-il fixé ?
1 ∂
ln Ξ et que les fluctuations
β ∂µ
1 ∂2
1 ∂hN i
2
2
2
∆N = hN i − hN i = 2 2 ln Ξ =
β ∂µ
β
∂µ T,V
2 – Montrer que le nombre moyen de particules vaut hN i =
valent
Pourquoi peut-on considérer que le nombre de particules dans le sous-volume est quasiment
fixé ?
3 – Relations de thermodynamique
Dans cette question uniquement, on note N ≡ hN i car on ne s’intéresse qu’à des relations
valables à la limite thermodynamique. En dérivant astucieusement les relations µ(N, V, T ) =
µ(n = N/V, T ) et p(N, V, T ) = p(n = N/V, T ), que l’on justifiera, montrer que :
∂p
V ∂µ
V
∂µ
∂p
=−
et
=−
∂N T,V
N ∂V T,N
∂N T,V
N ∂V T,N
À partir de l’identité dF = −SdT − pdV + µdN , justifiez que
∂p
∂N
=−
T,V
∂µ
∂V
T,N
4 – En déduire que l’on peut écrire
∆N 2 = kB T nhN iχT
1
avec χT la compressibilité isotherme définie par χT = −
V
moyenne dans le fluide.
∂V
∂p
et n = hN i/V la densité
T,N
5 – Relation entre la compressibilité et la fonction de corrélation de paires
X
On introduit la densité locale n(~r) =
δ(~r − ~qi ) avec ~qi la position de la ième particule.
Justifiez que l’on peut écrire
Z
N = n(~r)d~r
i
et
2
N =
V
Z Z
V
3
V
n(~r)n(~r ′ )d~rd~r ′
En déduire que
Z Z n
o
hn(~r)n(~r ′ )i − hn(~r)ihn(~r ′ )i d~rd~r ′
∆N =
2
V
V
On rappelle que, dans un fluide, les corrélations de densités sont reliées à la fonction de
corrélations de paire g(~r, ~r ′ ) selon hn(~r)n(~r ′ )i = nδ(~r − ~r ′ ) + n2 g(~r, ~r ′ ). Montrer que l’on a
alors la relation générale suivante pour une phase fluide (on note r = k~r − ~r ′ k) :
Z+∞
nkB T χT = 1 + n (g(r) − 1)4πr2 dr
0
Dessiner qualitativement, mais en la justifiant, l’allure typique de g(r) pour un fluide.
Fin
4