Examen de Physique Statistique

Licence de Physique et M´ecanique Ann´ee 2009-2010
Examen de Physique Statistique
Dur´ee 3 heures
Mercredi 2 juin 2010
Sac et trousse au fond de la salle. Calculatrices interdites.
La qualit´e de la r´edaction sera prise en compte dans la note.
Compte-tenu de la longueur du sujet, le bar`eme sera sur plus de 20 points.
Exercice 1 : Question de cours
On consid`ere un gaz parfait constitu´e de Nparticules de masse men contact avec un
thermostat `a la temp´erature Tet confin´ees dans un volume V.
1 – Justifiez les diff´erents termes dans l’expression de la fonction de partition :
Z=1
N!h3NZ···Zd~q1···d~pNe−βH(~q1,...,~pN)
Que vaut β?´ Ecrivez l’Hamiltonien H(~q1, . . . , ~pN).
2 – Montrer que l’on a Z=zN
N!avec z=V λ3
T
et donnez l’expression de λTen fonction de T,
met de constantes universelles.
3 – Rappelez les d´efinitions et calculez : l’´energie libre, l’´energie moyenne, l’entropie et le
potentiel chimique du gaz parfait.
N-B. : on donne
∞
Z
−∞
dx e−ax2=rπ
aet la formule de Stirling : ln N!≃Nln N−Npour N≫1.
Exercice 2 : Suspension Brownienne
On consid`ere Nparticules m´esoscopiques sph´eriques de rayon Ren suspension dans un
liquide dont la temp´erature Test fix´ee (par exemple un verre de lait, de l’encre,. . .voir la
figure ci-apr`es). Les particules, dont la densit´e est sup´erieure `a celle du liquide, sont sou-
mises au champ de gravit´e ~g =−g~uzet aux chocs avec les mol´ecules de liquides. On notera
m=v0(ρpart −ρliq)>0 leur masse effective dans le fluide (en notant ρpart et ρliq les masses
volumiques des particules et du liquide et v0= 4πR3/3 leur volume). On notera Sla section
du conteneur cylindrique et Lsa hauteur.
1

Figure 1 – Sch´ema d’une cartouche d’encre de chine. Les pigments (noir de fum´ee) sont des
particules de carbone d’environ 50 nm de diam`etre et de masse volumique ρpart ≈2 g.cm−3
bien d´ecrites par l’ensemble canonique.
1 – Courant de diffusion
1.1 ) Expliquez pourquoi la suspension peut ˆetre d´ecrite dans l’ensemble canonique. On
assimilera le comportement des particules `a celui d’un gaz parfait de particules de masse m
soumises au champ de pesanteur. ´ Ecrire, sans la calculer, la fonction de partition du syst`eme.
Quelle est la probabilit´e pour d’avoir un micro-´etat ?
1.2 ) Justifiez que la r´epartition verticale de la densit´e de particules est donn´ee par
n(z) = n0e−mgz/kBTavec n0une constante. D´eterminer n0en fonction de N,S,L,mg et kBT.
1.3 ) Comme la densit´e de particules est inhomog`ene, un courant de particules va s’´etablir.
On note Jdiff(z) le flux de particules et Dle coefficient de diffusion des particules dans le
liquide.
Reproduisez le sch´ema ci-dessus et indiquez-y le sens de ce courant de diffusion.
Rappelez la loi de Fick.
1.4 ) En d´eduire l’expression de Jdiff(z) en fonction de D,m,g,n(z) et kBT.
2 – Courant de d´erive
2.1 ) ´ Ecrire la force gravitationnelle qui s’applique sur une particule.
2.2 ) En raison de la viscosit´e ηdu fluide, les particules subissent une force qui s’oppose `a
leur mouvement : ~ F=−γ~v avec γ= 6πηR. Que vaut la vitesse limite verticale vd, ou vitesse
de d´erive, atteinte par les particules ?
2.3 ) Repr´esentez sur le sch´ema pr´ec´edent le sens du courant de particules associ´e, et
donnez son expression Jd´erive(z) en fonction de m,g,n(z) et γ.
3 – Que se passe-t-il pour les courants de Jdiff(z) et Jd´erive(z) `a l’´equilibre ? En d´eduire la
relation d’Einstein :
D=kBT
6πηR
2

Exercice 3 : Fluctuations de densit´e dans un fluide et compressibilit´e
On s’int´eresse aux fluctuations du nombre Nde particules contenues dans un sous-volume
Vd’un fluide (gaz ou liquide). On suppose le fluide en contact avec un thermostat qui fixe la
temp´erature T. On rappelle que la grande fonction de partition de l’ensemble grand-canonique
s’´ecrit
Ξ(T, µ, V ) = X
l
e−β(El−µNl)
avec lun indice pour les micro-´etats d’´energie Elet de nombre de particules Nl.
1 – Faire un sch´ema repr´esentant la situation. Pourquoi utilise-t-on une description grand-
canonique ? Que vaut β? Qu’est-ce que µet par qui est-il fix´e ?
2 – Montrer que le nombre moyen de particules vaut hNi=1
β
∂
∂µ ln Ξ et que les fluctuations
valent
∆N2=hN2i − hNi2=1
β2
∂2
∂µ2ln Ξ = 1 β∂hNi ∂µ T,V
Pourquoi peut-on consid´erer que le nombre de particules dans le sous-volume est quasiment
fix´e ?
3 – Relations de thermodynamique
Dans cette question uniquement, on note N≡ hNicar on ne s’int´eresse qu’`a des relations
valables `a la limite thermodynamique. En d´erivant astucieusement les relations µ(N, V, T ) =
µ(n=N/V, T ) et p(N, V, T ) = p(n=N/V, T ), que l’on justifiera, montrer que :
∂µ
∂N T,V
=−V
N∂µ ∂V T,N
et ∂p
∂N T,V
=−V
N∂p ∂V T,N
`
A partir de l’identit´e dF =−SdT −pdV +µdN, justifiez que ∂p
∂N T,V
=−∂µ
∂V T,N
4 – En d´eduire que l’on peut ´ecrire
∆N2=kBT nhNiχT
avec χTla compressibilit´e isotherme d´efinie par χT=−1
V∂V ∂p T,N
et n=hNi/V la densit´e
moyenne dans le fluide.
5 – Relation entre la compressibilit´e et la fonction de corr´elation de paires
On introduit la densit´e locale n(~r) = X
i
δ(~r −~qi) avec ~qila position de la i`eme particule.
Justifiez que l’on peut ´ecrire
N=Z
V
n(~r)d~r et N2=Z
VZ V
n(~r)n(~r ′)d~rd~r ′
3

En d´eduire que
∆N2=Z
VZ Vnhn(~r)n(~r ′)i − hn(~r)ihn(~r ′)iod~rd~r ′
On rappelle que, dans un fluide, les corr´elations de densit´es sont reli´ees `a la fonction de
corr´elations de paire g(~r, ~r ′) selon hn(~r)n(~r ′)i=nδ(~r −~r ′) + n2g(~r, ~r ′). Montrer que l’on a
alors la relation g´en´erale suivante pour une phase fluide (on note r=k~r −~r ′k) :
nkBT χT= 1 + n
+∞
Z
0
(g(r)−1)4πr2dr
Dessiner qualitativement, mais en la justifiant, l’allure typique de g(r) pour un fluide.
Fin
4