dipôle – conducteurs et condensateurs Module de Biophysique Professeur M. CHEREF

Module de Biophysique
ELECTRICITE
ET
BIOELECTRICITE
dipôle – conducteurs et condensateurs
quelques éléments et notions à retenir
Professeur M. CHEREF
Département de Médecine Dentaire
Faculté de Médecine - Université ALGER 1
A- Electrostatique
VII– Dipôle électrique (1)
 Définition
Un dipôle électrique : deux charges q et q’ égales et de signes contraires
séparées par une distance a
q>0
 Moment dipolaire p


p  qa
a
q
p
-q
VII– Dipôle électrique (2)
 Potentiel V créé par un dipôle p (1)
M
q
(q)
VM  K   K 
r1
r2
q>0
 q (q) 
q q 
VM  K   
  K  
r2 
 r1
 r1 r2 
r2
r1
 r2  r1 
1 1 
VM  K  q      K  q  

 r1  r2 
 r1 r2 
-q
a
q
VII– Dipôle électrique (3)
 Potentiel V créé par un dipôle p (2)
M
HYPOTHESE
r >> a
1 1 
 r2  r1 
VM  K  q      K  q  


r
r
r
r
 1 2
 1 2 
(MA) // (MB) // (MO)
r2
r
q>0
A
-q

a
O
B
q
r1
 r2  r1 
VM  K  q  

 r1  r2 
VII– Dipôle électrique (4)
 Potentiel V créé par un dipôle p (3)
 r2  r1 
VM  K  q  

 r1  r2 
HYPOTHESE
BM   OM   OH 
(MA) // (MB) // (MO)
a
r1  r   cosθ
2
r >> a
AM   OM   AH '
q>0
H’
H

a/2
a/2
a
r2  r   cosθ
2
VII– Dipôle électrique (5)
 Potentiel V créé par un dipôle p (4)
HYPOTHESE
r >> a
M
 r2  r1 
VM  K  q  

 r1  r2 
et
a
r2  r   cosθ
2
(MA) // (MB) // (MO)
a
r1  r   cosθ
2
r2
r
q>0
A
-q

a
O
B
q
r1


a
a
 r   cos  (r   cos ) 
2
2

VM  K  q  
a
a

 

r
cos

cos

r






 
 
2
2

 

VII– Dipôle électrique (6)
 Potentiel V créé par un dipôle p (5)
HYPOTHESE
r² >> a²
r >> a




a  cos
VM  K  q  

2
 r 2  a  cos 2  


4
r² >> a². cos²
r2
2
a
r 2   cos 2 θ
4
r
q>0
A
-q

a
O
M
B
q
r1


a
a
 r   cos  (r   cos ) 
2
2

VM  K  q  
a
a

 

r
cos

cos

r






 
 
2
2

 

VII– Dipôle électrique (7)
 Potentiel V créé par un dipôle p (6)
HYPOTHESE




a  cos
VM  K  q  

2
 r 2  a  cos 2  


4
r² >> a²
r >> a
r² >> a². cos²
r2
2
a
r 2   cos 2 θ
4
r
q>0
A
-q

a
O
B
q
M
r1
 a  cosθ 
VM  K  q  
2

 r

a  cosθ
p  cosθ
VM  K  q 
 K
2
r
r2
VII– Dipôle électrique (8)
 Champ électrique E créé par un dipôle (1)
Petit Rappel Mathématique
Coordonnées Cartésiennes
A (xA,yA)
Y
A
yA

Coordonnées Polaires
A (,)

j
O
X
i
xA
VII– Dipôle électrique (9)
 Champ électrique E créé par un dipôle p (2)


E   grad  V     V
En coordonnées polaires (r, )
V
Er  
r
V
Eθ  
r  θ
Composante radiale
Composante tangentielle
VII– Dipôle électrique (10)
 Champ électrique E créé par un dipôle p (3)
Le Potentiel électrique VM généré par un dipôle au point M
a  cosθ
p  cosθ
K
VM  K  q 
2
2
r
r
Le Champ électrique en coordonnées polaires (r, )
V
Er  
r
V
Eθ  
r  θ
Composante radiale
Composante tangentielle
VII– Dipôle électrique (11)
 Champ électrique E créé par un dipôle p : Expression de Er
 1
a  cosθ 
 
VM
 -K  q  a  cosθ  2 
 - K  q 
Er  
2

r  r 
r
r 

r
- 2
E r  -K  q  a  cosθ   3 
r 
VM
Er  
r
2 q  a  cosθ
Er 

3
4π 0
r
2  p cosθ
Er 
 3
4π 0 r
VII– Dipôle électrique (12)
 Champ électrique E créé par un dipôle p : Expression de E
1  
a  cosθ  1 K  q  a 
VM
 -  K  q 
- 
 cosθ
Eθ  
2

2
r θ 
r

r
r
θ
r  θ
1
E θ  - 3  K  q  a  - sinθ 
r
VM
Eθ  
r  θ
q  a  sinθ

Eθ 
3
4 0
r
1
p sinθ
Eθ 
 3
4π 0 r
VII– Dipôle électrique (13)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (1)
q>0
a
E
q
-q
p
Hypothèse : Le champ E est le même à chaque extrémité du dipôle
Les Valeurs des Forces d’interaction électrostatique
Sont identiques pour chaque extrémité
VII– Dipôle électrique (14)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (2)
E


FFqq EE
F
q
a
F
-q
q>0
p
Les forces F qui s’exercent sur le dipôle p
Application d’un couple de moment m de Forces
  
MpE
VII– Dipôle électrique (15)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (3)
De manière générale, le couple des forces électrostatiques tend à faire tourner
Le dipôle de telle sorte à l’aligner parallèlement au champ électrique
E
F+
q
p

a
F-
q>0
-q
  
MpE

 
M  p  E  sinθ


M  q  a  E  sinθ
VII– Dipôle électrique (16)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (4)
Le couple des forces électrostatiques tend à aligner le dipôle parallèlement au
Champ électrique : deux positions d’équilibre (stable et instable)
q>0
q
E
p
F-
-q
Cas 1
F+
F+
E

p
-q
FCas 2

q
VII– Dipôle électrique (17)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (5)
q Fq
E
p
-q
F-q

q
p
F-q
-q
Équilibre Stable
q>0
Fq
VII– Dipôle électrique (18)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (6)
F-q
E
q
Fq
p

-q
F-q
q>0
-q
p
q
Fq
Équilibre Instable
VII– Dipôle électrique (19)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (7)
Expression de l’Énergie potentielle Ep d’interaction électrostatique
Ep  q  V  (q) V'  q  (V  V')

(V  V' )  E  M' M
E

E  - grad V

 
E p  q  E  M' M  q  E  a
 
E p  E  p
p
M’
-q
q

M
VII– Dipôle électrique (20)
 Dipôle p placé dans un champ électrique E (8)
Expression de l’Énergie potentielle Ep d’interaction électrostatique
Ep
Ep max

0


Ep min
 
E p  -E  p
 
E p   p  E  cosθ

E p  q  a  E  cosθ
VIII– Conducteurs (1)
 Définition
Un conducteur est un Corps à l’intérieur duquel les charges libres
peuvent se déplacer plus ou moins librement
 Exemple de Conducteurs
- Le métal
- Le corps biologique
- …. /….
VIII– Conducteurs (2)
 Conducteur en équilibre
Un conducteur est dit en équilibre si toutes ces charges sont immobiles, en
d’autres termes, les charges intérieures ne sont soumises à aucune force
 Propriétés des conducteurs en équilibre
• Le Champ électrique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre est nul (E=0)
• Le conducteur constitue un volume équipotentiel (V= cte)
• La charge est localisée à la surface d’un conducteur en équilibre.
VIII– Conducteurs (3)
 Théorème de Gauss
Le flux du Champ électrique à travers une surface fermée
entourant des charges qi est :
E 

 
E  dS
La somme algébrique
des charges intérieures
S
E 

S
 
E  dS 
q
i
ε0
i
VIII– Conducteurs (4)
 Application du Théorème de Gauss (1)
Expression du Champ électrique au voisinage extérieur immédiat d’un
conducteur
E
dS M
E
E
E 

 
E  dS
S
Flux à travers la base intérieure
Flux à travers la surface latérale
Flux à travers la base extérieure
VIII– Conducteurs (6)
 Application du Théorème de Gauss (3)
Expression du Champ électrique au voisinage extérieur immédiat d’un
conducteur quelconque
dS
E
E
E
E 

S
 
E  dS 
q
dq
dΦ 
ε0
i
i
ε0
d  E  dS
σ  dS
E  dS 
ε0
+
dq  σ  dS
σ
E
ε0
VIII– Conducteurs (8)
 Champ électrique à la traversée de la surface d’un conducteur (2)
E
Em 
σ
2  ε0
σ
E
ε0
E0
Intérieur
Couche superficielle
Extérieur
VIII– Conducteurs (9)
 Force par unité de surface ou Pression électrostatique P


F  qE
P  σE
F
P
S
σ
Em 
2  ε0
σ2
P
2  ε0
q
σ
S
VIII– Conducteurs (11)
 Pouvoir des Pointes (2) : exemple (1)
(R1, Q1)
(R2, Q2)
1 Q1
V1 

4π 0 R 1
1 Q2
V2 

4π 0 R 2
A l’équilibre
V1 = V2
VIII– Conducteurs (12)
 Pouvoir des Pointes (3) : exemple (2)
V1  V2
1 Q2
1 Q1
 V2 

V1 

4π 0 R 2
4π 0 R 1
Q
Q
σ 
2
S 4   R
σ1  R 1  σ 2  R 2
Les Charges ont tendance à s’accumuler sur les pointes
VIII– Conducteurs (13)
 Capacité propre d’un Conducteur
Q  CV
• C dépend de la Forme du Conducteur
• C traduit la plus ou moins aptitude qu’a un conducteur d’emmagasiner de la
charge
• L’unité de C : Le Farad – (Utilisation des sous multiples du Farad)
 Énergie interne d’un Conducteur
1
2
E  CV
E est toujours positive
2
1
2
E  CV
2
Q  CV
2
1 Q
E 
2 C
1
E  QV
2
IX– Condensateurs (1)
I
 Introduction : Phénomène d’influence
• Comportement d’un diélectrique placé dans un champ électrique :
Distorsion du mouvement des électrons
• Polarisation dans le diélectrique qui devient « un dipôle macroscopique »
- Conducteur isolé
- Conducteur maintenu à un potentiel constant
- Influence en retour
- Influence totale
- Effet d’écran
IX– Condensateurs (2)
 Condensateur : Définition
• Soient deux conducteurs A et B séparés par un milieu isolant
• Le système [AB] forme un condensateur, représenté schématiquement par :
Q
Réalisation de la condensation de l’électricité par l’utilisation de deux conducteurs
en influence totale
 Capacité C d’un condensateur
• Soit le système [AB] qui forme un condensateur, représenté schématiquement par :
Q
A
B
Q  CV
avec V  VA  VB
Remarque : plutôt que d’écrire (VA – VB), il est écrit V. cette liberté d’écriture permet de sensibiliser les étudiants à la réalité suivante V est ici une ddp, à la différence de ce qui est noté pour les conducteurs.
VIII– Condensateurs (5)
 Associations de Condensateurs
Condensateurs en Parallèle C 

Ci
i
Condensateurs en Série
1

C
 Énergie emmagasinée par un Condensateur E  1  C  V 2
Condensateur avec une ddp V= VA - VB
2
 Application au condensateur plan
ε S
C
e
S

e

i
1
Ci