pdf (13 pages 1.5 MB)

L3 et Magist`ere de Physique Fondamentale 2016-2017
RELATIVIT´ E RESTREINTE
Bibliographie sommaire
Voici une tr`es courte liste de r´ef´erences bibliographiques (class´ees par ordre d’utilit´e d´ecroissante
pour le cours) :
—Introduction `a la relativit´e par D. Langlois (Vuibert, 2011).
—Th´eorie des champs par L. Landau et E. Lifchitz. Volume 2 du cours de physique th´eorique
(Mir, 1989). Noter que les unit´es des grandeurs ´electromagn´etiques ne sont pas les unit´es
internationales utilis´ees en cours.
—Classical electrodynamics par J. D. Jackson (John Wiley, 1975).
Je suis joignable par e-mail : [e-mail]
Ce texte est disponible en ligne au format pdf `a l’adresse :
http://lptms.u-psud.fr/nicolas_pavloff/enseignement/
version du 15 mars 2017
1

Chapitre I : Principe de Relativit´e
1 Postulats d’ Einstein
•Les lois de la physique sont identiques dans tous les r´ef´erentiels inertiels.
•La vitesse de la lumi`ere dans le vide est la mˆeme pour tous les observateurs, quelle que soit
la vitesse de la source ´emettrice.
Nous allons dans un premier temps seulement utiliser le second postulat et l’isotropie et l’homog´e-
n´eit´e de l’espace. On montre alors que l’intervalle s2entre deux ´ev`enements (t1, ~r1) et (t2, ~r2) :
s2=c2(t2−t1)2− |~r2−~r1|2,(I.1)
est invariant par changement de r´ef´erentiel 1.
En effet, il est clair que si sest nul dans un r´ef´erentiel, il sera nul dans tous les autres. Consid´erons deux
´ev`enements voisins s´epar´es par ds2=c2dt2−d~r 2. Si ds26= 0 dans R, alors ds026= 0 dans R0, et ces
deux quantit´es sont du mˆeme ordre (sinon la transformation de Rvers R0serait singuli`ere). On peut donc
´ecrire ds02=ads2. La quantit´e ane peut d´ependre ni de ~r, ni de t(homog´en´eit´e de l’espace-temps), ni
de la direction de ~ V, vitesse relative de R0par rapport `a R(isotropie de l’espace) : donc a=a(|~ V|). En
effectuant deux transformations successives, de Rvers R0puis `a nouveau vers R, on trouve 2que a2= 1,
donc a(|~ V|) = 1. Il en d´ecoule que s02=s2.
2 Transformation sp´eciale de Lorentz (“Lorentz boost”)
Deux horloges immobiles l’une par rapport `a l’autre sont synchronis´ees si elles indiquent la
mˆeme heure lorsqu’elles sont atteintes par des rayon lumineux ´emis simultan´ements par un point
situ´e `a mi chemin entre elles. De mˆeme, deux ´ev`enements sont simultan´es dans un r´ef´erentiel si des
rayons lumineux issus de chacun sont d´etect´es ensemble au point milieu 3.
On consid`ere deux r´ef´erentiels : R={O, x, y, z, t}
le r´ef´erentiel “immobile” et R0={O0, x0, y0, z0, t0}
le r´ef´erentiel “en mouvement”. On se place dans le
cas o`u la vitesse de R0par rapport `a Rest V ~ex,V
est alg´ebrique (V > 0 sur le sch´ema ci-contre). On
utilise le diagramme espace-temps (x, t) dans Ret
on montre que
x0=γ(x−V t), t0=γ(t−V x/c2),(I.2)
o`u γ= (1 −V2/c2)−1/2.xA B C
E
D
t
x=V t
x0= 0
x=V t +L/2 x=V t +L
x=c t
x=−c t
t0= 0
Le raisonnement qui permet d’arriver `a (I.2) est le suivant. Soient 3 points A,Bet C, immobiles dans
R0(Best le milieu de Aet B). Leurs “lignes d’univers” dans Rsont repr´esent´ees ci-dessus (on note L
1. Noter qu’en m´ecanique non relativiste on conserve ind´ependamment t2−t1et |~r2−~r1|. Noter ´egalement que
sest soit r´eel, soit imaginaire pur.
2. On utilise le fait que la vitesse de Rpar rapport `a R0est l’oppos´ee de la vitesse ~ Vde R0par rapport `a R0.
C’est un r´esultat intuitif qui peut ˆetre d´emontr´e ; cf. Berzi et Gorini, J. Math. Phys. 10, 1518 (1969).
3. Milieu g´eom´etrique des deux parties spatiales.
2

l’espacement entre Aet Cdans R). D(resp. E) co¨ıncide dans R0avec B(resp. C) et un rayon lumineux
´emis depuis Aarrive en Den mˆeme temps qu’un rayon lumineux ´emis depuis E:Aet Esont donc simultan´es
dans R0. On d´etermine les coordonn´ees dans Rdes ´ev`enements Dpuis E:tD=1
2L/(c−V), xD=c tD;
tE=LV/(c2−V2), xE=Lc2/(c2−V2). On remarque que tE=V xE/c2: cela d´efinit la droite t0= 0. Si
l’on suppose que la relation entre (x0, t0) et (x, t) est lin´eaire on est fond´e `a ´ecrire 4:
x0=f(|V|)(x−V t), t0=g(|V|)(t−V x/c2).(I.3)
La vitesse de la lumi`ere ´etant la mˆeme dans les deux r´ef´erentiels, il faut que lorsque x=c t on ait ´egalement
x0=c t0; cela impose f≡g. En consid´erant la transformation qui fait passer de R0`a Ron obtient [en
faisant V→ −Vdans (I.3)]
x=f(|V|)(x0+V t0), t =f(|V|)(t0+V x0/c2).(I.4)
En combinant (I.3) et (I.4) on voit que f2(|V|) = (1 −V2/c2)−1, ce qui ach`eve de d´emontrer (I.2).
2.a Dilatation des dur´ees
Pour l’observateur en mouvement (par exemple celui situ´e `a l’origine dans R0:xO0=V tO0⇔
x0
O0= 0) le “temps propre” est t0 O0=tO0/γ :t0 O0< tO0le temps s’´ecoule plus lentement, on parle de
dilatation des dur´ees 5. Cela se g´en´eralise au cas d’une trajectoire quelconque : on consid`ere une suc-
cession de “r´ef´erentiels comobiles `a l’instant t” et alors le temps propre est τ=Rdt»1−v2(t)/c2.
2.b Contraction des des longueurs
Soit une r`egle horizontale immobile dans R0. La longueur L=xC−xAde la r`egle mesur´ee dans
Rsera mesur´ee dans R0comme la distance entre Aet E(simultan´es dans R0). On a xE=Lγ2,
tE=V xE/c2donc L0=x0
E−x0 A=γL.γ > 1 et donc L<L0: la r`egle apparaˆıt plus courte dans le
r´ef´erentiel R, c’est `a dire pour un observateur en mouvement par rapport `a elle ; c’est le ph´enom`ene
de contraction des longueurs. On appelle L0la “longueur au repos” de la r`egle.
2.c Lois de transformation
D’apr`es (I.2) c2t02−x02=c2t2−x2. La conservation de l’intervalle impose donc y02+z02=y2+z2
et, en r´efl´echissant un peu, y0−yet z0=z. On note 6X
‹= (X0=ct, X1=x, X2=y, X3=z) et
alors
X
‹
0= (Λ) X
‹,avec Λ = áγ−βγ 0 0
−βγ γ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1ë,o`u β=V/c. (I.5)
4. C’est l’isotropie de l’espace qui impose que fet gsoient des fonctions de |V|et non de V.
5. La relation est bien-sˆur sym´etrique : si l’on consid`ere l’observateur immobile `a l’origine dans R(xO= 0), on
trouve x0
O=−V t0 Oet tO=t0 O/γ.
6. On note ´egalement X
‹= (ct, ~r ) = (X0,~
X).
3

2.d Composition des vitesses
En diff´erenciant (I.5) on obtient facilement
v0
x=vx−V
1−vxV/c2, v0
y=vy
γ(1 −vxV/c2), v0
z=vz
γ(1 −vxV/c2).(I.6)
Il est plus naturel de raisonner en exprimant ~v en fonction de ~v 0; pour inverser les relations (I.6)
il suffit de changer le signe de V. On obtient ensuite : si v0
x=c(v0 y=v0 z= 0) alors vx=c. Si
v0
y=c(v0 x=v0 z= 0) alors v2 x+v2 y+v2 z=c2. Si v0 x= 0.9c(v0 y=v0 z= 0) et V= 0.9c, alors
vx=1.8
1.81 c < c. En composant des vitesses proches de celle de la lumi`ere, on ne d´epasse jamais c.
On va se cantonner aux vitesses sub-luminales 7.
3 Diff´erents types d’intervalle. Causalit´e. Cˆone de lumi`ere
On se place du point de vue de l’observateur situ´e `a l’origine des coordonn´ees. Soit un ´ev`enement
P
‹= (ct, ~r ) tel que s2=c2t2−~r 2>0 : on dit que l’intervalle entre l’origine O ‹et P ‹est de “genre
temps”. Il est clair qu’on peut trouver un r´ef´erentiel dans lequel O
‹et P ‹ont la mˆeme position : il
suffit de consid´erer la transformation de Lorentz avec ~ V=~r/t (`a 1+1 dimension V=x/t). Mais
par contre, P
‹sera toujours dans le futur de O ‹. En effet on a 8(en prenant ~r =x ~ex) :
c t > x > x V/c (∀V < c) donc t0=γ(t−V x/c2)>0.(I.7)
Pour les intervalles de “genre espace” (s2<0) la situation est renvers´ee : on peut trouver des
r´ef´erentiels dans lesquels O
‹et P ‹sont simultan´es (en prenant V=c2t/x). On peut mˆeme changer
l’ordre chronologique entre O
‹et P ‹, mais cela ne viole pas la causalit´e car ces 2 ´ev`enements ne
peuvent pas ˆetre reli´es par un signal se propageant `a une vitesse sub-luminale.
Revenons sur la chronologie entre deux ´ev`enements : on dira que O
‹pr´ec`ede P ‹si t > 0et si
s > 0 (cette derni`ere condition est absente en physique non relativiste).
Repr´esentation (en 1+1 dimension) du cˆone
de lumi`ere dans un diagramme “espace-temps”
(´egalement appel´e diagramme de Minkowski).
P
‹1est simultan´e dans Ravec l’origine : par
exemple x1= 150 ×106km = distance Terre-
Soleil. L’intervalle entre O
‹et P ‹2(x2=x1et
t2= 8 mn) est du “genre lumi`ere”. P
‹3est dans
le futur de O
‹: il peut y avoir un lien de causalit´e
entre O
‹et P ‹3.
Le futur et le pass´e sont `a l’int´erieur du “cˆone
de lumi`ere”, cf. illustration en 2+1 dimensions
sur la page de couverture.
passé
ailleurs
futur
x
t
t2
x=ct
O
‹P ‹1
P
‹2
P
‹3
7. L’existence de particules aux vitesses supralumineuses (des “tachyons”) a ´et´e sugg´er´ee dans plusieurs contextes
th´eoriques, sans induire de cons´equences enthousiasmantes.
8. La d´emonstration qui suit est faite pour une transformation sp´eciale de Lorentz, mais elle se g´en´eralise `a toutes
les transformations entre deux r´ef´erentiels inertiels.
4

4 Formalisme
4.a Groupe de Lorentz
Soit la matrice m´etrique (g) = diag(1,−1,−1,−1,−1). On note X
‹·Y ‹≡X ‹
t(g)Y
‹(l’indice tnote
la transposition). Ainsi X
‹
2=s2. Le groupe des transformations qui conservent l’intervalle (et donc
le pseudo produit scalaire) correspond `a l’ensemble des matrice 4 ×4 qui v´erifient
(Λ)t(g)(Λ) = (g).(I.8)
Il est facile de v´erifier qu’il s’agit d’un groupe (non commutatif) : le groupe de Lorentz O(3,1).
De (I.8) on tire que detΛ = ±19. De l`a il vient que l’´el´ement de volume de l’hyper-espace d4X=
dX0dX1dX2dX3est invariant par transformation de Lorentz (on dit que c’est un “invariant de
Lorentz”), puisque d4X0=|detΛ|d4X. Les transformations de Lorentz conservent donc l’hyper-
volume.
En pratique on ne consid`ere que le “groupe de Lorentz restreint” qui conserve l’orientation de
l’espace et la direction du temps9, mais cette remarque n’a pas d’incidence dans le suite du cours.
4.b Notion de quadri-vecteur
Un quadri-vecteur est un vecteur `a 4 composantes qui se transforme selon la loi g´en´erique (I.5)
lors d’un changement de r´ef´erentiel. Les ´ev`enements X
‹= (ct, ~r ) sont bien-sˆur des quadri-vecteurs.
•On d´efinit ´egalement la quadri-vitesse et la quadri-impulsion d’une particule de masse mqui
a une trajectoire ~r(t) dans R:
U
‹=dX
‹
dτ=1
»1−~v 2/c2(c, ~v(t)) ,et P
‹=m U ‹.On a U ‹
2=c2et P
‹
2=m2c2.(I.9)
•Pour une particule de trajectoire ~ ξ(t) et de charge qon peut d´efinir la distribution de charge
ρ(~r, t) et la densit´e de courant ~ J(~r, t) :
ρ(~r, t) = q δ(3)
Ä~r −~
ξ(t)ä,et ~ J(~r, t) = qd~
ξ
dtδ(3)
Ä~r −~
ξ(t)ä.(I.10)
L’objet
J
e(~r, t) = Äcρ(~r, t),~
J(~r, t)ä=q δ(3)
Ä~r −~
ξ(t)ädξ
e
dt=ρ(~r, t)dX
‹
dt(I.11)
est un champ quadri-vectoriel : le quadri-courant.
Cela r´esulte de la conservation de la charge ´electrique : la charge ´el´ementaire d3q=ρ(~r, t)d3vcontenue `a
l’instant tdans l’´el´ement de volume d3vsitu´e autour de ~r doit ˆetre un invariant de Lorentz. Il en d´ecoule que
9. Le sous ensemble de O(3,1) form´e par les matrices de d´eterminant +1 est ´egalement un groupe appel´e SO(3,1),
sous-groupe “propre” (ou “sp´ecial”) de Lorentz. C’est le groupe engendr´e par les transformation sp´eciales de Lorentz
et les rotations d’espace. Terminologie : le “sp´ecial” dans le nom du sous-groupe [c’est `a dire le Sde SO(3,1)] n’a
rien `a voir avec les transformations sp´eciales.
On peut remarquer que |Λ0,0|>1 car la composante 0,0 de (I.8) s´ecrit Λ2
0,0−Pi=1,3(Λi,0)2= 1. Si Λ0,0>1 on dit
que la transformation est orthochrone (elle conserve le sens de l’´ecoulement temps). L’ensemble O+(3,1) [ou Oo(3,1)]
des transformations orthochrones est un sous-groupe de O(3,1). Enfin SO+(3,1) est le groupe de Lorentz restreint.
5