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L3 et Magistère de Physique Fondamentale
2016-2017
RELATIVITÉ RESTREINTE
Bibliographie sommaire
Voici une très courte liste de références bibliographiques (classées par ordre d’utilité décroissante
pour le cours) :
— Introduction à la relativité par D. Langlois (Vuibert, 2011).
— Théorie des champs par L. Landau et E. Lifchitz. Volume 2 du cours de physique théorique
(Mir, 1989). Noter que les unités des grandeurs électromagnétiques ne sont pas les unités
internationales utilisées en cours.
— Classical electrodynamics par J. D. Jackson (John Wiley, 1975).
Je suis joignable par e-mail : [email protected]
Ce texte est disponible en ligne au format pdf à l’adresse :
http://lptms.u-psud.fr/nicolas_pavloff/enseignement/
version du 15 mars 2017
1
Chapitre I : Principe de Relativité
1
Postulats d’ Einstein
• Les lois de la physique sont identiques dans tous les référentiels inertiels.
• La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs, quelle que soit
la vitesse de la source émettrice.
Nous allons dans un premier temps seulement utiliser le second postulat et l’isotropie et l’homogénéité de l’espace. On montre alors que l’intervalle s2 entre deux évènements (t1 , ~r1 ) et (t2 , ~r2 ) :
s2 = c2 (t2 − t1 )2 − |~r2 − ~r1 |2 ,
(I.1)
est invariant par changement de référentiel 1 .
En effet, il est clair que si s est nul dans un référentiel, il sera nul dans tous les autres. Considérons deux
évènements voisins séparés par ds2 = c2 dt2 − d~r 2 . Si ds2 6= 0 dans R, alors ds0 2 6= 0 dans R0 , et ces
deux quantités sont du même ordre (sinon la transformation de R vers R0 serait singulière). On peut donc
écrire ds0 2 = a ds2 . La quantité a ne peut dépendre ni de ~r, ni de t (homogénéité de l’espace-temps), ni
~ , vitesse relative de R0 par rapport à R (isotropie de l’espace) : donc a = a(|V
~ |). En
de la direction de V
0
2
effectuant deux transformations successives, de R vers R puis à nouveau vers R, on trouve que a2 = 1,
~ |) = 1. Il en découle que s0 2 = s2 .
donc a(|V
2
Transformation spéciale de Lorentz (“Lorentz boost”)
0
x = γ(x − V t) ,
0
2
t = γ(t − V x/c ) ,
(I.2)
où γ = (1 − V 2 /c2 )−1/2 .
0
x=
−c
t
D
x=
E
A
B
C
+L
Vt
x=
Vt
x=
x=
Vt
t
x0=
On considère deux référentiels : R = {O, x, y, z, t}
le référentiel “immobile” et R0 = {O0 , x0 , y 0 , z 0 , t0 }
le référentiel “en mouvement”. On se place dans le
cas où la vitesse de R0 par rapport à R est V ~ex , V
est algébrique (V > 0 sur le schéma ci-contre). On
utilise le diagramme espace-temps (x, t) dans R et
on montre que
+L
/2
Deux horloges immobiles l’une par rapport à l’autre sont synchronisées si elles indiquent la
même heure lorsqu’elles sont atteintes par des rayon lumineux émis simultanéments par un point
situé à mi chemin entre elles. De même, deux évènements sont simultanés dans un référentiel si des
rayons lumineux issus de chacun sont détectés ensemble au point milieu 3 .
ct
t0 = 0
x
Le raisonnement qui permet d’arriver à (I.2) est le suivant. Soient 3 points A, B et C, immobiles dans
R0 (B est le milieu de A et B). Leurs “lignes d’univers” dans R sont représentées ci-dessus (on note L
1. Noter qu’en mécanique non relativiste on conserve indépendamment t2 − t1 et |~r2 − ~r1 |. Noter également que
s est soit réel, soit imaginaire pur.
~ de R0 par rapport à R0 .
2. On utilise le fait que la vitesse de R par rapport à R0 est l’opposée de la vitesse V
C’est un résultat intuitif qui peut être démontré ; cf. Berzi et Gorini, J. Math. Phys. 10, 1518 (1969).
3. Milieu géométrique des deux parties spatiales.
2
l’espacement entre A et C dans R). D (resp. E) coı̈ncide dans R0 avec B (resp. C) et un rayon lumineux
émis depuis A arrive en D en même temps qu’un rayon lumineux émis depuis E : A et E sont donc simultanés
dans R0 . On détermine les coordonnées dans R des évènements D puis E : tD = 21 L/(c − V ), xD = c tD ;
tE = LV /(c2 − V 2 ), xE = Lc2 /(c2 − V 2 ). On remarque que tE = V xE /c2 : cela définit la droite t0 = 0. Si
l’on suppose que la relation entre (x0 , t0 ) et (x, t) est linéaire on est fondé à écrire 4 :
x0 = f (|V |)(x − V t) ,
t0 = g(|V |)(t − V x/c2 ) .
(I.3)
La vitesse de la lumière étant la même dans les deux référentiels, il faut que lorsque x = c t on ait également
x0 = c t0 ; cela impose f ≡ g. En considérant la transformation qui fait passer de R0 à R on obtient [en
faisant V → −V dans (I.3)]
x = f (|V |)(x0 + V t0 ) ,
t = f (|V |)(t0 + V x0 /c2 ) .
(I.4)
En combinant (I.3) et (I.4) on voit que f 2 (|V |) = (1 − V 2 /c2 )−1 , ce qui achève de démontrer (I.2).
2.a
Dilatation des durées
Pour l’observateur en mouvement (par exemple celui situé à l’origine dans R0 : xO0 = V tO0 ⇔
x0O0 = 0) le “temps propre” est t0O0 = tO0 /γ : t0O0 < tO0 le temps s’écoule plus lentement, on parle de
dilatation des durées 5 . Cela se généralise au cas d’une trajectoire quelconque : onRconsidère
une suc»
cession de “référentiels comobiles à l’instant t” et alors le temps propre est τ = dt 1 − v 2 (t)/c2 .
2.b
Contraction des des longueurs
Soit une règle horizontale immobile dans R0 . La longueur L = xC − xA de la règle mesurée dans
R sera mesurée dans R0 comme la distance entre A et E (simultanés dans R0 ). On a xE = Lγ 2 ,
tE = V xE /c2 donc L0 = x0E − x0A = γL. γ > 1 et donc L < L0 : la règle apparaı̂t plus courte dans le
référentiel R, c’est à dire pour un observateur en mouvement par rapport à elle ; c’est le phénomène
de contraction des longueurs. On appelle L0 la “longueur au repos” de la règle.
2.c
Lois de transformation
D’après (I.2) c2 t0 2 −x0 2 = c2 t2 −x2 . La conservation de l’intervalle impose donc y 0 2 +z 0 2 = y 2 +z 2
et, en réfléchissant un peu, y 0 − y et z 0 = z. On note 6 X = (X 0 = ct, X 1 = x, X 2 = y, X 3 = z) et
‹
alors
á
ë
γ
−βγ 0 0
−βγ
γ
0 0
X 0 = (Λ) X , avec Λ =
, où β = V /c.
(I.5)
0
0
1 0
‹
‹
0
0
0 1
4. C’est l’isotropie de l’espace qui impose que f et g soient des fonctions de |V | et non de V .
5. La relation est bien-sûr symétrique : si l’on considère l’observateur immobile à l’origine dans R (xO = 0), on
trouve x0O = −V t0O et tO = t0O /γ.
~ ).
6. On note également X = (ct, ~r ) = (X 0 , X
‹
3
2.d
Composition des vitesses
En différenciant (I.5) on obtient facilement
vx0 =
vx − V
,
1 − vx V /c2
vy0 =
vy
,
γ(1 − vx V /c2 )
vz0 =
vz
.
γ(1 − vx V /c2 )
(I.6)
Il est plus naturel de raisonner en exprimant ~v en fonction de ~v 0 ; pour inverser les relations (I.6)
il suffit de changer le signe de V . On obtient ensuite : si vx0 = c (vy0 = vz0 = 0) alors vx = c. Si
vy0 = c (vx0 = vz0 = 0) alors vx2 + vy2 + vz2 = c2 . Si vx0 = 0.9 c (vy0 = vz0 = 0) et V = 0.9 c, alors
1.8
vx = 1.81
c < c. En composant des vitesses proches de celle de la lumière, on ne dépasse jamais c.
On va se cantonner aux vitesses sub-luminales 7 .
3
Différents types d’intervalle. Causalité. Cône de lumière
On se place du point de vue de l’observateur situé à l’origine des coordonnées. Soit un évènement
P = (ct, ~r ) tel que s2 = c2 t2 − ~r 2 > 0 : on dit que l’intervalle entre l’origine O et P est de “genre
‹
‹
temps”.
Il est clair qu’on peut trouver un référentiel dans lequel O et P ont ‹
la même
position : il
‹
‹
~
suffit de considérer la transformation de Lorentz avec V = ~r/t (à 1+1 dimension V = x/t). Mais
par contre, P sera toujours dans le futur de O. En effet on a 8 (en prenant ~r = x ~ex ) :
‹
‹
c t > x > x V /c
(∀ V < c)
donc t0 = γ(t − V x/c2 ) > 0 .
(I.7)
Pour les intervalles de “genre espace” (s2 < 0) la situation est renversée : on peut trouver des
référentiels dans lesquels O et P sont simultanés (en prenant V = c2 t/x). On peut même changer
‹
l’ordre chronologique entre
O‹
et P , mais cela ne viole pas la causalité car ces 2 évènements ne
‹
‹
peuvent pas être reliés par un signal
se propageant à une vitesse sub-luminale.
Revenons sur la chronologie entre deux évènements : on dira que O précède P si t > 0 et si
‹
s > 0 (cette dernière condition est absente en physique non relativiste).‹
Représentation (en 1+1 dimension) du cône
de lumière dans un diagramme “espace-temps”
(également appelé diagramme de Minkowski).
P 1 est simultané dans R avec l’origine : par
‹
exemple
x1 = 150 × 106 km = distance TerreSoleil. L’intervalle entre O et P 2 (x2 = x1 et
‹
t2 = 8 mn) est du “genre ‹
lumière”.
P 3 est dans
le futur de O : il peut y avoir un lien ‹
de causalité
‹
entre O et P 3 .
‹
Le futur
et‹le passé sont à l’intérieur du “cône
de lumière”, cf. illustration en 2+1 dimensions
sur la page de couverture.
t
P3
futur
‹
t2
ailleurs
x
=
ct
P2
‹
x
O
P1
‹
‹
passé
7. L’existence de particules aux vitesses supralumineuses (des “tachyons”) a été suggérée dans plusieurs contextes
théoriques, sans induire de conséquences enthousiasmantes.
8. La démonstration qui suit est faite pour une transformation spéciale de Lorentz, mais elle se généralise à toutes
les transformations entre deux référentiels inertiels.
4
4
Formalisme
4.a
Groupe de Lorentz
Soit la matrice métrique (g) = diag(1, −1, −1, −1, −1). On note X · Y ≡ X t (g)Y (l’indice t note
‹
‹
‹
conservent
l’intervalle
(et donc
la transposition). Ainsi X 2 = s2 . Le groupe des transformations qui ‹
‹
le pseudo produit scalaire) correspond à l’ensemble des matrice 4 × 4 qui vérifient
(Λ)t (g)(Λ) = (g) .
(I.8)
Il est facile de vérifier qu’il s’agit d’un groupe (non commutatif) : le groupe de Lorentz O(3, 1).
De (I.8) on tire que detΛ = ±1 9 . De là il vient que l’élément de volume de l’hyper-espace d4 X =
dX 0 dX 1 dX 2 dX 3 est invariant par transformation de Lorentz (on dit que c’est un “invariant de
Lorentz”), puisque d4 X 0 = |detΛ| d4 X. Les transformations de Lorentz conservent donc l’hypervolume.
En pratique on ne considère que le “groupe de Lorentz restreint” qui conserve l’orientation de
l’espace et la direction du temps9 , mais cette remarque n’a pas d’incidence dans le suite du cours.
4.b
Notion de quadri-vecteur
Un quadri-vecteur est un vecteur à 4 composantes qui se transforme selon la loi générique (I.5)
lors d’un changement de référentiel. Les évènements X = (ct, ~r ) sont bien-sûr des quadri-vecteurs.
‹
• On définit également la quadri-vitesse et la quadri-impulsion
d’une particule de masse m qui
a une trajectoire ~r(t) dans R :
U=
‹
dX
1
(c, ~v (t)) ,
‹ = »
dτ
1 − ~v 2 /c2
et
P = mU .
‹
On a
‹
U 2 = c2
‹
et
P 2 = m2 c2 .
(I.9)
‹
~ et de charge q on peut définir la distribution de charge
• Pour une particule de trajectoire ξ(t)
~
ρ(~r, t) et la densité de courant J(~r, t) :
~
ρ(~r, t) = q δ (3) ~r − ξ(t)
,
Ä
ä
~
Ä
ä
~
~ r, t) = q dξ δ (3) ~r − ξ(t)
.
J(~
dt
et
(I.10)
L’objet
~
~ r, t) = q δ (3) ~r − ξ(t)
J (~r, t) = cρ(~r, t), J(~
Ä
ä
Ä
e
ä dξ
dX
r, t) ‹
e = ρ(~
dt
dt
(I.11)
est un champ quadri-vectoriel : le quadri-courant.
Cela résulte de la conservation de la charge électrique : la charge élémentaire d3 q = ρ(~r, t)d3 v contenue à
l’instant t dans l’élément de volume d3 v situé autour de ~r doit être un invariant de Lorentz. Il en découle que
9. Le sous ensemble de O(3, 1) formé par les matrices de déterminant +1 est également un groupe appelé SO(3, 1),
sous-groupe “propre” (ou “spécial”) de Lorentz. C’est le groupe engendré par les transformation spéciales de Lorentz
et les rotations d’espace. Terminologie : le “spécial” dans le nom du sous-groupe [c’est à dire le S de SO(3, 1)] n’a
rien à voir avec les transformations spéciales.
P
On peut remarquer que |Λ0,0 | > 1 car la composante 0, 0 de (I.8) sécrit Λ20,0 − i=1,3 (Λi,0 )2 = 1. Si Λ0,0 > 1 on dit
que la transformation est orthochrone (elle conserve le sens de l’écoulement temps). L’ensemble O+ (3, 1) [ou Oo (3, 1)]
des transformations orthochrones est un sous-groupe de O(3, 1). Enfin SO+ (3, 1) est le groupe de Lorentz restreint.
5
d3 qdX est un quadri-vecteur. Comme ce quadri-vecteur peut être mis sous la forme 1c d4 XJ (cf. l’expression
e
‹
de droite dans (I.11)) et que d4 X est un invariant de Lorentz, J est bien un quadri-vecteur.
e
~
• Pour une onde (pas nécessairement lumineuse) de pulsation ω et de vecteur d’onde k, l’objet
K = (ω/c, ~k ) est un quadri-vecteur 10 : le quadri-vecteur d’onde. Remarquer que pour une onde
f
~ est de type lumière : K 2 = 0 11 .
lumineuse, K
f
4.c
Notations covariantes
~ est la forme
On définit X0 = X 0 , X1 = −X 1 , X2 = −X 2 , X3 = −X 3 . Xµ = (X0 , −X)
2
µ
covariante du quadri-vecteur, et X sa forme contra-variante. On écrit X = X µ Xµ , c’est la
‹
convention d’Einstein : sommation sur les indices répétés situés à des altitudes
différentes. La
ν
ν
µ
µν
0µ
µ
relation (I.5) s’écrit donc X = Λ ν X . On a également Xµ = gµν X et X = g Xν .
5
Effet Doppler
On considère une source lumineuse S se déplaçant à vitesse constante
~ par rapport à l’observateur O. La géométrie la plus générale est
V
~ = V ~ex ). On affuble d’un indice 0
représentée sur la figure ci-contre (V
toutes les quantités évaluées dans le référentiel propre R0 de la source.
La transformation (I.5) donne ω0 = γ(ω − V kx ) et kx = k cos θ avec
k = ω/c (source lumineuse : K 2 = 0). D’où
S
~
V
~k
θ
f
ω0
ω=
,
γ(1 − β cos θ)
avec
γ −1 =
»
1 − β2
et
β = V /c . (I.12)
O
Considérons 3 cas particuliers :
→ θ = 0. ω = ω0
q
→ θ = π. ω = ω0
1+β
q1−β
1−β
p1+β
> ω0 : blue shift. Le résultat non relativiste 12 est ω = ω0 /(1 − β).
< ω0 : red shift 13 . Le résultat non relativiste est ω = ω0 /(1 + β).
→ θ = π2 . ω = ω0 1 − β 2 : red shift. Le résultat non relativiste est ω = ω0 .
10. Cette propriété découle du fait que la phase de l’onde qui se met sous la forme ωt − ~k · ~r = K · X doit être un
‹ les
‹ référentiels).
invariant de Lorentz (puisque deux maxima consécutifs sont séparés par une phase de 2π dans tous
Elle est démontrée d’une manière moins concise au TD2.
11. Noter au passage que la relation de dispersion des ondes lumineuses est invariante de Lorentz.
12. Il est obtenu en faisant γ = 1 dans (I.12).
5
13. En astrophysique on appelle “red shift” (décalage vers le rouge) la quantité z = (ω0 − ω)/ω calculée pour θ = π. Dans le cadre de l’expansion
4
de l’univers, elle traduit la vitesse d’éloignement d’une source, et permet
3
donc de remonter à sa distance si l’on connait la constante de Hubble. Le
z
décalage est une quantité intéressante car il n’est pas particulier à un type
2
d’atome, ni à un type de raie (il est le même sur l’ensemble du spectre). Le
1
résultat classique est zclass = 1, il est représenté par une ligne discontinue
sur le graphe ci-contre. On a mesuré des décalages allant jusqu’à z ∼ 6 ou
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
7 (galaxies lointaines et/ou quasars).
β
6
Chapitre II : Mécanique relativiste
1
Lagrangien libre
L’action doit être un invariant de Lorentz, on peut justifier que c’est une conséquence du premier
postulat d’Einstein. Pour
la trajectoire libre d’une particule entre deux évènements (ta , ~ra ) et (tb , ~rb )
Rb
on prendre donc S ∝ a ds. Il faut que S soit homogène à une énergie multipliée par un temps et
on prend donc
2
S = −mc
Z b
dτ =
a
Z b
Ldt ,
avec
L = −mc
2
a
1−
~v 2
c2
1
' −mc2 + m~v 2 .
2
vc
(II.1)
Dans le terme de droite de (II.1) le préfacteur (−mc2 ) et son signe permettent de retrouver le
résultat non relativiste aux basses vitesses. L’impulsion associée à ce lagrangien est p~ où pi = ∂L/∂vi
P
avec i = x, y ou z. L’énergie est E = i pi vi − L (revoir le cours de mécanique). Ces relations
s’écrivent sous forme condensée
~ ~v L = » m ~v
p~ = ∇
,
1 − ~v 2 /c2
m c2
E = p~ · ~v − L = »
.
1 − ~v 2 /c2
(II.2)
On remarque que (E/c, p~ ) = P , cf. (I.9). Ce n’est pas un accident si la combinaison de E/c et
‹
p~ forme un quadri-vecteur. C’est
une conséquence de l’invariance de Lorentz de S et du principe
variationnel, comme il est démontré dans le paragraphe qui suit (qui peut être sauté par le lecteur
pressé).
On considère une ligne d’univers X µ (t) (peut-être non physique) qui
R conduit la particule de
p(ta , ~ra ) à
(tb , ~rb ). On étudie les variations de S lorsque X µ → X µ +δX µ . δS = −mc δds, où, puisque ds = dX µ dXµ
dXµ δdX µ + dX µ δdXµ
1
dX δdX µ
dXµ
p µ
p
δdX µ =
Pµ δdX µ .
(II.3)
=
=
µ
µ
ds
mc
2 dX dXµ
dX dXµ
R
On a également 1 δdX µ = dδX µ et donc δS = − Pµ dδX µ . Une intégration par parties donne alors
δds =
δS =
b
− [Pµ δX µ ]a
Z
+
b
δX µ dPµ .
(II.4)
a
Avec les hypothèses du principe variationnel [δX µ (a) = δX µ (b) = 0] le premier terme est nul et on voit que
le principe d’action extrémale impose que dPµ = 0 : la quadri-impulsion de la particule libre se conserve
pour la trajectoire physique.
Si on étudie maintenant les variations de l’action le long de la trajectoire physique, en changeant seulement la coordonnée de l’évènement d’arrivée δX µ = δX µ (b) (avec toujours le même point de départ :
δX µ (a) = 0) alors le second terme du membre de droite est nul (on est sur la trajectoire physique) et il reste
δS = −Pµ δX µ = −P · δX . Puisque S est un invariant de Lorentz, et puisque δX est un quadri-vecteur, il
‹ également
›
est naturel que P soit
un “bon quadri-vecteur”. La relation que l’on ›
vient d’obtenir s’écrit
‹
Å
ã
E
∂S
∂S
∂S
,
soit,
puisque
P
=
,
−~
p
: E =−
et px =
(idem pour y et z) . (II.5)
Pµ = −
µ
∂X µ
c
∂t
∂x
d
d
1. Cela se comprend bien en divisant par dt par exemple : δ dt
X µ = dt
δX µ : lorsqu’on fait varier la trajectoire,
d
même si elle est non physique, la position et la vitesse changent de manière coordonnée : δ ~v = dt
δ~r.
7
Les lois de la mécanique analytique étant cohérentes entre elles, les deux formules de droite de (II.5)
conduisent donc aux formes (II.2) de l’impulsion et de l’énergie puisqu’elle correspondent au même lagrangien que celui qui donne (II.2) 2 . Et la relation de droite de (II.5) assure alors que la combinaison (E/c, p~ )
est un “bon quadri-vecteur”.
On obtient facilement les formules utiles :
E 2 = p2 c2 + m2 c4 ,
p~ =
E
~v .
c2
(II.7)
La première découle de l’écriture P = (E/c, p~ ) et de P 2 = m2 c2 , la seconde de la comparaison de
‹
‹
cette écriture avec (I.9) : P = mγ(c,
~v ).
‹
On peut définir une quadri-impulsion
pour les photons, non pas à partir de (II.2) qui est
singulière (m = 0 et v = c), mais en utilisant (II.7). On aura alors E = c p et P 2 = 0. Un autre
quadri-vecteur associé au rayonnement (monochromatique) a une pseudo-norme‹nulle, c’est K . Il
f
est physiquement clair que p~ et ~k sont colinéaires, on peut les supposer proportionnels ; E et ω le
seront donc également, et on postule la relation 3 P = ~ K .
‹
2
f
Collisions et conservation de la quadri-impulsion
En l’absence de champ extérieur, l’impulsion d’un système composé de N points matériels en
interaction est une quantité conservée. C’est une loi fondamentale de la mécanique newtonienne qui
découle du principe d’action et de réaction. Si l’on veut en donner une version relativiste, le premier
postulat d’Einstein nous impose de dire que la bonne quantité conservée est la quadri-impulsion.
Ainsi, lors d’une collision on aura :
X
i
Pi
‹ initial
=
X
n
Pn
‹
final
.
(II.8)
Donc, non seulement on conserve la somme des vecteurs impulsion, mais également la somme
des énergies (composante temporelle de la quadri-impulsion). Il en ressort naturellement (mais
surprenamment) que la masse n’est pas une quantité conservée au cours d’une collision : la masse
d’une particule est une mesure de l’énergie qu’elle contient 4 , cf. exo 1 du TD3. Ainsi un changement
de masse traduit l’inélasticité d’un choc, et au cour d’une collision on peut même créer des particules
(c’est à dire de la masse).
2. Le sceptique pourra faire la vérification directe à une dimension : pour la particule libre à 1D qui va de 0 à x
en un temps t à vitesse vx = x/t, si on déplace l’évènement final de δx et δt il faudra changer vx . Le nouveau vx sera
vx + δvx = (x + δx)/(t + δt) et cela
p donne δvx = (δx − vx δt)/t. La variation correspondante de l’action le long de la
trajectoire physique (S = −mc2 t 1 − vx2 /c2 ) sera
δS = −m c2 δt
p
m c2 t
vx δvx
m c2
m vx
= −p
δt + p
δx .
1 − vx2 /c2 + p
2
1 − vx2 /c2 c
1 − vx2 /c2
1 − vx2 /c2
(II.6)
On retrouve donc bien (II.5) où E et px sont donnés par (II.2).
3. C’est une relation quantique qui a été écrite pour la première fois par Planck sous la forme E = h ν pour donner
la valeur du quantum d’énergie dans son analyse du rayonnement du corps noir (1901), puis réinterprétée comme
énergie du photon (“Lichtquant” dans le texte) par Einstein dans son article de 1905 sur l’effet photo-électrique. On
l’appelle relation de Planck-Einstein.
4. Einstein 1905 : “L’inertie d’un corps dépend-elle de son contenu en énergie ?”. La réponse à cette question (“Ist
die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig ?” dans le texte) est : Ja, Herr Professor !
8
2.a
Diffusion Compton
Il s’agit de la collision d’un photon sur un électron au repos.
La conservation de la quadri-impulsion s’écrit
P γ + P e = P 0γ + P 0e .
‹
‹
‹
(II.9)
‹
On en déduit que (P γ − P 0γ )2 = (P 0e − P e )2 . Le premier
‹0 2
terme de cette égalité‹vaut ‹
−2(1−cos‹θ) Eγ E
γ /c et le second
2
2
0
2
2me c − 2Ee Ee /c . En notant que Ee = me c2 et que d’après
(II.9) Ee0 = me c2 + Eγ − Eγ0 il vient
Eγ0 =
p~e0
me c2 Eγ
,
me c2 + Eγ (1 − cos θ)
soit, en écrivant Eγ = hc/λ et Eγ0 = hc/λ0 :
λ0 = λ + λC (1 − cos θ) = λ + 2 λC sin2
θ
2
Å ã
,
(II.10)
où λC = h/(me c) = 0.0243 Å est appelée la longueur de
Compton de l’électron. Dans l’expérience originelle (1923)
Compton envoyait des rayons γ avec λ = 0.022 Å sur une
cible de graphite et a obtenu le relevé ci-contre.
2.b
Référentiel du centre de masse
Il est souvent utile de travailler dans le référentiel du centre de masse (cf. votre expérience en
physique classique et les TDs de ce cours). Pour un ensemble de N particules, c’est le référentiel
dans lequel la composante spatiale de la quadri-impulsion totale est nulle.
Il faut démontrer que ce référentiel existe : prenons le cas de deux particules, d’impulsions P 1 et P 2 , dont
‹ ·P ‹> 0. La
l’une au moins a une masse (par exemple la particule 1). (P 1 +P 2 )2 = P 21 +P 22 + 2 P 1 ·P 2 > 2 P
1
2
‹
‹
‹
‹ particule
‹
‹
‹
‹
dernière égalité est obtenue en calculant le pseudo-produit scalaire dans le référentiel propre de la
massique : dans ce référentiel P 1 = (E1 /c, ~0 ) et alors il est clair que P 1 ·P 2 = E1 E2 /c2 > 0. Donc P = P 1 +P 2
‹ “futur”, cad. que P 0 > 0), et on peut,
‹ ‹avec une transformation‹spéciale
‹ ‹
de
est de genre “temps” (et même
Lorentz annuler sa partie spatiale 5 .
Il est intéressant de discuter le cas de deux photons. Dans ce cas (P 1 +P 2 )2 = 2 P 1 ·P 2 = 2 (p1 p2 −~
p1 ·~
p2 ) =
‹
‹ ‹de genre temps (et on
2 p1 p2 (1 − cos θ) où θ est l’angle entre p~1 et p~2 . On a donc bien une‹impulsion
totale
peut donc définir un référentiel du centre de masse), sauf dans le cas où les impulsions des deux photons ont
la même direction (θ = 0). C’est bien normal, puisque dans ce cas P est de genre lumière, et pouvoir définir
‹
le référentiel du centre de masse reviendrait à pouvoir définir un référentiel
propre pour le photon.
5. Montrez le en exercice.
9
2.c
Seuil de création : coupure GZK
C’est aujourd’hui un fait attesté que l’on ne détecte presque pas de rayonnement cosmique
dont l’énergie soit supérieure à environ 1020 eV. Cette coupure haute avait été prédite dès 1966 en
considérant la collision de protons de haute énergie avec le fond diffus cosmologique (observé en
1965), selon la réaction : p + γ → n + π + . La différence d’énergie de masse (mn + mπ )c2 − mp c2
est positive, de sorte qu’il faut que les composants initiaux aient une énergie suffisamment élevée.
Décrivons la cinématique de la réaction :
On doit avoir (P γ + P p )2 = (P n + P π )2 . Évaluons le seuil de production dans le référentiel
‹
‹
‹
‹
du centre de masse. Dans ce cas le neutron et le pion sont produits au repos : P ∗n = (mn c, ~0 )
‹
et P ∗π = (mπ c, ~0 ), de sorte que (P ∗n + P ∗π )2 = (mn + mπ )2 c2 . Revenons dans le référentiel du
‹
‹
‹
“laboratoire”
(ou plutot du vide intersidéral).
La pseudo-norme étant un invariant de Lorentz on
a, au seuil,
(P γ + P p )2 = (mn + mπ )2 c2 ,
(II.11)
‹
‹
où P γ = (Eγ /c, p~γ ) et P p = (Ep /c, p~p ). Alors P γ ·P p = Eγ Ep /c2 −~
pγ ·~
pp . En faisant une approximation
‹
‹ ‹
2 (1−cos θ) où θ est l’angle entre les impulsions
ultra-relativiste
pp ' E‹
/c
cela
donne
P
·P
=
E
E
/c
p
γ
p
γ p
‹
du photon et du proton. On obtient ‹
donc,
en réinsérant dans (II.11)
Ep =
(mn + mπ )2 c4 − m2p c4
.
2Eγ (1 − cos θ)
(II.12)
L’énergie de seuil est minθ {Ep } (l’énergie des photons est celle du fond diffus cosmique Eγ = 7×10−4
eV). Elle bien-sûr obtenue pour θ = π (collision frontale). En prenant mn = 939.6 MeV/c2 , mπ =
139.6 MeV/c2 et mp = 938.3 MeV/c2 on obtient 6 Ep |seuil ' 1.0 × 1020 eV.
6. Noter que Ep |seuil mp c2 , ce qui légitime a posteriori l’approximation ultra-relativiste.
10
Chapitre III : Électrodynamique
1
Formalisme covariant. Jauge de Loren(t)z. Quadri-potentiel
On commence par une remarque : l’opérateur ∂µ ≡
vectoriel covariant.
~ est un opérateur quadri= ( 1c ∂t , ∇)
∂
∂X µ
En effet on a X 0µ = Λµν X ν où, dans le cas de la transformation spéciale de Lorentz par exemple, Λµν
est donné par (I.5). On peut également écrire Xµ0 = Λµν Xν avec Λµν = gµσ g ντ Λστ . On remarque que gµν
et g µν jouent le rôle d’acenseurs d’indice. La conservation de la pseudo-norme impose 1 Λµσ Λµν = δσν . Cette
relation est simplement une autre manière d’écrire (I.8) (multipliée par (g)). Elle permet d’écrire
Λµν X 0µ = Λµν Λµσ X σ = X ν ,
donc
∂X ν
= Λµν .
∂X 0µ
(III.1)
Ensuite les lois de changement de variable s’écrivent
∂µ0 (..) =
∂(..)
∂(..) ∂X ν
=
= Λµν ∂ν (..) ,
∂X 0µ
∂X ν ∂X 0µ
où on a utilisé (III.1) . cqfd.
(III.2)
∂
~ est un opérateur quadri-vectoriel
= ( 1c ∂t , −∇)
Bien-sûr on démonter de même que ∂ µ ≡ ∂X
µ
µ
contravariant. Le d’Alembertien, qui est la combinaison ∂µ ∂ = c−2 ∂t2 − ∆ = , est un invariant
de Lorentz, c’est à dire qu’il a la même expression dans tous les référentiels.
~ ·A
~ + c−2 ∂t φ = 0) permettent de relier les
Les équations de Maxwell en jauge de Loren(t)z (∇
potentiels aux charges selon la relation simple :
Ä
ä
φ ~
, A = µ0 c ρ, J~ .
c
Å
ã
(III.3)
Comme l’opérateur est un opérateur invariant et comme le terme de gauche de (III.3) est un
~ ) est donc un champ
champ quadri-vectoriel [puisqu’il s’écrit µ0 J , cf. (I.11)], la quantité (φ/c, A
e
quadri-vectoriel : le quadri-potentiel A(~r, t).
‹
2
Mouvement d’une particule test. Couplage minimal
En présence d’un champ électromagnétique on écrit l’action d’une particule test son la forme
S = S0 + Sint où S0 est l’action libre (II.1) et Sint est un invariant de Lorentz qui couple
la particule
R
au champ électromagnétique. On essaie le couplage le plus simple : Sint = −q ab Aµ dX µ . On a
~ et dX µ = (c dt, d~r = ~v dt), ce qui donne L = L0 + Lint avec
Aµ = (φ/c, −A)
~ r, t) · ~v ,
Lint = −q φ(~r, t) + q A(~
et, bien-sûr,
»
L0 = −m c2 1 − ~v 2 /c2 .
(III.4)
~ ~v (L0 + Lint ) = p~ + q A
~ où p~ est donné par
La quantité canonique conjuguée de la position est ~π = ∇
d
~ 0 + Lint ) se met sous la forme 2
(II.2). L’équation de Lagrange dt ~π = ∇(L
Ä
ä
d~
p
~ + ~v ∧ B
~ .
=q E
dt
(III.5)
1. Il suffit d’écrire X 0µ Xµ0 = X ν Xν = δσν X σ Xν , où X 0µ = Λµσ X σ et Xµ0 = Λµν Xν .
~ A
~ ·~v ) = (~v · ∇
~ )A
~ +~v ∧ (∇
~ ∧A
~ ). Cette formule se démontre
2. Le calcul n’est pas difficile, il faut juste savoir que ∇(
~ constant (il joue le rôle de ~v dans la formule précédente), alors on peut
“à l’envers” : on considère un vecteur C
~ ∧ (∇
~ ∧A
~ ) = ∇(
~ A
~·C
~ ) − (C
~ ·∇
~ )A.
~
vérifier directement que C
11
Puis l’énergie de la particule est
E = ~π · ~v − L = »
mc2
1 − ~v 2 /c2
+ q φ(~r, t) .
(III.6)
C’est une quantité conservée pourvu que les champs ne dépendent pas du temps.
» En effet on trouve
dE0
dE
2
~
~
v · ∂t A ), ce qui est équivalent à dt = q ~v · E(~r, t), où E0 = mc / 1 − ~v 2 /c2 . Quel est
dt = q(∂t φ − ~
le sens physique de cette équation ?
Le hamiltonien est simplement l’énergie exprimée en fonction des variables canoniques 3 ~π et ~r :
H=
3
…
Ä
~
~π − q A
ä2
vc
c2 + m2 c4 + q φ ' m c2 +
ä
1 Ä
~ 2 +qφ .
~π − q A
2m
(III.7)
Notion de tenseur
C’est un objet à n indices, dont certains sont covariants et d’autres contravariants, et qui
se transforme comme suit lors d’un changement de référentiel (exemple pour 3 indices, dont 2
contravariants) :
T 0αβ γ = Λαµ Λβ ν Λγ σ T µν σ .
(III.8)
Bien-sûr la quantité T µνσ = g ντ T ατ γ est également un tenseur qui a les bonnes propriétés de
transformation (on dit qu’il est 3 fois contravariant), idem pour T µνσ etc. On a les propriétés :
T0 0 = T 00 = T 00 = T00 alors que T0 1 = T 01 = −T 01 = −T01 et que T3 1 = −T 31 = T 31 = −T31 . La
règle est : changer un indice 0 d’altitude ne change pas le signe ; changer un indice i (i ∈ {1, 2, 3})
d’altitude change le signe.
Un tenseur est dit “symétrique” (resp. “antisymétrique”) dans deux de ses indices si T αβ =
T βα (resp. T αβ = −T βα ). Il est clair que T 0αβ et Tαβ ont les mêmes propriétés de symétrie ou
d’antisymétrie que T αβ . T αβ n’a par contre aucune propriété de symétrie si T αβ en a. On peut
juste remarquer que si T αβ est symétrique, alors T αβ = Tβ α . Dans ce cas on s’autorise à noter Tβα ,
comme pour le symbole de Kronecker δβα .
La “contraction” d’un tenseur est par exemple la quantité T µµσ . Il est facile de vérifier que c’est
un tenseur de rang n − 2 (dans l’exemple précédent T µµσ est un tenseur de rang 1, c’est à dire
un quadri-vecteur). Pour un tenseur à deux indices T µµ est un invariant de Lorentz, ce n’est plus
vraiment un tenseur, on parle de “scalaire de Lorentz”. 4
4
Tenseur électromagnétique et équations de Maxwell
Le tenseur électromagnétique (ou tenseur de Faraday) est la quantité Fµν (~r, t) = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
On obtient :
á
Fµν =
ë
0
Ex /c Ey /c Ez /c
−Ex /c
0
−Bz
By
−Ey /c Bz
0
−Bx
−Ez /c −By
Bx
0
p
á
, F µν =
p
ë
0
−Ex /c −Ey /c −Ez /c
Ex /c
0
−Bz
By
Ey /c
Bz
0
−Bx
Ez /c −By
Bx
0
. (III.9)
~
3. On utilise la relation (II.7) : mc2 / 1 − ~v 2 /c2 = p
~ 2 c2 + m2 c4 avec ici p
~ = ~π − q A.
αβ
αβ
4. Petit exercice : Soit A un tenseur antisymétrique et S un tenseur symétrique. Que vaut le scalaire Aαβ Sαβ ?
12
Comme F est antisymétrique, F µµ = 0. On peut construire des scalaires plus intéressants :
~ 2 − 12 E
~ 2 ) , et également : det F µν = (E
~ · B/c)
~ 2.
Fµν F µν = 2(B
c
Les équations de Maxwell s’écrivent sous forme covariante 5 :
∂α Fβγ + ∂β Fγα + ∂γ Fαβ = 0 ,
et
∂α F αβ = µ0 J β .
(III.10)
On peut remarquer que l’équation du mouvement (III.5) d’une particule test se met sous la forme 6
dP µ
= q F µν Uν .
dτ
(III.11)
Le même type de raisonnement que celui qui a été utilisé à la section 1 du chapitre II montre
qu’il est naturel que l’équation (III.5) puisse être mise sous une forme covariante, comme l’exige
le premier postulat d’Einstein : cela découle de l’invariance de Lorentz de l’action et du principe
variationnel.
5
Lois de transformation des champs
On a bien-sûr F 0αβ = Λαµ Λβ ν F µν . Cela s’écrit sous forme matricielle : F 0 = ΛF Λt . Cela vaut
la peine de faire le calcul explicite pour la transformation spéciale de Lorentz (I.5). On trouve

0

 Ex = Ex
E 0 = γ(E − V B )
y
z
y

 E 0 = γ(E + V B )
z
y
z
,

0

 Bx = Bx
B 0 = γ(B + βE /c)
y
z
y

 B 0 = γ(B − βE /c)
z
y
z
.
(III.12)
~ k du champ électrique qui est parallèle à la vitesse est inchangée
On remarque que la composante E
~ se transforme comme E
~ 0 = γ(E
~⊥ + V
~ ∧B
~ ). On fait le même
alors que celle perpendiculaire à V
⊥
~ et cela permet de mettre la transformation sous une forme générale,
type d’analyse pour le champ B
valable pour tous les changements de référentiels :

Ä
ä
Ä
ä
~ ·E
~ ~

~k + γ E
~⊥ + V
~ ∧B
~ =γ E
~ +V
~ ∧B
~ + (1 − γ) V
~0=E

V ,
 E
V2

~ ·B
~ ~

~ =γ B
~ − V~2 ∧ E
~ + (1 − γ) V
~0=B
~k + γ B
~ ⊥ − V~2 ∧ E
 B
2 V .
c
c
V
5. On donne parfois à la première relation le nom d’identité de Bianchi.
6. Voyez-vous à quoi correspond la composante µ = 0 de (III.11) ?
13
(III.13)