lecon 5 quelques aspects topologiques des espaces de hilbert

Universite Abdehamid Ibn Badis de Mostaganem
Faculte des Sciences Exactes et des Siences de la Nature et de la Vie
Departement de Mathematiques
1ere Annee Master AF-AH-MCO
Matiere : Theorie des Operateurs Lineaires I
Responsable : Sidi Mohamed Bahri
Quelques Aspects Topologiques des espaces de
Hilbert
(14 Novembre 2010)
Dans notre cours, nous avons insiste sur l'analogie entre les espaces euclidiens
et les espaces de Hilbert. Cette analogie fonctionne bien tant que l'espace vecto-
riel et les structures geometriques d'un espace de Hilbert sont concernes. Mais
dans le cas des espaces de Hilbert de dimension innie il existe des dierences
essentielles lorsque nous examinons les structures topologiques sur ces espaces.
Il s'avere que dans un espace de Hilbert de dimension innie la boule unite
n'est pas compacte (par rapport a la topologie naturelle ou la topologie de la
norme). Ainsi, dans un tel cas, il existe tres peu d'ensembles compacts d'un
certain inter^et pour l'analyse. En consequence une topologie plus faible dans
laquelle la boule unite fermee est compacte est d'une grande importance. Cette
topologie est appelee la topologie faible.
1 Compacite
Nous commencons par rappeler quelques notions de base des ensembles com-
pacts. si Mest un sous ensemble d'un espace norme X, un systeme Gde sous
ensembles Gde Xest appele un recouvrement de Msi, et seulement si,
M [G2G G: Si tous les ensembles dans Gsont ouverts un tel recouvrement est
dit recouvrement ouvert de M. Un sous-ensemble Kde Xest appele compact si,
et seulement si, tout recouvrement ouvert de Kcontient un sous recouvrement
ni, c'est a dire, il ya des G1; :::; GN2 G tel que K [N
i=1Gi:
Toute suite innie (xn)n2Ndans un ensemble compact Kcontient une suite
qui converge vers un point dans K(Theoreme de Bolzano-Weierstrass). Si
Kest un ensemble tel que toute suite innie dans Ka une suite convergente,
alors Kest appele sequentiellement compact. On montre que, dans un
espace norme un ensemble est compact si, et seulement si, il est sequentiellement
compact. Ceci est tres pratique dans les applications et est utilise frequemment.
B. Bolzano a ete le premier a souligner l'importance de cette propriete pour une
introduction rigoureuse a l'analyse.
Une fonction continue a valeurs reelles est bornee sur un ensemble compact,
atteint ses valeurs extremales (rninimale et maximale) (Theoreme de Weier-
strass) et est equicontinue (theoreme de Heine).
Le theoreme de recouvrement de Heine-Borel stipule qu'un sous-ensemble K
Knest compact si, et seulement si, il est ferme et borne. Dans les espaces
1

normes de dimension innie cette equivalence n'est pas vrai comme le montre
le theoreme important suivant:
Theorem 1 (Theoreme de F. Riesz) Supposons (X; kk)un espace norme
et B=B1(0) designe la boule unite fermee de centre 0. Alors Best compact si
et seulement si Xest de dimension nie.
Proof. (voir [1], page 236).
Pour un espace de Hilbert de dimension innie il existe une autre preuve du
fait que sa boule unite fermee n'est pas compact. Pour un tel espace de Hilbert
on peut trouver un systeme orthonorme avec un nombre inni d'elements :
fen:n2Ng  B. Pour n; m 2N; n 6=mon a kenemk=p2:
Remark 2 Une consequence evidente du theoreme1 est que dans un espace
norme de dimension innie X, les ensembles compacts ont un interieur vide.
C'est pourquoi, dans de tels cas l'unique fonction continue f:X+Ka support
compact est la fonction nulle.
Rappelons qu'un espace est appele localement compact si, et seulement si,
chaque point a un voisinage compact. D'ou un espace norme localement compact
est de dimension nie.
2 La topologie faible
Comme le montre le theoreme de F. Riesz, la boule unite fermee dans un es-
pace de Hilbert de dimension innie Hn'est pas (sequentiellement) compacte.
Nous allons introduire une topologie plus faible sur Hpar rapport a laquelle
la caracterisation commode des ensembles compacts, tel que nous le savons sur
les espaces euclidiens Kn;est veriee. En particulier le theoreme de Bolzano-
Weierstrass est valable pour cette topologie faible.
Denition 3 Soit Xun espace norrned et X0son dual topologique. La topologie
faible sur X,(X; X0), est la moins ne topologie localement convexe sur Xtelle
que tout f2X0est continue.
Une base de voisinages d'un point xo2Xpour la topologie (X; X0)est
donnee par le systeme d'ensembles suivant :
U(xo;f1; : : : ; fn;r); f1; : : : ; fn2X0; r > 0; n 2N;
U(xo;f1; : : : ; fn;r) = fx2X:jfi(xx0)j< r; i = 1; : : : ; ng:
En particulier : pour un espace de Hilbert H, une base de voisinages pour la
topologie faible est :
U(xo;y1; : : : ; yn;r); y1; : : : ; yn2H; r > 0; n 2N;
U(xo;y1; : : : ; yn;r) = fx2H:jyi(xx0)j< r; i = 1; : : : ; ng:
2

Il est important d'^etre conscient des faits elementaires suivants sur la topolo-
gie de =(X; X0) d'un espace norme X. Elle compte moins d'ensembles
ouverts et donc moins d'ensembles fermes que la topologie forte ou la topologie
de la norme. Par consequent, si un sous-ensemble AXest ferme pour la
topologie faible il est aussi ferme pour la topologie forte. Mais la reciproque
n'est pas vraie en general. Toutefois, pour un ensemble convexe il est ferme
pour si, et seulement si, il est ferme pour la topologie forte.
Dans le cas d'un espace norme de dimension nie X, la topologie faible et la
topologie forte co•ncident. On peut eectivement montrer que cette propriete
caracterise les espaces normes de dimension nie.
Bien que cela devrait decouler directement de la denition ci-dessus nous al-
lons formuler explicitement les concepts de convergence pour la topologie faible.
Denition 4 Soit Hun espace de Hilbert muni du produit scalaire h;i et
(xn)n2Nune suite dans H.
1. La suite (xn)n2Nconverge faiblement vers xsi, et seulement si, pour tout
u2Hla suite numerique (hu; xni)n2Nconverge vers le nombre hu; xi.x
est appele limite faible de la suite (xn)n2N.
2. La suite (xn)n2Nest une suite de Cauchy faible, i.e., une suite de Cauchy
pour la topologie faible, si, et seulement si, pour tout u2Hla suite
numerique (hu; xni)n2Nest une suite de Cauchy.
Quelques consequences immediates de ces denitions sont les suivantes :
Lemma 5 Supposons que Hest un espace de Hilbert avec le produit scalaire
h;i.
a) Une suite faiblement convergente est une suite de Cauchy faible.
b) Une suite a au plus une limite faible.
c) Tout systeme orthonormal inni converge faiblement vers zero.
Proof. (voir [1], page 238).
Problem 6 Comment sont liees les convergences forte et faible?
Solution 7 Certes, si une suite (xn)n2Nconverge fortement vers x2H, alors
elle converge aussi faiblement et vers la m^eme limite. Cela resulte facilement
de l'inegalite de Schwarz : pour tout u2H
jhu; x xnij  kukkxxnk:
La relation entre les deux concepts de convergence est bien comprise comme le
montre le theoreme suivant.
3

Theorem 8 Soit Hun espace de Hilbert muni du produit scalaire h;i et (xn)n2N
une suite dans H. Cette suite converge fortement vers x2Hsi, et seulement
si, elle converge faiblement vers xet limn!1 kxnk=kxk:
Proof. (voir [1], page 239).
Il ya quelques faits simples mais importants qu'impliquent ces resultats.
La boule unite ouverte B1=fx2H:kxk<1gd'un espace de Hilbert
Hde dimension innie n'est pas ouverte pour la topologie faible. Car
autrement tout ensemble qui est ouvert pour la topologie forte serait ou-
vert pour la topologie faible et donc les deux topologies seraient identiques.
Le sphere unite S1=fx2H:kxk= 1gd'un espace de Hilbert Hde
dimension innie est fermee pour la topologie forte, mais pas pour la
topologie faible. La fermeture faible de S1, a savoir, la fermeture de S1
relativement a la topologie faible est egale a la boule unite fermee B1=
fx2H:kxk  1g.
Une premiere etape importante pour montrer que la boule unite fermee d'un
espace de Hilbert est compacte pour la topologie faible est de montrer que les
suites fortement bornees ont des sous suites faiblement convergentes.
Theorem 9 Toute suite (xn)n2Ndans un espace de Hilbert Hqui est fortement
bornee, c'est a dire, il existe un M < 1tel que kxnk  Mpour tout n2N, a
une sous suite faiblement convergente.
Proof. (voir [1], page 240).
L'un des principes fondamentaux de l'analyse fonctionnelle est le principe
de la bornitude uniforme. Il est egalement largement utilise dans la theorie des
espaces de Hilbert. Nous donnons la version de ce principe pour les espaces
de Banach qui est de toute evidence susante pour la theorie des espaces de
Hilbert.
Denition 10 Soit Xun espace de Banach muni de la norme kk et fT;:2Ag
une famille de fonctionnelles lineaires continues sur X(Aun ensemble d'indices
arbitraire). On dit que cette famille est
1. ponctuellement bornee ou bornee point par point si, et seulement
si, pour tout x2Xil existe une constante reelle Cx<1telle que
sup
2AjT(x)j  Cx;
2. uniformement bornee ou de norme bornee si, et seulement si,
sup
2A
sup fjT(x)j:x2X; kxk  1g=C < 1:
4

De toute evidence, toute famille de fonctionnelles lineaires continues uni-
formement bornee est ponctuellement bornee. Pour une certaine classe d'espaces
l'inverse est egalement vrai et est appele le principe de la borne uniforme. Il fut
d'abord constate par Banach et Steinhaus pour les espaces de Banach.
Nous commenconsons, pour la demonstration de ce resultat fondamental,
par un lemme elementaire.
Lemma 11 Une famille fT;:2Agde fonctionnelles lineaires continues sur
un espace de Banach Xest uniformement bornee si, et seulement si, cette
famille est uniformement bornee sur une certaine boule Br(x0) = fx2X; kxx0k< rg,
i.e.,
sup
2A
sup
x2Br(x0)fjT(x)j:x2X; kxk  1g=C < 1:
Proof. (voir [1], page 241).
Theorem 12 (Banach-Steinhaus) Une famille fT;:2Agde fonctionnelles
lineaires continues sur un espace de Banach Xest uniformement bornee si, et
seulement si, elle est ponctuellement bornee.
Proof. (voir [1], page 241).
Remark 13 1. L'armation du theoreme de Banach-Steinhaus peut ^etre
reformulee comme suit : si une famille fT;:2Agde fonctionnelles
lineaires continues sur un espace de Banach Xn'est pas uniformement
bornee, alors il existe un point x02Xtel que
sup
2AjT(x0)j=1:
2. On peut aussi montrer le principe de la bornitude uniforme en utilisant
le fait qu'un espace de Banach Xest un espace de Baire, i.e., si X
est represente comme une reunion denombrable d'ensembles fermes Xn,
X=[n2NXn, alors au moins l'un des ensembles Xndoit contenir une
boule ouverte non nulle.  Etant donnee une famille ponctuellement bornee
fT;:2Agde fonctionelles lineaires continues de X, nous l'appliquons
aux ensembles
Xn=fx2X:jT(x)j  n; 82Agn2N:
Les bornes ponctuelles assurent que l'union de ces ensembles Xn, represente
X. Il en resulte donc que la famille est bornee sur une boule ouverte et
par le lemme11 nous concluons.
3. Le theoreme de Riesz-Frechet (voir Lecon 4) stipule que les fonctionnelles
lineaires continues Tsur un espace de Hilbert Hpeuvent ^etre identiees
avec les points u2H:T=Tu; u 2H; Tu(x) = hu; xipour tout x2H.
Le theoreme12 implique: si un ensemble AHest faiblement borne,
alors il est uniformement borne, i.e., borne en norme.
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