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CORRECTION DM n˚9
PROBL` EME - Interpol enquˆete
Partie I - Le criminel commet une bourde
1. On note P
n
k0
pkXk, on a donc ϕ P
n
k0
pkXk
(a) Si ϕ P P alors on a l’´egalit´e P X P X soit xR, P x P x ainsi cela signifie
que Pest une fonction paire.
R´eciproquement, si xR, P x P x , alors xR, P x P x 0.
Ainsi le polynˆome associ´e ϕ P P admet tout nombre r´eel comme racine, c’est donc le polynˆome
nul c-`a-d ϕ P P .
(b) Notons P
n
k0
pkXk
n
2
k0
p2kX2k
n
2
k0
p2k1X2k1.
On a aussi ϕ P
n
2
k0
p2kX2k
n
2
k0
p2k1X2k1.
L’´egalit´e ϕ P P ´equivaut alors `a 2
n
2
k0
p2k1X2k10 soit kN,p2k10.
On a donc bien Pest paire si, et seulement si, kN,p2k10.
2. (a) Si ϕ P P alors on a l’´egalit´e P X P X soit xR, P x P x ainsi cela
signifie que Pest une fonction impaire.
R´eciproquement, si xR, P x P x , alors xR, P x P x 0.
Ainsi le polynˆome associ´e ϕ P P admet tout nombre r´eel comme racine, c’est donc le polynˆome
nul c-`a-d ϕ P P .
(b) P
n
2
k0
p2kX2k
n
2
k0
p2k1X2k1et ϕ P
n
2
k0
p2kX2k
n
2
k0
p2k1X2k1.
L’´egalit´e ϕ P P ´equivaut alors `a 2
n
2
k0
p2kX2k0 soit kN,p2k0.
On a donc bien Pest impaire si, et seulement si, kN,p2k0.
Partie II - Les m´ethodes de la police locale divisent
1. Fest un sous-ensemble de RX.
On montre tr`es facilement que Fest stable par combinaison lin´eaire et contient l’´el´ement neutre.
2. Soit P F .
P1P1 0 X12P(1 est racine double de P).
P1P1 0 X12P( 1 est racine double de P).
Ainsi P F si, et seulement si, X12Pet X12Psoit X212P.
3. (a) Fn´etant d´efini comme l’intersection de deux sous-espaces vectoriels , c’est un s.e.v. de RX.
FRnXpar d´efinition donc Fnest n´ecessairement de dimension finie et dim Fnn1.
(b) Ici 0 n3. Soit P Fnalors deg P3 et X212P.
La relation de divisibilit´e implique deg P4 ce qui est impossible sauf si Pest le polynˆome nul.
Finalement Fn0 et donc dim Fn0.
(c) Soit i0, n 4 et LiXiX212.
Remarquons que la famille Lii0,n 4est ´echelonn´ee (deg Lii4) donc libre.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 1 PCSI

CORRECTION DM n˚9
De plus pour i0, n 4 , Liappartient `a Fd’apr`es le 2. et deg Lindonc LiRnX.
On en d´eduit que Lii0,n 4est une famille libre de Fn.
Montrons que la famille est g´en´eratrice :
Soit P Fn,QRn4Xtel que P X212Qavec Q
n4
i0
aiXi.
On a donc P
n4
i0
aiX212Xi
n4
i0
aiLiet la famille Lii0,n 4est g´en´eratrice.
On en conclut que c’est une base de Fnet donc dim Fnn3 .
Partie III - Interpol en alerte. Un ermite suspect en fuite
1. Proc´edons par double implication.
Supposons que QΩαQ1Q1 0 et Q1Q1α.
Comme PΩαalors P1P1 0 et P1P1α.
Ainsi on obtient Q P 1Q1P1 0 0 0 et Q P 1Q1P1 0 0 0.
De mˆeme Q P 1Q1P1α α 0 et Q P 1Q1P1α α 0.
Soit Q P F .
R´eciproquement, si Q P F alors Q1P1 0 soit Q1 0 et de mˆeme Q1 0.
De mˆeme Q1P1 0 soit Q1αet de mˆeme Q1α.
Finalement QΩα.
2. QΩαQ P F (d’apr`es la question pr´ec´edente)
QΩαX212Q P (d’apr`es le II.2.)
QΩαQ1RX , Q P X212Q1Xsoit Q X P X X212Q1X
3. Soit QΩα, posons R X Q X . On a trivialement R1Q1 0 et R1Q1 0.
Remarquons que R X Q X donc R1Q1αet R1Q1αet finalement
RΩα.
4. PΩαdonc l’ensemble est non vide. Soit QΩαde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 3.
D’apr`es le 2., Q1RX , Q X P X X212Q1Xmais comme deg Q4 alors Q10
n´ecessairement.
Posons la division euclidienne de P X par X212, il existe alors un unique couple Q2, P0RX2
avec deg P04 tel que Q X P X P0X Q2X X212.
Comme deg Q4 alors Q20 n´ecessairement et Q P0.
Finalement si P0existe, le seul qui convient est le reste P0de la division euclidienne de Ppar X212.
Reste `a v´erifier si ce reste est bien dans Ωαmais la relation P X P0X Q2X X212s’´ecrit
aussi P0X P X Q2X X212et d’apr`es le 2. ceci prouve que P0est bien un ´el´ement de Ωα.
5. P01P01 0 prouve que 1 et 1 sont racines de P0donc que X21P0soit :
P0X21aX b
D’apr`es le 3., P0Xappartient ´egalement `a Ωαmais comme ce polynˆome est aussi de degr´e inf´erieur
ou ´egal `a 3, par unicit´e on en d´eduit que P0X P0Xet donc que P0est impair, soit b0.
Finalement on a P0aX X21 avec aR.
6. P0aX X21aX3aX donc P03aX2a.
Les conditions P01P01αdonnent 2a α soit aα
2soit P0α 2X X21 .
7. Trivialement en utilisant la question 2. et en choisissant P P0on obtient :
Ωα
α
2X X21Q X X212QRX .
Autrement dit, il s’agit de l’ensemble des polynˆomes dont le reste dans la division euclidienne par
X212est α
2X X21 .
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 2 PCSI

CORRECTION DM n˚9
Partie IV - Le fugitif barricad´e dans la grange
1. La base canonique de RnXest 1, X, X2, . . . , Xnet sa dimension est de n1.
2. Montrons que Gcontient le neutre et qu’il est stable par combinaison lin´eaire.
Soit P0le polynˆome nul, alors i1, n 1 , P0αi0 et donc :
P0α1, . . . , P0αn10,...,0G
Soit deux ´el´ements uet vde G,λet µdeux r´eels. Il existe deux polynˆomes Pet Qtels que :
u P α1, . . . , P αn1et v Q α1, . . . , Q αn1
Alors λu µv λP α1µP α1, . . . , λP αn1µP αn1.
En posant R λP µQ qui est un polynˆome, on en d´eduit que λu µv R α1, . . . , R αn1G.
Finalement Gest bien un s.e.v. de Rn1.
3. Soit u G,P
n
i0
aiXiRnXtel que u P α1, . . . , P αn1donc :
u
n
i0
aiαi
1,...,
n
i0
aiαi
n1
n
i0
aiαi
1, . . . , αi n1
n1
j1
ajαj1
1, . . . , αj1 n1
n1
j1
aj~gj
On en d´eduit que la famille ~g1, . . . , ~gn1est g´en´eratrice de G.
4. (a) De mˆeme qu’au 2. :
n1
j1
aj~gj0Rn1
n
i0
aiαi
1,...,
n
i0
aiαi
n10Rn1
En r´eindi¸cant avec i j 1 on obtient :
n1
j1
aj~gj0Rn1A α1, . . . , A αn10Rn1
Finalement
n1
j1
aj~gj0Rn1A α1. . . A αn10
(b) Aest un polynˆome de degr´e net admet n1 racines distinctes qui sont les αi(1 i n 1).
N´ecessairement Aest le polynˆome nul et par cons´equent tous ses coefficients ajsont nuls.
Donc la famille ~g1, . . . , ~gn1est libre.
5. Gcontient une famille libre (4.) et g´en´eratrice (3.), donc une base `a n1 ´el´ements soit dim G n 1.
G´etant un s.e.v. de Rn1de mˆeme dimension que Rn1on a donc GRn1.
6. Posons β1, . . . , βn1un vecteur quelconque de Rn1comme GRn1alors :
il existe un polynˆome LRnXtel que i1, n 1 , L αiβi.
Reste `a prouver l’unicit´e de ce polynˆome L.
Supposons L1et L2deux polynˆomes de Rn1tels que i1, n 1 , L1αiL2αiβi.
Remarquons alors que i1, n 1 , L1αiL2αi0 donc tous les αisont racines du polynˆome
L1L2. Celui-ci ´etant de degr´e inf´erieur ou ´egal `a net ayant alors n1 racines distinctes ont en
d´eduit qu’il s’agit du polynˆome nul, d’o`u l’unicit´e !
Le th´eor`eme de Lagrange pr´ec´edemment cit´e est donc bien prouv´e.
Lyc´ee de l’Essouriau - Les Ulis 3 PCSI