Chapitre 6 – Triangles - g

Chapitre 6 – Triangles
→ Rappels sur les triangles isocèles / équilatéraux / rectangles
Rappel sur la médiatrice
I. Construction de triangles.
1. Construction d'un triangle connaissant les longueurs des cotés
Construction : ABC est un triangle tel que : AB = 2cm ; AC = 3cm ; BC = 4cm
On trace un coté (à la règle). En général, on choisit le plus long. On nomme ses extrémités.
Tracé
Peut-on tracer tous les triangles ? Quels conditions doivent avoir les mesures d'un triangle?
Activité 1→
2 . Inégalité triangulaire
Propriété : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux
autres côtés.
Exemple : Dans le triangle ABC, on a AB < AC + CB ; AC < AB + BC et BC < BA + AC.
Conséquence : a, b et c sont trois longueurs données, a est la plus grande de ces longueurs.
Si a < b + c, alors on peut construire un triangle de côtés a, b et c.
Si a > b + c, alors on ne peut pas construire un triangle de côtés a, b et c.
Exemple : Peut-on construire un triangle EDF sachant que ED = 1 cm, EF = 1,5 cm et DF = 3 cm ?
On compare la longueur du plus grand côté et la somme des longueurs des deux autres côtés :
ED + EF = 1 + 1,5 = 2,5 et DF = 3
On a DF > ED + EF. L'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, donc on ne peut pas construire un tel
triangle.
Propriété : Si un point B appartient au segment [AC], alors AB + BC = AC.
Propriété : Si trois points A, B et M sont tels que : AM + MB = AB, alors le point M appartient au segment
[AB].
EXERCICES : n ° 9 p 121 / n ° 10 p 121 / n ° 13 p 121
3. Construire un triangle connaissant un angle et les longueurs de ses côtés adjacents
Construction : DEF est un triangle tel que : DE = 3cm ; DF = 4cm et
EDF
= 30°.
On trace un coté (à la règle). En général, on choisit le plus long. On nomme ses extrémités.
Tracé

4. Construire un triangle connaissant deux angles et la longueur de leur côté commun
Construction : IJK est un triangle tel que : IJ = 4cm ;
IJK
= 60° et
JIK
= 45°
On trace LE coté connu.
On construit (avec le rapporteur) les deux angle qu’on connaît à partir du bon sommet.
On prolonge les côtés des deux angles pour obtenir le 3ème sommet du triangle.
Tracé
EXERCICES : n ° 17 p 122 / n ° 18 p 122 / n ° 20 p 122 / n ° 21 p 122 / n ° 22 p 122 / n ° 24 p 122
II. Somme des mesures des angles d'un triangle
1. Propriété
Propriété : Dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
2. Cas d'un triangle équilatéral
Propriété : Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles a pour mesure 60°.
3. Cas d'un triangle isocèle
Propriété : Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
Application : Connaissant la mesure d'un angle d'un triangle isocèle, on peut déterminer les mesures des
deux autres angles.
Le triangle HKP est isocèle en P. Déterminer la mesure de tous les
angles de ce triangle.
4. Cas d'un triangle rectangle
Propriété : Si un triangle est rectangle, alors la somme des mesures des angles aigus est égale à 90°.
Exemple : Le triangle ABC est rectangle en A donc :
ABC
+
ACB
= 90°.
Propriété : Si, dans un triangle, la somme des mesures de deux angles est égale à 90°, alors ce triangle est
rectangle.
Exemple : Dans le triangle MPF, on a :
MPF
+
PFM
= 50° + 40° = 90°.
Donc, le triangle MPF est rectangle en M.
Remarque : Dans un triangle isocèle rectangle, les angles à la base mesurent 45°.
EXERCICES : n ° 17 p 165 / n ° 19 p 165 / n ° 21 p 165 / n ° 18 p 165 (angles et triangles)
M

III. Droites remarquables dans un triangle
1. Médiatrices
Définition : On appelle médiatrice d'un segment la droite qui
passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire à ce
segment.
( d ) passe par O milieu de [AB] . ( d ) est perpendiculaire à [AB] .
Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d'un segment
alors il est équidistant des extrémités de ce segment.
P appartient à (d)
d'où PM = PN.
Propriété : Si un point est équidistant des extrémités
d'un segment alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
PM = PN
P appartient à la médiatrice de [MN]
Remarque: Les médiatrices du triangle sont les médiatrices des côtés de ce triangle.
Propriété : Les trois médiatrices d'un triangle sont concourantes (elles se coupent en un même point).
Leur point de concours est le centre du cercle passant par les 3 sommets du triangle, appelé cercle
circonscrit au triangle.
Preuve : On suppose que la médiatrice de [AB] et [AC] sont
concourantes en O.
Donc OA = OB et OA = OC
Donc OB = OC
Donc O appartient à la médiatrice de [BC]
2. Hauteurs
Définition: Dans un triangle, on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Propriété : Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est appelé orthocentre du triangle.

Cas particulier: Dans le triangle rectangle, l’orthocentre du triangle rectangle est le sommet de l’angle
droit.
3. Médianes
Définition : Dans un triangle, on appelle médiane une droite qui passe par un sommet et par le milieu du
côté opposé à ce sommet.
Propriété : Les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours s' appelle le centre de gravité du triangle.
4. Bissectrices
Définition : On appelle bissectrice une droite qui
partage un angle en deux angles égaux.
Propriété 5: Les trois bissectrices d'un triangle sont concourantes.
Leur point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
EXERCICES : n ° 25 p 123 / n ° 26 p 123 / n ° 28 p 123 / n ° 30 p 123 / n ° 31 p 123 /
n ° 32 p 123 / n ° 33 p 123 / n ° 36 p 124
5. Cas particuliers
Propriété : Si un triangle est isocèle alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par le sommet
principal sont confondues avec la médiatrice de la base.
Propriété : Si un triangle est équilatéral alors la médiane, la hauteur et la bissectrice, passant par chaque
sommet sont confondues avec la médiatrice du côté opposé à ce sommet.