Correction de la feuille d’exercices I

Correction de la feuille d’exercices
I
1. p (X É 160) = 0, 5 − p (160 É X É 200)
donc
p (X É 160) ≈ 0, 16 .
(on a utilisé p(X É µ) = 0, 5 = p(X Ê µ) où µ est l’espérance.
2. p (X Ê 320) = 0, 5 − p (200 É X É 320)
p (X Ê 320) ≈ 0,001 3 .
donc
Non la probabilité n’est pas supérieur à 0, 01.
On peut aussi utiliser directement la probabilité en
calculant p(−1099 É X É 160) et p(320 É X É 1099 ).
II
Afin de déterminer laquelle de ces deux recettes sera la plus appréciée elle organise une étude marketing auprès d’un panel de consommateurs.
45 % de ce panel goûte la recette 1 et le reste goûte la recette 2. Les
testeurs ne savent pas quelle recette leur est présentée. Ils doivent indiquer s’ils ont aimé ou pas.
Une fois cette étude terminée il a été observé que :
•
•
75 % des testeurs ont aimé ce qu’ils ont goûté
38 % des testeurs ont goûté la recette 1 et l’ont aimée.
On choisit un testeur au hasard. On admet que chaque testeur à la
même probabilité d’être choisi.
On considère les événements suivants
•
•
•
R1 : « le testeur a goûté la recette 1 »
R2 : « le testeur a goûté la recette 2 »
A : « le testeur a aimé »
On arrondira les résultats au centième si nécessaire.
La variable aléatoire R qui, à un composant prélevé au
hasard dans la production, associe sa résistance, suit une
loi normale N (200, 5; 3, 52 ).
Construisons un arbre représentant la situation
0,38
0,84
R1 ∩ A
A
0,45
R1
1. La probabilité p 1 de l’évènement « La résistance du
composant est supérieure à 211 ohms » est
p 1 = P (R Ê 211) = 1 − P (R É 211) = 1 − 0, 9987 = 0, 0013
0,55
p 1 ≈ 0, 0013
2. La probabilité p 2 de l’évènement « La résistance du
composant est comprise dans l’intervalle [195 ; 205]
ohms » est
1.
Alors la variable aléatoire X , qui associe à ce prélèvement le nombre de composants acceptés, suit une
loi binomiale B (3 ; 0, 84).
La probabilité p qu’exactement deux des trois composants prélevés soient acceptés est
à !
3
p = P (X = 2) =
0, 842 (1 − 0, 84)3−2 .
2
p ≈ 33, 87
A
0,67
A
0,37
R2 ∩ A
R2
A
0.33
(a) P (R 1 ) = 0,45 car 45 % de ce panel goûte la recette 1.
(b) P (R 2 ) = 0,55 car le reste goûte la recette 2.
(c) P (R 1 ∩ A) = 0,38 car 38 % des testeurs ont goûté
la recette 1 et l’ont aimée.
p 2 = P (195 É R É 205) = P (R É 205) − P (R É 195) =
0, 9007 − 0, 0580 = 0, 8427
p 2 ≈ 84, 27
3. On effectue le prélèvement de trois composants dans
la production de manière indépendante. La production journalière étant de 1 500 composants, ce prélèvement de 3 composants peut être assimilé à un tirage avec remise.
0,16
(d) P (A) = 0,75 car 75 % des testeurs ont aimé ce
qu’ils ont goûté.
2. La probabilité que le testeur ait aimé sachant qu’il a
goûté la recette 1 est notée p R1 (A).
P (R 1 ∩ A) = P (R 1 )×P R1 (A)
0,45×P R1 = 0,38. Nous
0,38
≈ 0,84.
en déduisons P R1 (A) =
0,45
3. (a) P (R 2 ∩ A) = P (A) − P (R 1 ∩ A) = 0,75 − 0,38 =
0, 37.
(b) P (R 2 ) × P R2 (A) = P (R 2 ∩ A). En remplaçant par
leurs valeurs, 0,37 = 0,55 × P R2 (A) d’où
0,37
P R2 (A) =
≈ 0,67.
0,55
4.
Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Au vu des résultats précédents et sachant que les coûts de pro-
Remarque : tous les résultats de cet exercice sont
exacts et aucun arrondi n’est effectué.
duction pour les deux recettes sont sensiblement les mêmes,
que pouvez-vous en conclure quant au choix de recette que devrait faire l’entreprise ?
III
Une entreprise agro-alimentaire cherche à lancer sur le marché un
nouveau plat cuisiné pour lequel elle a deux recettes différentes que
nous appellerons recette 1 et recette 2.
La recette que devrait faire l’entreprise est la recette 1
puisque ceux qui ont goûté cette recette l’ont aimée
à 84 % tandis que ceux qui ont goûté la recette 2 ne
l’ont aimée qu’à 67 %.