Correction de la feuille d’exercices I

Correction de la feuille d’exercices
I
1. p(XÉ160)=0,5 −p(160 ÉXÉ200)donc
p(XÉ160)≈0,16 .
(on a utilisé p(Xɵ)=0,5 =p(Xʵ) où µest l’es-
pérance.
2. p(XÊ320)=0,5 −p(200 ÉXÉ320)donc
p(XÊ320)≈0,0013 .
Non la probabilité n’est pas supérieur à 0,01.
On peut aussi utiliser directement la probabilité en
calculant p(−1099 ÉXÉ160) et p(320 ÉXÉ1099).
II
La variable aléatoire Rqui, à un composant prélevé au
hasard dans la production, associe sa résistance, suit une
loi normale N(200,5;3,52).
1. La probabilité p1de l’évènement « La résistance du
composant est supérieure à 211 ohms » est
p1=P(RÊ211) =1−P(RÉ211) =1−0,9987 =0,0013
p1≈0,0013
2. La probabilité p2de l’évènement « La résistance du
composant est comprise dans l’intervalle [195; 205]
ohms » est
p2=P(195 ÉRÉ205) =P(RÉ205) −P(RÉ195) =
0,9007 −0,0580 =0,8427
p2≈84,27
3. On effectue le prélèvement de trois composants dans
la production de manière indépendante. La produc-
tion journalière étant de 1 500 composants, ce prélè-
vement de 3 composants peut être assimilé à un ti-
rage avec remise.
Alors la variable aléatoire X, qui associe à ce prélè-
vement le nombre de composants acceptés, suit une
loi binomiale B(3 ; 0,84).
La probabilité pqu’exactement deux des trois com-
posants prélevés soient acceptés est
p=P(X=2) =Ã3
2!0,842(1 −0,84)3−2.
p≈33,87
Remarque : tous les résultats de cet exercice sont
exacts et aucun arrondi n’est effectué.
III
Une entreprise agro-alimentaire cherche à lancer sur le marché un
nouveau plat cuisiné pour lequel elle a deux recettes différentes que
nous appellerons recette 1 et recette 2.
Afin de déterminer laquelle de ces deux recettes sera la plus appré-
ciée elle organise une étude marketing auprès d’un panel de consom-
mateurs.
45 % de ce panel goûte la recette 1 et le reste goûte la recette 2. Les
testeurs ne savent pas quelle recette leur est présentée. Ils doivent indi-
quer s’ils ont aimé ou pas.
Une fois cette étude terminée il a été observé que :
•75 % des testeurs ont aimé ce qu’ils ont goûté
•38 % des testeurs ont goûté la recette 1 et l’ont aimée.
On choisit un testeur au hasard. On admet que chaque testeur à la
même probabilité d’être choisi.
On considère les événements suivants
•R1: « le testeur a goûté la recette 1 »
•R2: « le testeur a goûté la recette 2 »
•A: « le testeur a aimé »
On arrondira les résultats au centième si nécessaire.
Construisons un arbre représentant la situation
R1
0,45
A
0,84 R1∩A
0,38
A
0,16
R2
0,55
A
0,67 R2∩A
0,37
A
0.33
1. (a) P(R1)=0,45 car 45 % de ce panel goûte la re-
cette 1.
(b) P(R2)=0,55 car le reste goûte la recette 2.
(c) P(R1∩A)=0,38 car 38 % des testeurs ont goûté
la recette 1 et l’ont aimée.
(d) P(A)=0,75 car 75 % des testeurs ont aimé ce
qu’ils ont goûté.
2. La probabilité que le testeur ait aimé sachant qu’il a
goûté la recette 1 est notée pR1(A).
P(R1∩A)=P(R1)×PR1(A) 0,45×PR1=0,38. Nous
en déduisons PR1(A)=0,38
0,45 ≈0,84.
3. (a) P(R2∩A)=P(A)−P(R1∩A)=0,75 −0,38 =
0,37.
(b) P(R2)×PR2(A)=P(R2∩A). En remplaçant par
leurs valeurs, 0,37 =0,55 ×PR2(A) d’où
PR2(A)=0,37
0,55 ≈0,67.
4. Dans cette question toute trace de recherche même incomplète ou d’ini-
tiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Au vu des résultats précédents et sachant que les coûts de pro-
duction pour les deux recettes sont sensiblement les mêmes,
que pouvez-vous en conclure quant au choix de recette que de-
vrait faire l’entreprise ?
La recette que devrait faire l’entreprise est la recette 1
puisque ceux qui ont goûté cette recette l’ont aimée
à 84 % tandis que ceux qui ont goûté la recette 2 ne
l’ont aimée qu’à 67 %.