amplificateur operationnel

Ampli Op
I47.
DS : ampli op, page 1
Dans ce problème, les
amplificateurs opérationnels seront
considérés comme idéaux et parfaits
et fonctionneront en régime
linéaire : courants nuls aux entrées
inverseuse et non inverseuse,
tension nulle entre ces entrées,
résistance de sortie nulle d’un
montage dont la sortie coïncide avec
celle de l’AO.
Les dipôles D sont identiques.
Exprimer en fonction de
et du courant pris par D sous la
tension E. Quelle est la fonction de ce montage ?
s1 ,,rr R
′
−
∞
+
E
D
r
−
∞
+
r′
D1
R
s
II22. Transformations de signaux (d'après Géologie de Nancy 1997).
Dans ce problème, les amplificateurs opérationnels seront considérés comme idéaux et parfaits et fonctionneront en
régime linéaire : courants nuls aux entrées inverseuse et non inverseuse, tension nulle entre ces entrées, résistance de
sortie nulle d’un montage dont la sortie coïncide avec celle de l’AO.
A. Redressement sans seuil. Avec les conventions de la figure 1.a, une diode D présente
la caractéristique intensité-tension représentée sur la figure
1.b.
Id
U0 0
I
d
Ud
si Ud ≤ U0, Id = 0 ;
si Ud = U0, Id ≥ 0 1.a. Donner le schéma équivalent de la diode passante.
Ud1.b. Donner le schéma équivalent de la diode bloquée.
2. On utilise deux diodes D1 et D2 semblables à D dans le
dispositif représenté sur la figure 2. Les amplificateurs
opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime
linéaire. On impose une tension ue variable.
figure 1.a figure 1.b
2.a. On suppose D1 passante et D2 bloquée. Déterminer :
• la tension de sortie us en fonction de ue ;
R R R
R
R
–
+
–
+
AO2
AO1
ud2
ud1
id2
D2
D1
id1 • le courant id1 dans la diode passante en fonction de ue et
R ;
• la tension ud2 aux bornes de la diode bloquée en fonction
de ue et U0.
Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit passante.
Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit bloquée.
Conclure.
ueus
2.b. On suppose D2 passante et D1 bloquée. Déterminer :
• la tension de sortie us en fonction de ue ;
• le courant id2 dans la diode passante en fonction de ue et
R ;
• la tension ud1 aux bornes de la diode bloquée en fonction
de ue et U0.
figure 2
Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit passante.
Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit bloquée. Conclure.
2.c. Résumer la situation en donnant la caractéristique de transfert us(ue).
3. Désormais où .
1
() cos( )
eeM
ut U t=ω7, 8 volts
eM
U=
3.a. Représenter les graphiques de ue(t) et us(t). Comparer leurs périodes. On admet (on ne demande pas de le montrer)
que us(t) peut être représentée approximativement par sa série de Fourier tronquée après le troisième terme :
où
12
() () ()
ssss
ut U u t u t=+ + 2eM
s
U
U=π, 12
4
() cos( )
3
eM
s
U
ut t=ω
π et 22
4
() cos(2 )
15
eM
s
U
ut t=−ω
π et où
. Quelles sont les fréquences de u
212600 rad/s=ωs(t) et ue(t) ?
3.b. Qu’indiquerait un voltmètre réglé en continu et branché sur us ?

B. Première utilisation.
Une des utilisations possibles de la tension us(t) est l’obtention d’une tension continue. Pour
cela, il faut filtrer us(t).
figure 3
b
a ufiltrée 1. Quel genre de filtre faut-il utiliser ?
us2. On peut réaliser ce filtre avec un circuit R,C (figure 3) avec C = 1 µF. Préciser la nature
des dipôles a et b de la figure 3.
3. Donner l’ordre de grandeur de la résistance R pour réaliser un filtrage correct (la réponse
sera argumentée).
–
+
R3
A
C
C
R2
v
R1
C. Seconde utilisation.
On considère le filtre de la figure 4 alimenté par , où Rcos( )
M
vV t=ω1
= 34 500 Ω, R2 = 400 Ω et C = 10 nF. On suppose toujours l’AO idéal et
fonctionnant en régime linéaire.
1) Si ω → ∞, quelle est la limite de la tension w(t) ?
2) Que peut-on dire qualitativement de son impédance d’entrée ?
w 3) Que peut-on dire qualitativement de son impédance de sortie ?
4) Montrer que sa fonction de transfert est
1312
1
111
2
w
HvRjC jC
jR C R R
−
==
⎡
⎛⎞
⎟
⎜
+++
⎤
⎢
⎥
⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
ωω
ω
figure 4
5) Déterminer R3 pour que 1
1(
A
)
jQ x x
=
+−
H où A = –2,3 , Q = 10 ,
0
x=ω
ω et ω
012600 rad/s=
6) Représenter qualitativement le graphique de ()Hω.
7) On applique à l’entrée de ce filtre la tension continue U = 5 volts. Quelle est la tension W à la sortie ?
8) On applique à l’entrée de ce filtre la tensionut . Quelle est la tension w
1
() 3,3cos( )
2
t=ω
2
t=−ω
1(t) à la sortie ?
9) On applique à l’entrée de ce filtre la tensionut . Que peut-on dire de la tension w
2
() 0,7cos(2 ) 2(t) à la sortie
comparée à w1(t) ?
10) On applique à l’entrée de ce filtre la tension us(t) produite par la sortie du montage de la partie A. Quelle est la
tension w(t) à la sortie ?
11) Qu’a-t-on réalisé ainsi avec l’ensemble du montage de la partie A et de ce filtre ?
III32. Transducteur différentiel.
DS : ampli op, page 2
On applique à l’entrée du montage ci-contre des tensions u1 et u2 et
on l’utilise entre la borne S, de potentiel s et qui débite le courant i, et la
masse. On admet que l’AO fonctionne en régime linéaire.
1) On considère d’abord l’AO comme idéal : alors 0
=
−
=
−+ vv
ε
.
Déterminer la relation entre
s
et , relation dont les coefficients
dépendent de u, u et des résistances.
i
1 2
2) A quelle condition ce montage est-il vis à vis de l’utilisation
équivalent à une source de courant ? Montrer qu’alors 2
12Ruu
i.
−
=
3) Cette condition n’est pas nécessairement remplie. En réalité, la
tension à la sortie de l’AO obéit à
µετ =+ u
dt
du , où
τ
est une constante positive et où −+ −
=
vv
ε
. Soit la
résistance d’utilisation branchée entre la borne S et la masse. Déterminer l’équation différentielle régissant u(t).
u
R
S
i s
u
u1
+
–
R
4
R
3
R
2
R
1
u2
4) Cette équation est de la forme 21 BuAuau
dt
du +=+
τ
, où ,
a
A
et sont des fonctions de
B
µ
et des résistances.
Montrer que le régime linéaire n’est stable que si . Que se passe-t-il dans le cas 0>a0
<
a ?
5) Quel est l’ordre de grandeur de
µ
?
6) En déduire la condition de stabilité du régime linéaire.

IV29.
1. Dans les trois montages ci-dessous, on utilise un AO idéal et des résistances.
Pour chaque montage, établir les expressions des tensions de sortie si en fonction des tensions d'entrée ei et,
éventuellement, des résistances R, R' et R".
i
2. Dans le montage 4, une diode est associée à un AO ; la diode n'est pas considérée comme idéale, sa
caractéristique est modélisée par : ui , a et étant deux
constantes positives.
0
0() exp(); 0()0uIauuiu>⇒=<⇒=0 Iu
2.a. Établir la relation liant s et e. Quelle condition doit
vérifier e ?
montage 5 :
montage 4 :
2.b. On permute les positions de R et D (montage 5).
Établir la relation liant s et e et expliciter la condition que
doit vérifier e.
3. On veut construire un opérateur effectuant la
multiplication de deux signaux e1 et e2, en utilisant des AO
idéaux et des diodes.
Montrer qu'en combinant des montages du type
précédent, on peut obtenir, à partir des deux signaux
d'entrée e1 et e2 le signal de sortie 12
0
ee
RI .
4. Quelles critiques peut-on adresser à ce schéma d’un
multiplieur ?
vs
R
C
R’ C’
Ru
ve
B
A +
–
V33. Filtre actif.
On applique une tension sinusoïdale au montage ci-
contre, qui applique à son tour une tension v à un appareil d’utilisation
schématisé par la résistance R
cos
eem
vV=ωt
s
u. L’amplificateur opérationnel est parfait.
1) Expliquer en quoi le branchement des trois bornes de l’AO incline à
supposer que celui-ci fonctionne en régime linéaire et non en régime
saturé si V et ω ne sont pas trop grands ?
em
2) Que se passe-t-il si V est trop grand ?
em
3) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si est très petit. ω
4) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si est très grand, l’amplificateur opérationnel étant supposé en
régime linéaire. ω
5) Montrer que la fonction de transfert est :
()
2
1
1'
s
e
v
''
vjC R R RCR C
==
++−ωω
H.
DS : ampli op, page 3

6) Exprimer C’ et ω0 en fonction de R, R’ et C pour que 4
0
1
1
sm
em
V
V=⎛⎞
⎟
⎜
+⎟
⎜⎟
⎜
⎝⎠
ω
ω
.
7) Exprimer la bande passante à –3 dB de ce filtre.
8) On se propose de tracer le graphe de
(
)
20 log /
dB sm em
GV=V
ension
à
i
en fonction de log(ω /ω0) . Déterminer les
équations des asymptotes de ce graphe.
9) Tracer schématiquement ce graphe.
10) Définir par un mot l’utilité de ce filtre.
11) Quelle est l’impédance de sortie de ce filtre ?
12) Quelle est la différence entre les phases de v et de
s e
v à basse fréquence ?
13) et à haute fréquence ?
VI50.
Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1. On considère le montage représenté ci contre dans
lequel l'amplificateur opérationnel considéré comme
parfait fonctionne en régime linéaire : les courants aux
entrées inverseuse et non inverseuse sont nuls et la t
entre ces deux entrées est nulle. Le circuit est alimenté
l'entrée par un générateur délivrant une tension alternative
sinusoïdale de pulsation ω et d'ampl tude complexe e
U
On désign ar . e p s
U l'amplitude omplexe de la tension de
sortie. Les quantités c
12
,,YY Y représe s
admittances. ntent de
Calculer la fonction de transfert () /
se
U U=ωTj du
circuit.
2. Les admittances Y correspondent à des conducteurs ohmiques purs identiques, de conductance 1/ .
L'admittance
R
1
Y, correspond à un condensateur de capacité C et 2 Y à un condensateur de capacité α où α est une
constante positive. On pose ω et x. Exprimer le module de la fonction de transfert.
C
01/RC=0
/=ωω
3. Déterminer la valeur de α pour laquelle on peut écrire : 4
1
1
1(/)
T=+ωω et exprimer .
1
ω
4. Quelle est alors la fonction du filtre ?
5. Calculer la valeur de la pulsation correspondant à une atténuation du module de la fonction de transfert de 40
dB. 2
ω
VII .
29
Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1) Quand on étudie une onde sonore, on constate que la pression P de l’air a une valeur moyenne par rapport au
temps 0
P constante et égale à la pression en l’absence de son et qu’elle varie un peu autour de cette valeur moyenne.
Pour mesurer ces petites variations de pression, on utilise un capteur qu’on peut modéliser par une résistance r variant
linéairement avec la pression : . Dans un premier temps, on insère le capteur dans le montage 1. r=βP
a) Calculer les tensions P
v et M v entre les points P et M et la masse, puis la tension de sortie v en fonction de la
tension V et des résistances r et r. S
0 0
b) Quelle valeur doit-on donner à r pour que le signal ait l'amplitude la plus petite possible ? A quoi cela sert-il ?
0
DS : ampli op, page 4

c) Calculer alors la sensibilité de la chaîne de mesure, c'est-à-dire le rapport entre la tension de sortie et la pression
acoustique .
0
PP−
2) On insère maintenant le capteur dans le pont de Wheatstone amplifié (Montage 2).
a) Calculer les tensions et à l'entrée de l'amplificateur.
P
vM v
b) Calculer la tension de sortie en fonction de , , , et .
S
vP vM v1 R2 Rg R
c) Calculer la sensibilité de la chaîne de mesure. Quel est l'intérêt du montage par rapport au précédent ?
VIII33.
vs
–
+ 
∞
C
C
R
R
v2
v1
1) Dans le montage ci contre, exprimer la tension à la sortie vs en fonction des tensions
aux entrées v1 et v2.
2) Qu’appelle-t-on résistance de sortie ? Quelle est la résistance de sortie de ce
montage ?
3) Que peut-on dire de simple des impédances d’entrée ? Sont-elles idéales ?
4) Que réalise ce montage ?
IX41. Traitement du signal fourni par un anémomètre à fil chaud,
d’après ESEM 1992.
Un anémomètre à fil chaud placé dans un fluide de vitesse v fournit une tension U. Dans ces conditions on admet
que la tension U produite, pour une vitesse v constante et au bout d'une durée suffisamment longue, vaut U = k.v1/2, k
constante positive liée à l'appareil. Si la vitesse passe brusquement à l’instant t = 0 de v à v + ∆v, la tension U ne varie
pas instantanément ; elle varie progressivement et avec retard selon la loi : si t < 0, U = k.v1/2, si t > 0, U = k.v1/2 +
∆U0.(1–exp(–t/τ)). Les montages électroniques 2a et 2c traitent
le signal U afin de l'améliorer et de faciliter son emploi. Les
amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en
régime linéaire.
DS : ampli op, page 5
1) Montrer que ∆U0 =k.(v + ∆v)1/2 – k.v1/2.
2) Représenter la courbe U = U(t), y faire apparaître τ, U1 et
U2 tensions relatives aux vitesses v et v+∆v , ∆v > 0.
3) Etude du montage de la figure 2a.
On admet que les diodes utilisées sont modélisées quand
elles sont conductrices par : ud > 0 et id = i0.exp(ud/u0), (figure
2b) où i0 et u0 sont deux constantes positives. Le montage
utilise la tension d'entrée e = U produite par la vitesse constante
v. 3.a) Exprimer les tensions s1 avec e, s2 avec s1, puis s avec s2.
Quelle opération réalise chaque partie du montage ?
3.b) Calculer s en fonction de e, R et i0. Quelle condition doit
être remplie par e, R et i0 pour que les diodes soient
conductrices ?
3.c) Montrer que le signal de sortie est proportionnel à la
vitesse. Quelle est la constante de proportionnalité ? On dit qu'il
y a linéarisation.
4) Étude du montage de la figure 2c.