amplificateur operationnel

Ampli Op
I47.
Dans ce problème, les
amplificateurs opérationnels seront
considérés comme idéaux et parfaits
et fonctionneront en régime
linéaire : courants nuls aux entrées
inverseuse et non inverseuse,
tension nulle entre ces entrées,
E
résistance de sortie nulle d’un
montage dont la sortie coïncide avec
celle de l’AO.
Les dipôles D sont identiques.
Exprimer s en fonction de r , r ′, R1
et du courant pris par D sous la
tension E . Quelle est la fonction de ce montage ?
D
R1
r
D
−
∞
r′
−
+
∞
+
s
II22. Transformations de signaux (d'après Géologie de Nancy 1997).
Dans ce problème, les amplificateurs opérationnels seront considérés comme idéaux et parfaits et fonctionneront en
régime linéaire : courants nuls aux entrées inverseuse et non inverseuse, tension nulle entre ces entrées, résistance de
sortie nulle d’un montage dont la sortie coïncide avec celle de l’AO.
A. Redressement sans seuil.
Id
Id
Ud
0
U0 Ud
figure 1.b
figure 1.a
R
R
id1
D1
R
–AO1
+
id2
D2
ue
R
figure 2
ud1
ud2
Avec les conventions de la figure 1.a, une diode D présente
la caractéristique intensité-tension représentée sur la figure
si Ud ≤ U0, Id = 0 ; 1.b.
si Ud = U0, Id ≥ 0
1.a. Donner le schéma équivalent de la diode passante.
1.b. Donner le schéma équivalent de la diode bloquée.
2. On utilise deux diodes D1 et D2 semblables à D dans le
dispositif représenté sur la figure 2. Les amplificateurs
opérationnels sont idéaux et fonctionnent en régime
linéaire. On impose une tension ue variable.
2.a. On suppose D1 passante et D2 bloquée. Déterminer :
• la tension de sortie us en fonction de ue ;
R
• le courant id1 dans la diode passante en fonction de ue et
R;
–AO2
•
la tension ud2 aux bornes de la diode bloquée en fonction
+
de ue et U0.
Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit passante.
Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit bloquée.
us
Conclure.
2.b. On suppose D2 passante et D1 bloquée. Déterminer :
• la tension de sortie us en fonction de ue ;
• le courant id2 dans la diode passante en fonction de ue et
R;
• la tension ud1 aux bornes de la diode bloquée en fonction
de ue et U0.
Donner une inégalité sur ue pour que D2 soit passante.
Donner une inégalité sur ue pour que D1 soit bloquée. Conclure.
2.c. Résumer la situation en donnant la caractéristique de transfert us(ue).
3. Désormais ue (t ) = UeM cos(ω1t ) où UeM = 7, 8 volts .
3.a. Représenter les graphiques de ue(t) et us(t). Comparer leurs périodes. On admet (on ne demande pas de le montrer)
que us(t) peut être représentée approximativement par sa série de Fourier tronquée après le troisième terme :
2U
4UeM
4U
cos(ω2t ) et us 2 (t ) = − eM cos(2ω2t ) et où
us (t ) = U s + us 1(t ) + us 2 (t ) où U s = eM , us 1 (t ) =
π
3π
15π
ω2 = 12600 rad/s . Quelles sont les fréquences de us(t) et ue(t) ?
3.b. Qu’indiquerait un voltmètre réglé en continu et branché sur us ?
DS : ampli op, page 1
B. Première utilisation.
a
ufiltrée
b
us
figure 3
Une des utilisations possibles de la tension us(t) est l’obtention d’une tension continue. Pour
cela, il faut filtrer us(t).
1. Quel genre de filtre faut-il utiliser ?
2. On peut réaliser ce filtre avec un circuit R,C (figure 3) avec C = 1 µF. Préciser la nature
des dipôles a et b de la figure 3.
3. Donner l’ordre de grandeur de la résistance R pour réaliser un filtrage correct (la réponse
sera argumentée).
C. Seconde utilisation.
C
R3
R1
v
A
C
–
+
R2
figure 4
w
On considère le filtre de la figure 4 alimenté par v = VM cos(ωt ) , où R1
= 34 500 Ω, R2 = 400 Ω et C = 10 nF. On suppose toujours l’AO idéal et
fonctionnant en régime linéaire.
1) Si ω → ∞, quelle est la limite de la tension w(t) ?
2) Que peut-on dire qualitativement de son impédance d’entrée ?
3) Que peut-on dire qualitativement de son impédance de sortie ?
4) Montrer que sa fonction de transfert est
−1
w
=
H =
⎡
⎞⎤
1 ⎛ 1
1
v
⎜
+
+ 2 jC ω ⎟⎟ ⎥
R1 ⎢ jC ω +
⎜
⎝
⎠ ⎦⎥
ω
jR
C
R
R
⎣⎢
3
1
2
A
5) Déterminer R3 pour que H =
où A = –2,3 , Q = 10 ,
1
1 + jQ(x − )
x
ω
et ω0 = 12600 rad/s
ω0
6) Représenter qualitativement le graphique de H (ω) .
7) On applique à l’entrée de ce filtre la tension continue U = 5 volts. Quelle est la tension W à la sortie ?
8) On applique à l’entrée de ce filtre la tension u1 (t ) = 3, 3 cos(ω2t ) . Quelle est la tension w1(t) à la sortie ?
9) On applique à l’entrée de ce filtre la tension u2 (t ) = −0, 7 cos(2ω2t ) . Que peut-on dire de la tension w2(t) à la sortie
comparée à w1(t) ?
10) On applique à l’entrée de ce filtre la tension us(t) produite par la sortie du montage de la partie A. Quelle est la
tension w(t) à la sortie ?
11) Qu’a-t-on réalisé ainsi avec l’ensemble du montage de la partie A et de ce filtre ?
x =
III32. Transducteur différentiel.
On applique à l’entrée du montage ci-contre des tensions u1 et u2 et
R3
on l’utilise entre la borne S, de potentiel s et qui débite le courant i, et la
masse. On admet que l’AO fonctionne en régime linéaire.
–
R1
1) On considère d’abord l’AO comme idéal : alors ε = v + − v − = 0 .
Déterminer la relation entre s et i , relation dont les coefficients
+
R
2
dépendent de u1 , u 2 et des résistances.
u1
u
u2
S
2) A quelle condition ce montage est-il vis à vis de l’utilisation
R4
u − u1
i
équivalent à une source de courant ? Montrer qu’alors i = 2
.
s
R2
3) Cette condition n’est pas nécessairement remplie. En réalité, la
du
tension à la sortie de l’AO obéit à τ
+ u = µε , où τ est une constante positive et où ε = v + − v − . Soit Ru la
dt
résistance d’utilisation branchée entre la borne S et la masse. Déterminer l’équation différentielle régissant u(t).
du
+ au = Au1 + Bu 2 , où a , A et B sont des fonctions de µ et des résistances.
4) Cette équation est de la forme τ
dt
Montrer que le régime linéaire n’est stable que si a > 0 . Que se passe-t-il dans le cas a < 0 ?
5) Quel est l’ordre de grandeur de µ ?
6) En déduire la condition de stabilité du régime linéaire.
DS : ampli op, page 2
IV29.
1. Dans les trois montages ci-dessous, on utilise un AO idéal et des résistances.
Pour chaque montage, établir les expressions des tensions de sortie si en fonction des tensions d'entrée ei et,
éventuellement, des résistances R, R' et R".
2. Dans le montage 4, une diode est associée à un AO ; la diode n'est pas considérée comme idéale, sa
caractéristique est modélisée par : u > 0 ⇒ i(u ) = I 0 exp(au ) ; u < 0 ⇒ i(u ) = 0 , a et I 0 étant deux
constantes positives.
2.a. Établir la relation liant s et e. Quelle condition doit
vérifier e ?
2.b. On permute les positions de R et D (montage 5).
Établir la relation liant s et e et expliciter la condition que
doit vérifier e.
3. On veut construire un opérateur effectuant la
multiplication de deux signaux e1 et e2, en utilisant des AO
idéaux et des diodes.
Montrer qu'en combinant des montages du type
précédent, on peut obtenir, à partir des deux signaux
ee
d'entrée e1 et e2 le signal de sortie 1 2 .
RI 0
4. Quelles critiques peut-on adresser à ce schéma d’un
multiplieur ?
i
u
montage 4 :
montage 5 :
V33. Filtre actif.
R’
C’
B
On applique une tension sinusoïdale ve = Vem cos ωt au montage cicontre, qui applique à son tour une tension vs à un appareil d’utilisation
R
–
schématisé par la résistance Ru. L’amplificateur opérationnel est parfait.
+
1) Expliquer en quoi le branchement des trois bornes de l’AO incline à ve
C A
supposer que celui-ci fonctionne en régime linéaire et non en régime
Ru
vs
saturé si Vem et ω ne sont pas trop grands ?
2) Que se passe-t-il si Vem est trop grand ?
3) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si ω est très petit.
4) Déterminer sans calcul la fonction de transfert si ω est très grand, l’amplificateur opérationnel étant supposé en
régime linéaire.
v
1
5) Montrer que la fonction de transfert est : H = s =
.
ve
1 + jC ω ( R + R ' ) − RCR 'C ' ω 2
DS : ampli op, page 3
6) Exprimer C’ et ω0 en fonction de R, R’ et C pour que
Vsm
=
Vem
1
⎛ ω ⎞4
1 + ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ ω0 ⎠
.
7) Exprimer la bande passante à –3 dB de ce filtre.
8) On se propose de tracer le graphe de GdB = 20 log (Vsm /Vem ) en fonction de log(ω /ω0) . Déterminer les
équations des asymptotes de ce graphe.
9) Tracer schématiquement ce graphe.
10) Définir par un mot l’utilité de ce filtre.
11) Quelle est l’impédance de sortie de ce filtre ?
12) Quelle est la différence entre les phases de vs et de ve à basse fréquence ?
13) et à haute fréquence ?
VI50.
Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1. On considère le montage représenté ci contre dans
lequel l'amplificateur opérationnel considéré comme
parfait fonctionne en régime linéaire : les courants aux
entrées inverseuse et non inverseuse sont nuls et la tension
entre ces deux entrées est nulle. Le circuit est alimenté à
l'entrée par un générateur délivrant une tension alternative
sinusoïdale de pulsation ω et d'amplitude complexeUe .
On désigne par U s l'amplitude complexe de la tension de
sortie. Les quantités Y ,Y1,Y2 représentent des
admittances.
Calculer la fonction de transfert T ( j ω) = U s /Ue du
circuit.
2. Les admittances Y correspondent à des conducteurs ohmiques purs identiques, de conductance 1/ R .
L'admittance Y1 , correspond à un condensateur de capacité C et Y2 à un condensateur de capacité αC où α est une
constante positive. On pose ω0 = 1/ RC et x = ω / ω0 . Exprimer le module de la fonction de transfert.
1
3. Déterminer la valeur de α pour laquelle on peut écrire : T =
et exprimer ω1 .
1 + (ω / ω1 )4
4. Quelle est alors la fonction du filtre ?
5. Calculer la valeur ω2 de la pulsation correspondant à une atténuation du module de la fonction de transfert de 40
dB.
VII29.
Les AO sont idéaux et fonctionnent en régime linéaire.
1) Quand on étudie une onde sonore, on constate que la pression P de l’air a une valeur moyenne par rapport au
temps P0 constante et égale à la pression en l’absence de son et qu’elle varie un peu autour de cette valeur moyenne.
Pour mesurer ces petites variations de pression, on utilise un capteur qu’on peut modéliser par une résistance r variant
linéairement avec la pression : r = βP . Dans un premier temps, on insère le capteur dans le montage 1.
a) Calculer les tensions vP et vM entre les points P et M et la masse, puis la tension de sortie vS en fonction de la
tension V0 et des résistances r et r0 .
b) Quelle valeur doit-on donner à r0 pour que le signal ait l'amplitude la plus petite possible ? A quoi cela sert-il ?
DS : ampli op, page 4
c) Calculer alors la sensibilité de la chaîne de mesure, c'est-à-dire le rapport entre la tension de sortie et la pression
acoustique P − P0 .
2) On insère maintenant le capteur dans le pont de Wheatstone amplifié (Montage 2).
a) Calculer les tensions vP et vM à l'entrée de l'amplificateur.
b) Calculer la tension de sortie vS en fonction de vP , vM , R1 , R2 et Rg .
c) Calculer la sensibilité de la chaîne de mesure. Quel est l'intérêt du montage par rapport au précédent ?
VIII33.
1) Dans le montage ci contre, exprimer la tension à la sortie vs en fonction des tensions
aux entrées v1 et v2.
2) Qu’appelle-t-on résistance de sortie ? Quelle est la résistance de sortie de ce
montage ?
3) Que peut-on dire de simple des impédances d’entrée ? Sont-elles idéales ?
4) Que réalise ce montage ?
C
R
–
v1
R
v2
+
C
∞
IX41. Traitement du signal fourni par un anémomètre à fil chaud,
d’après ESEM 1992.
Un anémomètre à fil chaud placé dans un fluide de vitesse v fournit une tension U. Dans ces conditions on admet
que la tension U produite, pour une vitesse v constante et au bout d'une durée suffisamment longue, vaut U = k.v1/2, k
constante positive liée à l'appareil. Si la vitesse passe brusquement à l’instant t = 0 de v à v + ∆v, la tension U ne varie
pas instantanément ; elle varie progressivement et avec retard selon la loi : si t < 0, U = k.v1/2, si t > 0, U = k.v1/2 +
∆U0.(1–exp(–t/τ)). Les montages électroniques 2a et 2c traitent
le signal U afin de l'améliorer et de faciliter son emploi. Les
amplificateurs opérationnels sont idéaux et fonctionnent en
régime linéaire.
1) Montrer que ∆U0 =k.(v + ∆v)1/2 – k.v1/2.
2) Représenter la courbe U = U(t), y faire apparaître τ, U1 et
U2 tensions relatives aux vitesses v et v+∆v , ∆v > 0.
3) Etude du montage de la figure 2a.
On admet que les diodes utilisées sont modélisées quand
elles sont conductrices par : ud > 0 et id = i0.exp(ud/u0), (figure
2b) où i0 et u0 sont deux constantes positives. Le montage
utilise la tension d'entrée e = U produite par la vitesse constante
v.
3.a) Exprimer les tensions s1 avec e, s2 avec s1, puis s avec s2.
Quelle opération réalise chaque partie du montage ?
3.b) Calculer s en fonction de e, R et i0. Quelle condition doit
être remplie par e, R et i0 pour que les diodes soient
conductrices ?
3.c) Montrer que le signal de sortie est proportionnel à la
vitesse. Quelle est la constante de proportionnalité ? On dit qu'il
y a linéarisation.
4) Étude du montage de la figure 2c.
DS : ampli op, page 5
vs
Le montage utilise la tension d'entrée e = U(t) quand la vitesse varie de v à v + ∆v.
4.a). Exprimer s1 avec de/dt, R et C, s2 avec e, puis s avec s1 et s2. Quelle opération réalise chaque partie du
montage ?
4.b) Exprimer s avec e, de/dt, R et C.
4.c) Montrer que par un choix judicieux de R.C, l'anémomètre suivi de ce montage donne une réponse instantanée.
5) Comment réaliser un anémomètre donnant une réponse à la fois linéaire et instantanée ?
Réponses
r − r′
I. s = R1i
; ce montage donne une image en tension de la différence relative entre r et r ′ .
r′
II.
A. 1.a. La diode passante équivaut au schéma ci-contre ; 1.b. La diode équivaut à un interrupteur ouvert ; 2.a.
2u
2u
us = ue ; id 1 = e ; ud 2 = −U 0 − ue ; ue > 0 ; 2.b. id 2 = − e ; us = −ue ;
3R
R
U0
ud 1 = ue / 3 − U 0 ; ue < 0 ; 2.c. us = ue ;
3.a. f2 =
ω2
= 2005, 4 Hz ; f1 = f2 / 2 = 1002, 7 Hz ;
2π
2UeM
= 5, 0 V .
π
B. 1. filtre passe-bas ; 2. a est R et b est C ; 3.
R = 10 000 Ω .
3.b.
2
1.5
C. 1. w = 0 ; 2. au moins R1 ; 3. voisine de zéro ; 5.
R3 = −2AR1 = 159 000 Ω ; 6. voir ci-contre ; le maximum a
G
lieu pour ω = ω0 , G = 2, 3 ; 7. W = 0 ;
8. w1 = Av1 = −7, 6 cos ω2t ; 9. w2 est très petit ;
10. w w1 ; 11. doubleur de fréquence.
0.5
1
0
0.5
1
x
1.5
2
2.5
u1
u2
u ⎞
u
⎛
+
+
⎜
⎟
R
R
R
R
R1 R4
1
R3
du
⎜
1
3 ⎟
2
4
+ u = µ⎜
−
(u − s ) −
(u − s ) ; 2) R2 =
; 3) τ
; 4) si
III. 1) i =
1
1
1
1
1 ⎟
R2 2
R1R4 1
dt
R3
+
+
+
⎜⎜
⎟⎟
R1 R3 ⎠
⎝ R2 R4 Ru
1
R3
1
>
−
a < 0 , u (t ) croît en valeur absolue jusqu’à ce que la saturation soit atteinte ; 5) 105 ; 6)
.
Ru
R1R4 R2
IV. 1) montage 1 : s1 = − (e1 + e2 ) (montage sommateur) ; montage 2 : s2 = e2 − e1 (opération différence) ;
1 ⎛ e ⎞⎟
montage 3 : s3 = −e1 (montage inverseur) ; 2.a) si e > 0, s = − ln ⎜⎜
⎟ si e < 0, l'AO est saturé (amplificateur
a ⎝ RI 0 ⎠⎟
logarithmique) ; 2.b) si e > 0
s = −RI 0 exp (ae )
si e < 0
l'AO est saturé (amplificateur exponentiel) ; 3)
mettre sur les deux entrées des amplificateurs logarithmiques, les combiner par un sommateur, appliquer un
amplificateur exponentiel, puis un inverseur ; 4) voir corrigé.
V.
1) La sortie de l’AO est reliée à l’entrée inverseuse, ce qui stabilise
le régime linéaire par contre-réaction ; elle n’est pas reliée à l’entrée
non inverseuse ; une telle liaison déstabiliserait le régime linéaire ; 2)
v s risque d’être écrêté ; 3) H = 1 ; 4) H = 0 ; 6)
C′ =
2
(R + R′ ) C
2RR ′
;ω0 =
1
=
2
; 7) du continu à
(R + R ′)C
RR ′CC ′
≈ 0 ; ω → ∞ , G dB ≈ −40 log(ω / ω 0 ) ; 9) ci-
ω 0 ; 8) ω → 0 , G dB
contre le graphe de G dB en fonction de log(ω / ω 0 ) ; 10) passe bas ;
11) nulle ; 12) nulle ; 13) π .
DS : ampli op, page 6
1
1
2
3
; 2) T =
; 3) α = et ω1 =
; 4) passe2
2
2 4
Y2
Y1
9
2RC
1 + ( 9α − 2α ) x + α x
1+
3+
Y
Y
30
bas ; 5) ω2 =
= 212000 rad/s .
2RC
rV0
V + vs
r − r0
; v (M ) = 0
; vs =
V ; 1.b) r0 = βP0 ; vs est une image électrique de la
VII. 1.a) v ( P ) =
r + r0
r + r0 0
2
vs
V
rV0
V
pression acoustique P − P0 ; 1.c)
; v (M ) = 0 ;
= 0 ; 2.a) v ( P ) =
2P0
P − P0
r + r0
2
⎛
⎛
2R ⎞
vs
2R ⎞ V
⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎟ 0 ; amplifie la pression acoustique
2.b) vs = − ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎟ ( v ( M ) − v ( P ) ) ; 2.c)
⎜
⎜⎝
P − P0
Rg ⎠ 4P0
Rg ⎠
⎝
VI. 1) T = −
(
VIII. 1) v2 − v1 = RC
)
dv
dvs
; 2) Zs = s nulle ; 3) idéal : impédances d’entrée infinies, non vérifié ici ; 4)
d is
dt
intégrateur différentiel.
IX. 2) voir graphe ci-contre ; 3.a)
e
= i0 exp(−s1 / u0 ) (amplificateur
R
U
U2
s1
s
s
= − 2 (amplificateur inverseur) ; i0 exp(s2 / u0 ) = −
R
2R
R
U1
t
e2
k2
(amplificateur exponentiel) ; 3.b) s = −
v est
; e > Ri0 ; 3.c) s = −
Ri0
Ri0
0
τ
de
e
s2
=−
(montage dérivateur) ;
proportionnel à la vitesse ; 4.a) s1 = −RC
dt
R
R
s
s1 s2
de
+ +
= 0 (montage sommateur) ; 4.b) s = e + RC
(montage inverseur) ;
; 4.c) s = U 2 si RC = τ ;
R R
R
dt
l’anémomètre donne alors une réponse instantanée ; 5) Pour avoir une réponse linéaire et instantanée, il faut disposer en
série l’anémomètre, le montage 2c et le montage 2a.
logarithmique) ;
DS : ampli op, page 7
Corrigés
I.
En régime linéaire, les bornes –
D
des AO sont aux potentiel 0. Les
deux dipôles D sont donc soumis
à la même tension E et donc
r
i
parcourus par le même courant i .
La sortie de l’AO de gauche est au
−
D
potentiel −ri . r ′ est parcourue
∞
ri
i
par le courant i ′ = − . R1 est
E
+
r′
parcouru par le courant
r
. D’où :
i ′′ = i + i ′ = i 1 −
r′
r − r′
s = R1i
.
r′
Ce montage donne une image en tension de la différence relative entre r et r ′ .
(
R1
i ′′
i
r′
−
∞
i′
+
)
s
II. Transformations de signaux (d'après Géologie de Nancy 1997).
A.
1.a. La diode passante équivaut au schéma ci-contre :
1.b. La diode équivaut à un interrupteur ouvert.
U0
2.a. Les deux entrées de l'AO de gauche sont au potentiel 0 ; comme la résistance du
bas est parcourue par un courant nul, les deux entrées de
i A
j
l'AO de droite sont aussi au potentiel zéro. Les entrées
R
R
R
j
inverseuses des AO ne prélevant pas de courant, les
id1
résistances R du haut sont parcourues deux à deux par
i
U0
u
v
R
+
les mêmes courants i et j : i = e = − A et
R
R
+
vA
us
j =
=− .
ud2
R
R
ue
us
D'où :
R
us = ue
et j = −i ; d'après la loi des nœuds en A, id 1 = 2i ;
d'où :
2u
id 1 = e .
R
Comme la résistance R du bas est parcourue par un courant nul, elle est au potentiel 0 et ud 2 + U 0 = vA = −ue :
ud 2 = −U 0 − ue
D1 est passante si ue > 0 .
Alors, ud 2 < U 0 , donc D2 est bloquée.
Donc ceci est le régime de fonctionnement si ue > 0 .
2.b.
Sur la figure, on a représenté les courants non nuls, i ,
id 2 et i + id 2 . Le point C et les entrées inverseuse et non
inverseuse du premier AO sont au potentiel zéro. Les
i
points B et \ D et les deux entrées inverseuse et non
inverseuse du deuxième AO sont au même potentiel, vB .
D'après la loi d'Ohm, ce dernier potentiel est :
vB = −2R ( i + id 2 ) = Rid 2 ⇒ id 2 = −2i / 3 .
ue
Comme i = ue / R ,
2u
id 2 = − e
3R
u
2u
D'après la loi d'Ohm, us = −3R ( i + id 2 ) = −3R e − e
R
3r
(
i+id2
R
R
C
A
R
ud1
U0
R
)
DS : ampli op, page 8
B
R
i+id2
+
id2
+
D
us
us = −ue
vA − vB = ud 1 + U 0 = −R ( i + id 2 ) − Rid 2 = −R
( )
i
2i
Ri
u
−R −
=
= s
3
3
3
3
ud 1 = ue / 3 − U 0
D2 est passante si id 2 > 0
ue < 0
Alors, ud 1 < 0 , donc D1 est bloquée.
Autre technique de calcul : le théorème de Millman en C donne : 0 =
ue
v
v
+ D + B ; comme vD = vB , on en
R
r
2R
2ue
; comme le même courant i + id 2 parcourt les trois résistances R du haut,
3
v
v
u
u
v
2u
− ( i + id 2 ) = A = D = s , d’où us = −ue et vA = − e ; id 2 = B = − e ;
R
R
2R
3R
3
3R
ue
2ue
ue
ud 1 + U 0 = vA − vB = − − −
⇒ ud 1 =
−U0 .
3
3
3
2.c.
us = ue
3.a. L’examen des graphiques de cos ωt et de cos ωt montre que la période de cos ωt est la demi période de
ω
cos ωt . Donc f2 = 2 = 2005, 4 Hz , tandis que f1 = f2 / 2 = 1002, 7 Hz .
2π
3.b. Un voltmètre en continu indique en général la composante continue du signal, c'est-à-dire sa valeur moyenne, qui
2UeM
2 × 7, 8
=
= 5, 0 V .
est
π
π
déduit vD = vB = −
(
)
B.
1. Il faut un filtre passe-bas.
2. a est R et b est C .
3. Pour le courant continu, C ne laisse passer aucun courant, donc us = ue . En courant variable on veut us ue ,
1
1
R , soit R −6
= 80 Ω . On peut prendre R = 10 000 Ω .
donc
C ω2
10 × 12600
C.
1. A haute fréquence, les deux condensateurs sont des court-circuits, donc w = v− = v+ = 0 .
2. L'impédance d'entrée est au moins R1 .
3. L'impédance de sortie est voisine de zéro.
w
= −jC ωvA .
4. Le même courant parcourt R3 et C :
R3
Le théorème de Millman en A donne :
v
v
+ jC ωw
+ jC ωw
w
v
⎡
1 ⎛ 1
1
⎞⎤
R1
R1
⎜⎜
vA =
⇒−
=
= w ⎢ −jC ω −
+
+ 2 jC ω ⎟⎟⎟ ⎥
1
1
1
1
⎝
⎠ ⎥⎦
ω
jR3C ω
R1
jR
C
R
R
⎢
⎣
3
1
2
+
+ 2 jC ω
+
+ 2 jC ω
R1
R2
R1
R2
d'où la formule demandée.
1
c
5. Les deux expressions de
sont du type a + bj ω +
. Identifions leur terme constant a :
jω
H
1
2R
= − 1 ⇒ R3 = −2AR1 = 2 × 2, 3 × 34 500 = 159 000 Ω
A
R3
R
1+ 1
Q
Q ω0
R2
= −R1C et −
; cette dernière
On peut vérifier aussi que les coefficients b et c sont égaux :
=
Aω0
R3C
A
34 500 ⎞
⎛
⎛
R ⎞
⎟⎟
2, 3 × ⎜⎜ 1 +
−A ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
⎜
400 ⎠⎟⎟
⎝
⎝
R2 ⎠
relation donne la même valeur pour R3 =
=
= 159 000 Ω .
QC ω0
10 × 10−8 × 12 600
DS : ampli op, page 9
6. Le graphique de G = H =
2, 3
est :
1 + 100 ( x − 1/ x )2
2
Le maximum a lieu pour ω = ω0 , G = 2, 3 .
7. W = 0 , car H = 0 pour ω = 0 .
1.5
8. w1 = Av1 = −7, 6 cos ω2t
G
9. w2 est très petit par rapport à w1 car H est nettement
1
plus petit que dans le cas précédent, la courbe de H en
fonction de ω présentant son maximum assez aigu pour la
0.5
question 8.
10. w = W + w1 + w2 w1 . En effet, V + v1 + v2 est la
0
0.5
série de Fourier de us .
11. On a réalisé un doubleur de fréquence qui transforme cos ωt en cos 2ωt .
1
x
1.5
2
2.5
III.
1) Le même courant traverse R1 et R3 :
La loi des nœuds en S s’écrit
u1 − v − v − − u
=
.
R1
R3
u 2 − v+ u − v+
+
=i.
R2
R4
En outre, s = v + = v − .
La relation entre s et i s’obtient en éliminant u entre ces relations :
R
R
u = v − − 3 (u1 − v − ) = v + + R4 i − 4 (u 2 − v + )
R1
R2
R
1
(u 2 − s) − 3 (u1 − s )
R2
R1 R4
2) Pour que le montage se comporte comme une source de courant, il faut que i soit indépendant de s , donc que
RR
u − u1
R2 = 1 4 . Alors i = 2
.
R3
R2
u1
u
+
R
R3
3) Le théorème de Millman pour l’entrée inverseuse s’écrit : v − = 1
.
1
1
+
R1 R3
u2
u
+
R2
R4
.
Le théorème de Millman en S s’écrit : v+ =
1
1
1
+
+
R2
R4
Ru
i=
u1
u2
u ⎞
u
⎛
+
+
⎜
⎟
R1 R3 ⎟
R2 R 4
du
⎜
+
=
τ
µ
−
u
D’où :
⎜ 1
1
1
1
1 ⎟
dt
+
+
+
⎜⎜
⎟
R1 R3 ⎟⎠
⎝ R2 R4 Ru
du
1
⎡ 1
⎤
+ au = Au1 + Bu 2 , où a = 1 + µ ⎢
4) Cette équation est du type τ
−
⎥.
dt
⎢ 1 + R3 1 + R ⎛⎜ 1 + 1 ⎞⎟ ⎥
4⎜
⎢
R1
⎝ R2
Ru ⎠⎟ ⎥⎦
⎣
La solution de cette équation est la somme d’une solution particulière qui ressemble à Au1 + Bu 2 et de la solution
générale de l’équation sans second membre, cste. exp(−at / τ ) ; il faut que cette fonction tende vers zéro quand t → ∞ ,
donc que a > 0 pour que le système soit stable, c’est-à-dire que u (t ) suive Au1 + Bu 2 . Si au contraire a < 0 , u (t )
croît en valeur absolue jusqu’à ce que la saturation soit atteinte.
5) µ est très grand (105).
6) Par conséquent, la condition de stabilité est approximativement
1
1
R
1 ⎞⎟
1
R3
1
⎛ 1
−
> 0 ⇒ 1 + 3 < 1 + R4 ⎜⎜
+
⇒
>
−
⎟
⎟
R3
⎝ R2
1 ⎞⎟
⎛ 1
R1
Ru ⎠
Ru
R1R4 R2
1+
1 + R4 ⎜⎜
+
R1
⎝ R2
Ru ⎠⎟
DS : ampli op, page 10
IV.
e1 e2
s
+
+ 1
R
R
R s = − (e + e ) (montage sommateur).
1) Montage 1. Millman : 0 = v+ = v− =
1
1
2
1
1
1
+ +
R R R
e + s2 ⎫
⎪
v− = 1
⎪
⎪
2
⎪⎬ ⇒ s = e − e (opération différence).
Montage 2. Montages diviseur de tension :
2
2
1
e2
⎪
⎪
v+ =
⎪
⎪
⎭
2
e + s3
Montage 3. Montage diviseur de tension : 0 = v+ = v− = 1
s3 = −e1 (montage inverseur).
2
1 ⎛ e ⎞⎟
⎧⎪
⎪⎪ si e > 0, s = − ln ⎜⎜
⎟
a ⎝ RI 0 ⎠⎟ (amplificateur logarithmique).
2.a) Pour la diode, i = e / R , u = −s , soit ⎨
⎪⎪
⎪⎪⎩ si e < 0, l'AO est saturé
⎧⎪ si e > 0 s = −RI 0 exp ( ae )
2.b) u = e s = −Ri , soit ⎪⎨
(amplificateur exponentiel).
⎪⎪ si e < 0 l'AO est saturé
⎩
3)
1
e
1
e
1
ee
Si e1 > 0, s1 = − ln 1 ; si e2 > 0, s2 = − ln 2 ; s3 = −s1 − s2 = ln 1 2 2 ; si s3 > 0 , soit
a RI 0
a RI 0
a ( RI 0 )
ee
ee
e1e2 > ( RI 0 )2 , s4 = −RI 0 exp ( as 3 ) = − 1 2 ; s5 = −s 4 = 1 2
RI 0
RI 0
4) Ce montage ne fonctionne que si e1 > 0 et e2 > 0 et e1e2 > ( RI 0 )2 .
En réalité, la caractéristique de la diode n’est opérationnelle que sur une gamme très étroite de
tension.
Il faut donc compliquer ce montage pour avoir un multiplieur efficace.
i
V.
u
région
1) La sortie de l’AO est reliée à l’entrée inverseuse, ce qui stabilise le régime linéaire par contreutile
réaction ; elle n’est pas reliée à l’entrée non inverseuse ; une telle liaison déstabiliserait le régime
linéaire.
2) Si Vem est trop grand, vs risque d’être écrêté.
3) A basse fréquence, les condensateurs ont une grande impédance, si bien qu’on peut supprimer leurs branches sans
perturber le montage. Les résistances R et R ′ sont alors parcourues par le courant i + = 0 , d’où ve = v+ = v− = vs et
H = 1.
4) A haute fréquence, les condensateurs ont une impédance petite, si bien qu’on peut les remplacer par des fils. Alors
v+ = 0 , d’où v− = vs = 0 et H = 0 .
5) vA = v+ = v− = vs .
vB
v
= A ⇒ vB = vs ( 1 + jRC ω ) .
R et C sont en série, donc
1
1
R+
jC ω
jC ω
ve
1
+ vs
+ jC ′ω
′
R
Le théorème de Millman en B donne : vB = R
.
1
1
+ + jC ′ω
R′ R
En combinant ces deux relations :
1
1
v
1
+ + jC ′ω = e + vs
+ jC ′ω
vs ( 1 + jRC ω )
R
R′ R
R′
1
1
1
1
v
⎡
⎤
= e = R ′ ⎢ ( 1 + jRC ω )
+ + jC ′ω −
+ jC ′ω ⎥ = 1 + j ( R + R ′ )C ω − RR ′CC ′ω 2
′
H
vs
R
R
R
⎣
⎦
(
(
)
(
) (
(
1
6) Il faut identifier
H
2
(
= 1 − RR ′CC ′ω 2
)
2
1
RR ′CC ′
=
)
)
+ (R + R ′ ) 2 C 2 ω 2 à 1 +
coefficients en ω 2 : − 2 RR ′CC ′ + (R + R ′)2 C 2 = 0 ⇒ C ′ =
ω0 =
)
(R + R ′ ) 2 C
2 RR ′
2
.
(R + R ′)C
DS : ampli op, page 11
ω4
. Ces deux polynômes ont mêmes
ω 04
et mêmes coefficients en ω 4 :
7) H est maximum et vaut 1 quand ω = 0 . La bande passante est
l’intervalle où H >
1
2
, soit ω < ω 0 ; elle va du continu à ω 0 .
(
)
8) G dB = 20 log⎛⎜1 / 1 + (ω / ω 0 )4 ⎞⎟ = −10 log 1 + (ω / ω 0 )4 .
⎝
⎠
Quand ω → 0 , G dB ≈ 0 .
Quand ω → ∞ , G dB ≈ −40 log(ω / ω 0 )
9) Ci-contre le graphe de G dB en fonction de log(ω / ω 0 ) .
10) Ce filtre est passe bas.
11) L’impédance de sortie est nulle, car la sortie du montage est
aussi la sortie de l’AO.
12) A basse fréquence, H ≈ 1 , donc la différence de phase entre vs et ve est nulle.
1
13) A haute fréquence, H ≈
, donc la différence de phase entre vs et ve est égale à π .
− RR ′CC ′ω 2
VI.
Y (Ue + U s )
et à l’entrée
3Y + Y1
Yv ( A ) + Y2U s
1
. D’où −Y 2Ue = [Y 2 + Y2 ( 3Y + Y1 ) ]U s et T = −
.
inverseuse 0 = v+ = v− =
Y2
Y
Y + Y2
1+
3+ 1
Y
Y
1
1
2) T = −
.
=−
1 + j αRC ω ( 3 + jRC ω )
1 + j αx ( 3 + jx )
1
1
= T =
T =
.
2
2 2
2 2
1 + ( 9α − 2α ) x 2 + α2x 4
( 1 − αx ) + 9α x
1) Appliquons Millman en A, à l’extrémité de Y1 qui n’est pas à la masse v ( A ) =
(
3) Les deux polynômes en x ou ω représentant 1/ T
4
2
doivent avoir mêmes coefficients, d’où :
4
2
⎛ω⎞
⎛ω ⎞
ω0
= ω1 =
et ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = α2 ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ ω1 ⎠
⎝ ω0 ⎠
9
α
4) C’est un filtre passe-bas (qui inverse aussi le signal).
1
⎛ ω ⎞⎟4
⎜ ⎟ = 104
5) 20 log T = −40 T = 10−2
1
=
+
⎜⎝ ω1 ⎠⎟
T 2
9α2 − 2α = 0 ⇒ α =
)
3
.
2RC
ω = 10ω1 = ω2 =
30
= 212000 rad/s .
2RC
VII.
1.a) Appliquons le théorème de Millman en P :
V0
r0
1
1
+
r
r0
= v (P ) =
rV0
; et en M
r + r0
V0
v
+ s
V + vs
r0
r0
= v (M ) = 0
.
1
1
2
+
r0
r0
Or le fonctionnement linéaire de l’AO exige v ( P ) = v ( M ) ⇒ vs =
r − r0
V .
r + r0 0
1.b) Il faut choisir r0 = βP0 de sorte que vs soit nul en l’absence de son. Alors, vs =
P − P0
V , soit compte tenu
P + P0 0
P − P0
V0 : vs est une image électrique de la pression acoustique P − P0 .
2P0
vs
V
= 0 .
1.c) La sensibilité est
P − P0
2P0
de P − P0 P0 , vs V0
r0
V0
rV0
V
r0
2.a) Appliquons le théorème de Millman en P :
= v (P ) =
; et en M
= v (M ) = 0 .
1
1
1
1
r + r0
2
+
+
r
r0
r0
r0
DS : ampli op, page 12
M'
M"
P'
P"
i2
ig
i2'
2.b) R1 , Rg et R1 sont traversés successivement par le même courant
ig =
⎛
v (M ′ ) − v (P ′ ) v (M ) − v (P )
2R ⎞
=
⇒ v ( M ′ ) − v ( P ′ ) = ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎟ ( v ( M ) − v ( P ) )
⎜⎝
Rg + 2R1
Rg
Rg ⎠
Les deux résistances R2 du haut sont traversées par le même courant
v ( M ′ ) − v ( M ′′ ) v ( M ′′ ) − vs
=
⇒ vs = 2v ( M ′′ ) − v ( M ′ )
i2 =
R2
R2
Les deux résistances R2 du bas sont traversées par le même courant i2′ =
v ( P ′ ) v ( P ′′ )
=
⇒ v ( P ′ ) = 2v ( P ′′ ) .
R2
2R2
⎛
2R ⎞
L’AO de droite impose v ( M ′′ ) = v ( P ′′ ) ⇒ v ( P ′ ) − v ( M ′ ) = vs = − ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎟ ( v ( M ) − v ( P ) ) .
⎜⎝
Rg ⎠
⎛
⎛
2R ⎞ ⎛V
rV0 ⎞⎟ ⎛⎜
2R1 ⎞⎟ r − r0
2R ⎞ P − P0
V = ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟
V . Comme
2.c) vs = − ⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟ ⎜⎜ 0 −
⎟
⎟ = ⎜1 +
⎜⎝
⎜⎝
Rg ⎠⎟ ⎝ 2
r + r0 ⎠⎟ ⎝⎜
Rg ⎠⎟ 2 ( r + r0 ) 0
Rg ⎠⎟ 2 ( P + P0 ) 0
P − P0 P0 , la sensibilité est
⎛
vs
2R ⎞ V
⎜⎜ 1 + 1 ⎟⎟⎟ 0 .
⎜⎝
P − P0
Rg ⎠ 4P0
Ce montage permet d’amplifier la pression acoustique. On pourrait l’amplifier davantage en modifiant les résistances
R2 .
VIII.
1)
v2
R
v2
=
1
1 + jRC ω
+ jC ω
R
v1
+ jC ωvs
v + jRC ωvs
= 1
v− = R
1
1 + jRC ω
+ jC ω
R
v+ =
dvs
.
dt
Remarque : cette dernière formule est valable, même si v1 et v2 ne sont pas des fonctions sinusoïdales de même
fréquence.
dv
2) Si is est le courant à la sortie, Zs = s quand la charge varie. En fait, l’impédance de sortie est nulle, comme
d is
pour les autres circuits dont la sortie est à la sortie d’un AO.
3) L’idéal est que les impédances d’entrée d’un montage soit infinies. Ici, ce n’est pas le cas, car les deux entrées
prélèvent du courant.
4) Ce circuit est un intégrateur différentiel.
d’où v2 = v1 + jRC ωvs
v2 − v1 = RC
DS : ampli op, page 13
IX.
1) k (v + ∆v )1/ 2 − kv 1/2 est égal à la limite quand t → ∞ de ∆U (t ) , soit ∆U 0 .
2) Voir graphe ci-contre.
3.a) Le même courant traverse la résistance R de gauche et D1 :
e
= i0 exp(−s1 / u0 ) (amplificateur logarithmique) .
R
Le même courant traverse la résistance R du centre et la résistance 2R :
s1
s
=− 2
R
2R
(amplificateur inverseur).
Le même courant traverse la diode D3 et la résistance R de droite : i0 exp(s2 / u0 ) = −
U
U2
U1
0
t
τ
s
(amplificateur
R
exponentiel).
⎛ e ⎞⎟2
e2
3.b) D’où s = −Ri0 exp ( −2s1 / u 0 ) = −Ri0 ⎜⎜ −
=
−
.
⎟
⎝ Ri0 ⎠⎟
Ri0
La diode D1 est toujours passante, car e = kv 1/2 est toujours positif. La diode D3 est passante si s2 > 0 , soit
s1 < 0 , soit e > Ri0 .
k2
v est proportionnel à la vitesse.
Ri0
4.a) La charge de l’armature de droite du condensateur est q = Ce . Sa dérivée par rapport au temps est égale au
dq
s
de
courant dans la résistance R du haut :
(montage dérivateur).
= − 1 . D’où s1 = −RC
dt
R
dt
e
s
Le même courant traverse les deux résistances R situées en bas à gauche, donc :
= − 2 (montage inverseur).
R
R
s
s1 s2
Le théorème de Millman appliqué à l’entrée inverseuse de l’AO de droite s’écrit :
+ +
= 0 (montage
R R
R
sommateur).
de
.
4.b) D’où s = e + RC
dt
4.c) Si t > 0 , e = U 2 + (U 1 − U 2 )exp(−t / τ ) ; alors
RC
s = U 2 + (U 1 − U 2 )exp(−t / τ ) −
(U 1 − U 2 )exp(−t / τ ) : s = U 2 si RC = τ ; l’anémomètre donne alors une
τ
réponse instantanée.
5) Pour avoir une réponse linéaire et instantanée, il faut disposer en série l’anémomètre, le montage 2c et le montage
2a.
3.c) s = −
DS : ampli op, page 14