Chapitre-3 Energie associée à une onde EM ∫∫∫

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1
Chapitre-3
Energie associée à une onde EM
3.1 Energie associée au champ électromagnétique en
général
3.1.1 Densité volumique d’énergie
Considérons un diélectrique parfait, occupant un volume ( V ) et délimité par une surface (S ) ,
où règne un champ ( E , B) . L’énergie électromagnétique associée à ce champ dans le volume
V :
U em = ∫∫∫ (
V
εE 2
2
+
B2
)dV
2µ 0
(3-1)
Notons que l’énergie électromagnétique se réduit à une forme purement électrique lorsque
B=0 :
U e = ∫∫∫
V
εE 2
2
dV
(3-2)
On retrouve alors, en régime stationnaire, l’énergie électrostatique. Par analogie, on définit
l’énergie magnétique :
U m = ∫∫∫
V
B2
dV
2µ 0
(3-3)
à laquelle se réduit U em lorsque le champ électrique est nul.
En régime variable, E et B étant couplés, l’énergie électromagnétique est la somme des
εE 2
deux termes inséparables, l’un électrique, de densité volumique, u e =
, l’autre
2
B2
magnétique de densité volumique u m =
2µ 0
3.1.2 Puissance rayonnée
Dans le cours d électromagnétisme, on montre que la puissance rayonnée par un champ
électromagnétique ( E , B) à travers une surface donnée quelconque est égale au flux du
vecteur de Poynting P , tel que :
Y. Marouan/2005-06
2
P=E∧
B
(3-4)
µ0
P
dS
θ
n
Fig-3.1
Ainsi, la puissance rayonnée dPr à travers l’élément de surface orienté dS = n dS qui fait un
angle θ avec le vecteur de poynting (Fig-3.1), est égale à
dPr = P.dS = P.n dS = P dS cosθ
(3-5)
Le vecteur de poynting apparaît comme la puissance rayonnée par une surface unité placée
perpendiculairement à sa direction donc P s’exprime en W / m 2 .
3.2 Energie électromagnétique associée à une OPPM
3.2.1 Densité volumique d’énergie
Dans un diélectrique isotrope, de permittivité ε , où il y a propagation d’une onde plane
sinusoïdale de fréquence ν , la densité volumique d’énergie associée est
2
B
u
=
+
em
,ν
23
2µ
1
23
12
0
{
densité volumique densité volumique
densité volumique
de l' énergie EM
de l' énergie électrique de l' énergie magnétique
εE
2
Sachant que le champ électrique et le champ magnétique d’une OPPM sont liés par la relation
(2-11). On en déduit que les deux termes de densité d’énergie sont égaux
2
u em,ν = ε E =
B
2
µ0
3.2.2 Puissance rayonnée par une OPPM
Remplaçons dans l’expression du vecteur de poynting B par
vectorielle u ∧ (v ∧ w) = (u.w)v − (u.v) w . On obtient :
Y. Marouan/2005-06
k∧E
ω
, et utilisons l’identité
3
Pν = E ν ∧
k ∧ Eν
ω
=
1
ω
2
( E ν k − E ν (k .E ν )
soit, puisque le champ électrique est transverse, ( k .E = 0 )
Pν =
1
ωµ 0
2
k=
Eν
nk 0
ωµ 0
2
2
E ν u = ε 0 cn E ν u
avec
u=
k
k
(2-8)
Les lignes de champ de ce vecteur sont les trajectoires de l’énergie. On conclut donc que,
dans un diélectrique PIH, le vecteur de poynting P est colinéaire au vecteur d’onde k :
l’énergie et l’onde se propage dans la même direction.
3.2.3 Valeur moyenne des grandeurs énergétiques
Aux fréquence optiques (ν ≈ 5.1014 Hz ), E , B et P oscillent très rapidement et il est
impossible de mesurer directement les valeurs instantanées de P . Par contre on mesure la
valeur moyenne 〈 P〉 t de P sur des intervalles de temps convenablement choisis. Cette
grandeur est appelée densité de flux de radiation de symbole I .
Considérons le cas important d’une onde plane progressive monochromatique se propageant
dans la direction Oz (k = k e z ) :
E mx cos(ωt − kz )
E E my cos(ωt − kz − ϕ )
0
(2-9)
Dans un plan d’onde P varie avec une période égale à π/ω=T/2. dans le domaine de
l’optique, cette variation est trop rapide pour que les détecteurs usuels puissent suivre les
variations de P . Leur temps de réponse τd étant très grand devant la période du phénomène
τd
≈ τ d ω ff 1 ), de tels détecteurs réalisent une « intègration » et ne fournissent donc qu’une
T
mesure de la moyenne I = 〈 P〉 t . Comme :
(
2
2
2
E = E mx
cos 2 (ωt − kz ) + E my
cos 2 (ωt − kz − ϕ )
la densité de flux de radiation s’écrit :
1
2
I = ε 0 cn〈 E 〉 = ε 0 cn
τd
Or
Y. Marouan/2005-06
t +τ d
∫
t
2
E dt
4
t +τ d
t +τ d
1 + cos 2(ωt '+φ )
1
1
(sin 2[ω (t + τ d ) − φ ] − sin 2(ωt − φ ))
dt ' = +
2
2 2ωτ d
τd t
τd t
1
Comme τ d ω ff 1 , le dernier terme tend vers 0. Par conséquent 〈 cos 2 (ωt + φ )〉 t =
et
2
*
2
1 2
2
2
2
)
〈 E 〉 t = (E mx
+ E my
)
. Sachant que (E mx
+ E my
= E.E , on peut exprimer toutes les
2
grandeurs énergétiques en notation complexe :
1
∫
2
cos (ωt '−φ )dt ' =
1
∫
〈u em ,ν 〉 t =
Iν =
ε 0 cn
2
*
1
ε E .E
2
E .E
(2-11)
*
(2-12)
3.3 Dualité onde-corpuscule
L’association
Dans un très grand nombre de problèmes, les ondes électromagnétiques peuvent être
représentées avec une très bonne approximation par l’onde plane illimitée, qui constitue la
solution la plus simple de l’équation d’onde. Toutefois pour pouvoir interpréter des
phénomènes physique tels que l’émission et l’absorption des ondes par la matière (par
exemple l’effet photo électrique) on lui associe des photon ayant :
l' energie W = hν = hω ,

la quantité de mouvement


 p, parallèle à la direction de propagation k

hν h hω h 2π

 de module p = c = λ = c = λ = h k
avec h = 6.6256 × 10 − 34 J .s , la constante de Planck (et h =
p = hk
h
). On en déduit que
2π
de la même manière que W = hω
(2-13)
Exemple :
1. Calculer la fréquence , la longueur d’onde dans le vide et l’énergie exprimée en joules
d’un photon dont l’énergie est 2 ev (électron-volts) :
Puisque 1 ev = 1,6021 × 10 −19 J ,
Sachant que W = hν ,
Y. Marouan/2005-06
W = 2 ev = 3,2 × 10 −19 J
3,2 × 10 - 19 = 6,6 × 10 − 34ν
⇒ ν = 4,8 × 1014 Hz
5
et enfin, λ =
c
ν
⇒ λ=
Y. Marouan/2005-06
3 × 108
≈ 0,6250 µm
14
4,8 × 10
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