Chapitre-3 Energie associée à une onde EM ∫∫∫

Y. Marouan/2005-06
1
Chapitre-3
Energie associée à une onde EM
3.1 Energie associée au champ électromagnétique en
général
3.1.1 Densité volumique d’énergie
Considérons un diélectrique parfait, occupant un volume ( V ) et délimité par une surface )(S,
où règne un champ ),( BE . L’énergie électromagnétique associée à ce champ dans le volume
V :
∫∫∫
+=
V
em
dV
BE )
22
(
0
22
µ
ε
U (3-1)
Notons que l’énergie électromagnétique se réduit à une forme purement électrique lorsque
0=B :
∫∫∫
=
V
e
dV
E
U
2
2
ε
(3-2)
On retrouve alors, en régime stationnaire, l’énergie électrostatique. Par analogie, on définit
l’énergie magnétique :
dV
B
U
V
m
∫∫∫
=
0
2
2 µ
(3-3)
à laquelle se réduit
em
U lorsque le champ électrique est nul.
En régime variable, B et E étant couplés, l’énergie électromagnétique est la somme des
deux termes inséparables, l’un électrique, de densité volumique,
2
2
E
u
e
ε
=, l’autre
magnétique de densité volumique
0
2
2 µ
B
u
m
=
3.1.2 Puissance rayonnée
Dans le cours d électromagnétisme, on montre que la puissance rayonnée par un champ
électromagnétique ),( BE à travers une surface donnée quelconque est égale au flux du
vecteur de Poynting
P
, tel que :

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2
0
µ
B
EP ∧=
(3-4)
Fig-3.1
Ainsi, la puissance rayonnée
r
dP à travers l’élément de surface orienté dSndS = qui fait un
angle
θ
avec le vecteur de poynting (Fig-3.1), est égale à
θ cos .. dSPdSnPdSPdP
r
=== (3-5)
Le vecteur de poynting apparaît comme la puissance rayonnée par une surface unité placée
perpendiculairement à sa direction donc
P
s’exprime en
2
/ mW .
3.2 Energie électromagnétique associée à une OPPM
3.2.1 Densité volumique d’énergie
Dans un diélectrique isotrope, de permittivité
ε
, où il y a propagation d’une onde plane
sinusoïdale de fréquence
ν
, la densité volumique d’énergie associée est
{
magnétique énergiel' de
volumiquedensité
0
2
2
électrique énergiel' de
volumiquedensité
2
2
EM énergiel' de
volumiquedensité
,
µ
ε
ν
BE
em
u+=
321
321
Sachant que le champ électrique et le champ magnétique d’une OPPM sont liés par la relation
(2-11). On en déduit que les deux termes de densité d’énergie sont égaux
0
2
2
,
µ
ε
ν
B
Eu
em
==
3.2.2 Puissance rayonnée par une OPPM
Remplaçons dans l’expression du vecteur de poynting
B
par
ω
Ek ∧
, et utilisons l’identité
vectorielle wvuvwuwvu ).().()( −=∧∧ . On obtient :
θ
n
P
dS

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3
).((
1
2
ννν
ν
νν
ωω
EkEkE
Ek
EP −=
∧
∧=
soit, puisque le champ électrique est transverse, ( 0. =Ek )
uEcnuE
nk
kEP
2
0
2
0
0
2
0
1
ννν
ν
ε
ωµωµ
=== avec
k
k
u= (2-8)
Les lignes de champ de ce vecteur sont les trajectoires de l’énergie. On conclut donc que,
dans un diélectrique PIH, le vecteur de poynting
P
est colinéaire au vecteur d’onde k :
l’énergie et l’onde se propage dans la même direction.
3.2.3 Valeur moyenne des grandeurs énergétiques
Aux fréquence optiques ( Hz
14
10.5≈ ν ), Pet , BE oscillent très rapidement et il est
impossible de mesurer directement les valeurs instantanées de
P
. Par contre on mesure la
valeur moyenne
t
P 〉〈 de
P
sur des intervalles de temps convenablement choisis. Cette
grandeur est appelée densité de flux de radiation de symbole
I
.
Considérons le cas important d’une onde plane progressive monochromatique se propageant
dans la direction Oz :)(
z
ekk =
0
)cos(
)cos(
ϕω
ω
−−
−
kztE
kztE
E
my
mx
(2-9)
Dans un plan d’onde
P
varie avec une période égale à π/ω=T/2. dans le domaine de
l’optique, cette variation est trop rapide pour que les détecteurs usuels puissent suivre les
variations de
P
. Leur temps de réponse τ
d
étant très grand devant la période du phénomène
( 1ff ωτ
τ
d
d
T
≈), de tels détecteurs réalisent une « intègration » et ne fournissent donc qu’une
mesure de la moyenne
t
PI 〉〈= . Comme :
)(cos)(cos
2222
2
ϕωω −−+−= kztEkztEE
mymx
la densité de flux de radiation s’écrit :
∫
+
= 〉〈 =
d
t
t
d
dtEcnEcnI
τ
τ
εε
2
0
2
0
1
Or

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( )
)(2sin])([2sin
2
1
2
1
'
2
)'(2cos11
')'(cos
1
2
φωφτω
ωτ
φω
τ
φω
τ
τ τ
−−−++=
++
=−
∫ ∫
+ +
ttdt
t
dtt
d
d
t
t
t
t
dd
d d
Comme 1 ff ωτ
d
, le dernier terme tend vers 0. Par conséquent
2
1
)(cos
2
=〉+〈
t
t φω et
(
)
22
2
2
1
mymxt
EEE +=〉〈 . Sachant que
(
)
*
22
.EEEE
mymx
=+ , on peut exprimer toutes les
grandeurs énergétiques en notation complexe :
*
.
2
1
,EEu
tem
ε
ν
=〉〈 (2-11)
*
0
.
2
EE
cn
I
ε
ν
= (2-12)
3.3 Dualité onde-corpuscule
L’association
Dans un très grand nombre de problèmes, les ondes électromagnétiques peuvent être
représentées avec une très bonne approximation par l’onde plane illimitée, qui constitue la
solution la plus simple de l’équation d’onde. Toutefois pour pouvoir interpréter des
phénomènes physique tels que l’émission et l’absorption des ondes par la matière (par
exemple l’effet photo électrique) on lui associe des photon ayant :
=====
==
k
c
h
c
h
k
hW
h
hh
h
λ
πω
λ
ν
ων
2
p module de
n propagatio dedirection la à parallèle ,p
mouvement de quantité la
, energiel'
avec sJh .
34
106256.6
−
×= , la constante de Planck (et
π
2
h
=h). On en déduit que
ω hh == Wkp que manière même la de
(2-13)
Exemple :
1. Calculer la fréquence , la longueur d’onde dans le vide et l’énergie exprimée en joules
d’un photon dont l’énergie est 2 ev (électron-volts) :
Puisque JevWJev
1919
102,3 2 ,106021,1 1
−−
×==×=
Sachant que HzhW 14 104,8
34
106,6
19-
103,2 , ×=⇒
−
×=×= ννν

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et enfin, m
c
µλ
ν
λ 6250,0
14
104,8
8
103
≈
×
×
=⇒=