DS Physique n˚6 PCSI 2016 – 2017 Conseils :

DS Physique n˚6 PCSI 2016 – 2017
Conseils :
•Ce devoir comporte 4 problèmes.
•Le correcteur tiendra compte de la présentation (soin apporté aux schémas) et de la rédaction
de votre copie : justifiez rapidement vos affirmations, donnez la valeur littérale simplifiée des
résultats en fonction des données de l’énoncé, vérifiez l’homogénéité et la cohérence (tout résultat
non homogène sera sanctionné).
Les résultats non encadrés ne seront pas notés. Laissez une marge à gauche pour le correcteur.
•Numérotez vos copies doubles : 1/4, 2/4 .... (si 4 copies). N’oubliez pas de mettre votre Nom sur
chacune des copies.
•L’usage des calculatrices est autorisé.
Volantd’inertie
Initialement immobile, une machine tournante de moment d’inertie Jpar rapport à son axe est soumise à
partir de l’instant t=0à l’action d’un couple moteur de moment Γ0constant. On étudie le mouvement
de la machine en supposant que l’ensemble des forces de frottement a un moment de la forme −kω.
1. Analyser ce mouvement en identifiant d’abord la vitesse angulaire ω0atteinte en régime permanent
ainsi que le temps de relaxation τdu système. Donner l’expression de ω/ω0en fonction de t/τ et
décrire l’évolution.Q1
2. On reprend l’étude précédente en supposant que, en raison de vibration indésirables, le couple
moteur n’est plus une constante mais est modulé à la pulsation Ωavec un taux de modulation η
tel que Γ=Γ0(1+ηcos Ωt). Établir l’équation différentielle définie par la fonction ζ(t) telle queQ2
ω(t) = ω0(1 + ζ(t)). Montrer que, au bout d’un temps suffisant ζ(t) est une fonction sinusoïdale
de pulsation Ω que l’on cherchera sous la forme : ζ=αcos(Ωt+φ). Déterminer les constantes
αet tan(φ). À l’aide des expression précédentes, expliquer pourquoi, de façon à régulariser le
fonctionnement d’une machine tournant, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif de
grand rayon appelé volant.
Chargedans ~ Betavecfrottementsfluides.
Une particule de masse met de charge q=−e < 0 se trouve initialement en un point Oavec une
vitesse ~ v0=v0~
ex.
Elle se déplace dans un champ magnétique ~ Buniforme et permanent ~ B=B~ ezet subit également une
force de frottement fluide de la forme ~ f=−λ~ vavec λune constante positive.
1. Quelle est le mouvement (trajectoire et vitesse) de la particule si λ= 0 ?Q3
Représenter la trajectoire.
2. On prend maintenant λ 6= 0 mais faible.Q4
Représenter, sans calcul supplémentaire, l’allure de la nouvelle trajectoire.
3. Déterminer les équations différentielles du mouvement.Q5
4. On pose u=x+jy,ω=eB
met τ=m λ.
Déterminer u(t).Q6
Comment calculerait-on x(t) et y(t) ?
5. Préciser la position finale de la particule.Q7
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Lancerdeballe
Le petit Bertrand, qui fait ses premiers pas, montre déjà une précocité évidente pour les sciences... Il se
saisit d’une balle, qu’il a reçue en cadeau à Noël, et la lance avec la main au niveau du point Aen
direction du point B, avec une vitesse horizontale vA. À partir du point B, la balle suit le guide circulaire
vertical BC de rayon R=OB =OC. Le mouvement se fait sans frottement, y compris après le point C
lorsque la balle a quitté le guide circulaire et se trouve dans l’air.
A B
C
O
Il observe que, suivant la vitesse avec laquelle il lance sa balle en direction de B, celle-ci retombe sur
l’axe horizontal à gauche de A, ou à droite de Aet même quelquefois exactement au point Ade départ !
Il cherche les conditions à réunir pour que sa balle retombe à chaque fois en Ace qui lui permettra de
rejouer un grand nombre de fois avec sa balle sans avoir à se déplacer sur l’axe Ax pour la récupérer...
mais il se doute que les calculs risquent d’être un peu difficiles pour lui.
1. Le tachymètre LASER qu’il a également reçu pour Noël et qui lui donne la norme Vde la vitesse
lorsque la balle atteint l’axe Ax (après être passée par les points Bet C) donne un résultat qu’il
trouve surprenant. Que vaut cette norme Vde la vitesse, en fonction des paramètres de l’expérience ?
Justifiez.Q8
2. Intrigué par ce résultat, il se lance dans des calculs vus récemment en Mat Sup (Maternelle
Supérieure ), pour calculer la norme vCde la vitesse en C. Que trouve-t-il pour vC, en fonction de
vAet d’autres paramètres ?Q9
3. Il constate qu’en lançant la balle moins fort depuis le point A, celle-ci arrive en Cavec une vitesse
plus faible et se demande (question 1) s’il est possible de lancer la balle en Aavec une vitesse
telle que la balle arrive en Cavec une vitesse nulle. Son copain Pierre lui suggère, pour répondre
à sa question 1, de calculer la norme RNde la réaction ~ RNexercée par le guide circulaire sur la
balle, en un point Mdu guide repéré par (OB,OM) = θ. Il le guide un peu dans ses calculs...
(a) Quelle est, en fonction de vA,g,Ret θ, l’expression du carré de la norme v(M) de la vitesse
de la balle en un point Mdu guide circulaire ?Q10
(b) Quelle est, en fonction de m,vA,g,Ret θ, l’expression au point Mde RN(θ) ?Q11
(c) Bertrand vient de trouver la réponse à sa question 1, et vous ? Justifiez.Q12
(d) Il reprend ses calculs et trouve la vitesse minimale vA,min que doit avoir la vitesse de sa balle
en Apour qu’elle atteigne le point C. Que trouve-t-il, en fonction de get R, pour vA,min ?Q13
4. Cherchant toujours à déterminer les conditions expérimentales pour que la balle retombe exactement
en Alorsqu’elle touche l’axe Ax il calcule pour cela les équations horaires x(t) et y(t) de la balle
après qu’elle a quitté le guide en C. Il a pris comme origine du repère le point Bpour établir ses
deux équations horaires et comme origine des temps l’instant de passage en C.
(a) Que trouve-t-il pour ces deux équations horaires ? Il a utilisé les paramètres t,g,Ret vC
(vitesse de la balle en C).Q14
(b) Quelle est l’équation de la trajectoire de la balle après C?Q15
(c) Quelles sont les composantes vxet vyde la vitesse à l’instant t? Il a utilisé certains des
paramètres t,g,Ret vC.Q16
(d) Quel est l’angle βfait, à l’instant t, par le vecteur vitesse ~ vavec l’axe Ax lorsque la balle
touche l’axe Ax ? Il a utilisé certains des paramètres t,g,Ret vC.Q17
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(e) Si on note T3la durée mise par la balle, depuis le point C, pour atteindre l’axe Ax, relier
vx(T3) , vy, (T3) et vA.Q18
5. Bertrand, qui a également reçu en cadeau un chronomètre LASER pour Noël, décide de s’en servir
pour mesurer la durée des trois phases AB puis BC puis CA. Il aimerait comparer les valeurs qu’il
obtient avec les prévisions théoriques obtenues par les longs calculs qu’il s’apprête à effectuer.
(a) Quelle est, en fonction de d,get R, la durée littérale T1de la première phase AB dans le
cas où vA= 6pgR ?Q19
(b) Quelle est, en fonction de get R, la durée littérale T3de la troisième phase CA dans le cas
où vA= 6pgR ?Q20
(c) Que vaut alors, en fonction de R, l’expression littérale de d=AB qui permettra à la balle de
retomber en A ?Q21
(d) Exprimer alors, en fonction de get R, la durée T1.Q22
(e) Comparer les durées des phases 1 et 2. Commenter.Q23
6. La (douloureuse ) seconde phase BC
(a) Il a établi, pour la seconde phase, la relation entre ˙ θ2, cos θ,get R. Qu’a-t-il trouvé ? ˙ θ
représente la vitesse angulaire du point Mrepéré par l’angle θsur le guide circulaire.Q24
(b) Il sait, depuis la naissance, que Zπ
0
dθ
17 + cos θ= 0,762, et peut donc en déduire, en fonction
de get R, la durée T2de la seconde phase. Quelle expression de T2a-t-il obtenue ?Q25
(c) Il en déduit l’expression littérale, en fonction de get de R, de la durée totale Tdu jeu vérifiant
T=T1+T2+T3. Que vaut Tlittéralement ?Q26
(d) Application numérique : R= 1 m et g= 10 m.s−2. Il peut enfin calculer numériquement Tet
comparer à la valeur qu’il obtient avec son chronomètre (1,50 s). Quel est l’écart relatif entre
les deux valeurs de T?Q27
(e) Vérifier la pertinence de l’ordre de grandeur de la durée totale Ttrouvée en considérant la
valeur numérique de la vitesse initiale et l’ordre de grandeur de la distance parcourue.Q28
7. Le point d’impact...
Bertrand se demande pourquoi la balle n’arrive pas en Aavec un vecteur vitesse vertical descendant
et aimerait calculer numériquement l’inclinaison de ce vecteur par rapport à l’horizontal. Il vous
rappelle que l’angle βest fait, à l’instant t, par le vecteur vitesse vavec l’axe Ax lorsque la balle
touche l’axe Ax. Il a trouvé précédemment vC= 4p2gR et T3= 0,632 s. Quelle valeur numérique
obtient-il pour cet angle β?Q29
Laissetomberlependule... Le retour ! ! !
Un pendule simple ( masse m, fil de longueur Linextensible et de masse négligeable) est suspendu en
un point fixe Oet lâché sans vitesse initiale depuis une position Aoù le fil est horizontal (colinéaire à
(Ox) ) et tendu. On repère par θl’angle entre le pendule et l’axe horizontal (Ox) ( θ= 0 initialement). Le
champ de pesanteur ~ gest supposé uniforme et colinéaire à l’axe (0z). Lorsque le fil a balayé un angle
θ=α(α≥π
2), un dispositif approprié décroche la masse mde ce fil.
1. (a) Démontrer le théorème de l’énergie cinétique pour un point matériel dans un référentiel
galiléen.Q30
(b) Que peut-on dire de l’énergie mécanique de la masse mdurant l’expérience ? Justifier.Q31
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2. (a) Faire un schéma illustrant l’expérience ; y faire figurer la trajectoire de la masse mdepuis
l’instant initial jusqu’au point noté Boù a lieu le décrochage ainsi que la trajectoire de cette
masse après le décrochage.Q32
(b) Quelle est la nature de la trajectoire de la masse maprès le point B?Q33
3. Quelle est, à l’instant où le fil casse, la norme vBde la vitesse de la masse men fonction de g,L
et α?Q34
4. Après le décrochage, quelle sera la norme vSde la vitesse au sommet Sde la trajectoire de la
masse m? On l’exprimera en fonction de g,Let α.Q35
5. En déduire, en fonction de Let α, la distance verticale hentre l’axe (Ox) et le sommet Sde la
trajectoire décrite après le décrochage par la masse m.Q36
Exercice bonus
Traitez cet exercice uniquement si vous avez résolu les quatre précédents.
~
g
OR
On considère une cornière de longueur 4Rposé sur un cylindre
horizontal de rayon R, comme indiqué sur le schéma ci-contre. Á
quelle condition sur le coefficient de frottement statique µsentre
la cornière et le cylindre, cette première peut-elle rester en équi-
libre ?Q37
Fin
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Volant d’inertie
cf TD.
Charge dans ~ Bet avec frottements fluides.
cf TD
Lancer de balle
1. On étudie la balle dans un référentielle galiléen. Elle est soumise à son poids (conservatif) et à la
réaction du support (nulle dans la phace AC) qui ne travaille pas. L’évolution est donc conservative
et d’après le théorème de l’énergie mécanique : ∆Em= 0 = Ecfinal −Ecinitial +mg(zA−zA). Le
tachymètre donne donc V=vA.
2. Appliquons le théorème de l’énergie cinétique entre Aet C: ∆Ec=WA→C(~ P) = mg(zC−zC) =
−2mgR On obtient alors : vc=qv2
A−4gR .
3. (a) On applique à nouveau le théorème de l’énergie cinétique entre Aet un point Msur l’arc de
cercle, repéré par son angle θ. On obtient : v2
M=v2 A−2gR(1 −cos(θ)).
(b) Appliquons la seconde loi de Newton : m~ a=~ P+~ RN. La projection selon le vecteur radiale
donne : −mv2
M
R=RN+mgcos(θ). En injectant dans cette équation le résultat de la question
précédente on trouve : RN=mh3gcos θ−2g+v2
A
Ri
(c) Si la balle arrivait en Cavec une vitesse nulle alors d’après le résultat de la question 2
vA= 2pgR, on obtient alors : RN=mg(2 + 3 cos(θ)). On constate que RNpeut s’annuler
entre Bet Clorsque θ= arccos(2
3) =≃132◦. Notre héro en culotte courte à trouver la
solution à sa question : il n’est pas possible de lancer la balle pour qu’elle arrive en Cavec
une vitesse nulle.
(d) La vitesse minimale en Apour atteindre le point Cest celle qui annule RNen C:RN(θ=
π) = 0 ⇒vA,min =p5gR .
4. (a) On choisi l’origine du repère en B. La seconde loi de Newton appliquée à la balle donne :
m~ a=−m~ g. On a un mouvement de chute libre, ainsi : y(t) = −1
2gt2+ 2Ret x(t) = −vCT.
(b) L’équation cartésienne du mouvement est : y(x) = −g
2v2
Cx2+ 2R
(c) On obtient alors : vx=−vCet vy=−gt.
(d) tan(β) = vy
−vx=gt vc
5. (a) Entre Aet Ble mouvement est rectiligne uniforme donc x(t) = vAt, ainsi T1=d
6pgR
(b) La balle atteint le point Cavec une vitesse vérifiant l’égalité obtenue à la question 3, soit :
vC=√32R. Lorsque la balle touche le sol son abscisse vaut −d et donc on en déduit
T3= 2sR
g
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