O

TD – O1
Correction
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Travaux Dirigés de O1
Exercice 1 : Loi de Cauchy
La formule de Cauchy simplifiée, donnant l’indice d’un verre pour une radiation monochromatique
de longueur d’onde λ est : n = A + λB2 où A et B sont des constantes.
1. Quelles sont les dimensions et unités légales de A et B.
2. Des mesures effectuées avec un même verre ont donné :
• nr = 1,618 pour une radiation rouge de longueur d’onde dans le vide λr = 768 nm et
• nv = 1,652 pour une radiation violette de longueur d’onde dans le vide λr = 434 nm.
(a) Calculer les valeurs de A et B.
(b) Déterminer la valeur de l’indice nj pour une radiation jaune de longueur d’onde dans le
vide λj = 589 nm.
1. L’indice de réfraction est une grandeur sans dimension :
[n] = 1 = [A] +
[B]
[B]
= [A] + 2
2
[λ ]
L
Pour que la relation de Cauchy soit homogène, il faut donc que [A] = 1 et [B] = L2 : A sans
dimension (ni unité) et B homogène à une longueur carrée (ie une surface dont l’unité légale
est le m2 ).
2. Calcul de A, B et nj :
(a) Les données nous permettent de dresser un système de deux équations à deux inconnues
(A et B) :
h 1
nr = A + λB2 (1)
1 i B(λ2v − λ2r )
λ2r .λ2v (nr − nv )
r
−
⇒
B
=
=
⇒
n
−n
=
A−A+B
r
v
nv = A + λB2 (2)
λ2r λ2v
λ2r λ2v
λ2v − λ2r
v
2
r −nv )
et (1) ⇒ A = nr − λB2 = nr − λvλ(n2 −λ
ce qui conduit, après vérification de l’homogénéité
2
r
v
r
et application numérique à B ≃ 9,41.10−15 m2 et A ≃ 1,602.
(b) Il s’agit maintenant d’une simple application numérique : nj = A +
cohérent car nr < nj < nv ).
B
λ2j
≃ 1,63 (résultat
Exercice 2 : Loi de la réfraction
Un rayon lumineux dans l’air tombe sur la surface d’un liquide ; il fait un angle α = 56◦ avec le plan
horizontal. La déviation entre le rayon incident et le rayon réfracté est θ = 13,5◦ . Quel est l’indide n
du milieu.
n = 1,6
Exercice 3 : Aquarium
La paroi d’un aquarium est constituée d’une lame de verre à
faces parallèles, d’épaisseur e = 5 mm.
L’indice optique de l’air est n1 = 1,00 ,celui du verre est n2 =
1,50 et celui de l’eau n3 = 1,33.
1. Sachant que i1 = 46◦ , calculer i2 et i3 .
i1
i3
air
2. Voit-on toujours tout le contenu de l’aquarium ?
1
i2
verre
e
eau
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Lois de l’optique
verre
i1
I
1. En I, la lumière passe de l’air d’indice n1 au verre d’ini2
dice n2 > n1 : plus réfringent. On a donc forcément
J
i2
réfraction et le rayon se rapproche de la normale. On
i3
applique simplement la loi n1 sin i1 = n2 sin i2 . L’applieau
cation numérique donne i2 ≃ 29◦ .
air
e
En I ′ , la lumière passe du verre d’indice n2 à l’eau d’indice n3 < n2 : moins réfringent. On n’a donc réfraction
que si i2 ≤ i2,lim = arcsin nn32 ≃ 62,5◦ . Cette condition
étant respectée, on peut utiliser n2 sin i2 = n3 sin i3 ⇒
i3 ≃ 33◦ .
On remarque que n3 sin i3 = n2 sin i2 = n1 sin i1 : du point de vue des angles, tout se passe
comme si il n’y avait pas de verre.
b
b
2. Un observateur situé dans la partie où il y a de l’air ne reçoit la lumière provenant de l’aquarium
que si elle a traversé les dioptres eau → verre puis verre → air (Cf deuxième rayon sur la figure).
Sur le second dioptre, il n’y aura réfraction que si l’angle d’incidence i2 est inférieur à i′2,lim tel que
n1 = n2 sin i′2,lim . Or à la traversée du premier dioptre, on a n3 sin i3 = n2 sin i2 donc le cas limite
correspond à n3 sin i3,lim = n2 sin i′2,lim = n1 .
Tout se passe à nouveau comme si il n’y n’avait que le dioptre eau -> air et seuls les rayons ayant
une incidence i3 ≤ i3,lim = arcsin nn13 ≃ 62,5◦ parviendront à l’observateur.
Cette portion de l’espace correspond à un cône de vision.
Exercice 4 : Mise en évidence de faibles rotations
Un pinceau lumineux arrive perpendiculairement en I à la surface d’un miroir plan (M ). Ce miroir
peut tourner autour d’un axe ∆ passant par I et perpendiculaire au plan d’incidence.
1. Le miroir tourne d’un angle α autour de ∆. De quel angle β tourne le rayon réfléchi dans le
même temps ?
2. À la distance D = 1 m, on place une règle R graduée perpendiculaire au pinceau réfléchi. Le
plus petit déplacement visible de la tache lumineuse réfléchie arrivant sur la règle est dmin = 1
α
mm. Quel est le plus petit angle de rotation mesurable avec ce dispositif ?
Comme souvent en optique, la plus grande difficulté est
franchie quand on a réalisé une figure correcte.
1. β = 2α.
dmin
2D
= 5.10−4 rad soit 1,7’ .
d
Pour d = dmin , on mesure αmin =
α
D
2. Vu les valeurs numériques de d et D, on peut estimer
que β reste faible devant 1 rad.
d
≃ β2 d’où β = 2α ≃ Dd .
On a alors tan β2 = 2D
I
β
b
Exercice 5 : Construction d’Huygens
Cette construction géométrique permet de construire le rayon réfracté correspondant à un rayon
incident donné.
2
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Du point d’incidence I comme centre, on trace deux demi-cercles de rayons
1
n1
et
On prolonge le rayon incident jusqu’à ce qu’il rencontre le demi-cercle de rayon
1
.
n2
i1
1
.
n1
n1
n2
Du point d’intersection T , on mène la tangente qui coupe le dioptre en H.
À partir de H, on mène la tangente à l’autre demi-cercle ce qui définit un point T ′ .
b
I
Le rayon réfracté est alors IT ′ .
1. Suivre le mode opératoire dans les deux cas : n1 < n2 et n1 > n2 .
2. Vérifier que cette construction est bien conforme aux lois de Snell-Descartes.
3. Retrouver les cas de la réfraction limite et de la réflexion totale.
1. Constructions :
i1
1
n1
1
n2
b
n1 > n2
n2
H
I
b
i2
i2
1
n2
1
n1
b
T
b
H
i2
b
i2
i1
b
b
′
i1
I
T
b
n1 < n2
n2
i1
T′
T
2. Le rayon réfracté est bien dans le plan d’incidence, reste à montrer que n1 sin i1 = n2 sin i2 .
Comme souvent dans ce genre de problème, on cherche des triangles rectangles ayant un coté
commun. On identifie ici les triangles IT H et IT ′ H de coté commun IH. La somme des angles
orientés est égale à π et dans IT H, on en déduit (IH,IT ) + (T H,T I) + (HI,HT ) = π ⇒
π
− i1 + π2 + (HI,HT ) = π donc l’angle aigu (HI,HT ) est i1 .
2
Par application de relations analogues dans le triangle IT ′ H, on montre que l’angle aigu
(HI,HT ′ ) est i2 .
⇒ IH =
Dans IT H on lit ensuite sin i1 =
IT
IH
De même, dans IT H ′ de sin i2 =
IT ′
,
IH
IT
sin i1
avec IT =
on déduit IH =
1
n1
d’où IH =
1
.
n1 sin i1
1
.
n2 sin i2
Par identification, on reconnaît bien n1 sin i1 = n2 sin i2 .
3. Les cas de la réfraction limite et de la réflexion totale correspondent à la situation pour laquelle
H est situé sur le cercle extérieur, on obtient alors les figures suivantes :
3
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Lois de l’optique
1
n1
1
n2
b
I
b
n1 < n2
n2
i1
T =H
n1 > n2
n2
1
n2
1
n1
b
I
T′ = H
b
T
b
i1
b
T
′
Pour effectuer le second tracé, on pourra utiliser le principe du retour inverse de la lumière.
Exercice 6 : Lame à faces parallèles
1. Construire le rayon transmis par une lame à faces parallèles en verre d’indice de réfraction n et d’épaisseur e.
Ce rayon existe-t-il toujours ?
2. Quelle est la direction du rayon réfracté si le rayon incident arrive sous l’incidence i ?
3. Déterminer la distance d qui sépare la direction du rayon
incident de celle du rayon transmis (Cf. figure)
Application numérique : n = 1,5, e = 1 cm et i = 45 ◦ .
d
i
vide
n
e
vide
1. Il existe toujours.
2. Sa direction est la même.
3. d = e sin i(1 −
tan r
)
tan i
≃ 3,3 mm.
Exercice 7 : Éclairage d’un bassin
Un bassin de profondeur h = 1 m est totalement rempli d’eau, d’indice n ≃ 1,33.
L’indice de l’air sera pris égal à 1.
Au fond du bassin est placé une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.
Quel est le rayon r du disque lumineux qui se forme à la surface de l’eau ?
Seuls les rayons arrivant sur le dioptre eau → air avec une incidence inférieure à l’angle limite de réfraction ilim vont pouvoir traverser la surface et
donc être reçus par un observateur hors de l’eau.
Le cas limite (en I sur la figure) correspond à ilim tel que n sin ilim =
nair . sin π2 = 1 ⇒ sin ilim = n1 .
Sur le dessin, dans le triangle OSI rectangle en O, on lit sin ilim = OS
=
IS
h
√
.
h2 +r 2
Des deux relations précédentes, on tire n1 = √h2h+r2 ⇒ r = √nh2 −1
O
r
b
h i
l
I
il
b
S
Exercice 8 : Mesure de l’indice d’un liquide.
Une cuve en verre à la forme d’un prisme de section droite rectangle isocèle. Elle est posée horizontalement sur une des arêtes de longueur l du triangle isocèle, et le sommet opposé à ce coté est ouvert
pour permettre de remplir la cuve d’un liquide transparent d’indice n. Un pinceau de lumière est
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envoyé horizontalement sur la face verticale de la cuve, dans le plan de section droite et à la hauteur
l/2.
Ce rayon émerge au delà de l’hypoténuse et rencontre en un point P un écran E placé verticalement à
la distance l de la face d’entre du dispositif. On néglige l’effet dû aux parois en verre sur la propagation
du pinceau de lumière.
En P , on observe sur l’écran une tache du pinceau à la hauteur z, repérée par rapport à l’horizontal
formée par le bas de la cuve.
1. Faire un dessin du dispositif.
2. Quelle valeur supérieure peut-on donner à la valeur de l’indice n ?
3. Exprimer n en fonction de l et z. On prendra 2l − z faible.
Faire l’application numérique pour l = 30 cm et z = 14,7 cm.
√
√
1. 2. Pour avoir un rayon émergent, n ≤ 2 ≃ 1,41. 3. n = 2 sin[45◦ + arctan(1 − 2z/l)] ≃ 1,36 :
éthanol.
Exercice 9 : Méthode de mesure de l’indice d’un liquide.
On éclaire la face gauche du cube de verre sous différentes
Verre (n) α
incidences.
La goutte de liquide apparaît brillante à partir de α = 75◦ 56′
(75 degrés et 56 minutes).
Liquide (n1 )
L’indice du verre est n = 1,5200, celui de l’air est nair =
1,0000.
En déduire la valeur de l’indice du liquide n1 < n.
On reproduit la figure et on la complète en dessinant les rayons à l’intérieur du verre.
α
i1
Verre (n)
α
I ′ i2
π
2
− i2
i1
I′
J
Liquide (n1 )
La goutte apparaît brillante si la lumière parvient à l’œil, c’est à dire si il y a réflexion totale en J,
sur le dioptre verre → liquide.
En appliquant les lois de la réfraction en I et I ′ et de la réflexion en J, on complète la figure en
introduisant les angles orientés i1 et i2 avec i1 + α = π2 .
Comme on a réfraction en I et en I ′ , on peut écrire n sin i2 = nair sin i1 = 1. sin( π2 − α) = cos α.
Par ailleurs, on a réflexion totale en J à partir d’un angle d’incidence π2 − i2 = arcsin nn1 .
On a donc sin( π2 − i2 ) = cos i2 = nn1 .
Reste, à partir des relations précédentes, à lier n1 à α.
n2
On utilise pour cela la relation mathématique cos2 i2 + sin2 i2 = 1 ⇒ cos2 i2 = 1 − sin2 i2 ⇒ n21 =
√
2
1 − cosn2 α soit finalement n1 = n2 − cos2 α ≃ 1,5004.
≃ 75,933 ◦ .
Rappel : 1 minute correspond à un soixantième de degré, d’où α = 75 + 56
60
Exercice 10 : Rayon de courbure
Une fibre optique est constituée d’une âme en verre d’incide n1 = 1,66 et de diamètre d = 0,05 mm
entourée d’une gaine en verre d’indice n2 = 1,52. On courbe la fibre éclairée sous incidence normale.
L’axe de symétrie de la fibre décrit un cercle de rayon R appelé rayon de courbure.
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Lois de l’optique
1. Faire un schéma de la situation et tracer la propagation de plusieurs rayon incident au travers
de la fibre.
2. Quel est le de courbure R minimal pour lequel toute la lumière incidente traverse la fibre ?
R=
d n1 +n2
2 n1 −n2
Exercice 11 : Étude d’un Prisme
On appelle prisme un milieu transparent que
nous supposerons homogène et isotrope d’indice n limité par deux dioptres plans non parallèles. On appelle arête du prisme la droite
selon laquelle se coupent les deux dioptres et
plan de section principale tout plan perpendiculaire à l’arête. La figure ci-contre est faite
dans un plan de section principale. Nous supposerons que le prisme baigne dans l’air d’indice nair ≃ 1.
S
A
i
b
b
I
r
r
′
i′
D
I′
n
1. Montrer que l’étude est limité à un plan de section principale c’est à dire que les trois rayons
sont contenu dans le plan de la figure.
2. On cherche à établir les relations du prisme :
(a) Écrire les lois de Snell-Descartes en I et I ′ : relations (1) et (2)
(b) Déterminer une relation entre A, r et r′ : relation (3)
(c) La déviation du prisme D est l’angle que fait le rayon émergent (s’il existe) avec le rayon
incident. Calculer D e, fonction de i et i′ : relation (4). En déduire une relation entre D,
A et n si i et A sont faibles.
3. À quelle condition sur A y a-t-il un rayon émergent ?
4. Étude de la déviation D
(a) Pour une radiation monochromatique λ donnée, établir l’expression de dD
en fonction de
di
′
′
i, r, i et r et en déduire que la déviation passe par une valeur minimale Dm lorsque i
varie.
(b) Montrer alors que, dans le prisme, la lumière se propage orthogonalement au plan bissecteur.
(c) Établir l’expression de n en fonction de A et Dm .
6