O

TD – O1Correction PCSI22016 – 2017
Travaux Dirigés de O1
Exercice 1 : Loi de Cauchy
La formule de Cauchy simplifiée, donnant l’indice d’un verre pour une radiation monochromatique
de longueur d’onde λest : n=A+B
λ2où Aet Bsont des constantes.
1. Quelles sont les dimensions et unités légales de Aet B.
2. Des mesures effectuées avec un même verre ont donné :
•nr= 1,618 pour une radiation rouge de longueur d’onde dans le vide λr= 768 nm et
•nv= 1,652 pour une radiation violette de longueur d’onde dans le vide λr= 434 nm.
(a) Calculer les valeurs de Aet B.
(b) Déterminer la valeur de l’indice njpour une radiation jaune de longueur d’onde dans le
vide λj= 589 nm.
1. L’indice de réfraction est une grandeur sans dimension :
[n] = 1 = [A] + [B]
[λ2]= [A] + [B]
L2
Pour que la relation de Cauchy soit homogène, il faut donc que [A] = 1 et [B] = L2:Asans
dimension (ni unité) et Bhomogène à une longueur carrée (ie une surface dont l’unité légale
est le m2).
2. Calcul de A,Bet nj:
(a) Les données nous permettent de dresser un système de deux équations à deux inconnues
(Aet B) :
nr=A+B
λ2
r(1)
nv=A+B
λ2
v(2) ⇒nr−nv=A−A+Bh1
λ2
r−1
λ2
vi=B(λ2
v−λ2 r)
λ2
rλ2 v⇒B=λ2
r.λ2 v(nr−nv)
λ2
v−λ2 r
et (1) ⇒A=nr−B
λ2
r=nr−λ2
v(nr−nv)
λ2
v−λ2 rce qui conduit, après vérification de l’homogénéité
et application numérique à B≃9,41.10−15 m2et A≃1,602.
(b) Il s’agit maintenant d’une simple application numérique : nj=A+B
λ2
j≃1,63 (résultat
cohérent car nr< nj< nv).
Exercice 2 : Loi de la réfraction
Un rayon lumineux dans l’air tombe sur la surface d’un liquide ; il fait un angle α= 56◦avec le plan
horizontal. La déviation entre le rayon incident et le rayon réfracté est θ= 13,5◦. Quel est l’indide n
du milieu.
n= 1,6
Exercice 3 : Aquarium
e
i1i2
i3
air verre eau
La paroi d’un aquarium est constituée d’une lame de verre à
faces parallèles, d’épaisseur e= 5 mm.
L’indice optique de l’air est n1= 1,00 ,celui du verre est n2=
1,50 et celui de l’eau n3= 1,33.
1. Sachant que i1= 46◦, calculer i2et i3.
2. Voit-on toujours tout le contenu de l’aquarium ?
1

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e
I
J
i1i2
i3
i2
air
verre
eau
1. En I, la lumière passe de l’air d’indice n1au verre d’in-
dice n2> n1: plus réfringent. On a donc forcément
réfraction et le rayon se rapproche de la normale. On
applique simplement la loi n1sin i1=n2sin i2. L’appli-
cation numérique donne i2≃29◦.
En I′, la lumière passe du verre d’indice n2à l’eau d’in-
dice n3< n2: moins réfringent. On n’a donc réfraction
que si i2≤i2,lim = arcsin n3
n2≃62,5◦. Cette condition
étant respectée, on peut utiliser n2sin i2=n3sin i3⇒
i3≃33◦.
On remarque que n3sin i3=n2sin i2=n1sin i1: du point de vue des angles, tout se passe
comme si il n’y avait pas de verre.
2. Un observateur situé dans la partie où il y a de l’air ne reçoit la lumière provenant de l’aquarium
que si elle a traversé les dioptres eau →verre puis verre →air (Cf deuxième rayon sur la figure).
Sur le second dioptre, il n’y aura réfraction que si l’angle d’incidence i2est inférieur à i′
2,lim tel que
n1=n2sin i′
2,lim. Or à la traversée du premier dioptre, on a n3sin i3=n2sin i2donc le cas limite
correspond à n3sin i3,lim =n2sin i′
2,lim =n1.
Tout se passe à nouveau comme si il n’y n’avait que le dioptre eau -> air et seuls les rayons ayant
une incidence i3≤i3,lim = arcsin n1
n3≃62,5◦parviendront à l’observateur.
Cette portion de l’espace correspond à un cône de vision.
Exercice 4 : Mise en évidence de faibles rotations
Un pinceau lumineux arrive perpendiculairement en Ià la surface d’un miroir plan (M). Ce miroir
peut tourner autour d’un axe ∆ passant par Iet perpendiculaire au plan d’incidence.
1. Le miroir tourne d’un angle αautour de ∆. De quel angle βtourne le rayon réfléchi dans le
même temps ?
2. À la distance D= 1 m, on place une règle Rgraduée perpendiculaire au pinceau réfléchi. Le
plus petit déplacement visible de la tache lumineuse réfléchie arrivant sur la règle est dmin = 1
mm. Quel est le plus petit angle de rotation mesurable avec ce dispositif ?
I
α
α
β
D
d
Comme souvent en optique, la plus grande difficulté est
franchie quand on a réalisé une figure correcte.
1. β= 2α.
2. Vu les valeurs numériques de det D, on peut estimer
que βreste faible devant 1 rad.
On a alors tan β
2=d 2D≃β 2d’où β= 2α≃d D.
Pour d=dmin, on mesure αmin =dmin
2D= 5.10−4rad soit 1,7’ .
Exercice 5 : Construction d’Huygens
Cette construction géométrique permet de construire le rayon réfracté correspondant à un rayon
incident donné.
2

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I
i1
n1
n2
Du point d’incidence Icomme centre, on trace deux demi-cercles de rayons 1
n1et 1 n2.
On prolonge le rayon incident jusqu’à ce qu’il rencontre le demi-cercle de rayon 1
n1.
Du point d’intersection T, on mène la tangente qui coupe le dioptre en H.
À partir de H, on mène la tangente à l’autre demi-cercle ce qui définit un point T′.
Le rayon réfracté est alors IT ′.
1. Suivre le mode opératoire dans les deux cas : n1< n2et n1> n2.
2. Vérifier que cette construction est bien conforme aux lois de Snell-Descartes.
3. Retrouver les cas de la réfraction limite et de la réflexion totale.
1. Constructions :
I
i1
n1< n2
n2
1
n1
1
n2
T
H
i1
T′
i2
i2
I
i1
n1> n2
n2
1
n2
1
n1
T
H
i1
T′
i2
i2
2. Le rayon réfracté est bien dans le plan d’incidence, reste à montrer que n1sin i1=n2sin i2.
Comme souvent dans ce genre de problème, on cherche des triangles rectangles ayant un coté
commun. On identifie ici les triangles IT H et IT ′Hde coté commun IH. La somme des angles
orientés est égale à πet dans IT H, on en déduit (IH,IT ) + (T H,T I) + (HI,HT ) = π⇒
π
2−i1+π 2+ (HI,HT ) = πdonc l’angle aigu (HI,HT ) est i1.
Par application de relations analogues dans le triangle IT ′H, on montre que l’angle aigu
(HI,HT ′) est i2.
Dans IT H on lit ensuite sin i1=IT
IH ⇒IH =IT sin i1avec IT =1 n1d’où IH =1 n1sin i1.
De même, dans IT H′de sin i2=IT ′
IH , on déduit IH =1 n2sin i2.
Par identification, on reconnaît bien n1sin i1=n2sin i2.
3. Les cas de la réfraction limite et de la réflexion totale correspondent à la situation pour laquelle
Hest situé sur le cercle extérieur, on obtient alors les figures suivantes :
3

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I
i1
n1< n2
n2
1
n1
1
n2
T=H
T′
I
i1
n1> n2
n2
1
n2
1
n1
T
T′=H
Pour effectuer le second tracé, on pourra utiliser le principe du retour inverse de la lumière.
Exercice 6 : Lame à faces parallèles
e
i
vide
n
vide
d
1. Construire le rayon transmis par une lame à faces paral-
lèles en verre d’indice de réfraction net d’épaisseur e.
Ce rayon existe-t-il toujours ?
2. Quelle est la direction du rayon réfracté si le rayon inci-
dent arrive sous l’incidence i?
3. Déterminer la distance dqui sépare la direction du rayon
incident de celle du rayon transmis (Cf. figure)
Application numérique : n= 1,5, e= 1 cm et i= 45 ◦.
1. Il existe toujours.
2. Sa direction est la même.
3. d=esin i(1 −tan r
tan i)≃3,3 mm.
Exercice 7 : Éclairage d’un bassin
Un bassin de profondeur h= 1 m est totalement rempli d’eau, d’indice n≃1,33.
L’indice de l’air sera pris égal à 1.
Au fond du bassin est placé une source ponctuelle émettant de la lumière dans toutes les directions.
Quel est le rayon rdu disque lumineux qui se forme à la surface de l’eau ?
OI
S
h
r
il
il
Seuls les rayons arrivant sur le dioptre eau →air avec une incidence infé-
rieure à l’angle limite de réfraction ilim vont pouvoir traverser la surface et
donc être reçus par un observateur hors de l’eau.
Le cas limite (en Isur la figure) correspond à ilim tel que nsin ilim =
nair.sin π
2= 1 ⇒sin ilim =1 n.
Sur le dessin, dans le triangle OSI rectangle en O, on lit sin ilim =OS
IS =
h
√h2+r2.
Des deux relations précédentes, on tire 1
n=h
√h2+r2⇒r=h √n2−1
Exercice 8 : Mesure de l’indice d’un liquide.
Une cuve en verre à la forme d’un prisme de section droite rectangle isocèle. Elle est posée horizonta-
lement sur une des arêtes de longueur ldu triangle isocèle, et le sommet opposé à ce coté est ouvert
pour permettre de remplir la cuve d’un liquide transparent d’indice n. Un pinceau de lumière est
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envoyé horizontalement sur la face verticale de la cuve, dans le plan de section droite et à la hauteur
l/2.
Ce rayon émerge au delà de l’hypoténuse et rencontre en un point Pun écran Eplacé verticalement à
la distance lde la face d’entre du dispositif. On néglige l’effet dû aux parois en verre sur la propagation
du pinceau de lumière.
En P, on observe sur l’écran une tache du pinceau à la hauteur z, repérée par rapport à l’horizontal
formée par le bas de la cuve.
1. Faire un dessin du dispositif.
2. Quelle valeur supérieure peut-on donner à la valeur de l’indice n?
3. Exprimer nen fonction de let z. On prendra l
2−zfaible.
Faire l’application numérique pour l= 30 cm et z= 14,7 cm.
1. 2. Pour avoir un rayon émergent, n≤√2≃1,41. 3. n=√2 sin[45◦+ arctan(1 −2z/l)] ≃1,36 :
éthanol.
Exercice 9 : Méthode de mesure de l’indice d’un liquide.
Verre (n)
Liquide (n1)
α
On éclaire la face gauche du cube de verre sous différentes
incidences.
La goutte de liquide apparaît brillante à partir de α= 75◦56′
(75 degrés et 56 minutes).
L’indice du verre est n= 1,5200, celui de l’air est nair =
1,0000.
En déduire la valeur de l’indice du liquide n1< n.
On reproduit la figure et on la complète en dessinant les rayons à l’intérieur du verre.
Verre (n)
Liquide (n1)
I′
α
i1i2
I′
α
i1
J
π
2−i2
La goutte apparaît brillante si la lumière parvient à l’œil, c’est à dire si il y a réflexion totale en J,
sur le dioptre verre →liquide.
En appliquant les lois de la réfraction en Iet I′et de la réflexion en J, on complète la figure en
introduisant les angles orientés i1et i2avec i1+α=π
2.
Comme on a réfraction en Iet en I′, on peut écrire nsin i2=nair sin i1= 1.sin(π
2−α) = cos α.
Par ailleurs, on a réflexion totale en Jà partir d’un angle d’incidence π
2−i2= arcsin n1 n.
On a donc sin(π
2−i2) = cos i2=n1 n.
Reste, à partir des relations précédentes, à lier n1àα.
On utilise pour cela la relation mathématique cos2i2+ sin2i2= 1 ⇒cos2i2= 1 −sin2i2⇒n2
1
n2=
1−cos2α
n2soit finalement n1=√n2−cos2α≃1,5004.
Rappel : 1 minute correspond à un soixantième de degré, d’où α= 75 + 56
60 ≃75,933 ◦.
Exercice 10 : Rayon de courbure
Une fibre optique est constituée d’une âme en verre d’incide n1= 1,66 et de diamètre d= 0,05 mm
entourée d’une gaine en verre d’indice n2= 1,52. On courbe la fibre éclairée sous incidence normale.
L’axe de symétrie de la fibre décrit un cercle de rayon Rappelé rayon de courbure.
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