Corrigé 17

Cours d’Alg` ebre II Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 28 mars 2012
Corrig´e 17
Exercice 1.
(1) Soit Aun anneau. Montrer que A[X] est principal si et seulement si Aest
un corps.
Indication : On rappelle qu’un anneau principal est int`egre. On pourra
montrer que a∈Aest inversible dans Asi et seulement si 1 ∈(a, X) (o`u
(a, X) d´esigne l’id´eal engendr´e par aet X).
(2) Donner un exemple d’anneau factoriel qui n’est pas principal.
(3) Montrer que C[X, Y ]/(Y−X2) est principal.
Indication : C[X, Y ]/(Y−X2) est isomorphe `a un anneau connu !
Solution.
(1) Soit Aun corps. Au cours de l’exercice 2 de la s´erie 15, on a d´efini une
notion de division euclidienne dans A[X]. On va expliquer comment cette
propri´et´e permet de montrer que A[X] est principal. La m´ethode expos´ee
ici a ´et´e utilis´ee dans le corrig´e de l’exercice 1 de la s´erie 3 pour montrer
que Zest principal.
Soit Iun id´eal de A[X]. Soit f∈Iun ´el´ement non nul de degr´e min-
imal dans I(pour montrer son existence, remarquerz que le degr´e d’un
polynˆome non nul est toujours positif ou nul). Soit g∈I. Soit Qet Rle
quoitent et le reste de la division euclidienne de gpar f. Alors R=g−Qf
est dans Iet on a soit R= 0 soit deg(R)<deg(f). Par d´efinition de f,
on a soit R= 0 soit deg(R)≥deg(f). Par cons´equent, on a R= 0 i.e.
g=Qf. Ceci ´etant vrai pour tout g∈I, l’id´eal Iest bien principal,
engendr´e par f.
On suppose maintenant que A[X] est un anneau principal. On com-
mence par montrer le r´esultat annonc´e dans l’indication. Soient a∈A\{0}
et I= (a, X) l’id´eal engendr´e par aet X. Si aest inversible dans A, alors
1 = aa−1∈(a, X). Inversement, si 1 ∈(a, X), alors on a
1 = af(X) + Xg(X) (1)
pour certains polynˆomes f(X), g(X)∈A[X]. Dans ce cas, si b=f(0) ∈A
est le coefficient constant du polynˆome f(X), alors l’´egalit´e (1) implique
que ab = 1. Autrement dit, best l’inverse de adans l’anneau A.

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On montre maintenant que Aest un corps. Puisque A[X] est principal,
on a I= (f(X)) pour un certain polynˆome f(X)∈A[X]. Ainsi il existe
g(X)∈A[X] tel que a=f(X)g(X). Puisque A[X] est int`egre, on a
deg f(X) = 0, c’est `a dire f(X) = bpour un certain b∈A. On a aussi
X∈I, ce qui implique que X=f(X)h(X) = bh(X) pour un certain
h(X)∈A[X]. Soit cle coefficient dominant de h(X). Alors 1 = bc, d’o`u
1∈I= (a, X), ce qui implique que aest inversible dans A. Ainsi, Aest
bien un corps.
(2) Puisque Zest un anneau factoriel, l’anneau des polynˆomes Z[X] est aussi
un anneau factoriel. D’apr`es la partie (1), l’anneau Z[X] n’est pas principal
parce que Zn’est pas un corps.
(3) Soit A=C[X]. On a C[X, Y ] = A[Y]. Soit e:A[Y]→Al’´evaluation en
X2, c’est `a dire l’application donn´ee par e(f(Y)) = f(X2). On sait que e
est un homomorphisme d’anneaux. Si f∈A, alors e(f) = fd’o`u Im(e) =
A. Montrons que ker(e) = (Y−X2). On a e(Y−X2) = X2−X2= 0
d’o`u Y−X2∈ker(e). Puisque ker(e) est un id´eal, on a (Y−X2)⊂
ker(e). Supposons maintenant que f(Y)∈ker(e). Puisque Y−X2est un
polynˆome unitaire, on peut utiliser la division euclidienne dans l’anneau
A[Y] et ´ecrire f(Y) = (Y−X2)q(Y) + ravec r∈A. Alors
0 = e(f(Y)) = e((Y−X2)q(Y) + r(Y)) = e(r) = r.
Donc f(Y)∈(Y−X2) et ker(e)=(Y−X2). Par le premier th´eor`eme
d’isomorphisme, on conclut que A[Y]/(Y−X2) est isomorphe `a l’anneau
A. Par la partie (1), l’anneau A=C[X] est un anneau principal car Cest
un corps. L’anneau C[X, Y ]/(Y−X2) est donc aussi un anneau principal.
Exercice 2.
Soit Aun anneau principal.
(1) Montrer que toute suite croissante est stationnaire.
(2) en d´eduire que tout ensemble non vide d’id´eaux de Aadmet un ´el´ement
maximal (pour l’inclusion).
Solution.
(1) Soit (In)n≥1une suite croissante d’ide´aux de A. Soit J=∪n≥1In⊆A.
Montrons que Jest un id´eal de A. Soient x, y ∈J. Alors il existe k, l ∈N
tels que x∈Iket y∈Il. On peut supposer que k < l. Alors x, y ∈Il,
d’o`u x−y∈Il⊆J. Soient a∈Aet x∈J. Alors il existe k∈Ntel que
x∈Ik. On a ax ∈Ik⊆J. Ainsi, Jest un id´eal de A.
Comme Aest principal, il existe ain Atel que ∪n≥1In=J=<a>.
Il existe donc N∈Ntel que a∈IN. Il vient J=< a >⊆IN⊆J, donc
J=IN. Il s’ensuit que pour tout n≥N,IN⊆In⊆J=IN, donc
In=IN. Ainsi, la suite (In)n≥1est stationnaire.

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(2) Soit Iun ensemble non-vide d’ideaux de A. Supposons que In’admette
pas d’´el´ement maximal. Alors pour tout I∈ I, il existe J∈ I tel que
I⊂J. Partant d’un id´eal I0∈ I, on peut donc construire une suite
I0⊂I1⊆I2⊂... d’id´eaux dans I, strictement croissante, ce qui est en
contradiction avec a). Ainsi, Iadmet un ´el´ement maximal.
Exercice 3.
Soit Aun anneau commutatif. On rappelle que a∈A− {0}est un diviseur de
z´ero s’il existe b∈A− {0}tel que ab = 0. Montrer que si Aposs`ede exactement
ndiviseurs de z´ero (avec n > 0), alors |A| ≤ (n+ 1)2.
Indication : si a∈Aest un diviseur de z´ero, on pourra ´etudier le cardinal de
l’id´eal I:= Ann(a) := {x∈A:ax = 0}.
Solution.
Soit a∈Aun diviseur de z´ero. On consid`ere l’application
ϕ:A→A, ϕ(x) = ax, ∀x∈A.
Clairement, le noyau de ϕest ´egal `a l’id´eal Iet l’image de ϕne contient que 0 et
des diviseurs de z´ero (En effet, comme aest un diviseur de z´ero, il existe un c∈A
tel que ac = 0. Alors pour tout x∈Aon a ϕ(x)c= (ax)c=x(ac) = 0, donc ϕ(x)
est un diviseur de z´ero). Or on sait que l’anneau poss`ede exactement ndiviseurs
de z´ero, donc card(Im(ϕ)) ≤n+ 1. Par le premier th´eor`eme d’isomorphisme,
Im(ϕ) et A/I sont isomorphes, donc card(A/I)≤n+ 1. Comme Ine contient
que 0 et des diviseurs de z´ero, son cardinal est major´e par n+ 1. On conclut que
card(A) = card(A/I)·card(I)≤(n+ 1) ·(n+ 1) = (n+ 1)2.
Exercice 4.
Les notations sont celles de l’exercice 4 de la s´erie 16. On cherche `a calculer
l’anneau quotient A/J de deux fa¸cons diff´erentes, d’abord en deux temps en
utilisant l’isomorphisme A/J '(A/I)/(J/I) (on observe que I⊂J), ensuite
directement.
(1) Montrer que f:A→Z×Z,a b
0c7→ (a, c) est un homomorphisme
d’anneaux qui induit un isomorphisme d’anneaux e f:A/I →Z×Z.
(2) V´erifier que e f(J/I) = 3Z×7Z.
(3) D´eduire de ce qui pr´ec`ede que A/J est isomorphe `a Z/3Z×Z/7Z.
(4) Montrer directement que A/J est isomorphe `a Z/3Z×Z/7Z.
Solution.
(1) L’application fest un homomorphisme d’anneaux de Adans Z×Z, et
Ker(f) = I(c.f. le corrig´e de la s´erie pr´ec´edente). Comme de plus fest
surjective, finduit un isomorphisme d’anneaux e fde A/I sur Z×Z.
(2) Soit π:A→A/I la projection canonique. Alors on a f=e f◦π. Il vient
e
f(J/I) = e f(π(J)) = ( e f◦π)(J) = f(J) = 3Z×7Z.

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(3) Par th´eor`eme, on a A/J '(A/I)/(J/I). Puisque e f:A/I →Z×Z
est un isomorphisme d’anneaux, que J/I est un id´eal bilat`ere de A/I et
que e f(J/I)=3Z×7Z, alors 3Z×7Zest un id´eal bilat`ere de Z×Z, et
e
finduit un isomorphisme d’anneaux de (A/I)/(J/I) sur Z×Z/(3Z×
7Z). De plus, on v´erifie sans difficult´es que l’homomorphisme d’anneaux
Z×Z→Z/3Z×Z/7Z, (a, c)7→ ([ a]3,[c]7) induit un isomorphisme
de Z×Z/(3Z×7Z) sur Z/3Z×Z/7Z. On a ainsi mis en ´evidence trois
isomorphismes d’anneaux :
A/J '(A/I)/(J/I);
(A/I)/(J/I)'Z×Z/(3Z×7Z);
Z×Z/(3Z×7Z)'Z/3Z×Z/7Z.
En les composant, on obtient un isomorphisme A/J 'Z/3Z×Z/7Z.
(4) Soit
g:A−→ Z/3Z×Z/7Z
a b
0c7−→ ([ a]3,[c]7)
l’application introduite dans l’exercice 4 de la s´erie 16. Nous avons vu
que gest un homomorphisme d’anneaux, et que Ker(g) = J. Comme
de plus gest surjectif, il induit un isomorphisme d’anneaux de A/J sur
Z/3Z×Z/7Z.