Corrigé 17

Cours d’Algèbre II
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
28 mars 2012
Corrigé 17
Exercice 1.
(1) Soit A un anneau. Montrer que A[X] est principal si et seulement si A est
un corps.
Indication : On rappelle qu’un anneau principal est intègre. On pourra
montrer que a ∈ A est inversible dans A si et seulement si 1 ∈ (a, X) (où
(a, X) désigne l’idéal engendré par a et X).
(2) Donner un exemple d’anneau factoriel qui n’est pas principal.
(3) Montrer que C[X, Y ]/(Y − X 2 ) est principal.
Indication : C[X, Y ]/(Y − X 2 ) est isomorphe à un anneau connu !
Solution.
(1) Soit A un corps. Au cours de l’exercice 2 de la série 15, on a défini une
notion de division euclidienne dans A[X]. On va expliquer comment cette
propriété permet de montrer que A[X] est principal. La méthode exposée
ici a été utilisée dans le corrigé de l’exercice 1 de la série 3 pour montrer
que Z est principal.
Soit I un idéal de A[X]. Soit f ∈ I un élément non nul de degré minimal dans I (pour montrer son existence, remarquerz que le degré d’un
polynôme non nul est toujours positif ou nul). Soit g ∈ I. Soit Q et R le
quoitent et le reste de la division euclidienne de g par f. Alors R = g − Qf
est dans I et on a soit R = 0 soit deg(R) < deg(f ). Par définition de f ,
on a soit R = 0 soit deg(R) ≥ deg(f ). Par conséquent, on a R = 0 i.e.
g = Qf . Ceci étant vrai pour tout g ∈ I, l’idéal I est bien principal,
engendré par f .
On suppose maintenant que A[X] est un anneau principal. On commence par montrer le résultat annoncé dans l’indication. Soient a ∈ A\{0}
et I = (a, X) l’idéal engendré par a et X. Si a est inversible dans A, alors
1 = aa−1 ∈ (a, X). Inversement, si 1 ∈ (a, X), alors on a
1 = af (X) + Xg(X)
(1)
pour certains polynômes f (X), g(X) ∈ A[X]. Dans ce cas, si b = f (0) ∈ A
est le coefficient constant du polynôme f (X), alors l’égalité (1) implique
que ab = 1. Autrement dit, b est l’inverse de a dans l’anneau A.
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On montre maintenant que A est un corps. Puisque A[X] est principal,
on a I = (f (X)) pour un certain polynôme f (X) ∈ A[X]. Ainsi il existe
g(X) ∈ A[X] tel que a = f (X)g(X). Puisque A[X] est intègre, on a
deg f (X) = 0, c’est à dire f (X) = b pour un certain b ∈ A. On a aussi
X ∈ I, ce qui implique que X = f (X)h(X) = bh(X) pour un certain
h(X) ∈ A[X]. Soit c le coefficient dominant de h(X). Alors 1 = bc, d’où
1 ∈ I = (a, X), ce qui implique que a est inversible dans A. Ainsi, A est
bien un corps.
(2) Puisque Z est un anneau factoriel, l’anneau des polynômes Z[X] est aussi
un anneau factoriel. D’après la partie (1), l’anneau Z[X] n’est pas principal
parce que Z n’est pas un corps.
(3) Soit A = C[X]. On a C[X, Y ] = A[Y ]. Soit e : A[Y ] → A l’évaluation en
X 2 , c’est à dire l’application donnée par e(f (Y )) = f (X 2 ). On sait que e
est un homomorphisme d’anneaux. Si f ∈ A, alors e(f ) = f d’où Im(e) =
A. Montrons que ker(e) = (Y − X 2 ). On a e(Y − X 2 ) = X 2 − X 2 = 0
d’où Y − X 2 ∈ ker(e). Puisque ker(e) est un idéal, on a (Y − X 2 ) ⊂
ker(e). Supposons maintenant que f (Y ) ∈ ker(e). Puisque Y − X 2 est un
polynôme unitaire, on peut utiliser la division euclidienne dans l’anneau
A[Y ] et écrire f (Y ) = (Y − X 2 )q(Y ) + r avec r ∈ A. Alors
0 = e(f (Y )) = e((Y − X 2 )q(Y ) + r(Y )) = e(r) = r.
Donc f (Y ) ∈ (Y − X 2 ) et ker(e) = (Y − X 2 ). Par le premier théorème
d’isomorphisme, on conclut que A[Y ]/(Y − X 2 ) est isomorphe à l’anneau
A. Par la partie (1), l’anneau A = C[X] est un anneau principal car C est
un corps. L’anneau C[X, Y ]/(Y − X 2 ) est donc aussi un anneau principal.
Exercice 2.
Soit A un anneau principal.
(1) Montrer que toute suite croissante est stationnaire.
(2) en déduire que tout ensemble non vide d’idéaux de A admet un élément
maximal (pour l’inclusion).
Solution.
(1) Soit (In )n≥1 une suite croissante d’ideáux de A. Soit J = ∪n≥1 In ⊆ A.
Montrons que J est un idéal de A. Soient x, y ∈ J. Alors il existe k, l ∈ N
tels que x ∈ Ik et y ∈ Il . On peut supposer que k < l. Alors x, y ∈ Il ,
d’où x − y ∈ Il ⊆ J. Soient a ∈ A et x ∈ J. Alors il existe k ∈ N tel que
x ∈ Ik . On a ax ∈ Ik ⊆ J. Ainsi, J est un idéal de A.
Comme A est principal, il existe a in A tel que ∪n≥1 In = J =< a >.
Il existe donc N ∈ N tel que a ∈ IN . Il vient J =< a >⊆ IN ⊆ J, donc
J = IN . Il s’ensuit que pour tout n ≥ N , IN ⊆ In ⊆ J = IN , donc
In = IN . Ainsi, la suite (In )n≥1 est stationnaire.
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(2) Soit I un ensemble non-vide d’ideaux de A. Supposons que I n’admette
pas d’élément maximal. Alors pour tout I ∈ I, il existe J ∈ I tel que
I ⊂ J. Partant d’un idéal I0 ∈ I, on peut donc construire une suite
I0 ⊂ I1 ⊆ I2 ⊂ ... d’idéaux dans I, strictement croissante, ce qui est en
contradiction avec a). Ainsi, I admet un élément maximal.
Exercice 3.
Soit A un anneau commutatif. On rappelle que a ∈ A − {0} est un diviseur de
zéro s’il existe b ∈ A − {0} tel que ab = 0. Montrer que si A possède exactement
n diviseurs de zéro (avec n > 0), alors |A| ≤ (n + 1)2 .
Indication : si a ∈ A est un diviseur de zéro, on pourra étudier le cardinal de
l’idéal I := Ann(a) := {x ∈ A : ax = 0}.
Solution.
Soit a ∈ A un diviseur de zéro. On considère l’application
ϕ : A → A, ϕ(x) = ax, ∀x ∈ A.
Clairement, le noyau de ϕ est égal à l’idéal I et l’image de ϕ ne contient que 0 et
des diviseurs de zéro (En effet, comme a est un diviseur de zéro, il existe un c ∈ A
tel que ac = 0. Alors pour tout x ∈ A on a ϕ(x)c = (ax)c = x(ac) = 0, donc ϕ(x)
est un diviseur de zéro). Or on sait que l’anneau possède exactement n diviseurs
de zéro, donc card(Im(ϕ)) ≤ n + 1. Par le premier théorème d’isomorphisme,
Im(ϕ) et A/I sont isomorphes, donc card(A/I) ≤ n + 1. Comme I ne contient
que 0 et des diviseurs de zéro, son cardinal est majoré par n + 1. On conclut que
card(A) = card(A/I) · card(I) ≤ (n + 1) · (n + 1) = (n + 1)2 .
Exercice 4.
Les notations sont celles de l’exercice 4 de la série 16. On cherche à calculer
l’anneau quotient A/J de deux façons différentes, d’abord en deux temps en
utilisant l’isomorphisme A/J ' (A/I)/(J/I) (on observe que I ⊂ J), ensuite
directement.
a b
(1) Montrer que f : A → Z × Z,
7→ (a, c) est un homomorphisme
0 c
d’anneaux qui induit un isomorphisme d’anneaux fe : A/I → Z × Z.
(2) Vérifier que fe(J/I) = 3Z × 7Z.
(3) Déduire de ce qui précède que A/J est isomorphe à Z/3Z × Z/7Z.
(4) Montrer directement que A/J est isomorphe à Z/3Z × Z/7Z.
Solution.
(1) L’application f est un homomorphisme d’anneaux de A dans Z × Z, et
Ker(f ) = I (c.f. le corrigé de la série précédente). Comme de plus f est
surjective, f induit un isomorphisme d’anneaux fe de A/I sur Z × Z.
(2) Soit π : A → A/I la projection canonique. Alors on a f = fe ◦ π. Il vient
fe(J/I) = fe(π(J)) = (fe ◦ π)(J) = f (J) = 3Z × 7Z.
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(3) Par théorème, on a A/J ' (A/I)/(J/I). Puisque fe : A/I → Z × Z
est un isomorphisme d’anneaux, que J/I est un idéal bilatère de A/I et
que fe(J/I) = 3Z × 7Z, alors 3Z × 7Z est un idéal bilatère de Z × Z, et
fe induit un isomorphisme d’anneaux de (A/I)/(J/I) sur Z × Z/(3Z ×
7Z). De plus, on vérifie sans difficultés que l’homomorphisme d’anneaux
Z × Z → Z/3Z × Z/7Z, (a, c) 7→ ([ a ]3 , [ c ]7 ) induit un isomorphisme
de Z × Z/(3Z × 7Z) sur Z/3Z × Z/7Z. On a ainsi mis en évidence trois
isomorphismes d’anneaux :
A/J ' (A/I)/(J/I);
(A/I)/(J/I) ' Z × Z/(3Z × 7Z);
Z × Z/(3Z × 7Z) ' Z/3Z × Z/7Z.
En les composant, on obtient un isomorphisme A/J ' Z/3Z × Z/7Z.
(4) Soit
g : A −→ Z/3Z × Z/7Z
a b
7−→ ([ a ]3 , [ c ]7 )
0 c
l’application introduite dans l’exercice 4 de la série 16. Nous avons vu
que g est un homomorphisme d’anneaux, et que Ker(g) = J. Comme
de plus g est surjectif, il induit un isomorphisme d’anneaux de A/J sur
Z/3Z × Z/7Z.