BB1 Maths SV (fichier pdf 341kb)

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Bac Blanc 1 (21/12/2015) Terminale SV
Mathématiques Durée: 4 heures.
Exercice 1 (5 points)
Les parties I, II, III et IV sont indépendantes.
I- On donne la suite
n
U
définie par:
2
2
3 2sin( )
5
nnn
Un
.
Calculer la limite de
n
U
.
On démontre que
22
22
3 2 3 2
55
n
nn
U
nn
et d'après le théorème des gendarmes
3lim n
nU
.
II- Montrer que l'équation
sin 2 1xx  
admet une solution unique sur R.
Encadrer à
2
10
près.
Soit la fonction f définie sur R par :
sin 2 1f x x x  
. f est dérivable et on a:
' cos 2 0 car 1 cos 1f x x x     
et f est continue strictement croissante sur R et comme
lim 0 et lim 0
xx
f x f x
et d'après le théorème des valeurs intermédiaires
appliqués aux fonction strictement monotone l'équation
0fx
admet une solution unique sur R
D'où le résultat. et on a:
0,33 0,34
.
III- On donne la fonction f définie sur
0;
par:
sinf x x x
.
f est-elle dérivable en 0 ?
f est continue en 0 avec
00f
et on a:
0 0 0 0 0
0sin sin sin
0 car 0 et 1
0
lim lim lim lim lim
x x x x x
f x f x x x x
xx
x x x x
,
alors f est dérivable en 0.

2/8
I
IV- Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on
note
S
l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifient
les deux conditions:
1 et 3 2 2z z i z i     
.
Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre I
d'affixe
32
I
zi
et de rayon 2 et la droite d'équation
yx
.
Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.
L'ensemble
S
est-il le segment [AB] ? Justifier votre réponse.
1 z z i M AB    
étant la médiatrice de [RS] avec R d'affixe
1r
et S d'affixe
si
et 3 2 2 2 M appartient au disque de centre I et de rayon 2
I
z i z z      
Alors L'ensemble
S
est le segment [AB] étant l'intersection de (AB) et du disque.
Exercice 2 (4 points)
Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct
vuO  ;;
.
1) Le point M (z) est situé sur le cercle de centre A ( -2 , 5) et de rayon
3
.
Son affixe z vérifie :
a.
352 2 iz
b.
2
2 5 3zi  
2
2 2 2
car 2 5M C AM R z i R       
c.
352  iz
2) On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et
tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle
que les nombres complexes
ac bz
et
ab cz
sont imaginaires purs.
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB].
c. M est l’orthocentre du triangle ABC car
zb
ca
et
zc
ba
sont imaginaires purs
et .BM AC CM AB  
3) Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de
diamètre [AB]. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC et on note
G
z
son affixe.

3/8
a.
5
3 2,5 6
G
zi  
Soit milieu de donc z 3 2,5
5
Soit le rayon du cercle donc 22
1 1 5 5
Or donc alors 3 2,5 .
3 3 2 6
I
G I G
I AB i
AB
RR
IG R z z z i
b.
iizG34
3
1
1
c.
iizG34
3
1
5,23 
4) Soit z le nombre complexe de module
2
et d’argument
3
. On a alors :
a.
iz 1283128
14 
b.
14 64 64 3zi  
c.
iz 6464
14 
14 14 14 2
14 7 7
3 3 3 3
2 2 2 128
2 2 1 3
128 cos sin 128 64 64 3.
3 3 2 2
i i i i
z e e e e
i i i
Exercice 3 (5 points)
Partie A- Etude d'une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur R par:
12
x
g x x e  
.
1) Etudier le sens de variation de g.
g est dérivable sur R et on a:
' 1 2 0
x
g x e   
alors g est strictement décroissante sur R.
2) a) Montrer que l'équation
0gx
admet sur R une unique solution .
On a g est une fonction continue strictement décroissante dur R et comme

4/8
1
0 et 2 2 0lim lim lim xxx
x x x
x
g x g x e ee
et d'après le théorème des
valeurs intermédiaires appliqués aux fonctions strictement monotone l'équation
0gx
admet sur
R une unique solution
b) Donner une valeur approchée de à
1
10
près.
A l'aide de la calculatrice on a
0,4.
3) Déterminer le signe de
gx
.
On a g est une fonction continue strictement décroissante sur R et comme
0gx
admet sur R une
unique solution alors on a:
0 sur ;gx
,
0 sur ;gx
et
0gx
pour
x
.
Partie B- Etude de la fonction f.
Soit f la fonction définie et dérivable sur R par:
12 x
x
f x x e
.
On désigne par
C
sa courbe représentative dans un repère orthonormé
;;O i j
d'unité
graphique 1cm.
1) Calculer
et lim lim
xx
fx
xx f
puis interpréter graphiquement les résultats.
1 1 1 1
2 et 2lim lim lim lim
xx
x x x x
fx
xx
x x x
ee
f
alors la courbe
C
admet une direction asymptotique parallèle à l'axe des ordonnées au voisinage
de .
2) a) Déterminer la limite de f en .
lim
xxf
b) Démontrer que la droite
d
d’équation
21yx  
est une asymptote oblique à
C
.
1
2 1 0lim lim lim
xx
x x x
x
xx ee
x
f
alors la droite
d
d’équation
21yx  
est
une asymptote oblique à
C
au voisinage de .

5/8
c) Étudier la position de
C
par rapport à la droite
d
.
Soit la différence
2 1 et comme 0 donc prend le signe de
x
x
x
D x x x e D x x
e
f     
Alors
C
est strictement au-dessus de
d
sur
0;
, et strictement en-dessous de
d
sur
;0
et
d
coupe
C
en
0;1A
.
3) a) Montrer que
2
21
1
f
puis déduire une valeur approchée de
f
à
1
10
près.
On a
12fe
or
1 1 2
1 2 0 donc donc
21
g e e e
donc
2
2 2 1
12 11 f
et
1,5f
b) Montrer que
'( ) ( )f x g x h x
où h est une fonction à préciser.
( ) 1
'( ) ( ) avec 0 donc '( ) prend le signe de ()
xx
gx
f x g x h x h x f x g x
ee
c) Dresser le tableau de variation de f .
( ) 1
'( ) ( ) avec 0 donc '( ) prend le signe de ()
xx
gx
f x g x h x h x f x g x
ee
et on a:
X
0,4
'fx
0
Variations de f
1,5f