BB1 Maths SV (fichier pdf 341kb)

Bac Blanc 1 (21/12/2015)
Terminale SV
Mathématiques
Exercice 1
Durée: 4 heures.
(5 points)
Les parties I, II, III et IV sont indépendantes.
I- On donne la suite U n  définie par: U n 
3n 2  2sin(n)
.
n2  5
Calculer la limite de U n  .
On démontre que
3n 2  2
3n 2  2

U

et d'après le théorème des gendarmes lim U n  3 .
n
n  
n2  5
n2  5
II- Montrer que l'équation sin x  2x  1 admet une solution unique  sur R.
Encadrer  à 10 2 près.
Soit la fonction f définie sur R par : f  x   sin x  2 x  1 . f est dérivable et on a:
f '  x   cos x  2  0 car  1  cos x  1 et f est continue strictement croissante sur R et comme
lim f  x     0 et lim f  x     0 et d'après le théorème des valeurs intermédiaires
x 
x 
appliqués aux fonction strictement monotone l'équation f  x   0 admet une solution unique sur R
D'où le résultat. et on a: 0,33    0,34 .
III- On donne la fonction f définie sur 0;   par: f  x   x  sin x .
f est-elle dérivable en 0 ?
f est continue en 0 avec f  0   0 et on a:
lim
x 0
f  x   f  0
x0
 lim
x 0
x  sin x
sin x 

 lim  x 
0
x 0 
x
x 
alors f est dérivable en 0.
1/8
sin x


x  0 et lim
 1 ,
 car lim
x

0
x

0
x


IV- Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on
note S l'ensemble des points M dont l'affixe z vérifient
les deux conditions:
z 1  z  i
z  3  2i  2 .
et
Sur la figure ci-contre, on a représenté le cercle de centre I
d'affixe zI  3  2i et de rayon 2 et la droite d'équation y  x .
I
Cette droite coupe le cercle en deux points A et B.
L'ensemble S est-il le segment [AB] ? Justifier votre réponse.
z 1  z  i
et
 M   AB  étant la médiatrice de [RS] avec R d'affixe r  1 et S d'affixe s  i
z  3  2i  2 
z  zI  2  M appartient au disque de centre I et de rayon 2
Alors L'ensemble S est le segment [AB] étant l'intersection de (AB) et du disque.
Exercice 2
(4 points)
 
Dans tout l’exercice, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct O ; u ; v .
1) Le point M (z) est situé sur le cercle de centre A ( -2 , 5) et de rayon
Son affixe z vérifie :
2
a. z  2  5i  3
b.
z  2  5i  3 car M   C   AM 2  R 2  z   2  5i   R 2
c.
z  2  5i  3
3 .
2
2
2) On considère trois points A, B et C d’affixes respectives a, b et c, deux à deux distincts et
tels que le triangle ABC n’est pas équilatéral. Le point M est un point dont l’affixe z est telle
z b
zc
que les nombres complexes
et
sont imaginaires purs.
ca
ba
a. M est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
b. M appartient aux cercles de diamètres respectifs [AC] et [AB].
c. M est l’orthocentre du triangle ABC car
z b
zc
et
sont imaginaires purs   BM    AC  et  CM    AB  .
ca
ba
3) Soit A et B les points d’affixes respectives 1 + i et 5 + 4i, et C un point du cercle de
diamètre [AB]. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC et on note z G son affixe.
2/8
a.
zG  3  2,5i 
5
6
Soit I milieu de  AB  donc z I  3  2,5i
Soit R le rayon du cercle donc R 
AB 5

2
2
1
15
5
R donc zG  z I    alors zG  3  2,5i  .
3
3 2
6
1
b. z G  1  i   4  3i 
3
1
c. z G  3  2,5i   4  3i 
3

4) Soit z le nombre complexe de module 2 et d’argument . On a alors :
3
Or IG 
a.
z 14  128 3  128i
b. z14  64  64i 3
c.
z 14  64  64i
14
 
 14 
 14 
 2 

i  
i
i
i

14
7  3 
7  3 
3
z   2e   2 e
2 e
 128e  3 




  2
 128 cos 
  3
Exercice 3

 2
  i sin 

 3
 1
3


128


i

  64  64i 3.

 2
2 


(5 points)
Partie A- Etude d'une fonction auxiliaire.
Soit g la fonction définie sur R par: g  x   1  x  2e x .
1) Etudier le sens de variation de g.
g est dérivable sur R et on a: g '  x   1  2e x  0 alors g est strictement décroissante sur R.
2) a) Montrer que l'équation g  x   0 admet sur R une unique solution  .
On a g est une fonction continue strictement décroissante dur R et comme
3/8
 1
x

lim g  x     0 et lim g  x   lim e x  x  x  2   2  0 et d'après le théorème des
x 
x 
e
e

x 
valeurs intermédiaires appliqués aux fonctions strictement monotone l'équation g  x   0 admet sur
R une unique solution 
b) Donner une valeur approchée de  à 10 1 près.
A l'aide de la calculatrice on a 
0, 4.
3) Déterminer le signe de g  x  .
On a g est une fonction continue strictement décroissante sur R et comme g  x   0 admet sur R une
unique solution  alors on a: g  x   0 sur ;  , g  x   0 sur  ;  et g  x   0 pour x   .
Partie B- Etude de la fonction f.
Soit f la fonction définie et dérivable sur R par: f  x   1  2 x 
x
.
ex


On désigne par  C  sa courbe représentative dans un repère orthonormé O ; i ; j d'unité
graphique 1cm.
1) Calculer lim f  x  et lim
x  
x  
1
x
lim f  x   lim x   2 
x  
x  
f  x
x
puis interpréter graphiquement les résultats.
f  x
1
1
1


et
lim
 lim   2  x   

x
x



x



x
e 
e 
x
alors la courbe  C  admet une direction asymptotique parallèle à l'axe des ordonnées au voisinage
de  .
2) a) Déterminer la limite de f en
 .
lim f  x   
x  
b) Démontrer que la droite  d  d’équation y  2 x  1 est une asymptote oblique à  C  .
lim f  x    2 x  1  lim
x  
x  
x
1
 lim x  0 alors la droite
x
x



e
e
x
une asymptote oblique à  C  au voisinage de  .
4/8
d 
d’équation y  2 x  1 est
c) Étudier la position de  C  par rapport à la droite  d  .
Soit la différence D  x   f  x    2 x  1 
x
et comme e x  0 donc D  x  prend le signe de x
x
e
Alors  C  est strictement au-dessus de  d  sur 0;  , et strictement en-dessous de  d  sur ;0
et  d  coupe  C  en A  0;1 .
3) a) Montrer que f   
On a f    1  2 
donc f    1  2 


e
2 2    1
puis déduire une valeur approchée de f   à 10 1 près.
1
or g    1    2e  0 donc e 
1
1
2
donc  
2
1
e
2
2 2    1

et f   1,5
1
1
b) Montrer que f '( x)  g ( x)  h  x  où h est une fonction à préciser.
f '( x) 
g ( x)
1
 g ( x)  h  x  avec h  x   x  0 donc f '( x) prend le signe de g ( x )
x
e
e
c) Dresser le tableau de variation de f .
f '( x) 
g ( x)
1
 g ( x)  h  x  avec h  x   x  0 donc f '( x) prend le signe de g ( x ) et on a:
x
e
e
X


f ' x
0
Variations de f
f   1,5


0, 4

5/8
4) Tracer la droite  d  et la courbe  C  .
Exercice 4
(5 points)
Soit U n  la suite numérique définie par son premier terme U 0  2 et, pour tout entier naturel n
1
U n 1  U n  3  0,5 n .
5
1) a. Recopier et, à l’aide de la calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite U n 
par:
approchées à 10−2 près :
n
Un
0
2
1
3,4
2
2,18
3
1,18
4
0,61
5
0,31
6
0,16
7
0,08
b. D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite U n  .
U n  semble être strictement décroissante sur N*.
2) a. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a: U n 
Soit la proposition (Pn): U n 
On a U1  3, 4 
15
 0,5n
4
15
 0,51  1,875 donc (P1) est vraie.
4
6/8
15
 0,5n .
4
8
0,04
Om suppose que (Pn) est vraie pour un certain rang n  * ,
Démontrons que (Pn+1) est vraie, pour cela:
15
1
15
3
15
U n 1   0,5n 1  U n  3  0,5 n   0,5n 1   0,5n  3  0,5 n   0,5n 1
4
5
4
4
4
15
15
3

donc U n 1   0,5n 1  0,5 n   3   0,5 
4
4
4

15
 15 
donc U n 1   0,5n 1  0,5 n    0
4
8
15
 0,5n 1
4
donc (Pn+1) est vraie.
donc (P1) est vraie et est héréditaire alors d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel n
15
non nul on a: U n   0,5n .
4
donc U n 1 
b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, U n 1  U n  0 .
1
4
4 15
U n 1  U n  U n  3  0,5 n  U n   U n  3  0,5 n     0,5n  3  0,5 n
5
5
5 4
n
n
donc U n 1  U n  3  0,5  3  0,5
donc U n 1  U n  0
c. Démontrer que la suite U n  est convergente.
Comme U n  est une suite strictement décroissante sur N* car U n  1  U n et étant minorée par 0 car
Un 
15
 0,5n  0 alors U n  est convergente.
4
3) On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite U n  .
Soit Vn  la suite définie sur N par Vn  U n  10  0,5n .
a. Démontrer que la suite Vn  est une suite géométrique de raison
terme de la suite Vn  .
1
. On précisera le premier
5
1
1
Vn1  U n 1  10  0,5n 1  ....  Vn donc Vn  est une suite géométrique de raison et V0  8 .
5
5
n
1
b. En déduire, que pour tout entier naturel n, U n   8     10  0,5 n .
5
n
n
1
1
n
n
Vn  V0  q   8    alors U n  Vn  10  0,5   8     10  0,5 .
5
5
n
7/8
c. Déterminer la limite de la suite U n  .
n
1
n
1
Comme lim    lim  0,5  0 car -1   1 et -1  0,5  1, alors lim U n  0.
n   5 
n 
n 
5
4) Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l’algorithme suivant, afin qu’il affiche la plus
petite valeur de n telle que U n  0,01 .
Entrée :
Initialisation:
Traitement :
n et u sont des nombres
n prend la valeur 0
u prend la valeur 2
Tant que U n  0,01
n prend la valeur n  1
(1)
(2)
n
Sortie :
1
u prend la valeur  8     10  0,5 n (3)
5
Fin Tant que
Afficher n
8/8