Série de Travaux Dirigés : 2 L’algorithme du Simplexe Exercice 1:

Université My Ismail
Fac. Des Sci. et Tech. Errachidia
Département de Mathématiques
Prof : A. LAMRANI
Année Universitaire 2008/09
MST- Info et MST- GI
Modules M241 et M292
Série de Travaux Dirigés : 2
L’algorithme du Simplexe
Exercice 1:
Retrouvez par la méthode du simplexe la solution du problème (PL) de l’exercice 3 de la
première série.
Exercice 2 :
Résoudre en utilisant la méthode du Simplexe :
⎧Max z = 3x + 5 y
⎪x ≤ 4
⎪⎪
(P ) ⎨2 y ≤ 12
⎪3x + 2 y ≤ 18
⎪
⎪⎩et x , y ≥ 0
Exercice 3 :
Résoudre le programme linéaire suivant par la méthode du “big M” :
⎧Min z = 10x + 30 y
⎪3x + 2 y ≥ 6
⎪⎪
(P .L ) ⎨6x + y ≥ 6
⎪y ≥ 2
⎪
⎪⎩et x , y ≥ 0
Exercice 4 :
Résoudre par la méthode du simplexe en deux phases les problèmes suivants :
⎧ Max z = 3x + y
⎧Max z = 3x + y
⎧ Max z = 3x + y
⎪ x − y ≤ −1
⎪ x − y ≤ −1
⎪ x − y ≤ −1
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
(P1 ) ⎨ −x − y ≤ −3
(P2 ) ⎨−x − y ≤ −3
(P3 ) ⎨ −x − y ≤ −3
⎪ 2x + y ≤ 4
⎪ 2x + y ≤ 2
⎪ 2x − y ≤ 2
⎪
⎪
⎪
⎪⎩et x , y ≥ 0
⎪⎩et x , y ≥ 0
⎪⎩et x , y ≥ 0
Dualité, L’algorithme duale du Simplexe
Exercice 5 :
Trouvez les duals des programmes suivants :
⎧Max z = x + y
⎪x − y + z ≤ 3
⎪⎪
(P1 ) ⎨ y ≤ 5
⎪2z ≤ 6
⎪
⎪⎩et x , y , z ≥ 0
⎧Min z = x + y + z − t
⎪x − y ≤ 7
⎪⎪
( p 2 ) ⎨z − t ≤ 9
⎪−x + z ≤ 3
⎪
⎪⎩ y + t ≤ 5
Exercice 6 :
Utilisez l’algorithme dual du simplexe pour résoudre ces programmes :
⎧ Min z = −2x − y
⎧Max z = −3x − y
⎧ Min z = 8x − 12 y
⎪ 4x + y ≥ 8
⎪ 4x + 6 y ≥ 4
⎪ −3x − 3 y ≥ 1
⎪
⎪
⎪
(P1 ) ⎨
(P2 ) ⎨
(P3 ) ⎨
⎪x + y ≥ 5
⎪x + y ≥ 1
⎪ 2x − 4 y ≥ 1
⎪⎩et x , y ≥ 0
⎪⎩et x , y ≥ 0
⎪⎩et x , y ≥ 0
Un peu d’histoire :
DANTZIG George B. (né en 1914)
Avec l’invention de la méthode du simplexe en 1947, George B. Dantzig,
Mathématicien américain, est considéré comme l’un des pères fondateurs de
la programmation linéaire.
Son domaine de recherche, outre la programmation linéaire, couvre entre
autres, des sciences telles que la programmation mathématique, la prise de
décision, les modèles de planification à large échelle. L’impact de son oeuvre
fut considérable en gestion et en économie et ses méthodes sont toujours
d’actualité.