Sujet du projet

Optimisation linéaire 2016 - 2017
Optimisation Linéaire - TP
Le but de ce projet, se déroulant sur plusieurs séances, est de programmer l’algorithme du
simplexe. L’algorithme devra lire le problème linéaire dans un fichier, le résoudre puis afficher
la solution optimale trouvée (si elle existe).
Remarque : Le fichier Simplexe.java peut être téléchargé sur la page :
https://lipn.univ-paris13.fr/~lacroix/Documents/RO/Simplexe.java.
Ce fichier contient le code permettant de lire des nombres dans un fichier. Il peut servir de
base pour ce projet. Il est possible de choisir un autre langage de programmation.
Structure de données utilisée
Le problème à résoudre sera sous forme canonique, c’est-à-dire sous la forme :
max cTx
Ax ≤b
x≥0
On supposera que les variables du problème sont les variables x1, . . . , xn. Pour poser le
problème sous forme standard, il faut alors ajouter une variable d’écart par contrainte. La
variable xn+i,i= 1, . . . , m, correspondra à la variable d’écart ajoutée dans la contrainte
numéro i.
Pour stocker et résoudre le problème, on utilisera une matrice de taille (m+ 1) ×(m+
n+ 2). La première ligne correspondra aux coefficients des variables dans la fonction objectif.
Les mlignes suivantes correspondront aux coefficients des variables dans les contraintes. Les
colonnes d’indice 1, . . . , n +mseront associées aux variables x1, . . . , xn+m, la dernière colonne
correspondra à la valeur du membre de droite de la contrainte.
Remarque : La colonne d’indice 0 ne sera pas utilisée. Elle servira au besoin pour la variable
supplémentaire introduite dans le PL lors de la recherche d’une solution initiale (variable x0
dans le cours). On n’en tient pas compte pour l’instant.
À titre d’exemple, le PL initial :
max 40x1+ 50x2
2x1+x2≤800
x1+ 2x2≤700
x2≤300
x1, x2≥0
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dont la modification en PL stantard est :
max 40x1+ 50x2
2x1+x2+x3= 800
x1+ 2x2+x4= 700
x2+x5= 300
x1, x2, x3, x4, x5≥0
sera stocké sous la forme :
0 40 50 0 0 0 0
0 2 1 1 0 0 800
0 1 2 0 1 0 700
0 0 1 0 0 1 300
Fichiers d’instances
Les données du problème linéaire sous forme canonique à résoudre seront lues dans un
fichier respectant la syntaxe suivante :
n m
c1. . . cn
a11 . . . a1nb1
. . .
am1. . . amn bm
où :
—nreprésente le nombre de variables (sans les variables d’écart),
—mcorrespond au nombre d’inégalités (de type ≤),
—cj,j= 1, . . . , n, correspond au coefficient de la variable xjdans la fonction objectif,
—aij ,j= 1, . . . , n,i= 1, . . . , m, correspond au coefficient de la variable xjdans la
contrainte numéro i,
—bi,i= 1, . . . , m, correspond à la valeur du membre de droite de la contrainte numéro i.
Question 1 : Définir la structure de données permettant de stocker le problème linéaire.
Question 2 : Définir la fonction/méthode/constructeur prenant en paramètre un nom de
fichier et initialisant la structure avec les valeurs correctes.
Question 3 : Définir la fonction (ou méthode) affichant la structure de données.
Implémentation de l’algorithme du simplexe (une phase)
On supposera dans cette partie que la solution x1=· · · =xn= 0 est une solution
admissible. Autrement dit, les membres de droite des contraintes sont tous positifs ou nuls.
L’algorithme est le même que celui vu en cours. Cependant, afin de programmer l’al-
gorithme facilement, on n’utilisera plus les dictionnaires. On continuera à travailler sur la
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structure de données, c’est-à-dire la matrice de taille (m+ 1) ×(m+n+ 2). Cela ne modifie
en rien l’algorithme mais simplifie sa programmation.
Pour donner un exemple, si l’on résout le problème linéaire correspondant à l’exemple de
la fabrication de yaourts donné en cours (en notant les variables xAet xNpar x1et x2, et
les variables e1,e2et e3par x3,x4et x5), la forme standard de ce problème est le deuxième
exemple donné dans ce sujet.
Première itération La variable entrante est x1(première variable dont le coefficient dans
la fonction objectif est strictement positif). La variable sortante est x3. Le changement de
variable (appelé pivot) modifie la structure de données pour donner :
0 0 30 -20 0 0 -16000
0 1 1
2
1
20 0 400
0 0 3
2-1 21 0 300
0 0 1 0 0 1 300
La dernière valeur de la première ligne de la matrice correspond à l’opposé de la valeur de
la fonction objectif pour la solution (400,0,0,300,300).
Deuxième itération La variable entrante est x2, et la variable sortante est x4. Le pivot
donne la matrice suivante :
0 0 0 -10 -20 0 -22000
010 2
3-1 30 300
0 0 1 -1
3
2
30 200
000 1
3-2 31 100
Troisième itération Aucune variable n’a de coefficient strictement positif dans la fonction
objectif, la solution courante est optimale.
Remarque : Il n’est pas nécessaire de connaître quelles sont les variables en base pour faire
tourner l’algorithme. Cela sert uniquement pour l’affichage de la solution optimale à la fin.
(On peut cependant les déterminer puisque les variables de base forment la matrice identité
(à permutation près)).
Question 4 : Déterminer l’algorithme permettant de trouver l’indice de la variable entrante.
Implémenter la fonction (ou méthode) varEntrante retournant l’indice de la variable entrante
(-1 s’il n’y a pas de variable entrante).
Question 5 : Déterminer l’algorithme permettant de trouver, à partir de l’indice de la
variable entrante, l’indice de la contrainte limitant la valeur maximum que peut prendre la
variable entrante. Implémenter la fonction (ou méthode) varSortante retournant l’indice de
la ligne correspondant à la contrainte limitante (-1 s’il n’y a pas de variable sortante).
Question 6 : Déterminer l’algorithme correspondant au pivot (mise-à-jour de la matrice) en
fonction des indices des variables entrante et sortante. Implémenter la fonction (ou méthode)
pivot associée.
Question 7 : Définir la fonction (ou méthode) solve permettant de résoudre le problème
linéaire. Elle renverra true si le problème est optimal, et false s’il est non borné.
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Question 8 : Pour afficher la solution optimale, il faut connaître les variable en base. La
méthode la plus simple pour les connaître consiste à stocker les indices des variables en base à
chaque itération. Pour cela, on utilise un tableau de taille mdont chaque case contient l’indice
de la variable de base associée à l’inégalité. Ajouter ce tableau et le mettre à jour durant
l’algorithme de résolution du simplexe. Ajouter une fonction (ou méthode) afficheSolution
affichant la solution optimale, ainsi que le coût de cette solution.
Implémentation de l’algorithme du simplexe en deux phases
Si les membres de droite ne sont pas tous positifs ou nuls, il convient de faire une pre-
mière phase (résolution d’un simplexe sur un problème auxiliaire) afin de trouver une solution
réalisable. Implémenter l’algorithme du simplexe à deux phases.
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