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Structures algébriques usuelles
I) Structure de groupe
1) Groupes
La déf d’un groupe est vue au SUP.
Exemples de groupes :
–R,Z,Cgr additifs neutre 0.
–C∗,R∗, ]0,+∞[ gr multiplicatifs de neutre 1.
–U,Un
–(SE,◦)et (Sn,◦)
–(GL(E),◦)et (GLn(K),×), où E est K-espace vectoriel.
2) Produit fini de groupes
Soient (G1,∗1),...,(Gn,∗n)des groupes.
–loi produit définie sur le prduit cartésien G1× · · · × Gn:
(x1, . . . , xn)∗(y1, . . . , yn)=(x1∗1y1, . . . , xn∗nyn)
Prop :
Si (G1,∗1),...,(Gn,∗n)des groupes d’éléments neutres respectifs
e1, . . . , en, alors G1× · · · × Gnest un groupe de neutre le n-uplet
(e1, . . . , en).
Il est à noter que :
– si (G1,∗1),...,(Gn,∗n)sont abéliens alors G1× · · · × Gnl’est
aussi.
– L’inverse de (x1, . . . , xn)est (x1, . . . , xn)−1= (x−1
1, . . . , x−1
n)
Exemples :
–(C,+) est un groupe, alors (Cn,+) est un groupe de neutre (0,. . .,0)
pour la loi :
(x1, . . . , xn)+(y1, . . . , yn)=(x1+y1, . . . , xn+yn)
–(C,+) et(C∗,×)sont des groupes. Alors C×C∗est un groupe
pour la loi ?:
(a, b)?(c, d)=(a+c, bd)
3) L’ensemble Z/nZ
Prop : La congruence ≡est une relation d’équivalence sur Z.
NB :
—a, la classe d’équivalence de a, est donnée par :
a={a+kn/k ∈Z}
—a=b⇔a≡b[n]
—a= 0 ⇔n/a, par exemple :
∀k∈Z, kn = 0 ;
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n= 0
Notation : L’ensemble quotient de Zest noté Z/nZ.
NB :Z/nZ={a/a ∈Z}
Prop : Z/nZ={0, . . . , n −1}
Démo 1 :
Par exemple : Z/2Z=. . . et Z/4Z=. . .
Prop :a≡b[n]
c≡d[n]⇒a+c≡b+d[n] ac ≡bd [n]
Conséquences :
i) a=b
c=d⇒a+c=b+d ac =bd
ii) Deux lci se définissent sur Z/nZ; la somme et le produit :
a+b=a+b et a ×b=a×b
Exemples : On est dans Z/5Z.Complétons les deux tableaux sui-
vants :
+0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
et
×01234
0
1
2
3
4
Prop : (Z/nZ,+) est un groupe abelien de neutre 0, et de cardinal
n.
4) Sous-groupes
La déf et la caractérisation d’un sou-groupe sont vues au SUP.
NB : {e} et G sont des sous groupes triviaux de G.
Exemples :
–U,Unet ]0,+∞[ sont des sgr de (C,+)
– O(n), l’ensemble des matrices orthogonale, est un ssgr de (GLn(R),×).
– SO(n), l’ensemble des matrices orthogonales positives, est un ssgr
de O(n).
– O(E), l’ensemble des isométries de E (càd endomorphismes or-
thogonaux de E), est un ssgr de (GL(E),◦); où E est un espace
euclidien.
– SO(E), l’ensemble des isométries directes, est un ssgr de O(E)
Prop : un ssgr est aussi un groupe.
Exemples de groupes qui sont des ss groupes :
– O(E) et SO(E) sont des gropues.
– O(n) et SO(n) sont des groupes.
–U,Unet ]0,+∞[ sont des groupes.
Prop : Les ssgr de (Z,+) sont exactement les nZavec n∈N; où
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nZ={nk/k ∈Z}
Démo 2 :
Prop : L’intersection d’une famille de ssgr est un ssgr :
Si tous les Fisont des ssgr de G, alors \
i∈I
Hil’est auusi.
NB : la réunion de 2 ssgr n’est en général pas un ssgr. Toutefois,
ona :
H∪K est un ssgr ⇔(H⊂K ou K ⊂H)
Démo : En exercice.
NB :C’est le même résultat et la même démonstration pour les sous-
espaces vectoriels ; la réunion de deus sev n’est en général pas un sev.
On a toutefois :
Soient H et K deux sev d’un K-esp vectoriel E.
H∪K est un sev de E ⇔(H⊂K ou K ⊂H)
5) Sous-groupe engendré par une partie
(G,.)sera un groupe.
Déf : Soit A une partie de G.
Le sous-groupe de G engendré par A es l’intersection de tous les
sous-groupes de G contenant A.
On le note <A>.
NB : <A>= \
H∈I
H
où I={H ssgr de G/A ⊂H}; l’ensemble des sous-groupes conte-
nant A.
NB :
i) <A> est un sous-groupe de G (comme intersection de ssgroupes)
ii) <A> contient A.
iii) Si K est un ssgroupe de G contenant A alors <A>⊂K
iv) i), ii) et iii) se résument dans la prposition suivante :
Prop : <A> est le plus petit sous-groupe de G contenant A.
Vocab : Si G=<A>, A est dite partie génératrice de G. On dit
aussi que G est engendré par A.
– Ainsi A est une partie génératrice du groupe <A>
NB :
Soit A une partie d’un groupe (G,.).
Si tout élément de G s’écrit comme produit d’éléments de A alors
A est une partie génératice de G ; càd que G est engendré par A.
Démo 3 :
Par exemple :
a) Snest engendré par les cycles.
b) Snest engendré par les transpositions.
c) Les réflexions engendrent le groupe des isométries vectorielles en
dim 2.
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Rappel :
i) Toute permutation de Sns’écrit comme produit de cycles (resp.transpositions).
ii) Toute isométrie vectorielle en dim 2 peut s’écrire comme pro-
duit de réflexions.
Prop : Soit a∈G.
<{a}>={ak/k ∈Z}
Notation et vocabulaire : Soit a∈G.
{ak/k ∈Z}se note aussi <a> et s’appelle le sous-groupe engendré
par a.
NB : Si (G,+) est additif, on a
<a>={ka/k ∈Z}
Par exemple dans le groupe (Z,+),on a <n>={kn/k ∈Z}qui se
note nZ.
NB : Soient a et b deux éléments de G.
i) <{a, b}>={ap1bq1.ap2bq2. . . apnbqn/n ∈N, piet qi∈Z}.
ii) Si ab =ba ou si G est commutatif, on a :
<{a, b}>={apbq/p, q ∈Z}
6) Morphisme de groupes
Déf :
On appelle morphisme du groupe (G1, T1)vers le groupe (G2, T2)
toute application fdéfinie de G1vers G2vérifiant
∀x, y ∈G, f(xT1y) = f(x)T2f(y)
Vocabulaire :
i) Si f est un morphisme de G vers lui-même, on dit que f est un
endomorphisme de G.
ii) Un morphisme bijectif est dit isomorphisme.
iii) Un endomorphisme bijectif de G est dit automorphisme de G.
iv) Deux groupes sont dits isomorphes s’il existe un isomorphisme
entre eux.
Exemples :
a) Soit n≥2.
L’application z7→ znest un endomorphisme de (C∗,×).
b) L’application z7→ |z|est un endomorphisme de (C∗,×).
c) L’application exp :z7→ ezest un morphisme de (C,+) vers
(C∗,×)
d) L’application ln :x7→ lnx est un morphisme de (R+∗,×)vers
(R,+)
Il est clair alors que (R+∗,×)et (R,+) sont isomorphes.
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e) i) L’application det :A7→ det(A)est un morphisme de (GLn(K),×)
vers (K∗,×)
ii) L’application det :A7→ det(A)est un morphisme de (O(n),×)
vers (R∗,×)
iii) L’application det :f7→ det(f)est un morphisme de (O(E),◦)
vers (R∗,×), où Eest un espace euclidien.
f) Soit a∈Gfixé, où (G,.) est un groupe.
L’application m7→ amest un morphisme du groupe (Z,+) vers
le groupe (G,.)
g) La signature est un morphisme du groupe (Sn,◦)vers le groupe
{−1,1}
Prop :
1) La composée de deux morphismes (resp. endomorphismes)(resp.
isomorphismes) est un morphisme (resp. endomorphisme)(resp.
isomorphisme)
2) La réciproque d’un isomorphisme est un isomorphisme.
NB (Aut(G),◦) est un groupe ; où Aut(G) est l’ensemble des auto-
morphismes de G.
Exercice :
Soit (G,.) un groupe.
a) Pour a ∈G, notons τal’application définie de G vers lui-même
par
τ:x7→ axa−1
Montrer que τaest un automorphisme de G.
b) Montrer que l’application Φ : a7→ τaest un morphisme du
groupe G vers le groupe (Aut(G),◦)
Prop
Soit fun morphisme du groupe G vers G’. Soient eet e0les éléments
neutres respectifs. On a :
1) f(e) = e0
2) ∀x∈G, f(x−1) = f(x)−1
3) ∀x∈G, ∀m∈Z, f(xm) = f(x)m
Démo 4 :
Prop :
L’image directe (resp.réciproque) d’un sous-groupe par un mor-
phisme de groupes est un sous-groupe.
Démo 5 :
Définition et proposition : (Noyau et image d’un morphisme)
Soit fun morphisme du groupe G vers G’. Soit e0l’élément neutre
de G’.
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