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Modules de type fini sur un anneau principal
Dans tout ce chapitre Aest un anneau commutatif, unitaire, int`egre.
On identifie A2'A⊕Agrˆace `a A2= (A×{0})⊕({0}×A). Si Jest un ensemble, on note
Lj∈JAl’ensemble des familles a= (aj)j∈Jtelles que aj= 0 pour tout jsauf un nombre fini.
1 Modules libres et matrices
D´efinition 1. Soient Mun A-module, et {mj|j∈J}une famille d’´el´ements de M. Cette
famille est une base de Msi et seulement si Lj∈JA→M
(aj)j∈J7→ Pj∈Jajmj
est un isomorphisme.
Un A-module est libre s’il poss`ede une base.
Th´eor`eme 1. Le Cardinal d’une base d’un A-module libre est ind´ependant de la base choisie.
On l’appelle rang du module.
On a rang(M⊕N) = rang(M) + rang(N).
Remarque. Contrairement aux espaces vectoriels sur un corps, pour Nsous-module de M
libre de type fini, il n’existe pas n´ecessairement Psous-module de Mtel que M=N⊕P.
Par exemple M=Zet N= 2Z.
On se limite `a des modules de type fini. Un module libre de type fini est de rang fini.
D´efinition 2. Soient Met Ndeux modules libres de type fini de bases respectives {mi}1≤i≤r
et {nj}1≤j≤s. Soit f:M→Nun morphisme, on d´efinie la matrice de f dans les bases
{mi}1≤i≤ret {nj}1≤j≤spar
Mat{nj}
{mi}(f) = ((fj,i))1≤i≤r
1≤j≤s∈ Ms×r(A)
o`u
f(mi) =
s
X
j=1
fj,inj
Les r`egles d’alg`ebre lin´eaires s’appliques toujours, en particulier Mat(fg) = M at(f)Mat(g).
D´efinition 3. Si P= (pi,j )∈ Mn(A), on d´efinit
det(P) = X
σ∈Sn
ε(σ)p1,σ(1) . . . pn,σ(n)
Proposition 2. (Formules habituelles)
Si tco(P)d´esigne la transpos´ee de la comatrice de P
det(P Q) = det(P) det(Q)
tco(P)·P=P·tco(P) = (det P)In
1

Proposition 3. Soit P∈ Mn(A). Alors Pest inversible si et seulement si det(P)∈A×.
On note GLn(A) l’ensemble des matrices n×ninversibles. C’est un groupe multiplicatif.
D´efinition 4. Si P∈ Mn(A) on forme XIn−P∈ Mn(A[X]).
Son d´eterminant est le polynˆome caract´eristique de P, not´e ΠP(X).
Th´eor`eme 4 (Cayley-Hamilton).Soit Mun A-module de rang fini n, et f∈End(M). Soit
Pla matrice de fdans une base {mj|j∈J}. Alors ΠP(f)=0.
2 Facteurs invariant pour un anneau principal
2.1 Libert´e des sous-modules d’un module libre
Th´eor`eme 5. Si Aest un anneau principal et Mun A-module libre de rang fini r, ses
sous-modules sont libres de rang inf´erieur ou ´egal `a r.
Remarque. La condition Aprincipal est n´ecessaire : essayer avec (2, X)⊂Z[X], sur Z[X].
2.2 Modules de type fini et matrices ´equivalentes
Th´eor`eme 6 (Th´eor`eme des facteurs invariants ou Forme normale de Smith).Soient Aun
anneau principal, Mun A-module libre de type fini (de rang r), Nun sous-module. Alors il
existe une base de M, {m1, . . . , mr}et des ´el´ements non nuls d1, . . . , dsde Atels que :
1. {d1m1, . . . , dsms}soit une base de N.
2. d1|d2|. . . |ds.
Remarque. On a s≤ret si Aest un corps, c’est le th´eor`eme de la base incompl`ete avec
d1=· · · =ds= 1.
On a alors classification des matrices `a coefficients dans A principal par ´equivalence, et
on dit que M=
d1
...
ds
0
est en forme normale (de Smith).
2.3 Modules de type fini sur un anneau principal
On applique le Th´eor`eme 6.
Proposition 7. Si Aest un anneau principal, et si Mest un A-module de type fini, alors
il existe n≥0et des ´el´ements non nuls d1, . . . , dmde ArA×tels que d1|. . . |dmet
M'An⊕(Lm
i=1 A/diA).
2.4 Vecteurs de Torsion
D´efinition 5. Si Mest un A-module, un vecteur m∈Mest de torsion s’il existe a∈Ar{0}
tel que am = 0.
Proposition 8. Si Aest commutatif et int`egre, l’ensemble Mtor des ´el´ements de torsion de
Mest un sous-module de M.
2

Remarque. C’est le cas si Aest principal.
Le quotient M/Mtor est alors sans torsion, et si Mde type fini, Aprincipal,
on a Mtor 'Lm
i=1 A/diA, donc M/Mtor 'Andonc nne d´epends que de M.
Remarque. On voit que si Mest sans torsion, alors M'Anet donc sur un anneau principal,
les modules sans torsion de type fini sont n´ecessairement libres.
2.5 Facteurs invariants
Proposition 9. Si Aest un anneau principal, et si d1, . . . , dmet e1, . . . , ensont des ´el´ements
non nuls de ArA×tels que d1|. . . |dmet e1|. . . |enet Lm
j=1 A/djA'Ln i=1 A/eiA,
alors m=net (di)=(ei)pour tout i.
En rassemblant toutes ces propositions, on obtient le
Th´eor`eme 10 (Th´eor`eme des facteurs invariants).Si Aest n anneau principal et si Mest
un A-module de type fini, alors :
1. il existem≥0et n≥0et des ´el´ements non nuls d1, . . . , dmde ArA×tels que
d1|. . . |dmet
M'An⊕(
m
M
j=1
A/djA)
2. les entiers met nainsi que les id´eaux (di)sont d´etermin´es par Mde mani`ere unique.
D´efinition 6. Les djsont appel´es les facteurs invariants du module Met lorsque {d1m1, . . . , dsms}
est une base de N, sous-module de M, les id´eaux (dj) sont les diviseurs ´el´ementaires de M/N.
2.6 Diviseurs ´el´ementaires
Si d=pα1
1. . . pαr
rest la factorisation en irr´eductibles distincts de d, alors par le Lemme
Chinois, A/dA 'Lr
j=1 A/pαj
jA. En revanche on ne peut plus d´ecomposer A/pαj jA.
D´efinition 7. Si Mest un A-module de type fini et si pest un ´el´ement premier, on note
M(p) = {m∈M| ∃α≥0 tel que pαm= 0}.M(p) est un sous-module de M.
Si M=A/dA avec d=pα1
1. . . pαr
r, alors M(pj) = A/pαj
jAet donc M=Lr
j=1 M(pj). On
reformule le Th´eor`eme 10 :
Th´eor`eme 11. Si Aest un anneau principal et si Mest un A-module de type fini, alors :
1. M(p)=0pour presque tout ´el´ement premier p.
2. il existe un unique n≥0tel que M'An⊕(Lppremier M(p)) et pour tout ppremier,
il existe des entiers α1(p)≤ · · · ≤ αm(p)tels que M(p)'Lm(p)
i=1 A/pαj jA
3. les entiers net m(p)et αi(p)sont uniquement d´etermin´es par M
D´efinition 8. Les pαdu 2) sont les diviseurs ´el´ementaires de M(les compter avec multipli-
cit´e).
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Remarque. Si un anneau Aa la propri´et´e que pour tous les modules N⊂Mavec Met N
libres de rang fini, les conclusions du th´eor`eme 6 sont satisfaites, alors on dit que Aest un
anneau `a diviseurs ´el´ementaires. Dans un tel anneau, tout id´eal de type fini est n´ecessairement
principal. R´eciproquement, on conjecture ( ?) que si Aest un anneau int`egre dans lequel tout
id´eal de type fini est principal, alors Aest un anneau `a diviseurs ´el´ementaires. Un exemple
d’un tel anneau qui n’est pas principal est l’anneau des fonctions holomorphes sur le disque
unit´e ouvert 1.
1. Merci MrBerger
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