Modules de type fini sur un anneau principal Dans tout ce chapitre A est un anneau commutatif, unitaire, intègre. 2 2 L On identifie A ' A ⊕ A grâce à A = (A × {0}) ⊕ ({0} × A). Si J est un ensemble, on note j∈J A l’ensemble des familles a = (aj )j∈J telles que aj = 0 pour tout j sauf un nombre fini. 1 Modules libres et matrices Définition 1. Soient M un A-module, et {mj | j ∈ J} une famille d’éléments de M . Cette L j∈J A → P M famille est une base de M si et seulement si est un isomorphisme. (aj )j∈J 7→ j∈J aj mj Un A-module est libre s’il possède une base. Théorème 1. Le Cardinal d’une base d’un A-module libre est indépendant de la base choisie. On l’appelle rang du module. On a rang(M ⊕ N ) = rang(M ) + rang(N ). Remarque. Contrairement aux espaces vectoriels sur un corps, pour N sous-module de M libre de type fini, il n’existe pas nécessairement P sous-module de M tel que M = N ⊕ P . Par exemple M = Z et N = 2Z. On se limite à des modules de type fini. Un module libre de type fini est de rang fini. Définition 2. Soient M et N deux modules libres de type fini de bases respectives {mi }1≤i≤r et {nj }1≤j≤s . Soit f : M → N un morphisme, on définie la matrice de f dans les bases {mi }1≤i≤r et {nj }1≤j≤s par {n } 1≤i≤r M at{mji } (f ) = ((fj,i ))1≤j≤s ∈ Ms×r (A) où f (mi ) = s X fj,i nj j=1 Les règles d’algèbre linéaires s’appliques toujours, en particulier M at(f g) = M at(f )M at(g). Définition 3. Si P = (pi,j ) ∈ Mn (A), on définit X det(P ) = ε(σ)p1,σ(1) . . . pn,σ(n) σ∈Sn Proposition 2. (Formules habituelles) Si t co(P ) désigne la transposée de la comatrice de P det(P Q) = det(P ) det(Q) t co(P ) · P = P ·tco(P ) = (det P )In 1 Proposition 3. Soit P ∈ Mn (A). Alors P est inversible si et seulement si det(P ) ∈ A× . On note GLn (A) l’ensemble des matrices n × n inversibles. C’est un groupe multiplicatif. Définition 4. Si P ∈ Mn (A) on forme XIn − P ∈ Mn (A[X]). Son déterminant est le polynôme caractéristique de P, noté ΠP (X). Théorème 4 (Cayley-Hamilton). Soit M un A-module de rang fini n, et f ∈ End(M ). Soit P la matrice de f dans une base {mj | j ∈ J}. Alors ΠP (f ) = 0. 2 Facteurs invariant pour un anneau principal 2.1 Liberté des sous-modules d’un module libre Théorème 5. Si A est un anneau principal et M un A-module libre de rang fini r, ses sous-modules sont libres de rang inférieur ou égal à r. Remarque. La condition A principal est nécessaire : essayer avec (2, X) ⊂ Z[X], sur Z[X]. 2.2 Modules de type fini et matrices équivalentes Théorème 6 (Théorème des facteurs invariants ou Forme normale de Smith). Soient A un anneau principal, M un A-module libre de type fini (de rang r), N un sous-module. Alors il existe une base de M, {m1 , . . . , mr } et des éléments non nuls d1 , . . . , ds de A tels que : 1. {d1 m1 , . . . , ds ms } soit une base de N . 2. d1 | d2 | . . . | ds . Remarque. On a s ≤ r et si A est un corps, c’est le théorème de la base incomplète avec d1 = · · · = ds = 1. On a alors classification des matrices à coefficients dans A principal par équivalence, et d1 .. . on dit que M = est en forme normale (de Smith). ds 0 2.3 Modules de type fini sur un anneau principal On applique le Théorème 6. Proposition 7. Si A est un anneau principal, et si M est un A-module de type fini, alors × il existe n ≥ L0m et des éléments non nuls d1 , . . . , dm de A r A tels que d1 | . . . | dm et n M ' A ⊕ ( i=1 A/di A). 2.4 Vecteurs de Torsion Définition 5. Si M est un A-module, un vecteur m ∈ M est de torsion s’il existe a ∈ Ar{0} tel que am = 0. Proposition 8. Si A est commutatif et intègre, l’ensemble Mtor des éléments de torsion de M est un sous-module de M . 2 Remarque. C’est le cas si A est principal. Le quotient et si M de type fini, A principal, L M/Mtor est alors sans torsion, n donc n ne dépends que de M . A/d A, donc M/M ' A on a Mtor ' m i tor i=1 Remarque. On voit que si M est sans torsion, alors M ' An et donc sur un anneau principal, les modules sans torsion de type fini sont nécessairement libres. 2.5 Facteurs invariants Proposition 9. Si A est un anneau principal, et si d1 , . . . , dm et des éléments 1 , . . . , en sont L Lem n A/d A ' non nuls de A r A× tels que d1 | . . . | dm et e1 | . . . | en et j i=1 A/ei A, j=1 alors m = n et (di ) = (ei ) pour tout i. En rassemblant toutes ces propositions, on obtient le Théorème 10 (Théorème des facteurs invariants). Si A est n anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors : 1. il existem ≥ 0et n ≥ 0 et des éléments non nuls d1 , . . . , dm de A r A× tels que d1 | . . . | dm et m M M ' An ⊕ ( A/dj A) j=1 2. les entiers m et n ainsi que les idéaux (di ) sont déterminés par M de manière unique. Définition 6. Les dj sont appelés les facteurs invariants du module M et lorsque {d1 m1 , . . . , ds ms } est une base de N , sous-module de M , les idéaux (dj ) sont les diviseurs élémentaires de M/N . 2.6 Diviseurs élémentaires αr est la factorisation en irréductibles distincts de d, alors par le Lemme Si d = pα1 1 . . . pL r α α Chinois, A/dA ' rj=1 A/pj j A. En revanche on ne peut plus décomposer A/pj j A. Définition 7. Si M est un A-module de type fini et si p est un élément premier, on note M (p) = {m ∈ M | ∃α ≥ 0 tel que pα m = 0}. M (p) est un sous-module de M . L α Si M = A/dA avec d = pα1 1 . . . pαr r , alors M (pj ) = A/pj j A et donc M = rj=1 M (pj ). On reformule le Théorème 10 : Théorème 11. Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors : 1. M (p) = 0 pour presque tout élément premier p. L 2. il existe un unique n ≥ 0 tel que M ' An ⊕ ( ppremier M (p)) et pour tout p premier, Lm(p) α il existe des entiers α1 (p) ≤ · · · ≤ αm (p) tels que M (p) ' i=1 A/pj j A 3. les entiers n et m(p) et αi (p) sont uniquement déterminés par M Définition 8. Les pα du 2) sont les diviseurs élémentaires de M (les compter avec multiplicité). 3 Remarque. Si un anneau A a la propriété que pour tous les modules N ⊂ M avec M et N libres de rang fini, les conclusions du théorème 6 sont satisfaites, alors on dit que A est un anneau à diviseurs élémentaires. Dans un tel anneau, tout idéal de type fini est nécessairement principal. Réciproquement, on conjecture ( ?) que si A est un anneau intègre dans lequel tout idéal de type fini est principal, alors A est un anneau à diviseurs élémentaires. Un exemple d’un tel anneau qui n’est pas principal est l’anneau des fonctions holomorphes sur le disque unité ouvert 1 . 1. Merci M r Berger 4