MESURER L`INACCESSIBLE

MESURER L’INACCESSIBLE
La triangulation Lézignan-St-Nazaire
Collège Joseph-Anglade de
Lézignan-Corbières
Collège Marcelin Albert de St
Nazaire d’Aude
Brice Barrère (3ème 3)
Jules Briechle (3ème 3)
Ken Coussinoux (3ème 4)
Jean-Charles Cros (3ème 4)
Christy Mounié (3ème 3)
Sarah Pramayon (3ème 3)
Jimmy Silvestre (3ème 3)
Julie Delmas (3ème 5)
Delphine Sauzède (3ème 5)
Aurélie Magnez (3ème 4)
Roxane Pilat (3ème 4)
Noémie Valette (3ème 4)
Caroline Taudière (3ème 5)
Alison Richebusch (3ème 5)
sous la direction de
M. Pierre-Yves Gouiffes,
M. Christophe Monié
M. Didier Aribaud
M. Marc Amiel
Professeurs de mathématiques
1
Octobre – Juin 2008
Remerciements
Nous remercions Patrick
Valette organisateur de la « fête
du mètre » à Lagrasse qui est à
l’origine de notre intérêt pour
la géodésie.
Nous remercions Christophe Monié et Pierre Yves
Gouiffes d’avoir accepté de
mener à bien ce projet avec
nous.
Nous remercions Marc
Nous remercions M.
Amiel et Didier Aribaud, Rivals, Principal du Collège
professeurs de mathématiques Marcelin Albert, de nous avoir
au collège Marcelin-Albert de prêté ses jumelles.
Saint-Nazaire, qui nous ont
proposé ce projet en juin 2007.
Nous remercions Georges
Nous remercions Olivier Libes (oncle de Didier
Fournié et David Trillon pour Aribaud) de nous avoir donné
leur aide précieuse.
ce superbe théodolite hérité de
son arrière grand père Emile
Nous
remercions Finestres, (1860-1935) Agent
également
Monsieur
le Voyer de son état, à Laure
Principal de notre collège qui a Minervois.
soutenu ce projet et Madame la
Principale adjointe qui nous a
suggéré l’idée de rédiger ce
livret.
Enfin, nous remercions nos épouses et nos enfants pour leur
patience.
2
Préface
Les clubs géodésie du collège Joseph-Anglade de LézignanCorbières et Marcelin Albert de St Nazaire d’Aude, ont été créé
en septembre 2007 pour répondre à une proposition de Didier
Aribaud et de Marc Amiel. Leur projet était de calculer la distance
entre nos deux collèges par triangulation en s’appuyant sur les
méthodes employées au XVIIIème siècle.
La géodésie est l’étude de la forme de la Terre. Cette science
a été inventée pour améliorer la cartographie mais elle a également
permis la création de l’étalon du mètre que nous utilisons tous les
jours. Patrick Valette est venu au collège Joseph Angla de
nous
raconter cette formidable aventure humaine et scientifique et
notamment la triangulation de la France entre Dunkerque et
Barcelone par Jean-Baptiste Delambre et Pierre-François Méchain
entre 1792 et 1799.
Le club s’est réuni une fois par semaine, à midi, et
certains mercredis après-midi pour des mesures sur le terrain. Les
élèves ont ainsi découvert une autre facette des mathématiques :
une science qui n’est pas seulement théorique mais qui peut être
aussi appliquée à des situations concrètes et ludique.
3
Première partie : la triangulation depuis
le Collège Joseph Anglade de Lézignan
Corbières.
Premier Essai
Janvier 2008
Avant de commencer la véritable triangulation, nous nous
sommes entraînés dans la cour du collège avec un théodolite
maison fabriqué par Christophe Monié à l’aide d’un rapporteur.
Nous voulons calculer la distance qui sépare ce bosquet A et
cet arbre B.
4
naire
Nous imaginons qu’une rivière sépare les points A et B. La
distance AB est donc de fait inaccessible.
Arbre A
imagi
76°
Riviè
re
13,8 m
Bosquet B
68°
Préfabriqué P
Nous plaçons un point P à une certaine distance du point A.
Nous pouvons facilement mesurer les angles BAP, APB et la
longueur AP.
5
Brice, Jimmy et Jules mesurent la distance AP.
Jules mesure l’angle APB avec l’aide de Brice et de Jimmy.
6
Brice et Jules mesurent l’angle PAB.
Nous pouvons calculer AB grâce à la loi des sinus.
AB
AP
AP × sin APB
=
d’où AB =
sin APB sin ABP
sin ABP
Dans notre exemple, PAB ≈ 68°, APB ≈ 76° et AP ≈ 13,8 m.
Il nous manque la mesure de l’angle ABP. La somme des angles
d’un triangle est égale à 180°. Dans le triangle ABP :
ABP + BPA + PAB = 180°
ABP = 180° – ( BPA + PAB )
ABP ≈ 180° – (76° + 68°) = 180° – 144° ≈ 36°
AP × sin APB
AB =
≈ 13,8 × sin 68° ≈ 21,8 (en m)
sin 36°
sin ABP
Donc la distance entre l’arbre et le bosquet est d’environ
21,8 m. Une mesure directe nous indique que cette distance serait
plutôt de 23,5 m. Cette différence importante est due à notre
théodolite maison qui ne nous permet pas de mesurer les angles
avec une précision suffisante.
7
La passerelle
Janvier 2008
Notre objectif est de calculer la distance entre les collèges de
Lézignan-Corbières et de Saint-Nazaire. Pour faciliter le calcul
final, nous avons choisi de trianguler vers un point visible des
deux collèges : les éoliennes de Névian. Notre part du travail
consiste donc à calculer la distance qui sépare le collège des
éoliennes.
Pour commencer notre triangulation, la passerelle qui
surplombe les cuisines du collège s’impose d’elle-même. Nous y
plaçons notre point A, premier sommet du premier triangle. Cette
issue de secours n’est plus utilisée depuis plusieurs années. David
Trillon, un professseur d’E.P.S. du collège vient nous aider pour
sécuriser « l’escalade » de l’échelle à incendie.
8
Jules ouvre la voie de la « face nord ».
Ken repère les points B et C avec les jumelles et Christophe
Monié prépare le matériel.
Nous voulons mesurer l’angle BAC.
9
Jules utilise un théodolite du XIXème siècle prêté par Didier
Aribaud. Il vise le point B, un poteau téléphonique près de la
route de Cruscades puis le point C, un arbre de l’autre côté de la
route.
Il suffit de lire l’angle BAC sur la graduation.
Nous connaissons maintenant le premier angle du premier
triangle.
10
La première sortie
Janvier 2008
Nous sortons enfin du collège pour mesurer les angles des
deux premiers triangles, le long de la route de Cruscades.
Nous nous arrêtons tout d’abord au point B, un poteau
téléphonique. Olivier Fournié nous rejoint pour nous aider à
manipuler le théodolite.
Jules vise le point A, sur la passerelle du collège.
11
Puis Christy vise le point C, un arbre de l’autre côté de la
route. Christophe Monié y a placé un drap blanc pour faciliter la
visée.
Nous connaissons dorénavant l’angle ABC. Chaque angle est
mesuré par trois élèves différents.
Sarah vise le point D, un poteau téléphonique à l’entrée du
chemin de l’Etang-des-Colombes.
Nous en déduisons l’angle CAD.
12
Depuis l’arbre B, nous visons la passerelle A et le poteau B
pour mesurer l’angle ACB. Tous les angles du triangle ABC sont
maintenant connus.
Nous visons également le poteau D de l’Etang-des-Colombes
pour déterminer l’angle BCD.
Enfin, depuis le poteau D, nous visons le poteau B et l’arbre
C pour mesurer l’angle BDC. Tous les angles du triangle BCD
sont maintenant connus.
13
La deuxième sortie
Mai 2008
Le programme de notre deuxième sortie est très chargé.
Nous devons mesurer les angles des trois triangles BDE, DEF et
EFG et la longueur de la base [FG] à l’entrée de Cruscades. Cette
distance est indispensable à nos calculs : grâce à cette seule
longueur et à tous les angles mesurés, nous pourrons calculer tous
les côtés de la chaîne de triangles, et ensuite la distance entre le
premier point (le collège) et le dernier point de notre triangulation
(l’éolienne).
Jean-Charles règle le théodolite avec l’aide de Christophe
Monié.
14
Ken enchaîne les mesures d’angles.
Jean-Charles monte sur le quad de Christophe Monié pour
repérer le prochain point à viser et mesurer la distance FG avec
un double-décamètre le long des platanes de la route de
Cruscades.
15
La troisième sortie
Juin 2008
La troisième sortie nous permet de terminer les mesures
d’angles des quatre derniers triangles et d’atteindre la neuvième
éolienne de Névian, terme de notre triangulation.
Christiane Chaignon, venue nous rendre visite, vise le pylône
électrique H depuis le platane F sous l’œil expert de Jimmy.
16
Sarah vise le pylône I depuis le pylône H aidée de Christy et
de Jimmy.
A la fin de l’après-midi, nous visons enfin le point K (la
neuvième éolienne en partant de la gauche).
17
Les points de triangulation
A
Collège Joseph-Anglade, passerelle de secours incendie
Coordonnées : (N 43°11,833’ ; E 002°45,937’)
Angles mesurés : BAC ≈ 11°17’
BAK ≈ 12°10’
B
Poteau près de la route de Cruscades
Coordonnées : (N 43°11,624’ ; E 002°47,236’)
ABC ≈ 105°31’
CBD ≈ 64°19’
DBE ≈ 29°55’
C
Arbre sur un flanc de coteau
Coordonnées : (N 43°11,802’ ; E 002°47,359’)
ACB ≈ 63°47’
BCD ≈ 80°30’
D Poteau électrique à l’entrée de l’Etang-des-Colombes
Coordonnées : (N 43°11,616’ ; E 002°47,718’)
BDC ≈ 34°16’
BDE ≈ 128°17’
EDF ≈ 46°08’
E
Poteau électrique dans les vignes
Coordonnées : (N 43°11,261’ ; E 002°48,080’)
BED ≈ 23°15’
DEF ≈ 60°46’
FEG ≈ 39°47’
F
Platane n°1 de l’entrée de Cruscades
Coordonnées : (N 43°11,583’ ; E 002°48,267’)
HFG ≈ 66°55’
EFG ≈ 106°31’
DFE ≈ 73°10’
HFI ≈ 41°40’
G Platane n°2 de l’entrée de Cruscades
Coordonnées : (N 43°11,518’ ; E 002°48,838’)
EGF ≈ 33°20’
Angles mesurés : FGH ≈ 77°30’
Base mesurée : FG ≈ 775 m
18
H
Pylône de ligne Haute Tension n°1 (lieu-dit Resplandy)
Coordonnées : (N 43°12,187’ ; E 002°48,754’)
FHG ≈ 35°02’
FHI ≈ 98°03’
IHJ ≈ 28°15’
I
Pylône de ligne Haute Tension n°2 (château Olivery)
Coordonnées : (N 43°11,926’ ; E 002°49,766’)
FIH ≈ 30°30’
HIJ ≈ 122°30’
JIK ≈ 41°55’
J
Pylône de ligne Haute Tension n°3 (lieu dit Muscadet)
Coordonnées : (N 43°12,390’ ; E 002°50,597’)
HJI ≈ 29°05’
IJK ≈ 120°35’
La chaîne de triangles
Dans le triangle ABC :
ABC ≈ 105°31’
ACB ≈ 63°47’
BAC ≈ 11°17’
Total des mesures des trois angles : 181°35’.
Dans le triangle BCD :
BCD ≈ 80°30’
BDC ≈ 34°16’
CBD ≈ 64°19’
Total des mesures des trois angles : 179°05’.
19
Dans le triangle BDE :
BDE ≈ 128°17’
BED ≈ 23°15’
DBE ≈ 29°55’
Total des mesures des trois angles : 181°27’.
Dans le triangle DEF :
DEF ≈ 60°46’
DFE ≈ 73°10
EDF ≈ 46°08’
Total des mesures des trois angles : 180°04’.
Dans le triangle EFG :
EFG ≈ 106°31’
EGF ≈ 33°20’
FEG ≈ 39°47’
Total des mesures des trois angles : 179°38’.
Dans le triangle FGH :
FGH ≈ 77°30’
FHG ≈ 35°02’
GFH ≈ 66°55’.
Total des mesures des trois angles : 179°27’.
Mesure de la base :
FG ≈ 775 m.
Dans le triangle FHI :
FHI ≈ 98°03’
FIH ≈ 38°30’
HFI ≈ 41°40’
Total des mesures des trois angles : 178°13’.
Dans le triangle HIJ :
HIJ ≈ 122°30’
HJI ≈ 25°05’
Total des trois angles : 179°50’.
Dans le triangle IJK :
IJK ≈ 120°35’
IKJ ≈ ?
Moyenne des sommes trouvées : 179°55’.
20
IHJ ≈ 28°15’
JIK ≈ 41°55’
Le calcul des côtés des triangles
J
H
I
C
A
D
K
F
B
G
E
Pour calculer les longueurs des côtés de tous les triangles,
nous utilisons la loi des sinus comme dans notre premier essai
(page 22).
Dans le triangle EFG, nous avons mesuré la longueur FG
(c’est la base mesurée sur le terrain, 775 m) et tous ses angles,
nous obtenons ainsi :
EF
FG
EG
=
=
sin EGF sin FEG sin EFG
EF
EG
≈ 775 ≈
sin 33°20’ sin 39°47’ sin 106°31’
Donc EF ≈ 775 × sin 33°20’ ≈ 665,54 (en m) ;
sin 39°47’
EG ≈ 775 × sin 106°31’ ≈ 1 161,18 (en m).
sin 39°47’
Dans le triangle DEF, grâce à la longueur EF calculée
précédemment et à tous ses angles mesurés, nous appliquons de
nouveau la formule des sinus :
DE
EF
DF
=
=
sin DFE sin EDF sin DEF
DE ≈ 665,54 ≈ DF
sin 73°10’ sin 46°08’ sin 60°46’
21
Donc
DE ≈ 665,54 × sin 73°10’ ≈ 883,58 (en m) ;
sin 46°08’
sin
60°46’ ≈ 805,56 (en m).
DF ≈ 665,54 ×
sin 46°08’
Dans le triangle BED, grâce à la longueur DE calculée
précédemment, nous calculons :
BD ≈ 699,34 m et BE ≈ 1 390,65 m.
Dans le triangle BCD, grâce à la longueur BD calculée
précédemment, nous calculons :
CD ≈ 639,01 m et BC ≈ 399,23 m.
Dans le triangle ABC, grâce à la longueur BC calculée
précédemment, nous calculons :
AB ≈ 1 830,54 m et AC ≈ 1 966,07 m.
Dans le triangle FGH, grâce à la base FG mesurée, nous
calculons :
FH ≈ 1 318,05 m et GH ≈ 1 241,96 m.
Dans le triangle FHI, grâce à la longueur FH calculée
précédemment, nous calculons :
FI ≈ 2 096,43 m et HI ≈ 1 407,57 m.
Dans le triangle HIJ, grâce à la longueur HI calculée
précédemment, nous calculons :
HJ ≈ 2 442,25 m et IJ ≈ 1 370,62 m.
Dans le triangle IJK, grâce à la longueur IJ calculée
précédemment, nous calculons :
JK ≈ 3 044,97 m et IK ≈ 3 929,93 m.
22
Le calcul final
Le calcul de proche en proche
1 Calcul de AD
C
1966,07 m
A
63°47’
639,01 m
80°30’
D
B
Nous utilisons la formule d’Al Kashi dans le triangle ACD
pour calculer AD et tous ses angles.
AD2 = AC2 + CD2 – 2 × AC × CD × cos ACD.
Nous avons déjà calculé les longueurs AC (dans le triangle ABC)
et CD (dans le triangle BCD).
ACD = ACB + BCD ≈ 63°47’ + 80°30’ ≈ 144°17’.
AD2 ≈ 1 966,072 + 639,012 – 2 × 1 966,07 × 639,01 × cos 144°17’
AD2 ≈ 6 313 863,65
AD ≈ 6 313 863,65 ≈ 2 512,74 (en m).
Nous calculons l’angle ADC :
AC = AD2 + CD2 – 2 × AD × CD × cos ADC
2
2
2
cos ADC = AC – (AD + CD ) donc ADC ≈ 27,18° ≈ 27°11’.
– 2 × AD × CD
2
Enfin, nous calculons l’angle CAD :
CD = AC2 + AD2 – 2 × AC × AD × cos CAD
2
23
2
2
2
cos CAD = CD – (AC + AD ) donc CAD ≈ 8,54°.
– 2 × AC × AD
2 Calcul de AF
C
A
2 512 ,74
m
7°07’
B
D
128°17’
805 ,56 m
F
46°08’
E
Nous nous plaçons dans le triangle ADF, où AD ≈ 2 512,74
m et DF ≈ 805,56 m.
ADB = BDC – ADC ≈ 34°16’ – 27°11’ ≈ 7°07’.
ADF = 360° – (ADB + BDE + EDF)
ADF ≈ 360° – (7°07’ + 128°17’ + 46°08’) ≈ 360° – 181°32’
ADF ≈ 178°28’.
AF2 = AD2 + DF2 – 2 × AD × DF × cos ADF.
Nous trouvons : AF ≈ 3 318,09 (en m) ;
AFD ≈ 1,16° ≈ 1°10’ ;
DAF ≈ 0,37°.
24
3 Calcul de AH
13
18,0
5m
H
A
3 318, 09 m
D
F
1°16’
73°10’
66°55’
G
106°31’
E
Nous nous plaçons dans le triangle AFH, où AF ≈ 3 318,09
m et FH ≈ 1 318,05 m.
AFH = 360° – (AFD + DFE + EFG + GFH)
AFH ≈ 360° – (1°16’ + 73°10’ + 106°31’ + 66°55’)
AFH ≈ 360° – 247°52’ ≈ 112°08’.
AH2 = AF2 + FH2 – 2 × AF × FH × cos AFH.
Nous trouvons : AH ≈ 4 007,16 (en m) ;
AHF ≈ 50,04° ≈ 50°02’ ;
FAH ≈ 17,73°.
4 Calcul de AI
H
,16 m
4 0 07
50°02’
1 40
7,57
m
98°03’
I
A
F
25
Nous nous plaçons dans le triangle AHI, où AH ≈ 4 007,16
m et HI ≈ 1 407,57 m.
AHI = AHF + FHI ≈ 50°02’ + 98°03’ ≈ 148°05’.
AI2 = AH2 + HI2 – 2 × AH × HI × cos AHI.
Nous trouvons : AI ≈ 5 254,91 (en m) ;
AIH ≈ 23,77° ≈ 23°46’ ;
HAI ≈ 8,14°.
5 Calcul de AJ
J
H
2
,6
70
13
122°30’
m
23°46’
I
5 254,91 m
A
Nous nous plaçons dans le triangle AIJ, où AI ≈ 5 254,91 m
et IJ ≈ 1 370,62 m.
AIJ = AIH + HIJ ≈ 23°46’ + 122°30’ ≈ 146°16’.
AJ2 = AI2 + IJ2 – 2 × AI × IJ × cos AIJ.
Nous trouvons : AJ ≈ 6 439,97 (en m) ;
AJI ≈ 26,94° ≈ 26°56’ ;
IAJ ≈ 6,79°.
6 Calcul de AK
J
26°56’
6 439,97
m
120°35’
3 04
4,97
m
I
A
K
Nous nous plaçons dans le triangle AJK, où AJ ≈ 6 439,97 m
et JK ≈ 3 044,97 m.
AJK = AJI + IJK ≈ 26°56’ + 120°35’ ≈ 147°31’.
26
AK2 = AJ2 + JK2 – 2 × AJ × JK × cos AJK.
Nous trouvons : AK ≈ 9 155,90 (en m) ;
AKJ ≈ 22,19° ;
JAK ≈ 10,29°.
Avec cette deuxième méthode, nous avons donc calculé
une distance entre le collège et l’éolienne d’environ 9,156 km.
N.B. : la carte IGN indique une distance réelle de 9,110 km, soit
pour nous une erreur d’environ 0,7 %.
27
Deuxième partie : la triangulation
depuis le Collège Marcelin Albert de St
Nazaire d’Aude.
28
La première sortie.
21 novembre 2007
Mesure de la base.
Nous choisissons de mesurer derrière le collège, notre base :
600 mètres d’un chemin à travers les vignes.
Le point de départ de notre expérience sera le point A :
« L’arbre mort », nous planterons ensuite dans le sol un « tuyau »
en ciment qui deviendra notre point B.
29
Julie, Aurélie et
Delphine ont bravé la
pluie pour mesurer la
base.
A partir de l’arbre mort, nous avons choisi une direction vers
le bout du chemin qui nous avait semblé parfaitement rectiligne.
A l’aide de deux double-décamètres et de trois bâtons de trois
mètres, nous avons commencé les mesures.
La difficulté principale consiste à aligner parfaitement tous
les points distants de 20 mètres chacun.
bâton 3
bâton 1
bâton 2
Positionner le bâton 1 et le
double-décamètre 1, placer le
bâton 2. A partir de là,
présenter le deuxième doubledécamètre, et tenter d’aligner le
bâton 3 avec les deux autres
bâtons, et ainsi de suite.
30
Aurélie et Delphine alignent le bâton 3…
Deuxième sortie : Le premier triangle. 4 déc 08
Nous décidons de viser, au loin, deux grands cyprès dont le
plus grand constituera notre point C.
Depuis l’arbre mort, nous visons le tuyau, puis les cyprès, nous
notons l’angle : BAC ≈ 83°30’.
Depuis le tuyau, nous visons l’arbre mort (on distingue à l’œil nu
le gilet jaune fluo que l’on a accroché à l’arbre… et que l’on a failli
nous voler !) puis les cyprès, et nous notons : ABC ≈ 46°05’
31
Nous effectuerons plusieurs mesures et en ferons la moyenne.
32
Troisième sortie : La Marianne de l’école.
5 février 2008
Nous allons mesurer deux triangles.
Le premier, le triangle ACD a pour sommets « l’arbre mort »,
les « Doubles cyprès » et la « maison cyprès ». Cette dernière est à
peine visible depuis l’arbre mort, et nous avons beaucoup de mal
à repérer le cyprès qui dépasse des toits des maisons. A force
d’aller retour en vélo et en voiture, à force de garder à vue ce
cyprès au fur et à mesure de nos déplacements, nous réussissons
enfin à le localiser et nous effectuons les mesures.
Le deuxième triangle, CDE a pour sommet, « Doubles
cyprès » , « maison cyprès » et la « Marianne » de l’école de St
Nazaire.
33
Quatrième et cinquième sorties.
11 mars 2008 et 01 avril 2008
Nous n’allons pas mesurer un triangle en particulier, mais
effectuer un grand nombre de mesures qui nous serviront
ultérieurement dans le choix de nos triangles.
Noémie et Roxane depuis « Maison cyprès »
« Poteau bois » en … béton !
La « Marianne » à peine visible.
On distingue le « clocher » du village.
Le « Roi Lion »
34
Les mesures effectuées :
35
Les triangles conservés :
36
Le mardi, de 13h à 14h les membres du Club de Géodésie du
Collège Marcelin Albert, se sont réunis pour effectuer les calculs
et faire les choix nécessaires pour mener à bien notre projet. L’un
d’eux était celui des triangles. (voir page précédente)
Celui-ci étant fait, il reste à effectuer les calculs à l’intérieur de
chaque triangle. Par exemple, pour ABC, nous avons procédé
comme suit.
Les angles du triangles sont
supplémentaires, donc :
ACB = 180° – (ABC + BAC)
≈ 180° – (46°05’ + 83°30’)
≈ 180° – 129°35’
≈ 50°25’
Nous appliquons ensuite la loi des sinus
600 ≈ AC
BC
≈
sin 50°25’ sin 46°05’ sin 83°30’
et on obtient AC ≈ 561m et BC ≈ 774m
Les élèves retiendront la formule :
Mesure du côté =
Mesure de la base
× sin (angle opposé au côté)
sin (angle opposé à la base)
Remarque : La formule du sinus est donnée telle quelle, nous disons
simplement qu’elle sera démontrée en première S et que les outils qui sont à la
disposition des élèves de troisième ne nous permettent pas de mener à bien cette
démonstration.
37
Le grand nombre de côtés à calculer et la répétition des calculs
impose l’utilisation de l’informatique et du tableur en particulier.
Les élèves fabriquent eux-mêmes la formule appropriée au fur et à
mesure qu’ils se dédouanent des difficultés.
En voici quelques unes :
Un travail de conversion degré minutes, degré décimal doit être
entrepris.
ACB ≈ 50°25’ = 50 + 25 ≈ 50,42°
60
ABC ≈ 46°05’ = 46 + 5 ≈ 46,08°
60
BAC ≈ 83°30’ = 83,5°
La notion de Radian n’est pas au programme de troisième, mais
on présente quand même ce dernier comme une nouvelle unité
d’angle nécessaire, entre autre, au tableur.
Les élèves construisent alors le tableau suivant :
dans lequel la cellule M5 contient la formule :
=O5/SIN(RADIANS(G5))*SIN(RADIANS(E5))
38
Pour le calcul de la longueur finale, c’est la méthode de proche en
proche qui est choisie et présentée aux élèves. (voir plus haut)
Nous utilisons la formule d’Al Kashi :
AF² = DF² + AD² – 2×DF×AD×cos ADF
AF² = 467² + 1003² – 2×467×1003×sin 126°
AF ≈ 1331 m
Marc Amiel automatise les calculs en mettant un fichier tableur à
la disposition des élèves pour calculer, de proche en proche, AF
dans AFD, puis AI dans AFI et enfin AJ dans AIJ.
39
Sixième et dernière sortie : La rencontre.
11 juin 2008
Une dernière sortie est prévue, d’une part pour mesurer la
longueur GH dont une approximation avait été donnée pour faire
les calculs, mais que nous voulions vérifier dans un souci
d’honnêteté. Une petite triangulation a été nécessaire :
Nous obtenons GH = 122 m ; nous avions fait nos estimations à
125 m !
Ensuite, nous nous rendons aux éoliennes pour déterminer l’angle
entre nos deux collèges pour obtenir notre mesure finale.
Nous trouvons 111°.
Et enfin, nous donnons rendez-vous à l’équipe de Lézignan pour
un gouter champêtre ; il faisait tellement chaud, que nous avons
bu et mangé avant qu’ils n’arrivent… il ne nous en ont pas voulu !
40
Les Géodésistes.
3ème rang :
Jean Charles Cros (entre les deux filles), Jimmy Sylvestre,
Delphine Sauzède, Aurélie Magnez (cachée).
2ème rang :
Sarah Pramayon, Christy Mounié, Julie Delmas, Alison
Richebusch, Roxane Pilat et Caroline Taudière.
1er rang, les professeurs :
Didier Aribaud, Christophe Monié, Marc Amiel, Pierre-Yves
Gouiffes.
41
Le traitement de l’erreur.
Collège Marcelin Albert
Voici les coordonnées géographiques des points qui ont servi à
l’expérimentation :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Arbre mort
Tuyau
Double cyprès
Maison cyprès
Marianne
Poteau bois
Aude
Roi Lion
Marcorignan
Eolienne
43°15'10,93"
43°15'23,82"
43°14'58,60"
43°14'38,96"
43°14'40,41"
43°14'28,49"
43°14'1,44"
43°13'57,81"
43°13'30,02"
43°11'48,56"
2°54'27,62"
2°54'7,65"
2°54'9,34"
2°54'32,90"
2°53'57,22"
2°54'17,21"
2°53'54,54"
2°53'52,23"
2°55'19,17"
2°52'40,15"
Voici les distances calculées, à partir de ces coordonnées et avec la
formule haversine (demi-versus-sinus)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
A
B
C
D
E
F
G
H
600
561
995
1165
1332
2272
2395
3326
6702
780
1498
1361
1722
2562
2679
3866
6934
806
625
947
1797
1917
3155
6204
804
479
1445
1566
2370
5843
581
1205
1321
2851
5584
979
1102
2282
5401
124
2138
4433
2137
4309
A
B
C
D
E
F
G
H
593
1230
982
600
561
1003
1184
1331
I
4758
I
774
816
645
817
467
122
3345
6772
2338
2180
4365
Le dernier tableau reporte les résultats des mesures du terrain.
42
4828
Et voici le tableau comparatif qui calcule le pourcentage de
l’erreur correspondant :
La distance entre l’arbre mort et la 9ème éolienne a été trouvée avec
une erreur de 1,04% ; mission accomplie, nous pouvons ranger…
43
Collège Joseph Anglade
Voici les coordonnées géographiques des points qui ont servi à
l’expérimentation :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
Collège
Poteau bois
Arbre
Poteau des colombes
Poteau vigne
Platane 1
Platane 2
Pylone 1
Pylone 2
Pylone 3
Eolienne
43°11'50,00"
43°11'38,00"
43°11'48,00"
43°11'37,00"
43°11'16,00"
43°11'35,00"
43°11'31,00"
43°12'11,00"
43°11'56,00"
43°12'23,00"
43°11'48,56"
2°45'56,00"
2°47'14,00"
2°47'22,00"
2°47'43,00"
2°48'05,00"
2°48'16,00"
2°48'50,00"
2°48'45,00"
2°49'46,00"
2°50'36,00"
2°52'40,15"
Voici les distances calculées, à partir de ces coordonnées et avec la
formule haversine (demi-versus-sinus)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1795
1937
2443
3089
3186
3962
3860
5182
6386
9100
358
654
1334
1399
2173
2289
3467
4756
7351
582
1384
1281
2050
1999
3252
4500
7164
816
746
1520
1747
2831
4146
6701
637
1114
1923
2588
3980
6277
776
1290
2128
3484
5963
1241
1479
2877
5211
1449
2526
5340
1401
3928
2991
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
399
699
1391
639
775
1318
2096
1242
1371
3930
3045
1831
1966
2513
3318
884
806
4007
5255
6440
9156
666
1161
1408
2442
Le dernier tableau reporte les résultats des mesures du terrain.
44
Et voici le tableau comparatif qui calcule le pourcentage de
l’erreur correspondant :
La distance entre le Collège Joseph Anglade et la 9ème éolienne a
été trouvée avec une erreur de 0,6 %.
45
Résultat final
Il reste à calculer le troisième côté d’un triangle dont nous
connaissons deux côtés et l’angle entre ces deux côtés. Nous
utilisons la formule d’Al Kashi et obtenons 13196 m.
(La valeur réelle est de 13077 m soit une erreur de 0,9%)
21 juin 2008
46
Les concours
Mai 2008
47
Faites de la science
Le vendredi 16 mai 2008, nous nous sommes rendus en
voiture à la faculté des sciences de Montpellier avec Sarah, JeanCharles et Ken pour présenter notre projet au concours régional
de « Faites de la science 2008 ».
Notre projet avait au préalable été sélectionné ainsi que neuf
autres et avait été doté d’une bourse de 300 €.
Nos trois élèves ont brillamment présenté le projet à trois
jurys différents et ont décroché le 3ème prix assorti d’un montant
de 300 €.
Pendant les délibérations du jury, nous avons assisté à une
conférence très instructive de Benoît Rittaud intitulé « Le
fabuleux destin de 2 ».
48
ExpoSciences Einstein
La semaine suivante, du mardi 20 au vendredi 23 mai, nous
avons participé à « ExpoSciences Einstein 2008 » au palais des
fêtes de Lézignan-Corbières.
Sarah, Jean-Charles, Jimmy, Jules et Ken se sont relayés tout
au long de la semaine pour tenir le stand.
Leur sérieux et leur implication a permis de gagner douze
entrées au musée du Cosmos à Avignon.
49
Annexes
Le Midi-Libre a publié un article sur notre projet le dimanche
1 juin 2008.
er
50
Bibliographie
Alder Ken, Mesurer le monde, 2002
Delambre Jean-Baptiste, Base du système métrique décimal, 1806-1810
Guedj Denis, La méridienne, 1997
Guedj Denis, Le mètre du monde, 2000
Guedj Denis, La révolution des savants, 1988
Hebert Elisabeth, Instruments scientifiques à travers l’histoire, 2004
Levallois J.J., Mesurer la Terre, 1988
Luminet Jean-Pierre, Le rendez-vous de Vénus, 1999
Simaan Arkan, La science au péril de sa vie, 2001
Trystam Florence, Le procès des étoiles, 1993
Vernes Jules, Les aventures de trois russes et de trois anglais, 1872
51
Index
Al Kashi (formule), 23
Amiel (Marc), 1, 2, 3, 38, 40
Aribaud (Didier), 1, 2, 3, 10,
40
Avignon, 48
Barcelone, 3
Barrère (Brice), 1, 6, 7
Base, 14, 20, 21
Briechle (Jules), 1, 6, 7, 9, 10,
11, 48, 50
Chaignon (Christiane), 16
Coussinoux (Ken), 1, 9, 15,
47, 48
Cros (Jean-Charles), 1, 14,
15, 47, 48
Cruscades, 10, 11, 14, 15, 18
Delambre (Jean-Baptiste), 3
Delmas (Julie), 1
Dunkerque, 3
Finestres (Emile), 2
Fournié (Olivier), 2, 11
Gouiffes (Pierre-Yves), 1, 2,
40
haversine, 41, 43
Lagrasse, 2
Lézignan-Corbières, 1, 3, 8,
48
Libes (Georges), 2
Magnez (Aurélie), 1, 29, 30,
40
Méchain (Pierre-François), 3
Monié (Christophe), 1, 2, 4,
9, 12, 14, 15, 40
Montpellier, 47
Mounié (Christy), 1, 12, 17,
40
Névian, 8, 16
Pilat (Roxane), 1, 33, 40
Pramayon (Sarah), 1, 48
Rittaud (Benoît), 47
Saint-Nazaire, 1, 2, 3, 8
Sarah, 12, 17, 40
Sauzède (Delphine), 1
Silvestre (Jimmy), 1, 6, 16,
17, 40, 48
Sinus (loi des), 7, 21
Taudière (Caroline), 1, 40
Théodolite, 4, 7, 10, 14
Triangulation, 1, 3, 4, 14, 16
Trillon (David), 2, 8
Valette (Noémie), 1, 33
Valette (Patrick), 2, 3
52
Table des matières
La triangulation Lézignan-St-Nazaire ................................................ 1
Remerciements ...................................................................................... 2
Préface .................................................................................................... 3
Première partie : la triangulation depuis le Collège Joseph Anglade
de Lézignan Corbières.......................................................................... 4
Premier Essai.......................................................................... 4
La passerelle ........................................................................... 8
La première sortie ................................................................ 11
La deuxième sortie ............................................................... 14
La troisième sortie ................................................................ 16
Les points de triangulation ................................................... 18
La chaîne de triangles .......................................................... 19
Le calcul des côtés des triangles .......................................... 21
Le calcul final....................................................................... 23
Deuxième partie : la triangulation depuis le Collège Marcelin
Albert de St Nazaire d’Aude. ............................................................ 28
La première sortie. ............................................................... 29
Deuxième sortie : Le premier triangle. 4 déc 08 .................. 31
Troisième sortie : La Marianne de l’école. .......................... 33
Quatrième et cinquième sorties. ........................................... 34
Les mesures effectuées : ...................................................... 35
Les triangles conservés : ...................................................... 36
Sixième et dernière sortie : La rencontre. ............................ 40
Les Géodésistes. .................................................................................. 41
Le traitement de l’erreur. ................................................................... 42
Les concours........................................................................................ 47
Annexes ................................................................................................ 50
Bibliographie........................................................................................ 51
Index ..................................................................................................... 52
53