Equations_differentielles_ordinaires.pdf

République Algérienne Démocratique et Populaire
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scienti…que
__________
UNIVERSITE ABOU BEKR BELKAID- TLEMCEN
Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
POUR L’OBTENTION DU GRADE DE LICENCE EN
MATHEMATIQUES
Option : Equations di¤érentielles
Sous le thème
Equations di¤érentielles ordinaires
————————
Présenté par : Gheziel Mama et Bendahma Amina
Encadré par M.MESSIRDI BACHIR
Année Universitaire
2012-2013

Dédicaces:
Nous dédions ce modeste travail à :
Nos chers parents.
Nos frères et soeures.
Nos grandes familles.
Et à tous ceux qui nous ont aidées et encouragées pour …nir ce travail.

Remerciements
Nous tenons, à exprimer notre reconnaissance et notre profonde gratitude à Monsieur MES-
SIRDI BACHIR, Maître de conférence au Département de Mathématiques à la Faculté des
Sciences de Tlemcen qui nous a, tout au long de ces travaux, conseillées, soutenues, le plus
souvent dirigées sans jamais rechigner de son temps combien précieux et ce après nous avoir
proposées ce judicieux thème de recherche.
De même que nous sommes obligées de la disponibilité, de la compétence ainsi que de la dévo-
tion avec lesquelles nos professeurs YEBEDRI MOUSTAFA, DIB MOHAMED et BOUGUIMA
ont exercé leur métier, nous enrichissant sans cesse et nous permettant de valoriser nos e¤orts
durant ce dernier semestre.

Table des Matières
I Introduction 7
1 Dé…nitions et préliminaires 12
1.0.1 Un outil indisponsable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.0.2 <<Résolution>> des équations di¤érentielles ............ 15
2 Problème de Cauchy général 16
2.0.3 Dé…nitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.0.4 .......................................... 17
2.0.5 Existence locale de solutions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.0.6 Unicité locale des solutions : ....................... 24
2.0.7 Application 1 (du lemme de Gronwall) ................ 27
2.1 Prolongement des solutions locales, solutions maximales : . . . . . . . . 30
2.1.1 Cas particulier des EDO linéaires ................... 31
2.1.2 Dépendance des solutions en fonction des conditions initiales: . . 33
2.1.3 Continuité en fonction des conditions intiales ............ 33
2.1.4 Dépendance des solutions en fonction des conditions initiales . . 34
2.1.5 Di¤érentiabilité en fonction des conditions initiales . . . . . . . . 37
3 EQUATIONS LINEAIRES 42
3.1 Existence globale ................................. 42
3.2 Résolvante ..................................... 45
4

3.2.1 Cas des équations linéaires autonomes ................ 48
3.2.2 ................................. 49
3.2.3 Cas des équations linéaires en dimension …nie ............ 49
3.3 Formule de Duhamel ................................ 51
3.4 Equations linéaires autonomes ......................... 52
3.4.1 Dimension …nie ............................... 52
3.4.2 Dimension in…nie .............................. 58
3.5 Equations di¤érentielles linéaires à coe¢ cients périodiques . . . . . . 63
4 EQUATIONS AUTONOMES 68
4.1 Champs de vecteurs ................................ 68
4.2 Flot .......................................... 72
4.2.1 Orbites ..................................... 72
4.2.2 Redressement du ‡ot ............................ 73
4.3 Portrait de phases ................................. 76
4.4 ......................................... 77
4.5 Ensemble !limite ................................ 79
4.5.1 Propriétés générales ........................... 79
4.5.2 Equations dans le plan ......................... 82
5 STABILITE DES SOLUTIONS STATIONNAIRES 85
5.1 Théorie de Lyapunov ................................ 85
5.2 Points …xes hyperboliques ............................ 94
5.3 Variétés invariantes ................................. 97
5.4 Introduction aux bifurcations . . . . . . . . . 101
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