ENTRAINEMENT 2 Étude d`un lieu géométrique et utilisation

ENTRAINEMENT 2
Étude d'un lieu géométrique et utilisation des nombres complexes - Correction
On considère un cercle (C) de diamètre [AB] , de centre O.
Soit M un point de (C) ; on construit les carrés directs MANP et MQRB, et on note S le milieu de [PQ].
On se propose d'étudier le lieu géométrique du point S lorsque M décrit le cercle (C).
Partie A – Figure et conjectures
On appelle E le point image de A par le quart de tour direct de centre O.
Cas 1 : M appartient au grand arc d'extrémités E et B.
Cas 2 : M appartient au petit arc d'extrémités E et B.
Conjectures :
•le lieu de S est le cercle de centre E et de même rayon que le cercle (C) ;
•la droite (NR) passe par le point E.
Partie B – Démonstration géométrique
1. Une diagonale d'un carré est aussi bissectrice des angles ; le triangle AMB est rectangle en M, car
M appartient au cercle de diamètre [AB].
Cas 1 :
AMN= AMR
, donc M, N et R sont alignés.
Cas 2 :
RMB= AMN=45°
et
AMB=90 °
, donc en ajoutant :
RMN=180 °
, donc les
points R, M et N sont alignés.
2. Par les mêmes arguments qu'à la question précédente :
dans le cas 1,
EMB=45°
; on a donc
EMB= RMB
, ce qui entraîne que E, R et M sont
alignés, c'est-à-dire que E appartient à la droite (MR) (qui est aussi la droite (NR) ).
dans le cas 2,
EMB=45°90 °=135°
; on a donc
EMB= NMB
, ce qui entraîne que E, N
et M sont alignés, c'est-à-dire que E appartient à la droite (MN) (qui est aussi la droite (NR) ).
On a donc prouvé la seconde conjecture : la droite (NR) passe par le point E.
3. D'après les propriétés des carrés, la symétrie axiale s d'axe (NR) transforme A en P et B en Q.
s conserve le milieu, donc l'image par s du milieu de [AB] est le milieu de [PQ], soit : s(O)= S.
Puisque O et S sont symétriques par rapport à la droite (NR), cette droite (NR) est la médiatrice

de [OS], donc tout point de cette droite est équidistant de O et de S, donc EO = ES.
On en déduit que S appartient au cercle de centre E et de même rayon que le cercle (C).
Le quadrilatère OMSE est un losange car ses quatre côtés ont la même longueur.
Donc
MS= OE
et S est l'image de M par la translation t de vecteur
OE
.
M décrit le cercle (C) privé des points A et B (car si M est confondu avec A ou B, les carrés
n'existent pas), donc S décrit l'image par t du cercle (C) privée des points A' = t(A) et B' = t(B) ;
Finalement, le lieu de S est le cercle de centre E et de même rayon que (C), privé des points
A' et B'.
Partie C – Démonstration utilisant les complexes
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct d'origine O tel que l'affixe de A soit 1.
1. On a OA = 1, donc (C) est le cercle de centre O et de rayon 1, donc OM =
∣zM ∣
=1.
zM
est un complexe de module 1, donc il existe un réel
tel que :
zM=ei
.
2. O est l'origine du repère et
zA=1
, donc
zB=−1
.
En utilisant des quarts de tour, on obtient :
zN=−i eii1
;
zP=i−i eiei
;
zQ=iieiei
;
zR=i eii−1
;
zE=i
zS=zPzQ
2=iei
.
Le vecteur
MN
a pour affixe
Z1=zN−zM=−i eii1−ei=1i1−ei
.
Le vecteur
MR
a pour affixe
Z2=zR−zM=i eii−1−ei=i−11ei
.
Pour montrer que M, N et R sont alignés, on montre que les vecteurs
MN
et
MR
sont
colinéaires, c'est-à-dire que le quotient de leurs affixes est réel.
Z1
Z2
=1i1−ei
i−11ei
.
On transforme ce quotient en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du
dénominateur ; le nouveau dénominateur est le carré du module du dénominateur initial, donc un
réel.
Pour montrer que le quotient est réel, il suffit donc de montrer que le nouveau numérateur n est
réel ; le conjugué de
ei
est
e−i
.
n=1i1−ei−i−11e−i=−1i21e−i−ei−1
n=−12 i−1cos−i sin −cos −i sin =−2 i×−2 i sin =−4sin 
Donc n est réel ; le quotient
Z1
Z2
des affixes de
MN
et
MR
est réel, ces deux vecteurs sont
colinéaires, ce qui entraîne que les points M, N et R sont alignés.
Le vecteur
NR
a pour affixe
zR−zN=2 i ei−2
.
Le vecteur
NE
a pour affixe
zE−zN=iei−1
.
On en déduit que
NR=2 NE
; N, R et E sont alignés, la droite (NR) passe par E.
De manière plus précise : E est le milieu de [NR].
ES =
∣zS−zE∣=∣iei−i∣=∣ei∣=1
, donc S appartient bien au cercle de centre E et de rayon 1
(rayon du cercle (C) ).