Groupes, morphismes de groupes, sous

UE2 Groupes et Géométrie
2016-2017
Université de Nice
Groupes, morphismes de groupes,
sous-groupes distingués et groupes quotients
Exercice 1 Ordre d’un élément/ Groupe diédral, exo 1 p. 27 D-F
Calculer l’orde de tous les éléments des groupes :
1. D6
2. D8
Exercice 2 Sous-groupes cycliques/ Groupe diédral, exo 11 p. 60 D-F
Trouver tous les sous-groupes cycliques de D8 . Trouver un sous-groupe propre de D8 qui n’est
pas cyclique.
Exercice 3 Ordre d’un élément/ Groupe diédral, exo 3 p. 27 D-F
Utiliser les générateurs et les relations de la présentation D2n =< r, s | rn = s2 = 1, rs = sr−1 >
pour montrer que chaque élément de D2n qui n’est pas une puissance de r est d’ordre 2. En
déduire que D2n est engendré par les deux éléments s et sr, tous les deux d’ordre 2.
Exercice 4 Groupes de matrices/ Ordre d’un élément, exo 1 et 2 p. 35 D-F
1. Soit F2 le corps fini de deux éléments. Montrer que l’ordre de GL2 (F2 ) est égal à 6.
2. Dresser les éléments de GL2 (F2 ) et calculer l’ordre de chaque élément.
Exercice 5 Groupes de matrices/
Ordre
exo


 d’un élément,
 1 a b



0 1 c
Soit F un corps et H(F ) =
| a, b, c ∈ F le groupe


0 0 1



1 a b
1 d e



0 1 c
0 1 f
X=
et Y =
0 0 1
0 0 1
11 p. 35 D-F
de Heisenberg de F . Soit


des éléments de H(F ).
1. Calculer le produit XY et en déduire que H(F ) est fermé sous la multiplication de matrices. Montrer que H(F ) n’est pas abélien.
2. Donner une formule pour l’inverse X −1 et en déduire que H(F ) est fermé sous l’inverse.
3. Montrer que H(F ) est un groupe d’ordre |F |3 .
4. Trouver l’ordre de chaque élément du groupe H(Z/2Z).
5. Montrer que chaque élément non-trivial de H(R) est d’ordre infini.
Exercice 6 Groupes de matrices/ Ordre d’un élément, cfr. exemple p. 64 D-F
Soit G le groupe SL2 (Z). Montrer que
0 −1
0
1
X=
et Y =
1 0
−1 −1
sont d’ordre fini mais pas XY .
Exercice 7 Groupes de matrices/ Groupe diédral/ Morphismes, exo 25 p. 41 D-F
Soit n ∈ N∗ , soient r et s les générateurs usuels de D2n et soit θ = 2π/n. Montrer que
l’application ϕ : D2n 7→ GL2 (R) définie sur les générateurs par
cos(θ) −sin(θ)
0 1
ϕ(r) =
et ϕ(s) =
1 0
sin(θ) cos(θ)
définit un morphisme injectif de D2n dans GL2 (R).
Exercice 8 Groupes de matrices/ Groupe des quaternions/ Morphismes, exo 26 p.
41 D-F
Soient i et j les générateurs usuels de Q8 . Montrer que l’application ϕ : Q8 7→ GL2 (C) définie
sur les générateurs par
√
−1
0
0 −1
√
et ϕ(j) =
ϕ(i) =
1 0
0
− −1
définit un morphisme injectif de Q8 dans GL2 (C).
Exercice 9 Morphismes, exo 19 p. 60 D-F
a) Pour tout groupe G, montrer que l’on a une bijection entre les groupes Homgp (Z, G) et
G. Lorsque G est abélien, montrer qu’il s’agit d’un isomorphisme de groupes.
b) Déterminer les ensembles de morphismes suivants :
Homgp (Z/n, Z),
Homgp (Z/n, Z/n),
Aut(Z/n),
Homgp (Z/n, Z/m).
Plus généralement, expliciter une bijection entre Homgp (Z/n, G) et l’ensemble des éléments de G d’ordre divisant n.
Exercice 10 Morphismes de réduction
a) Soit d un diviseur de n. Montrer que le morphisme de réduction
Z/n → Z/d
x mod n 7→ x mod d
est bien défini et surjectif. Quel est son noyau ?
b) Si m et n sont deux entiers premiers entre eux, montrer que le morphisme de réduction
Z/mn → Z/m × Z/n est un isomorphisme ( lemme chinois).
c) Quel est le noyau du morphisme de réduction Z/mn → Z/m × Z/n? Montrer que son
image est isomorphe à Z/ppcm(m, n).
Montrer qu’un élément (x mod m, y mod n) est dans son image ssi l’on a
x≡y
d) Résoudre dans Z :
(
x ≡ 1 [7]
x ≡ 3 [5]
,
mod pgcd(n, m).
(
x ≡ 1 [45]
x ≡ 3 [6]
,
(
x ≡ 4 [45]
x ≡ 1 [6]
e) Les groupes Z/mn et Z/n × Z/m sont-ils isomorphes si m et n ne sont pas premiers
entre eux ?
Exercice 11 Sous-groupes finis, sous-groupes de type fini
a) Montrer que les sous-groupes finis de C∗ sont cycliques.
b) Quels sont les sous-groupes finis de R∗ ?
c)
1. Montrer qu’un sous-groupe de (Q, +) engendré par un nombre fini d’éléments est
monogène.
2. Soit p un nombre premier. Montrer que
na
o
Z(p) :=
, a ∈ Z et b premier à p
b
( "Z localisé en p")
est un sous-groupe de (Q, +) qui n’est pas de type fini.
Exercice 12 Indice, exo 11 p. 96 D-F
Soit H 6 K 6 G. Montrer que
|G : H| = |G : K| · |K : H| .
Exercice 13 Indice
Soit H un groupe et H0 et G des sous-groupes de H, tel que H0 est d’indice fini dans H. Montrer
que
|G : G ∩ H0 | 6 |H : H0 | .
Exercice 14 Sous-groupes/ Sous-groupes distingués, exo 5 p. 95 D-F
Soit H un sous-groupe de G et soit g ∈ G.
a) Montrer que gHg −1 est un sous-groupe de G du même ordre que H.
b) En déduire que si H est le seul sous-groupe de G d’ordre n (n ∈ N∗ ), alors H est
distingué dans G.
Exercice 15 Sous-groupes distingués, exo 25 p. 88
Soit G = GL2 (Q). Soit N le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de coefficients
entiers et avec des 1 sur la diagonale. Soit g la matrice diagonale avec coefficients 2,1. Montrer
que gN g −1 ⊂ N mais g ne normalise pas N .
Exercice 16 Sous-groupes distingués/ isomorphismes
Soient H1 ⊂ G1 et H2 ⊂ G2 des groupes.
a) On suppose H1 et H2 distingués. Montrer que H1 × H2 est distingué dans G1 × G2 et
que l’on a un isomorphisme de groupes (G1 × G2 )/(H1 × H2 ) ∼
= G1 /H1 × G2 /H2 .
b) On suppose que H1 est distingué et qu’il existe un isomorphisme ϕ : G1 → G2 tel que
H2 = ϕ(H1 ). Montrer qu’on a alors des isomorphismes H1 ∼
= H2 et G1 /H1 ∼
= G2 /H2 .
c) On suppose que G1 et G2 sont isomorphes et que H1 et H2 sont isomorphes et distingués.
Les groupes G1 /H1 et G2 /H2 sont-ils nécessairement isomorphes ?
Exercice 17 Groupes quotients, exo 36 p. 89, exo 4 p. 95 D-F
a) Soit G un groupe, Z(G) son centre. On suppose que G/Z(G) est cyclique. Montrer que
G est abélien.
Donner un exemple de groupes H C G avec H et G/H commutatifs mais pas G.
b) Montrer que si |G| = pq, pour p et q des nombres premiers, alors G est abélien ou
Z(G) = 1.
Exercice 18 Sous-groupes distingués/ Groupes quotients
Pour les exemples suivants, vérifier que H est distingué dans G et déterminer les quotients :
a)
b)
c)
d)
G = GLn (k), H = SLn (k) (pour k un corps)
G = On (R), H = SOn (R)
G = Z/2 × Z/4, H = h(0, 2)i (resp. H = h(1, 2)i, resp. H = h(1, 1)i)
G = H8 (les quaternions) et H = h−1i (resp. H = hii)
Exercice 19 Normalisateur, exo 31 p. 88 D-F
Soient G un groupe et H un sous-groupe.
a) Montrer que H est distingué dans NG (H).
b) Montrer que NG (H) est le plus grand sous-groupe de G dans lequel H est distingué.
Exercice 20 Sous-groupes distingués/ Groupes quotients/ Groupe diédral
On note D2n le n-ème groupe diédral. Soit H un sous-groupe strict distingué de D2n .
a) Montrer que si n est impair alors H est un sous-groupe du groupe des rotations. Déterminer les H possibles.
b) Si n est pair, montrer que D2n admet deux sous-groupes distingués isomorphes à D2 n2
et que ce sont les seuls H possibles qui contiennent une symétrie.
c) Déterminer les quotients de D2n .
Exercice 21 Groupe diédral, exo 7 p. 52 D-F
Soit n ∈ Z et n > 3. Montrer que :
1. Z(D2n ) = {1}, si n est impair
2. Z(D2n ) = {1, rk }, si n = 2k.
Exercice 22 Abélianisé, exo 41 p. 89, Prop. 7 p. 169, Ex. (3) p. 171 D-F
Soit G un groupe fini. On note le groupe dérivé D(G) le sous-groupe de G engendré par les
commutateurs (c’est-à-dire les éléments de la forme ghg −1 h−1 , g, h ∈ G).
a) Monter que D(G) est un sous-groupe distingué de G.
b) Montrer que le quotient G/D(G) est abélien.
c) Montrer que G/D(G) est le plus gros quotient abélien de G au sens que si H C G et
G/H est abélien, alors D(G) 6 H.
d) Montrer que si D(G) 6 H, alors H C G et G/H est abélien.
e) Soit ϕ : G → A un morphisme dans un groupe abélien A. Montrer que ϕ se factorise
par la projection canonique G → G/D(G).
f ) G/D(G) s’appelle l’abélianisé de G et se note parfois Gab . Calculer l’abélianisé du groupe
diédral D2n .
Exercice 23 Groupes quotients/ Ordre d’un élément/ Isomorphismes, exo 14 p. 86,
ex. 21 p. 96 D-F
On considère le groupe additif Q/Z.
a) Montrer que chaque classe à gauche de Z dans Q contient exactement un représentatif
q ∈ Q avec 0 6 q < 1.
b) Montrer que chaque élément de Q/Z est d’ordre fini mais qu’il existe des éléments
d’orde arbitrairement grand.
c) Montrer que Q/Z est le groupe de torsion de R/Z.
d) Montrer que Q/Z est isomorphe au groupe multiplicatif des racines d’unité de C∗ .
e) Montrer que Q/Z n’a pas de sous-groupe propre d’indice fini.