Groupes, morphismes de groupes, sous

UE2 Groupes et Géométrie Université de Nice
2016-2017
Groupes, morphismes de groupes,
sous-groupes distingués et groupes quotients
Exercice 1 Ordre d’un élément/ Groupe diédral, exo 1 p. 27 D-F
Calculer l’orde de tous les éléments des groupes :
1. D6
2. D8
Exercice 2 Sous-groupes cycliques/ Groupe diédral, exo 11 p. 60 D-F
Trouver tous les sous-groupes cycliques de D8. Trouver un sous-groupe propre de D8qui n’est
pas cyclique.
Exercice 3 Ordre d’un élément/ Groupe diédral, exo 3 p. 27 D-F
Utiliser les générateurs et les relations de la présentation D2n=< r, s |rn=s2= 1, rs =sr−1>
pour montrer que chaque élément de D2nqui n’est pas une puissance de rest d’ordre 2. En
déduire que D2nest engendré par les deux éléments set sr, tous les deux d’ordre 2.
Exercice 4 Groupes de matrices/ Ordre d’un élément, exo 1 et 2 p. 35 D-F
1. Soit F2le corps fini de deux éléments. Montrer que l’ordre de GL2(F2)est égal à 6.
2. Dresser les éléments de GL2(F2)et calculer l’ordre de chaque élément.
Exercice 5 Groupes de matrices/ Ordre d’un élément, exo 11 p. 35 D-F
Soit Fun corps et H(F) = 
1a b
0 1 c
0 0 1 
|a, b, c ∈F
le groupe de Heisenberg de F. Soit
X=
1a b
0 1 c
0 0 1 
et Y=
1d e
0 1 f
0 0 1 
des éléments de H(F).
1. Calculer le produit XY et en déduire que H(F)est fermé sous la multiplication de ma-
trices. Montrer que H(F)n’est pas abélien.
2. Donner une formule pour l’inverse X−1et en déduire que H(F)est fermé sous l’inverse.
3. Montrer que H(F)est un groupe d’ordre |F|3.
4. Trouver l’ordre de chaque élément du groupe H(Z/2Z).
5. Montrer que chaque élément non-trivial de H(R)est d’ordre infini.
Exercice 6 Groupes de matrices/ Ordre d’un élément, cfr. exemple p. 64 D-F
Soit Gle groupe SL2(Z). Montrer que
X=0−1
1 0 et Y=0 1 −1−1
sont d’ordre fini mais pas XY .

Exercice 7 Groupes de matrices/ Groupe diédral/ Morphismes, exo 25 p. 41 D-F
Soit n∈N∗, soient ret sles générateurs usuels de D2net soit θ= 2π/n. Montrer que
l’application ϕ:D2n7→ GL2(R)définie sur les générateurs par
ϕ(r) = cos(θ)−sin(θ)
sin(θ)cos(θ)et ϕ(s) = 0 1
1 0 
définit un morphisme injectif de D2ndans GL2(R).
Exercice 8 Groupes de matrices/ Groupe des quaternions/ Morphismes, exo 26 p.
41 D-F
Soient iet jles générateurs usuels de Q8. Montrer que l’application ϕ:Q87→ GL2(C)définie
sur les générateurs par
ϕ(i) = √−1 0
0−√−1et ϕ(j) = 0−1
1 0 
définit un morphisme injectif de Q8dans GL2(C).
Exercice 9 Morphismes, exo 19 p. 60 D-F
a) Pour tout groupe G, montrer que l’on a une bijection entre les groupes Homgp(Z, G)et
G. Lorsque Gest abélien, montrer qu’il s’agit d’un isomorphisme de groupes.
b) Déterminer les ensembles de morphismes suivants :
Homgp(Z/n, Z),Homgp(Z/n, Z/n),Aut(Z/n),Homgp(Z/n, Z/m).
Plus généralement, expliciter une bijection entre Homgp(Z/n, G)et l’ensemble des élé-
ments de Gd’ordre divisant n.
Exercice 10 Morphismes de réduction
a) Soit dun diviseur de n. Montrer que le morphisme de réduction
Z/n →Z/d
xmod n7→ xmod d
est bien défini et surjectif. Quel est son noyau ?
b) Si met nsont deux entiers premiers entre eux, montrer que le morphisme de réduction
Z/mn →Z/m ×Z/n est un isomorphisme ( lemme chinois).
c) Quel est le noyau du morphisme de réduction Z/mn →Z/m ×Z/n?Montrer que son
image est isomorphe à Z/ppcm(m, n).
Montrer qu’un élément (xmod m, y mod n)est dans son image ssi l’on a
x≡ymod pgcd(n, m).
d) Résoudre dans Z:
(x≡1 [7]
x≡3 [5] ,(x≡1 [45] x≡3 [6] ,(x≡4 [45] x≡1 [6]
e) Les groupes Z/mn et Z/n ×Z/m sont-ils isomorphes si met nne sont pas premiers
entre eux ?

Exercice 11 Sous-groupes finis, sous-groupes de type fini
a) Montrer que les sous-groupes finis de C∗sont cycliques.
b) Quels sont les sous-groupes finis de R∗?
c) 1. Montrer qu’un sous-groupe de (Q,+) engendré par un nombre fini d’éléments est
monogène.
2. Soit pun nombre premier. Montrer que
Z(p):= na
b, a ∈Zet bpremier à po("Zlocalisé en p")
est un sous-groupe de (Q,+) qui n’est pas de type fini.
Exercice 12 Indice, exo 11 p. 96 D-F
Soit H6K6G. Montrer que
|G:H|=|G:K|·|K:H|.
Exercice 13 Indice
Soit Hun groupe et H0et Gdes sous-groupes de H, tel que H0est d’indice fini dans H. Montrer
que
|G:G∩H0|6|H:H0|.
Exercice 14 Sous-groupes/ Sous-groupes distingués, exo 5 p. 95 D-F
Soit Hun sous-groupe de Get soit g∈G.
a) Montrer que gHg−1est un sous-groupe de Gdu même ordre que H.
b) En déduire que si Hest le seul sous-groupe de Gd’ordre n(n∈N∗), alors Hest
distingué dans G.
Exercice 15 Sous-groupes distingués, exo 25 p. 88
Soit G=GL2(Q). Soit Nle sous-groupe des matrices triangulaires supérieures de coefficients
entiers et avec des 1 sur la diagonale. Soit gla matrice diagonale avec coefficients 2,1. Montrer
que gNg−1⊂Nmais gne normalise pas N.
Exercice 16 Sous-groupes distingués/ isomorphismes
Soient H1⊂G1et H2⊂G2des groupes.
a) On suppose H1et H2distingués. Montrer que H1×H2est distingué dans G1×G2et
que l’on a un isomorphisme de groupes (G1×G2)/(H1×H2)∼
=G1/H1×G2/H2.
b) On suppose que H1est distingué et qu’il existe un isomorphisme ϕ:G1→G2tel que
H2=ϕ(H1). Montrer qu’on a alors des isomorphismes H1∼
=H2et G1/H1∼ =G2/H2.
c) On suppose que G1et G2sont isomorphes et que H1et H2sont isomorphes et distingués.
Les groupes G1/H1et G2/H2sont-ils nécessairement isomorphes ?
Exercice 17 Groupes quotients, exo 36 p. 89, exo 4 p. 95 D-F
a) Soit Gun groupe, Z(G)son centre. On suppose que G/Z(G)est cyclique. Montrer que
Gest abélien.
Donner un exemple de groupes HCGavec Het G/H commutatifs mais pas G.
b) Montrer que si |G|=pq, pour pet qdes nombres premiers, alors Gest abélien ou
Z(G) = 1.

Exercice 18 Sous-groupes distingués/ Groupes quotients
Pour les exemples suivants, vérifier que Hest distingué dans Get déterminer les quotients :
a) G= GLn(k),H= SLn(k)(pour kun corps)
b) G= On(R),H= SOn(R)
c) G=Z/2×Z/4,H=h(0,2)i(resp. H=h(1,2)i, resp. H=h(1,1)i)
d) G= H8(les quaternions) et H=h−1i(resp. H=hii)
Exercice 19 Normalisateur, exo 31 p. 88 D-F
Soient Gun groupe et Hun sous-groupe.
a) Montrer que Hest distingué dans NG(H).
b) Montrer que NG(H)est le plus grand sous-groupe de Gdans lequel Hest distingué.
Exercice 20 Sous-groupes distingués/ Groupes quotients/ Groupe diédral
On note D2nle n-ème groupe diédral. Soit Hun sous-groupe strict distingué de D2n.
a) Montrer que si nest impair alors Hest un sous-groupe du groupe des rotations. Dé-
terminer les Hpossibles.
b) Si nest pair, montrer que D2nadmet deux sous-groupes distingués isomorphes à D2n
2
et que ce sont les seuls Hpossibles qui contiennent une symétrie.
c) Déterminer les quotients de D2n.
Exercice 21 Groupe diédral, exo 7 p. 52 D-F
Soit n∈Zet n>3. Montrer que :
1. Z(D2n) = {1}, si nest impair
2. Z(D2n) = {1, rk}, si n= 2k.
Exercice 22 Abélianisé, exo 41 p. 89, Prop. 7 p. 169, Ex. (3) p. 171 D-F
Soit Gun groupe fini. On note le groupe dérivé D(G)le sous-groupe de Gengendré par les
commutateurs (c’est-à-dire les éléments de la forme ghg−1h−1,g, h ∈G).
a) Monter que D(G)est un sous-groupe distingué de G.
b) Montrer que le quotient G/D(G)est abélien.
c) Montrer que G/D(G)est le plus gros quotient abélien de Gau sens que si HCGet
G/H est abélien, alors D(G)6H.
d) Montrer que si D(G)6H, alors HCGet G/H est abélien.
e) Soit ϕ:G→Aun morphisme dans un groupe abélien A. Montrer que ϕse factorise
par la projection canonique G→G/D(G).
f) G/D(G)s’appelle l’abélianisé de Get se note parfois Gab. Calculer l’abélianisé du groupe
diédral D2n.
Exercice 23 Groupes quotients/ Ordre d’un élément/ Isomorphismes, exo 14 p. 86,
ex. 21 p. 96 D-F
On considère le groupe additif Q/Z.
a) Montrer que chaque classe à gauche de Zdans Qcontient exactement un représentatif
q∈Qavec 06q < 1.
b) Montrer que chaque élément de Q/Zest d’ordre fini mais qu’il existe des éléments
d’orde arbitrairement grand.
c) Montrer que Q/Zest le groupe de torsion de R/Z.
d) Montrer que Q/Zest isomorphe au groupe multiplicatif des racines d’unité de C∗.
e) Montrer que Q/Zn’a pas de sous-groupe propre d’indice fini.