Espace

3ème Chapitre G3
I)
ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES
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Sphère et boule :
1) Définitions :
Df : La sphère ( S ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les
points de l’espace dont la distance à O est égale à r.
Si M  ( S ) alors OM = r
Si OM = r alors M  ( S )
Df : La boule ( B ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les
points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à r.
Si M  ( B ) alors OM  r
Si OM  r alors M  ( B )
B
F
Sur la figure ci-contre :
OM = r
OF < r
A
M
r
O
donc
donc
M  ( B ) et M  ( S )
F  ( B ) et F  ( S )
OB > r donc B  ( B ) et B  ( S )
OA = r donc A  ( B ) et A  ( S )
OO = 0 < r , donc O  ( B ) et O  ( S )
2) Aire et volume d’une boule ou sphère.
Soit une sphère de rayon r
Formules :
Asphère = 4  r ²
et
Vsphère =
4
 r3
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3) Section par un plan.
Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan passant par le centre
O, on obtient un cercle ( un disque ) de même rayon que celui de la terre.
Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan ne passant pas par le
centre O, on obtient un cercle ( un disque ) de rayon inférieur à celui de la
terre.
N
O'
G
M
A
r
O
H
S
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4) Sphère terrestre .
a) Vocabulaire.
La terre peut être considérée comme une sphère d’environ 6370 km de
rayon.
N
K
O'
G
P
M
r
H
O
A
S
Df : L’équateur est un cercle imaginaire, contenu dans le plan
perpendiculaire à l’axe des pôles et dont le centre et le rayon sont ceux de
la terre.
Sur la figure ci-dessus, l’équateur est le cercle de centre O passant par M,
H et A.
La longueur de l’équateur peut donc se calculer en utilisant la formule de
la longueur d’un cercle :
Léquateur = 2  r = 2    6370 = 12740   40 023 km  40 000 km
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Df : Un méridien est un demi - cercle imaginaire contenu dans un plan
perpendiculaire à celui de l’équateur, ayant pour origine et extrémité les
pôles, dont le centre et le rayon sont ceux de la terre.
La longueur d’un méridien est donc égale à la moitié de celle de
40023
l’équateur : Lméridien =
 20011  20000 km
2
Df : Un parallèle est un cercle imaginaire, contenu dans un plan parallèle
à celui de l’équateur, dont le centre est celui de la terre, et le rayon
inférieur à celui de la terre.
Sur la figure ci-dessus, le parallèle à l’équateur dessiné est le cercle de
centre O’ passant par K, G et P.
Pour calculer la longueur d’un parallèle, il faut calculer son rayon en
utilisant soit le théorème de Pythagore, soit la trigonométrie dans un
triangle rectangle que l’on précisera.
! Remarque : Sur la figure ci-dessus, le rayon de la terre apparaît
souvent : OM = OK = OH = OA = OG = OP = ON = OS = r
b) Coordonnées géographiques d’un point situé à la surface de la terre.
 Repère géographique.
On a imaginé de considérer un repère avec deux axes perpendiculaires,
« plaqués » sur la surface de la terre. Ces axes deviennent alors des
courbes :
L’axe des abscisses correspond à l’équateur, c’est à dire un cercle qui
décrit des angles de sommet O de 180 ° vers l’ouest et 180° vers l’est.
L’axe des ordonnées correspond à un méridien particulier appelé le
méridien « origine ». C’est celui qui passe par la ville de Greenwitch en
Angleterre. C’est donc un demi-cercle qui décrit des angles de sommet O
de 90° vers le sud et 90° vers le nord.
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 Coordonnées géographiques.
La longitude d’un point correspond à son abscisse.
On la lit sur l’équateur , partagé en arcs de cercle correspondant à des
angles de 1 °. L’unité est donc le degré.
La longitude d’un point va de 180 ° ouest à 180° est.
La latitude d’un point correspond à son ordonnée.
On la lit sur le méridien de Greenwitch partagé en arcs de cercle
correspondant à des angles de 1°. L’unité est donc le degré.
La latitude d’un point va de 90° nord à 90° sud.
! Remarque :
Moyen mnémotechnique : La longitude se lit le long de l’équateur qui
plus long que le méridien.( L’équateur est un cercle et le méridien un
demi-cercle.)
II)
Section de solides autres que la sphère.
1) Solides vus dans les classes antérieures.
G
B
F
H
F
I
A
O
J
A
E
E
B
D
C
NATURE DU SOLIDE : prisme droit pentagonal
NATURE DU SOLIDE : cylindre de révolution
NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET
PARALL7LES ) :
2
NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET
PARALLELES ) :
2
NATURE DES BASES : pentagones
NATURE DES BASES : disques
NOMBRE DE FACES LATERALES : 5
NATURE DES FACES LATERALES : rectangles
Le cylindre est créé ( généré par un rectangle en
rotation autour d’un de ses côtés [BO]
Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases
GENERATRICE DU CYLINDRE : [ BO ]
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S
O
F
I
A
H
S
B
E
G
F
NATURE DU SOLIDE : cône de révolution
NATURE DU SOLIDE : pyramide régulière à base
hexagonale.
NOMBRE DE BASES : 1
NOMBRE DE BASES : 1
NATURE DE LA BASE : disque
SOMMET : S
SOMMET : S
NATURE DES BASES : hexagone
Le cône est créé ( généré par le triangle rectangle
FOS en rotation autour d’un de des côtés de son
angle droit [SO]
GENERATRICE DU CÖNE : [ FS ]
NOMBRE DE FACES LATERALES : 6
NATURE DES FACES LATERALES : triangles
isocèles
! Remarque : Le cube et le pavé droit sont des prismes droits.
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2) Section d’un solide par un plan.
G
B
J
A
G
B
F
K
H
C
I
HO
D
E
K
E
S
F
O
R
I
F
A
H
G
B
E
P
R
F
S
a) Section par un plan parallèle à la base.
Prop : Si on coupe un prisme ou un cylindre par un plan parallèle à
la base, on obtient une figure identique à la base.
Prop : Si on coupe une pyramide ou un cône par un plan parallèle à
la base, on obtient une figure de la même nature que la base, mais
réduite. ( Le coefficient de réduction est donné par la propriété de
Thalès )
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b) Section d’un prisme par un plan parallèle aux arêtes latérales.
Prop : Si on coupe un prisme par un plan parallèle à ses arêtes
latérales, on obtient un rectangle.
c) Section d’un cylindre par un plan parallèle à l’axe de rotation .
Prop : Si on coupe un cylindre par un plan parallèle à son axe, on
obtient un rectangle.
3) Agrandissement et réduction.
Sur les figures 3 et 4, la section de pyramide et de cône par un plan
parallèle à la base est une figure de même nature que la base mais réduite.
Pour trouver le coefficient de réduction, on utilise le théorème de thalès.
Dans la figure 4 : Le coefficient de réduction k ( <1 ) est donné par le
SP
SR
O
rapport
ou
SO
SF
On peut ainsi calculer le rayon du petit cône,
connaissant celui du grand.
F
P
Le grand rayon est multiplié par k, alors le grand
disque de base est multiplié par k² et le grand cône est
multiplié par k3 .
R
S
Prop : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k,
 Les longueurs sont multipliées par k
 Les aires sont multipliées par k²
 Les volumes sont multipliés par k3.
! Remarque : Dans un agrandissement, le rapport k est supérieur à 1
Dans une réduction, le rapport k est inférieur à 1.
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