Espace

3ème Chapitre G3 ESPACE : SPHERE ET SECTIONS DE SOLIDES
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I) Sphère et boule :
1) Définitions :
Df : La sphère ( S ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les
points de l’espace dont la distance à O est égale à r.
Si M ( S ) alors OM = r
Si OM = r alors M ( S )
Df : La boule ( B ) de centre O et de rayon r est l’ensemble de tous les
points de l’espace dont la distance à O est inférieure ou égale à r.
Si M ( B ) alors OM r
Si OM r alors M ( B )
2) Aire et volume d’une boule ou sphère.
Soit une sphère de rayon r
Formules : Asphère = 4  r ² et Vsphère = 4
3  r 3
Sur la figure ci-contre :
OM = r donc M  ( B ) et M  ( S )
OF < r donc F  ( B ) et F  ( S )
OB > r donc B  ( B ) et B  ( S )
OA = r donc A  ( B ) et A  ( S )
OO = 0 < r , donc O  ( B ) et O  ( S )
O
M
A
B
F
r

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3) Section par un plan.
Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan passant par le centre
O, on obtient un cercle ( un disque ) de même rayon que celui de la terre.
Prop : En coupant une sphère ( boule ) par un plan ne passant pas par le
centre O, on obtient un cercle ( un disque ) de rayon inférieur à celui de la
terre.
O
MA
r
N
S
O'
H
G

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4) Sphère terrestre .
a) Vocabulaire.
La terre peut être considérée comme une sphère d’environ 6370 km de
rayon.
Df : L’équateur est un cercle imaginaire, contenu dans le plan
perpendiculaire à l’axe des pôles et dont le centre et le rayon sont ceux de
la terre.
Sur la figure ci-dessus, l’équateur est le cercle de centre O passant par M,
H et A.
La longueur de l’équateur peut donc se calculer en utilisant la formule de
la longueur d’un cercle :
Léquateur = 2  r = 2 6370 = 12740  40 023 km 40 000 km
O
M
A
r
N
S
O'
H
G
K
P

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Df : Un méridien est un demi - cercle imaginaire contenu dans un plan
perpendiculaire à celui de l’équateur, ayant pour origine et extrémité les
pôles, dont le centre et le rayon sont ceux de la terre.
La longueur d’un méridien est donc égale à la moitié de celle de
l’équateur : Lméridien = 40023
2
20011 20000 km
Df : Un parallèle est un cercle imaginaire, contenu dans un plan parallèle
à celui de l’équateur, dont le centre est celui de la terre, et le rayon
inférieur à celui de la terre.
Sur la figure ci-dessus, le parallèle à l’équateur dessiné est le cercle de
centre O’ passant par K, G et P.
Pour calculer la longueur d’un parallèle, il faut calculer son rayon en
utilisant soit le théorème de Pythagore, soit la trigonométrie dans un
triangle rectangle que l’on précisera.
! Remarque : Sur la figure ci-dessus, le rayon de la terre apparaît
souvent : OM = OK = OH = OA = OG = OP = ON = OS = r
b) Coordonnées géographiques d’un point situé à la surface de la terre.
 Repère géographique.
On a imaginé de considérer un repère avec deux axes perpendiculaires,
« plaqués » sur la surface de la terre. Ces axes deviennent alors des
courbes :
L’axe des abscisses correspond à l’équateur, c’est à dire un cercle qui
décrit des angles de sommet O de 180 ° vers l’ouest et 180° vers l’est.
L’axe des ordonnées correspond à un méridien particulier appelé le
méridien « origine ». C’est celui qui passe par la ville de Greenwitch en
Angleterre. C’est donc un demi-cercle qui décrit des angles de sommet O
de 90° vers le sud et 90° vers le nord.

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 Coordonnées géographiques.
La longitude d’un point correspond à son abscisse.
On la lit sur l’équateur , partagé en arcs de cercle correspondant à des
angles de 1 °. L’unité est donc le degré.
La longitude d’un point va de 180 ° ouest à 180° est.
La latitude d’un point correspond à son ordonnée.
On la lit sur le méridien de Greenwitch partagé en arcs de cercle
correspondant à des angles de 1°. L’unité est donc le degré.
La latitude d’un point va de 90° nord à 90° sud.
! Remarque :
Moyen mnémotechnique : La longitude se lit le long de l’équateur qui
plus long que le méridien.( L’équateur est un cercle et le méridien un
demi-cercle.)
II) Section de solides autres que la sphère.
1) Solides vus dans les classes antérieures.
A
B
C
D
E
F
G
J
H
I
NATURE DU SOLIDE : prisme droit pentagonal
NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET
PARALL7LES ) : 2
NATURE DES BASES : pentagones
NOMBRE DE FACES LATERALES : 5
NATURE DES FACES LATERALES : rectangles
Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases
NATURE DU SOLIDE : cylindre de révolution
NOMBRE DE BASES ( IDENTIQUES ET
PARALLELES ) : 2
NATURE DES BASES : disques
Le cylindre est créé ( généré par un rectangle en
rotation autour d’un de ses côtés [BO]
GENERATRICE DU CYLINDRE : [ BO ]
A
O
B
E
F