Enoncé - Apmep

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Olympiades académiques - 2007
125
Soit d le diamètre d’une bouteille.
La hauteur de la pyramide est la hauteur d’un triangle équilatéral de côté
(n − 1)d augmenté de deux
√ rayons.
√
3
3
Donc h(d) = d + (n − 1)d
= 8, 4 × (1 + (n − 1)
).
2
2
h(20) = 146, 6 . . . cm et h(14) = 103 cm
Donc les nouvelles pyramides ne remplissent pas la condition imposée.
Exercice no 3 (séries autres que S et SI)
Enoncé
A-polygones réguliers étoilés
Dans tout cet exercice, on considère un cercle (C) de rayon 5 cm et on note A
un point de ce cercle.
Soit n un entier naturel tel que n > 5.
En partant de A, on partage ce cercle en n arcs de longueurs égales. Ces arcs
sont délimités par n points régulièrement répartis (dont fait partie A), qui décrivent un polygone régulier. Parmi les polygones qu’on peut former à l’aide de
ces n points le polygone convexe, est le seul dont les côtés ne se coupent pas.
Les autres sont dits « croisés ».
On considère dans toute la suite de l’exercice un polygone croisé
formé sur ces n points. On parcourt chacun de ses côtés dans le sens trigonométrique en partant de A. Le passage de chaque sommet au sommet suivant
parcourt un certain nombre d’arcs. Dans cet exercice, on s’intéresse au cas où le
nombre d’arcs parcourus est le même pour chaque côté, noté p. Un tel polygone
est appelé A-polygone régulier étoilé à n banches d’indice p et noté
P (n; p).
Ainsi, il existe seulement deux A-polygones réguliers étoilés à 7 branches :
126
Olympiades académiques - 2007
A
A
PA (7 , 2)
PA (7 , 3)
1. Combien y a-t-il de A-polygones réguliers étoilés à 5 branches ? Expliquer
soigneusement la réponse. Le(s) tracer avec des instruments de géométrie
adaptés.
2. Existe-t-il des A-polygones réguliers étoilés à 6 branches ?
3. Déterminer le nombre de A-polygones réguliers étoilés à 8 branches, à 33
branches, à 41 branches.
4. On suppose que n est un nombre premier et on appelle E(n) l’ensemble des
A-polygones réguliers étoilés à n branches. Quelle est la probabilité qu’un
polygone choisi au hasard dans E(n) ait un indice pair ?
Solution
1. L’indice p explicite complètement la construction en partant de A. Ainsi, à
chaque indice p possible correspond un unique A-polygone régulier étoilé.
Dans cette question n = 5. Or 2 6 p (car on veut que le polygone soit croisé)
et p < 5.
Il y a donc au plus ici 3 A-polygones réguliers étoilés à 5 branches correspondant aux cas p = 2 ; p = 3 et p = 4.
• Si p = 2, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivant AA1 A2 A3 A4 :
PA (5; 2)
A3
A1
A
A4
A2
• Si p = 3, alors on obtient le polygone régulier étoilé suivant AA01 A02 A03 A04 :
PA (5; 3)
Olympiades académiques - 2007
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A'2
A'4
A
A'1
A'3
Ce polygone est aussi AA04 A03 A02 A01 , et en faisant la correspondance, A1 ↔ A04 ;
A2 ↔ A03 ; A3 ↔ A02 et A4 ↔ A01 , on obtient le même A-polygone régulier
étoilé. Autrement dit PA (5; 3) n’est pas nouveau, c’est en réalité le polygone
PA (5; 2).
Plus généralement, en faisant un raisonnement analogue, on peut remarquer
que lorsqu’on parcourt le polygone dans le sens trigonométrique, le passage
d’un sommet au suivant ne peut pas excéder un demi-tour.
Ainsi, on ne considérera
³ n ´ désormais que les indices p tel que : 4 6 2p 6 n, soit
encore 2 6 p 6 E
2
• Le cas p = 4 n’est pas à envisager d’après l’étude précédente.
Conclusion : Il y a un seul A-polygone régulier étoilé à 5 branches : PA (5; 2).
On peut le construire en utilisant la règle et le compas uniquement, puisque
cela revient à déterminer les 5 sommets d’un pentagone régulier. On peut le
tracer en utilisant le rapporteur puisque l’angle au centre doit mesurer 72o .
2. Dans cette question, n = 6. D’après la question 1, on ne doit considérer que
les cas p = 2 et p = 3.
• Si p = 2, tous les sommets ne sont pas atteints : seuls trois d’entre eux le
6
sont (car = 3) et on obtient un triangle équilatéral AA1 A2 . Il n’existe donc
2
pas de A-polygone régulier étoilé à 6 branches d’indice 2.
A1
A
A2
128
Olympiades académiques - 2007
6
= 2), on obtient un diamètre
3
[AA1 ] du disque. Il n’existe donc pas de A-polygone étoilé à 6 branches d’indice
3.
• Si p = 3, seuls deux sommets sont atteints (car
A1
A
Conclusion : Il n’existe pas de A-polygone régulier étoilé à 6 branches.
3. Soit n un³ entier
naturel supérieur ou égal à 5 et p un entier tel que :
n´
2 6 p 6 E
. Les questions précédentes invitent à démontrer qu’un A2
polygone régulier étoilé à n branches d’indice p existe si et seulement si
PGCD (n; p) = 1.
On pose PGCD (n; p) = d, où d est un entier naturel. On a alors
np
PPCM(n; p) =
.
d
- Si d = 1, alors PPCM(n; p) = np donc quel que soit k ∈ N , 1 6 k 6 n − 1,
kp n’est pas un multiple de n puisqu’il est déjà multiple de p. Cela signifie que
quel que soit le sommet choisi au départ, il faudra bien tracer exactement n
cordes pour retrouver ce point. Donc PA (n; p) existe.
np
n
- Si d 6= 1, alors
étant un multiple de n, seuls
sommets seront atteints.
d
d
Or d 6= 1, donc il n’y a pas de A-polygone régulier étoilé correspondant.
Par suite, un A-polygone régulier étoilé à n branches d’indice
³ n ´ p existe si et
seulement si PGCD(n; p) = 1, où n > 5 et 2 6 p 6 E
. Dénombrer les
2
A-polygones réguliers étoilés à n branches d’indice p revient donc désormais
³n´ à
déterminer le nombre de p nombres étrangers à n vérifiant 2 6 p 6 E
.
2
µ ¶
8
= 4 : c’est
Il n’y a qu’un seul nombre étranger à 8 compris entre 2 et E
2
3.
Conclusion : Il y a donc un unique A-polygone régulier étoilé à 8 branches :
PA (8; 3).
µ ¶
33
= 16 sont : 2 ; 4 ; 5 ; 7 ;
Les nombres étrangers à 33 compris entre 2 et E
2
8 ; 10 ; 13 ; 14 ; 15 et 16.
Conclusion : Il y a donc 10 A-polygones réguliers étoilés à 33 branches.
Olympiades académiques - 2007
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41 étant un nombre premier, tous les nombres entiers
µ qui¶lui sont strictement
41
inférieurs lui sont également étrangers. Entre 2 et E
= 20, il y en a pré2
cisément 19.
Conclusion : Il y a donc 19 A-polygones réguliers étoilés à 41 branches.
4. Soit n un nombre premier. On appelle q(n) la probabilité de choisir un
polygone dans E(n) ayant un indice pair. Etant dans une situation d’équiprobabilité, nous allons d’abord déterminer le nombre d’éléments de³E(n).
Il s’agit
n´
(voir question 3) de dénombrer les entiers compris entre 2 et E
. Or n est
2
³n´ n − 1
premier et n > 5 donc n est impair. Par suite E
=
.
2
2
n−1
n−1
n−3
Entre 2 et
, il y a
−1 nombres entiers soit
indices p possibles.
2
2
2
n−3
Par suite Card E(n) =
2
On a choisi au hasard un polygone régulier étoilé dans
½
µ
¶¾
n−1
E(n) = PA (n; 2), PA (n; 3), . . . , PA n;
2
½
¾
n−1
Combien y a-t-il de nombres pairs dans l’ensemble N = 2, 3, . . . ,
?
2
n−1
On sait que n est impair. Il faut distinguer deux cas :
est impair ou
2
n−1
est pair.
2
n−1
• Si
est impair, alors cela signifie qu’il existe un entier k tel que :
2
n − 1 = 2(2k + 1) donc n = 4k + 3. Alors il y a autant de nombres pairs
1
que de nombres impairs donc q(n) = .
2
n−1
• Si
est pair, alors il existe un entier m tel que : n − 1 = 4m donc
2
n−1
n−1
soit encore 2 ×
.
n = 4m + 1. Le plus grand nombre pair de N est
2
4
n−1
Tous les nombres pairs de N sont donc de la forme 2k, avec 1 6 k 6
.
4
n−1
Par conséquent il y en a
4
et :
n−1
n−1
4
q(n) = n−3
soit enfin : q(n) =
.
2n
−6
2
Conclusion : Lorsque n est premier (n > 5)
130
Olympiades académiques - 2007
n−1
.
2n − 6
1
• Si n est de la forme 4k + 3, où k est un entier, alors q(n) = .
2
• si n est de la forme 4k + 1, où k est un entier, alors q(n) =
Exercice no 4 (séries autres que S et SI)
Enoncé
Dissection polygonale
Étant donné un polygone A, une dissection de A est l’action de découper A en
polygones plus petits et, dans la mesure du possible, de regrouper les morceaux
pour former un nouveau polygone B :
- sans que les morceaux ne se chevauchent
- sans retourner les morceaux (c’est-à-dire, en n’employant que des rotations et des translations).
Pour illustrer cette opération, on montre ci-dessous une dissection permettant
de passer d’un triangle équilatéral à un carré. Cette dissection ne sera pas
utilisée par la suite.
3
2
1
4
2
1
4
3
Remarque : par construction, le triangle et le carré de la figure ont la même
aire.
1. On montre ci-dessous la dissection d’un triangle équilatéral de côté 2 en un
rectangle dont un des côtés mesure 1, ainsi que la dissection d’un triangle
isocèle particulier T en le même rectangle.
a
c
b
a
b
c
d
1
2
2
1
3
3
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