Oscillations mécaniques forcées (4 Maths) Série physique n° : 14

Oscillations mécaniques forcées (4ème Maths)
Série physique n° : 14
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Cherchari
A- Exercices de synthèse :
Exercice 1:
Un système mécanique est formé par un solide S de centre d’inertie G, de masse m=100 g fixé à
l’extrémité d’un ressort horizontal de constante de raideur k=10N.m-1. A l’équilibre le centre d’inertie du
solide coïncide avec l’origine O du repère R(O,
i
). On prendra comme origine des énergies potentielles
de pesanteur le plan horizontal passant par G. On prendra 2=10.
A-
Le solide S est écarté de sa position d’équilibre de 2 cm vers les abscisses positives puis on le lance
avec une vitesse initiale
v
0 dans le sens positifs.
1- Déterminer la nature du mouvement du solide S.
2- Sachant que l’amplitude du solide est de 4cm, Ecrire l’équation horaire du mouvement de S.
3- Déterminer la valeur de la vitesse v0.
4- Montrer que l’énergie mécanique du système {Solide, Terre et Ressort} se conserve et qu’elle est
égale à une valeur que l’on calculera.
B-
Le solide S est mis en mouvement sous l’effet d’une force excitatrice
.F F i
, telle que
F= FMaxsin(et+e) et se déplace dans un liquide visqueux qui exerce une force de frottement
.f h v
.
(h une constante positive et
v
le vecteur vitesse du solide S).
1- Faire un bilan des forces qui s’exercent sur le solide S et en déduire l’équation différentielle vérifiée
par son abscisse x dans le repère R.
2- On donne sur la figure suivante la courbe de variation de l’abscisse de S en fonction du temps.
a. Déterminer l’équation horaire x(t).
b. Montrer que la valeur algébrique de la vitesse v du solide S vérifie la relation suivante v2= Ax2+B. Avec
A et B des constantes que l’on calculera.
3- Un dispositif expérimental a permis de mesurer la valeur du décalage horaire t entre les fonctions
F(t) et x(t), on trouve que t=
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s.
a. Déterminer la valeur de la phase initiale e de l’excitateur.
b. Faire sur un papier millimétré une construction de Fresnel à l’échelle et en déduire la valeur
de h et la valeur FMax.
 Echelle : 1cm pour 0,05N.
c. Etablir l’expression de l’amplitude xMax de S en fonction de h,m,k,e et FMax et montrer qu’elle
est maximale pour une valeur r que l’on calculera.
4- a. Etablir l’expression de la puissance moyenne Pmoy, en fonction de h,m,k,e et FMax. et montrer
qu’elle est maximale pour e= 10 rd.s-1.
b. Soit le rapport R=
Max
Max
k.X
F
.En utilisant le tableau des analogies électromécaniques,
déterminer la grandeur électrique analogue à R. Calculer R pour e=0.Conclure.

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 (rad.s-1)
8,34
10
(b)
(a)
Xm(cm) et Vm(m.s-1)
1,15
12,5
11,5
9
Figure-2-
Exercice 2 :
Un pendule élastique est constitué d’un solide (S) supposé ponctuel de masse m attaché à l’extrémité d’un
ressort (R) à spires non jointives de masse négligeable et de raideur K, l’autre extrémité du ressort est fixe.
Le pendule repose sur un plan horizontal et la position du centre d’inertie G du solide est repérée sur un axe
horizontal (O,
i
), d’origine O position d’équilibre du solide.(figure 1)
Lorsque le moteur (1) tourne avec vitesse angulaire , il exerce sur le solide une force excitatrice
F
=Fm sin(t +F)
i
d’amplitude Fm constante et de pulsation  variable.
Au cours de son mouvement le solide est soumis aussi à une force de frottement visqueux de la forme
v.hf 
où h est une constante positive non nulle.
I – Étude expérimentale :
1°/ Expérience 1 :
On fait varier la pulsation de la force excitatrice et on mesure
à chaque fois l’amplitude Xm des oscillations du solide et on en
déduit celle de sa vitesse Vm, les résultats des mesures
permettent de tracer les courbes (a) et (b) de Xm =f() et Vm
=g() (Figure -2-)
a- Identifier la courbe de Xm et celle de Vm .
b- Préciser l’état d’oscillateur mécanique pour ’=8,34 rad.s-1
et pour’’=10 rad.s-1.
c- En utilisant l’analogie formelle électrique-mécanique
donner les expressions de ’ et de ’’.
3°/ Expérience 3 :
Une étude expérimentale a permis
de tracer les courbes (C1) et (C2)
représentants les variations, en
fonction de temps, des valeurs
algébriques de la force excitatrice
F(t) et de la vitesse v(t). (Figure-4-).
a- En utilisant l’analogie formelle
électrique-mécanique montrer que la
courbe (C1) correspond à v(t).
moteur
( C )
Stylet
Banc à coussin
d’air horizontal
(R)
Tige
(S)
Règle graduée
Guide
Moteur
Fil inextensible
B
Articulation
Excentrique
A
Voile
Figure -1-
Moteur (2)
Moteur (1)
1
0,9
t(s)
F(t) en (N) et V(t) en (m.s-1)
(C2)
(C1)
Figure -4-
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b- Déterminer le déphasage F -v.
c- Déterminer les expressions de F(t) et de v(t).
II– Étude théorique :
1°/ En utilisant l’analogie formelle électrique-mécanique :
a- Donner l’équation différentielle de l’oscillateur régissant les variations de la vitesse v(t) de (S) dont la
solution est v(t) =Vm sin(1t).
b- La construction de Fresnel relative à l’équation différentielle précédente.
c- En déduire les expressions de l’amplitude Vm de la vitesse et de l’impédance mécanique Zméc en
fonction de 1, Fm, h, K et m.
d- Déduire de l’expression de Vm celle de Xm.
2°/ En exploitant les expériences précédentes déterminer les valeurs de K, m et h.
3°/ Pour une valeur 2 de  une étude expérimentale a permis de tracer les courbes (C3) et (C4) représentants
les variations, en fonction de
temps, des valeurs algébriques
de la force d’amortissement f(t)
et de la force de rappel T(t)
(tension) du ressort (Figure-5-).
a- Montrer que f(t) est toujours
en quadrature avance par
rapport à T(t).
b- Identifier la courbe de f(t) et
celle de T(t).
c- En exploitant les courbes
(C3) et (C4), déterminer les
expressions de f(t) et de T(t).
d- En déduire que F(t) et v(t)
sont en phase
e- En utilisant l’analogie formelle électrique-mécanique, dire dans quel état se trouve l’oscillateur mécanique ?
f- En déduire la valeur de 2 et celle de l’impédance mécanique Zméc .
4°/ On considère l’oscillateur mécanique dans son état correspondant à =2.
a- Montrer que l’énergie totale E de l’oscillateur mécanique se conserve et calculer sa valeur.
b- Exprimer le rapport
m
m
T
RF
, en fonction de K, h et 2. Donner la grandeur électrique analogue à R.
c- Le point de soudure reliant le solide au ressort ne peut supporter qu’une tension de valeur maximale
0,9 N ; y’a-t-il risque de rupture du point de soudure en augmentant ou en diminuant la fréquence ?
Justifier la réponse.
B- Exercice bac :
(C3)
(C4)
Figure -5-
f(t) et T(t) en (N)
1,15
1,15
0,9
0,45
0
t(s)
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