BAC LE DIPÔLE LC Exercices corrigés : Le dipôle LC

Exercices corrigés : Le dipôle LC BAC
LE DIPÔLE LC
Exercice 1
Énoncé :
On étudie les oscillations d'un circuit comportant :
Énergies (J)
E
-Un condensateur de capacité C préalablement chargé.
-Une bobine d'inductance L et de résistance négligeable.
1°) a) Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension
-4
10 J
instantanée uc(t) existant entre les bornes du
2
10 V
condensateur.
Ee
b) Donner l’expression de la fréquence propre N0 de cet
2
oscillateur
u C2 (V )
0
50
100
2°) a) Exprimer l'énergie totale E emmagasinée par le
circuit en fonction de la tension uC(t) et i(t).
b) Déduire que l'oscillateur est conservatif.
3°) On propose ci-contre les représentations de l’énergie totale E et de l 'énergie électrostatique Ec
emmagasinée par le condensateur en fonction de uc2 .
a) Déterminer l'amplitude uC max de la tension uC (t) .
b) Calculer la valeur de la capacité C du condensateur.
Corrigé :
1a- D’après la loi des mailles :
uL + uc = 0
L
d2 u
du
di
di
 C 2c
 uc  0 avec i  C c et
dt
dt
dt
dt
LC
d2uc
 uc  0
dt 2
d2 u c u c

 0 c’est l’équation différentielle des oscillations électriques sinusoïdales de pulsation
LC
dt 2
1
.
LC

1
b- 0 = 2N0 ; N0  0 
.
2 2 LC
propre 0 avec 02 
2a- E = EL + Ec
E
b-
1 2 1 2
Li  Cuc .
2
2
Calculons la dérivée de E pour voir comment varie l’énergie totale E du circuit LC
du
dE 1
di 1
 L.2i.  C.2uc . c
dt 2
dt 2
dt
du
duc
dE
di
 L.i.  uc .C
on a i  C c , on peut alors mettre i en facteur
dt
dt
dt
dt
dE
di
di
 i(L  uc ) et d’après la loi des mailles L  uc  uL  uc  0 d’où
dt
dt
dt
dE
0
dt
Rappel mathématique :
Toute fonction dont la dérivée est nulle, est constante
f’(x) = 0 signifie que f(x) = constante
1
2
Donc l’énergie totale E du circuit LC est constante or E  CUc2
max
ce qui montre que l’amplitude des oscillations
Ucmax est constante d’où les oscillations sont non amorties.
3-
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a-
1
2
Lorsque uc = Ucmax on a i=0 (i intensité du courant dans le circuit) d’où E  CUc2
max
1
1
 L02  CUc2max =Ecmax
2
2
d’après le graphe pour E=Ecmax on a uc2  100 donc Ucmax= 10 V
Energies (J)
E
En ce point on a :
Ec = E
Ec
0
5
2
u C2 (V )
100
0
1
2
b- Pour un oscillateur électrique libre non amorti tel que le circuit LC on a : E  CUc2
C
max
donc C 
2E
A.N :
Uc2max
2.5.10 4
 10.10 6 F 10µF .
100
Exercice 2
Enoncé :
On considère le circuit électrique schématisé dans la figure ci-contre, comportant :un générateur de tension
continue (G), de f.é.m U0 et de résistance interne négligeable ;un condensateur (c) de capacité C et d’armatures
A et B ;une bobine (B) d’inductance L et de résistance négligeable ;deux interrupteurs K1 et K2 .
1. K2 étant ouvert, on ferme K1. Après une brève durée, le condensateur porte une charge maximale Q0 et
emmagasine une énergie électrostatique E0.
a- Donner l’expression de Q0 en fonction de U0 et C.
b- Donner l’expression de E0 en fonction de Q0 et C.
2. Le condensateur étant chargé ; à t = 0 on ouvre K1 et on ferme K2. A t quelconque, l’armature A du
condensateur porte une charge q.
a- Exprimer l’énergie électromagnétique E en fonction de L, C, q et i.
b- Montrer, sans faire aucun calcul que cette énergie se conserve et elle est égale à
Q02
.
2C
c- Déduire l’équation différentielle des oscillations électriques.
d- Déterminer l’expression de la période propre T0 en fonction de L et C.
e- Donner l’expression de la charge q en fonction du temps.
3.
 4

E 
Montrer que l’expression de l’énergie EL en fonction du temps s’écrit : EL  0 1  cos  t    
2 
 T0
 
4. Une étude expérimentale a permis de tracer les courbes (1) et (2) (ci-dessous) traduisant respectivement les
variations de l’énergie magnétique EL en fonction de i et en fonction du temps.
a- En exploitant la courbe (1), déduire les valeurs de L et de E0.
b- En exploitant la courbe (2), déduire la valeur de T0.
5. Déterminer alors C, Q0 et U0.
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-3
-3
2
EL(10 )J
EL (10 J)
2
1
1
-4
i(A)
0,1
0,2
Courbe (1)
t(10 s)

2
Courbe (2)
Corrigé :
1a- Lorsqu’on ferme l’interrupteur K1 et on ouvre K2 et on applique la loi des mailles, on trouve que
Q0
doù Q0  CU0 .
C
1 Q02
b- E0 
.
2 C
uG = uc U0 
2a- E= Ee + EL
E
1 q2 1 2
 Li .
2 C 2
b- Un condensateur parfait et une bobine idéale (inductance pure) ne dissipent pas de l’énergie électrique,
seul le résistor dissipe de l’énergie par effet joule or dans notre circuit il n’ya pas de résistor donc l’énergie
totale du circuit est conservée ( E ne varie pas au cours du temps)
E(t quelconque )  E(t  0) 
Q02
 E0 .
2C
c- On a dit que E= constante donc
dE
2
 0 (Rappel (f )’ = 2ff’, i(t) et q(t) sont deux fonctions du temps).
dt
1
1 2
E  Li2 
q
2
2C
dE 1
di
1
dq
 L.2i. 
2q
dt 2
dt 2C
dt
di q dq
dq
on a i 
, on peut alors mettre i en facteur
0  L.i. 
dt C dt
dt
di q
0  i(L  ) , lorsque t varie au cours du temps i0 d’où :
dt C
di d2 q
di q

L   0 avec
dt dt 2
dt C
d2 q q
L 2  0
C
dt
d2 q q

 0 équation différentielle des oscillations électriques libres non amorties de pulsation propre 0 avec
dt 2 LC
1
02 
.
LC
2
 2 LC.
d- La période propre T0 
0
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e- La solution de l’équation différentielle précédentes s’écrit sous la forme q(t) =Qmaxsin(0t + q) avec
1
Qmax=Q0, 0 
LC
et à t=0 le condensateur est complètement chargé alors que la bobine est vide q(t=0) =
Q0 =Qmax

2
Qmaxsinq = Qmax d’où sinq = 1 donc q  rad

t

q(t)  Q0 sin( 0 t  )  Q0 sin(
 ).
2
LC 2
Li2
dq

avec i 
 0 Q0 cos(0 t  )
2
dt
2
1  cos2
1
L 2 2

et cos2  
.
EL  0Q0 cos2 (0 t  ) or 02 
2
LC
2
2
 

1  cos(2(0 t  )) 
L 1 2
2
EL 
Q0 

2 LC
2




2
Q 1  cos(20 t  ) 
2
EL  0 
avec 0 

2C 
2
T0

3- EL 
EL 

Q02
Q02 
4
1  cos( t  ) , on a E0 
2C
4C 
T0

EL 
E0
2


4
1  cos( t  )
T0


4a- De la courbe(1) on peut prélever la valeur Imax=0,2 A et celle de ELmax=2.10-3 J or EL
max
A.N : L 

2
2EL
LImax
, L  2 max
Imax
2
2.2.10 3
 0,1 H
(0,2)2
Rappel : Pour les grandeurs i(t) et q(t) on a dit que si l’une est
extrêmale (càd minimale ou maximale) l’autre est nulle.
1
2
Pour i=  Imax on a q=0 or E  Li2 
1
2
2
d’où E  LImax
 0  EL
max
1 2
q
2C
mais E=constante = E0 donc E0=ELmax=2.10-3 J.
b- La courbe(2) représente la fonction EL(t) qui est une fonction sinusoïdale du temps


T
4 2
4
et de période T  0 .

1  cos( t  ) ) de pulsation  
T
T
T
2
0


0
d’après la courbe(2) : T=2.10-4 s d’où T0  4.104 s .
( EL 
E0
2
5 Pour déterminer C, on a 02 
1
2
2
1

 5.103 rad.s1 on peut alors déduire la valeur de C  2 .
et 0 
4
0L
LC
T0 4.10
A.N :
C
 Déterminons la valeur de Q0 : E0 
Q02
, Q02  2CE0 d'où
2C
Q0  2CE0 A.N : Q0  2.0,4.106.2.103  4.105 C .
Autre méthode : on a Imax = 0Qmax donc Qmax 
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Imax
A.N :
0
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1
 0,4.106 F  0,4 µF .
(5.103 )2 .0,1
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0,2
 4.10 5 C .
3
5.10
Q
4.105
 On a U0  0 . A.N : U0 
 100 V .
C
0,4.106
Qmax 
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