série1

Dipôle LC : Oscillations électriques libres non amorties
Série physique n°7
A- Rappel
 Équation différentielle :
d’après la loi des mailles ( K1 est ouvert et K2 est fermé) : la décharge du
condensateur dans une inductance pure.
uc + uL = 0 ………………………………………………
………………………………………………..
....... .......

0
....... .....
Équation différentielle des oscillations électriques libres non amorties de pulsation propre 0 tel que
02 
.....
et de période propre
......
T0 
2
 ..... .......
0
 Solution de l’équation différentielle
L’équation différentielle précédente a pour solution : …………………………………..
 Relation entre i(t) et q(t) :
i (t ) 
......
= ……………………………. = ………………………….. = ……………………………d’où :
.....
Imax 0Qmax

i q 
2
{
Remarque :
q   Qmax ; i  0 et i   Imax ; q  0 càd lorsque :
 le condensateur est complètement chargé, la bobine est vide.
 le condensateur est vide, le courant dans la bobine atteint sa valeur extrêmale.
 L’énergie totale du circuit est constante :
E = Ee + EL , l’énergie électrique peut être notée Ee ou Ec.
=
....
.....
dE

 ………………………… = …………………………….=……………………………
et
.....
....
dt

Graphes des énergies :
Avec q=/2
E(J)
E=Eemax
=ELmax
….
…..
E=Eemax
=ELmax
…
…..
….
…..
i(A)
0
t(s)
0
E(J)
…..
….
…..
2
i (A)
0
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Cherchari
Dipôle LC : Oscillations électriques libres non amorties
84
Série physique n°7
B- Applications directes :
Exercice 1 :
Un circuit électrique LC est constitué par :
-
Un condensateur, de capacité C=1 µF.
Une bobine d’inductance L= 1 H et de résistance négligeable.
Un interrupteur K.(figure – 1-)
On charge le condensateur ( K ouvert) telle que l’armature B porte la charge
Q0=-10-6 C. A la date t=0s, on ferme l’interrupteur K
C
A i
q
B
K
Fig1
a- Établir l’équation différentielle régissant les variations de l’intensité i du courant
L
dans le circuit.
b- Montrer que i(t)=Imsin(0t + i) est solution de l’équation différentielle à condition
1
que 02 
. Déduire l’expression de la période T0 des oscillations. Calculer sa valeur.
LC
c- Déduire l’expression de la tension uC aux bornes du condensateur en fonction de Im, C,0 et i.
Montrer que Im=0Q0.
d- Écrire l’expression de l’intensité du courant , de la tension aux bornes du condensateur et de la tension
aux bornes de la bobine en fonction du temps.
Exercice 2 :
Un circuit électrique LC est constitué par :
-
Un condensateur, de capacité C.
Une bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
Un interrupteur K.(figure – 1-)
On charge le condensateur ( K ouvert) telle que l’armature B porte la charge
Q0=-10-4 C. A la date t=0s, on ferme l’interrupteur K
C
A i
q
K
Fig1
A l’aide d’un dispositif informatisé branché aux bornes du circuit on a pu tracer la
courbe représentant les variations, au cours du temps, de l’énergie magnétique EL.( la
figure 2).
T
a- Montrer que l’énergie magnétique EL est périodique de période T  0 .
2
b- En utilisant le graphe, déterminer 0, L et C.
EL(10-6 J)
B
L
Fig 2
5
4
3
2
1
2.10-3 s
t(s)
K1
K2
A
2
uC
U
C- Applications directes :
(G)
i
(c)
Exercice 1 :
Un condensateur de capacité C est chargé à l’aide d’un générateur
de tension délivrant à ces bornes une tension constante U ( K2 ouvert et
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L
B
Fig 1
Cherchari
(B)
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Série physique n°7
K1 fermé voir schéma ci-contre). Les armatures A et B de ce condensateur chargé sont reliées à une bobine
d’inductance L de résistance négligeable. A un instant t=0s, pris comme origine des temps on ouvre
l’interrupteur K1 et on ferme K2. L’intensité i(t) du courant est comptée positivement quand le courant circule
dans le sens indiqué sur le schéma. On appelle q(t) la charge
q(C) ; i(A)
de l’armature reliée au point A et on précise qu’à l’instant t=0s
cette armature est chargée positivement.
1
1a) Etablir l’équation différentielle vérifiée par la charge q(t).
b) Montrer que q(t) = Qmax sin(0t + q) est une solution de
cette équation différentielle pour une valeur particulière de 0
t(s)
dont on déterminera l’expression.
0
2- On donne dans la figure 2, les courbes de variation de la
charge q(t) du condensateur et de l’intensité de courant i(t) qui
traverse le circuit.
2
a- Identifier les courbes 1 et 2.
b- Déterminer l’expression de q(t) et celle de i(t).
Fig 2
On donne l’échelle :
-5
* pour la charge q(t) : 2.10 C  1 carreau.
-5
EC(10 J)
* pour l’intensité de courant i(t) : 1,5 mA 1 carreau.
12
11,52
4. a) Donner l’expression de l’énergie totale Etot du circuit en
11
fonction de q, i, L et C.
b) Montrer que ETot = Ec(t) + EL(t) est constante et qu’elle est
9
1
2
égale à .LIm .
2
c) Déterminer l’expression de EC en fonction de i2.
d) sur la figure 3 on donne la courbe représentant l’évolution de
l’énergie électrique EC en fonction de i2. Déterminer graphiquement
Fig 3
l’inductance L, déduire la valeur de la capacité C du condensateur.
2
2
Exercice 2 :
i ( (mA) )
0
50
Un condensateur de capacité C est préalablement chargé à
1
0
0
l’aide d’un générateur de tension délivrant à ses bornes une
tension constante U=10 V.
A un instant pris comme origine de temps on relie le condensateur à une bobine purement inductive
d’inductance L. A l’aide d’un dispositif approprié, on suit l’évolution de l’énergie magnétique EL emmagasinée
dans la bobine en fonction du temps. Les résultats obtenus nous ont permis de tracer le graphe de la figure 2.
On donne l’expression de l’énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en fonction du temps :
EL(t) =
EL
max
.( 1- cos(2000t +  )).
2
1- En utilisant le graphe, déterminer ELmax valeur maximale de EL ainsi que la phase initiale
. Donner alors l’expression de EL en fonction du temps.
2- En utilisant la relation Imax = 0Qmax, montrer que ELmax = Ecmax avec Ecmax valeur
maximale de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur.
3a- Calculer la valeur de la capacité C du condensateur. Déduire la valeur de l’inductance
L de la bobine.
-5
b- Calculer la durée t indiquée sur le graphe de la figure
(10 J)
2 (ci-contre). Sous quelle forme apparait l’énergie totale
du circuit à l’instant t =t ?
4- Déterminer l’expression de l’intensité du courant
électrique qui circule dans le circuit en fonction du
temps. Déduire l’expression de la charge q du
condensateur.
549 Représenter sur un papier millimétré le graphe
d’évolution de l’intensité du courant et celui de l’évolution
de la charge q du condensateur en fonction du temps.
Echelle :
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i
c
L
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
Temps : 0,5 ms  1 cm
* Intensité : 10 mA  1 cm
Série physique n°7
* Charge : 2.10-6 C  1 cm
Exercice 1 ( 4 pts) :
86
Un circuit électrique LC est constitué par :
-
Un condensateur, de capacité C.
-
Une bobine d’inductance L et de résistance négligeable.
-
Un interrupteur K.(figure – 1-)
On charge le condensateur ( K ouvert) puis à la date t=0s, on ferme
l’interrupteur K.
1-
C
A i
q
B
K
Fig1
L
e- Etablir l’équation différentielle régissant les
variations de la tension uC aux bornes du
condensateur.
f- Montrer que uC(t)=Ucmaxsin(0t + uc) est une
solution de l’équation différentielle à condition que
02 
1
. Déduire l’expression de la période
LC
propre T0 des oscillations.
g- Déduire l’expression de l’intensité i(t) du courant
électrique en fonction de Ucmax, C,0 et uc.
C
L
2. Montrer que i2   u 2C 
3.
C 2
U C max .
L
A l’aide d’un dispositif informatisé on a pu tracer
la courbe représentant l’évolution, au cours du
temps, de i2 en fonction de uc2 (figure 2) et la
courbe qui représente l’évolution de i2 en fonction
du temps (figure 3).
a. En exploitant le graphe
 de la figure 2, prélever Imax et Ucmax.
 de la figure 3, trouver la valeur de la pulsation propre 0 et la phase initiale de la tension uc.
c- Calculer C et L. déduire la valeur de l’énergie électrique emmagasinée initialement dans le
condensateur.
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D- Exercice bac :
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