Proposition_2013_longue.pdf

1
Une étude de
)(r
n
l
, la longueur de la plus longue suite de succès
obtenue au moins r fois en n épreuves de Bernoulli
[e-mail]
Notations : On considère
n
)1( n
épreuves successives de Bernoulli, désignées par
1
C
,
2
C
…
n
C
.
On désigne par
p
)10(  p
la probabilité d’un succès,
)1(  i CPp
.
Soit
r
un entier,
nr 1
.
)(r
n
l
est la variable aléatoire : longueur maximum (d’une suite de
succès) obtenue au moins
r
fois, chacune des
r
suites étant séparée des autres par (au moins)
un échec si
1r
.
Exemple avec
20n
: 1111 0 111 0 11 0 1111 0 111 (suite plausible si
p
est assez grand) :
4
)2(
20
)1(
20  ll
,
3
)4(
20
)3(
20  ll
,
2
)5(
20 l
,
0
)(
20 
r
l
si
5r
.
On va notamment s’intéresser au mode de
)(r
n
l
dont la probabilité est étonnamment grande.
A priori
nr 1
mais on s’intéresse surtout à des valeurs de
r
pas trop grandes, par exemple parce que
10
)(  r
n
lP
si
2/nr 
.
L’origine de cette étude est une activité proposée à des élèves de la classe de première, dans le cas
particulier où
2/1p
et
1r
, activité reposant sur le fait que dans ce cas
96,05
)1(
200 lP
,
décrite sur cette page et utilisant cette simulation.
La variable aléatoire
)1(
n
l
est bien connue sous le nom de « longest head run ». ([Biblio1])
1 ) ETUDE D’UNE VARIABLE ALÉATOIREAUXILIAIRE
Notations : Pour
nk 1
, une
k
-suite est une suite de
k
succès consécutifs.
)(k
n
D
kn
D,
est la variable aléatoire : nombre de
k
-suites, disjointes, et séparées (s’il y en a
plusieurs) par (au moins) un échec, obtenues.
Exemple avec la suite considérée ci-dessus :
5
)2(
20
)1(
20  DD
,
4
)3(
20 D
,
2
)4(
20 D
,
0
)(
20 
k
D
si
205 k
.
L’intérêt de
)(k
n
D
va immédiatement apparaître.
On peut vérifier que si
1k
,
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
: (3)
Lien entre
)(k
n
D
et
)(r
n
l
Encadré 1
L’événement « il y a au moins
r
k
-suites » est à la fois
rD k
n
)(
et
kl r
n
)(
:
On en déduit :
 kl r
n)(
 kl r
n)(
1
)( kl r
n
rD k
n
)(
rD k
n
)1( 
. (2)
Toute
)1( k
-suite contient une
k
-suite donc la suite
k
k
nrD )( )( 
est décroissante.
On a donc
rDP k
n
)(
(
)
)1( rD k
n
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
et (2) implique : pour
1k
,
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
. (3)
Le calcul de
klP r
n
)(
est ainsi parfaitement connu pour les petites valeurs de
n
et de
k
car on a
des formules de récurrence sur
n
et
r
donnant
)( )( rDP k
n
pour tout
1r
:

2
Loi de
)(k
n
D
Encadré 2
Soit
k
un entier fixé,
1k
. On écrit
)(k
nn DD 
dans cet encadré.
Supposons d’abord que
2 kn
.
Soit
r
un entier fixé. On suppose que
1r
. ( le cas
0r
est trivial :
1)0( )( 
k
n
DP
)
Tout repose sur le fait que l’événement
rD k
n
)(
=
rDn
se traduit par :
soit il y avait déjà au moins
r
k
-suites après la
ème
n)1( 
épreuve
soit il y en avait
1r
et la
ème
r
apparaît sous la forme 0111…11.
rDn
est donc la réunion disjointe de
rDn
1
et de
1 1rDn
1...01  nknkn CCC
=
 1 1rD kn
1...01  nknkn CCC
.
On a alors une intersection d’événements indépendants dont la probabilité est
.)1( 1
 rDP kn
)1...().0( 1  nknkn CCPCP
, c’est à dire
[
)1( 1
 rDP kn
)( 1rDP kn  
] .
k
pp1
.
On a donc
)( rDP n
=
)( 1rDP n
+ [
)1( 1
 rDP kn
)( 1rDP kn  
] .
k
pp1
. (5)
Il reste à calculer les valeurs initiales (initiales en
n
) pour
1r
.
La formule de récurrence (ne) fonctionne (que) si
11 kn
, soit
2 kn
. (5’)
Il y a donc a priori (
1k
) termes à calculer « à la main ».
Le premier terme non nul de la suite
n
k
nrDP 
)(
est obtenu pour
1 rrkn
et il vaut
1
1 r
r
kpp
, c’est la probabilité d’obtenir
r
suites de
k
succès séparées par
1r
échecs.
On n’utilise en fait cette dernière formule que pour
1r
car si
2r
,
1 rrkn
212  kk
et d’après (5’) tous les termes à calculer « à la main » sont nuls.
Dans le cas où
1r
, on a alors le premier terme non nul avec
krrkn 1
et on calcule
seulement
kk
kpDP  )1( )(
et
1)( 12)1( 
 kkk kppDP
.
La formule (5) montre qu’on a aussi une récurrence sur
r
:
les résultats au rang
r
nécessitent ceux au rang
1r
.
A l’aide d’un tableur on a
facilement représenté ci-contre
chacune des suites
3501
)( )(( 
n
k
nrDP
pour
2r
et
k
entre 1 et 8 dans le cas
6,0p
.
Ces suites
n
k
nrDP )(( )( 
sont,
évidemment, (strictement)
croissantes et elles convergent
vers 1.
Figure 1
P (D_n(k)>=2), k entre 1 et 8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
121 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321 341
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
k = 8

3
2 )APPLICATION A LA LOI DE
)(r
n
l
Utilisant la formule (3),
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
, on obtient par exemple :
Figure 2
L’allure de ces courbes, croissantes puis décroissantes, n’est pas étonnante car pour chaque
r
fixé, si
1k
, chaque suite
n
r
nklP )( )( 
est obtenue, en vertu de (3), en soustrayant deux
suites
n
k
nrDP )(( )( 
consécutives, consécutives en
k
.
Le cas
0k
est à part, car on n’a défini
)(k
n
D
que si
1k
donc (3) n’est pas valide si
0k
, mais
il ne pose pas de problème de calcul :
rDPrDPlPlP nn
r
n
r
n
)1()1()()( 1110 
.
Parmi les suites
n
r
nklP )( )( 
, les suites
n
r
n
lP )0( )( 
sont les seules à être monotones
(décroissantes). Sur la figure 2 on a tracé seulement
nn
lP )0( )1( 
Voir des dessins en couleurs sur les courbes qui suivent
Il semble qu’on ne dispose pas de formules explicites permettant de calculer
klP r
n
)(
(sauf dans le cas
1r
où ces formules sont très compliquées).
3 ) APPROXIMATIONS
On peut prouver par la méthode dite de Stein-Chen que si
p
est assez petite et si
n
et
k
, surtout
n
,
sont assez grands (ces conditions sont précisées plus loin; on suppose seulement a priori que
1k
),
)(k
n
D
suit (approximativement) une loi de Poisson.
R Arratia, L Goldstein et L Gordon-1989 « Two moments suffice for Poisson approximations : the
Chen-Stein method »
Description du principe utilisé Encadré 3
Rappel : Soit
un réel fixé entre 0 et 1. On désigne par
i
S
,
*
INi
,des variables de Bernoulli
indépendantes et identiques de paramètre
. Pour tout
1n
, on pose
nn SSSX  ... 21
.

4
n
X
compte les « succès » au cours des
n
premières épreuves et suit la loi binomiale
);( nB
.
si
n
avec
petit et
n
grand (on précise parfois :
01,0
,
100n
et
101 n
),
alors
n
X
suit approximativement la loi de Poisson de paramètre
.
Principe de la preuve :
kn
k
nk
n
kXP  1..
=
kn
k
kknnn 
1..
!)1)...(1(
donc si
est petit et
k
est petit devant
n
:
kXP n
n
k
k
k
n
 1..
!
1 .
!)( Lnn
ke
k
n
n
ke
k
n
.
!)(
. (6)
L’hypothèse
petit est essentielle. La loi de Poisson est parfois dite loi (de comptage) des événements rares.
Principe de la méthode de Stein-Chen
Soit
n
un entier (non nul) fixé.
Nos variables indépendantes de Bernoulli,
1
C
,
2
C
…
n
C
suivent la loi
pCP i )1(
.
Soit
k
un entier (non nul) fixé,
nk 
.
On peut observer l’apparition d’une suite ininterrompue d’au moins
k
succès au moment
si et
seulement si
k
et
1... 11  CCC k
.
Une telle suite est « nouvelle » et doit être comptabilisée au temps
(
k
) si et seulement si
k
et
1...
21  k
CCC
ou bien si
1 k
et
1...111   CCCC kk
On pose
kk CCCS ... 21
et si
1 k
,
CCCCS kk 11...1
.
 nk S
est le nombre de suites ininterrompues (et disjointes) d’au moins
k
succès observées à
l’instant
n
, c'est-à-dire que
)(k
n
nk DS 
.
Pour
1 k
, toutes les variables
S
sont des variables de Bernoulli suivant la même loi
définie par
k
ppSP  11
.
Le problème est que ces variables
S
ne sont pas indépendantes.
Toutefois, chaque variable
S
est indépendante de toutes les variables
S
vérifiant
k
.
Ainsi, si
n
est bien plus grand que
k
,
nk
k
k
nSSD
1
)(
où la somme
 nk S
1
apparaît
comme « assez proche » d’une somme de
)( kn 
variables de Bernoulli indépendantes de même
loi, donc, suivant notre rappel, d’une variable suivant une loi de Poisson de paramètre
k
ppkn  1
.
Par ailleurs
kk
nk
k
nk
k
nppknpSESESEDE   
1)()( 1
)(
et c’est ce
dernier nombre qu’on prend a priori comme paramètre de notre approximation de Poisson de
)(k
n
D
.
On désigne cette loi de Poisson par
)(k
n
N
kn
N,
. Son paramètre est
11
, pknpk kn
.
Ceci signifie que
!!
,
,,s
e
s
esNP s
s
kn
kn kn
. (7)

5
La qualité, très bonne quand
p
est assez petite, de cette approximation de
)(k
n
D
par
)(k
n
N
est précisée
en annexe. On y verra que
kk
n
k
npkANPADP
INA
Sup )22(
)()( 
. Cette majoration de
l’erreur est satisfaisante car on va voir que c’est surtout quand
2/1p
qu’on a des résultats
intéressants cependant que les petites valeurs de
k
sont accessibles informatiquement.
L’ identité (3) s’écrit aussi
 klP r
n)(
 )(1 )( rDP k
n
))(1( )1( rDP k
n
.
On a donc pour l’instant, pour
1k
,
klP r
n
)(
)( )1( rDP k
n
)( )( rDP k
n
d’où
klP r
n
)(
1
0
,1, ,1, !
)(
!
r
s
s
kn
s
kn knkn e
s
e
s
. (8)
Deuxième approximation Encadré 4
La dérivée de cette fonction (de la variable
n
) est compliquée, comme le lien entre
11
, pknpk kn
et
111
1
1,   pknpk kn
.
Par ailleurs, il va de soi que lorsqu’on s’intéresse aux variations de
klP r
n
)(
quand un des
nombres
p
,
r
,
n
et
k
varie, les trois autres sont fixés mais on va voir que dans les calculs qui
nous intéresseront (on ne cherche que des grandes probabilités !),
k
sera de l’ordre de
nLn
.
Il s’ensuivra que dès que
n
sera un peu grand, le rôle de
k
dans la valeur de
11
, pknpk kn
sera plus important à cause de la présence de
k
p
que de celle de
kn 
.
Il est donc raisonnable de remplacer dans ce qui précède
11
, pknpk kn
par
pnpXk 1
et
1, kn
par
pX
. L’erreur qui en résulte est quantifiée en annexe (où on verra
qu’elle est d’autant plus faible que
p
est petite, et négligeable dès que
k
grandit un peu).
On voit que cette simplification revient à approximer
)(k
n
D
par une loi de Poisson dont le
paramètre,
pnpk1
, est un peu plus simple que celui de
)(k
n
N
.
En remplaçant
11
, pknpk kn
par
pnpXk 1
et
1, kn
par
pX
dans (8), on
obtient :
!
)( )( r
X
erDP r
Xk
n
avec
pnpXk 1
d’où
klP r
n
)(
 1
0!!
r
s
X
s
pX
se
s
X
e
s
pX
 1
0)(
!
r
s
XpXs
seep
s
X
. (8’)
Soit
r
un entier fixé,
nr 1
.
On désigne par
nn k
r
k
cette nouvelle approximation de
klP r
n
)(
: