Une représentation graphique approximative du maximum sur des ,

1
Une étude de la longueur de la plus longue suite de succès
obtenue au moins r fois (r < 11) en n épreuves de Bernoulli
[e-mail]
Notations On considère
n
)1( n
épreuves successives de Bernoulli, désignées par
1
C
,
2
C
…
n
C
.
On désigne par
p
)10(  p
la probabilité d’un succès,
)1(  i CPp
.
Pour
nk 1
, une
k
-suite est une suite de
k
succès consécutifs.
)(k
n
D
kn
D,
est la variable aléatoire : nombre de
k
-suites, disjointes, et séparées (s’il y en a
plusieurs) par (au moins) un échec, obtenues.
Soit
r
un entier,
nr 1
.
)(r
n
l
est la variable aléatoire : longueur maximum (d’une suite de
succès) obtenue au moins
r
fois, chacune des
r
suites étant séparée des autres par (au moins)
un échec si
1r
.
C’est cette dernière variable aléatoire qu’on va étudier. On va notamment s’intéresser à son mode
dont la probabilité est grande.
L’origine de cette étude est une activité proposée à des élèves de première, dans le cas particulier où
2/1p
et
1r
, activité reposant sur le fait que dans ce cas
96,05
)1(
200 lP
, décrite en long et
en large sur cette page et utilisant cette simulation.
Exemple avec
20n
: 1111 0 111 0 11 0 1111 0 111 (suite plausible si
p
est assez grand) :
5
)2(
20
)1(
20  DD
,
4
)3(
20 D
,
2
)4(
20 D
,
0
)(
20 
k
D
si
205 k
.
4
)2(
20
)1(
20  ll
,
3
)4(
20
)3(
20  ll
,
2
)5(
20 l
,
0
)(
20 
r
l
si
5r
.
1 ) LIEN ENTRE LES VARIABLES ALEATOIRES
)(k
n
D
ET
)(r
n
l
On voit que si
1k
,
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
.
Ce point mérite peut être d’être explicité. Encadré 1
L’intérêt du « au moins
r
fois » dans la définition de
)(r
n
l
vient du fait qu’ainsi on peut traduire
l’événement « il y a au moins
r
k
-suites », c'est-à-dire
rD k
n
)(
, par
kl r
n
)(
:
On a alors :
 kl r
n)(
rD k
n
)(
(1)
Vérifions que ça ne serait pas vrai avec « exactement
r
fois » en remplaçant un instant « au moins
r
fois » par
« exactement
r
fois » dans la définition de
)(r
n
l
,
)(r
n
l
étant alors notée
)(r
n
:
dans l’exemple ci-dessus on a
1
)3(
20 D
mais pas
3
)1(
20 
puisque
2
)1(
20 
.
La variable
)(r
n
, moins intéressante que
)(r
n
l
(probabilités plus petites), est étudiée sur cette page.
Cette identité (1) est la clef de tout ce qui suit.
On en déduit :
 kl r
n)(
 kl r
n)(
1
)( kl r
n
rD k
n
)(
rD k
n
)1( 
. (2)
Toute
)1( k
-suite contient une
k
-suite donc la suite
k
k
nrD )( )( 
est décroissante.
On a donc
rDP k
n
)(
(
)
)1( rD k
n
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
et (2) implique : pour
1k
,
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
. (3)

2
Cette identité (3) s’écrit aussi
 klP r
n)(
 )(1 )( rDP k
n
))(1( )1( rDP k
n
.
On a donc si
1k
:
 klP r
n)(
)( )1( rDP k
n
)( )( rDP k
n
. (4)
Le calcul de
klP r
n
)(
est ainsi parfaitement connu pour les petites valeurs de
n
et de
k
car on a
des formules de récurrence (exactes) donnant
)( )( sDP k
n
pour tout
s
.
Loi de
)(k
n
D
et loi de
)(r
n
l
Encadré 2
Soit
k
un entier fixé,
1k
. On écrit
)(k
nn DD 
.
Supposons d’abord que
2 kn
.
Soit
r
un entier fixé. On suppose que
1r
. ( le cas
0r
est trivial :
1)0( )( 
k
n
DP
)
L’événement
rD k
n
)(
=
rDn
se traduit par :
soit il y avait déjà au moins
r
k
-suites après la
ème
n)1( 
épreuve
soit il y en avait
1r
et la
ème
r
apparaît sous la forme 0111…11.
rDn
est donc la réunion disjointe de
rDn
1
et de
1 1rDn
1...0 1  nknkn CCC
=
 1 1rD kn
1...0 1  nknkn CCC
.
On a alors une intersection d’événements indépendants dont la probabilité est
.)1( 1
 rDP kn
)1...().0( 1  nknkn CCPCP
, c’est à dire
[
)1( 1
 rDP kn
)( 1rDP kn  
] .
k
pp1
.
On a donc
)( rDP n
=
)( 1rDP n
+ [
)1( 1
 rDP kn
)( 1rDP kn  
] .
k
pp1
. (5)
Il reste à calculer les valeurs initiales (initiales en
n
) pour
1r
.
La formule de récurrence (ne) fonctionne (que) si
11 kn
, soit
2 kn
. (5’)
Il y a donc a priori (
1k
) termes à calculer « à la main ».
Le premier terme non nul de la suite
n
k
nrDP 
)(
est obtenu pour
1 rrkn
et il vaut
1
1 r
r
kpp
, c’est la probabilité d’obtenir
r
suites de
k
succès séparées par
1r
échecs.
On n’utilise en fait cette dernière formule que pour des vérifications ou si
1r
car si
2r
,
1 rrkn
212  kk
et d’après (5’) tous les termes à calculer « à la main » sont nuls.
Dans le cas où
1r
, on a alors le premier terme non nul avec
krrkn 1
et on calcule
seulement
kk
kpDP  )1( )(
et
1)( 12)1( 
 kkk kppDP
.
On peut alors pour tout
0r
calculer à l’aide d’un tableur, par récurrence sur
n
, tous les termes
de la suite
nn rDP ))(( 
. La formule (5) montre qu’on a aussi une récurrence sur
r
: les résultats
au rang
r
nécessitent ceux au rang
1r
.
On peut alors, par soustraction sur la même page de tableur, calculer pour tout
0r
tous les
termes de la suite
nn rDP ))(( 
, c'est-à-dire
n
k
nrDP ))(( )( 

3
Utilisant la formule (4),
 klP r
n)(
)( )1( rDP k
n
)( )( rDP k
n
, valide si
1k
(car
)(k
n
D
n’a
été défini que si
1k
; le cas simple
0k
est traité à la fin de l’encadré), on obtient alors les
courbes qui suivent (avec, c’est un exemple,
28,0p
et
n
en abscisse,
350n
) :
Figure 1
L’allure de ces courbes n’est pas étonnante, observons celles du milieu (
2r
) :
A l’aide d’un tableur on a
facilement représenté ci-
contre chacune des suites
3501
)( )(( 
n
k
nrDP
pour
2r
et
k
entre 1 et 8 dans
le cas
6,0p
.
Ces suites
n
k
nrDP )(( )( 
sont (strictement)
croissantes et convergent
vers 1.
Figure 2
P (D_n(k)>=2), k entre 1 et 8
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
121 41 61 81 101 121 141 161 181 201 221 241 261 281 301 321 341
k = 1
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6
k = 7
k = 8
Cependant, pour chaque
r
fixé, si
1k
, chaque suite
n
r
nklP )( )( 
est obtenue en soustrayant
deux suites
n
k
nrDP )(( )( 
consécutives, consécutives en
k
, puisqu’on dispose de la relation
donnée en (3) :
 klP r
n)(
 )( )( rDP k
n
)( )1( rDP k
n
.
Le cas
0k
est à part, car on n’a défini
)(k
n
D
que si
1k
donc (3) n’est pas valide si
0k
, mais
il ne pose pas de problème de calcul :
rDPrDPlPlP nn
r
n
r
n
)1()1()()( 1110 
.
Il semble qu’on ne dispose pas de formules explicites permettant de calculer
klP r
n
)(
(sauf dans le cas
1r
où ces formules explicites sont très compliquées).
2 ) APPROXIMATIONS
On peut prouver par la méthode dite de Stein-Chen que si
p
est assez petite et si
n
et
k
, surtout
n
,
sont assez grands (ces détails seront précisés ; on suppose a priori que
1k
,
)(k
n
D
suit
(approximativement) une loi de Poisson.

4
(voir l’annexe ou les pages 20 et 21 du texte de R Arratia, L Goldstein et L Gordon-1989 « Two
moments suffice for Poisson approximations : the Chen-Stein method »
(http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.
aop/1176991491)
Description rudimentaire du principe utilisé Encadré 3
Rappel :
p
fixé entre 0 et 1. On considère
*
;INnXn
où
n
X
suit la loi binomiale
);( pnB
.
On pose
nn CCCX  ... 21
,
n
X
est la somme de
n
variables de Bernoulli indépendantes et
identiques :
n
X
compte les succès au cours des
n
premières épreuves.
si
pn
avec
p
petit et
n
grand (on précise parfois :
01,0p
,
100n
et
101 pn
),
alors
n
X
suit approximativement la loi de Poisson de paramètre
.
« Preuve » :
kn
k
npp
k
n
kXP   1..
=
kn
kpp
kknnn 
 1..
!)1)...(1(
donc si
p
est petit et
k
est petit devant
n
:
kXP n
n
k
kpp
k
n 1..
!
pLnn
ke
kpn 
1 .
!)(
pn
ke
kpn 
.
!)(
. (6)
L’hypothèse
p
petit est essentielle. La loi de Poisson est parfois dite loi (de comptage) des événements rares.
Soit
n
un entier (non nul) fixé.
Nos variables indépendantes de Bernoulli,
1
C
,
2
C
…
n
C
suivent la loi
pCP i )1(
.
Soit
k
un entier (non nul) fixé,
nk 
.
On peut observer l’apparition d’une suite ininterrompue d’au moins
k
succès au moment
si et
seulement si
k
et
1... 11  CCC k
.
Une telle suite est nouvelle et doit être comptabilisée au temps
(
k
) si et seulement si
k
et
1...
21  k
CCC
ou bien
1 k
et
1...111   CCCC kk
On pose
kk CCCS ... 21
et si
1 k
,
CCCCS kk 11...1
.
 nk S
est le nombre de suites ininterrompues (et disjointes) d’au moins
k
succès observées à
l’instant
n
, c'est-à-dire que
)(k
n
nk DS 
.
Pour
1 k
, toutes les variables
S
sont des variables de Bernoulli suivant la même loi
définie par
k
ppSP  11
.
Le problème est que ces variables
S
ne sont pas indépendantes.
Toutefois, chaque variable
S
est indépendante de toutes les variables
S
vérifiant
k
.
Ainsi, si
n
est bien plus grand que
k
,
nk
k
k
nSSD
1
)(
où la somme
 nk S
1
apparaît
comme « assez proche » d’une somme de
)( kn 
variables de Bernoulli indépendantes de même
loi, donc, suivant notre rappel, d’une variable suivant une loi de Poisson de paramètre
k
ppkn  1
. La quantification de cette proximité est reportée en annexe.

5
Par ailleurs
kk
nk
k
nk
k
nppknpSESESEDE   
1)()( 1
)(
et c’est ce
dernier nombre qu’on obtient pour paramètre.
On désigne cette loi de Poisson par
)(k
n
N
kn
N,
. Son paramètre est
11
, pknpk kn
.
Ceci signifie que
!!
,
,,s
e
s
esNP s
s
kn
kn kn
. (7)
La qualité, très bonne quand
p
est assez petite, de cette approximation de
)(k
n
D
par
)(k
n
N
est précisée
en annexe. On y verra que
kk
n
k
npkANPADP
INA
Sup )22(
)()( 
. Cette majoration de
l’erreur est satisfaisante car on s’intéresse surtout au cas
2/1p
cependant que les petites valeurs
de
k
sont accessibles informatiquement.
On a pour l’instant
klP r
n
)(
)( )1( rDP k
n
)( )( rDP k
n
donc
klP r
n
)(
1
0
,1, ,1, !
)(
!
r
s
s
kn
s
kn knkn e
s
e
s
. (8)
La dérivée de cette fonction (de la variable
n
) est compliquée, comme le lien entre
11
, pknpk kn
et
111
1
1,   pknpk kn
.
Par ailleurs, il va de soi que lorsqu’on s’intéresse aux variations de
klP r
n
)(
quand un des
nombres
p
,
r
,
n
et
k
varie, les trois autres sont fixés mais on va voir que dans les calculs qui nous
intéresseront (on ne cherche que des grandes probabilités !),
k
sera de l’ordre de
nLn
.
Il s’ensuivra que dès que
n
sera un peu grand, le rôle de
k
dans la valeur de
11
, pknpk kn
sera plus important à cause de la présence de
k
p
que de celle de
kn
.
Il est donc raisonnable de remplacer dans ce qui précède
11
, pknpk kn
par
pnpXk 1
et
1, kn
par
pX
. L’erreur qui en résulte est quantifiée en annexe (où on verra
qu’elle est d’autant plus faible que
p
est petite, et négligeable dès que
k
grandit un peu).
On voit que cette simplification revient à approximer
)(k
n
D
par une loi de Poisson dont le paramètre,
pnpk1
, est un peu plus simple que celui de
)(k
n
N
.
Une heuristique simple Encadré 4
Cette nouvelle approximation de
)(k
n
D
peut par ailleurs être obtenue directement sans évoquer la
méthode de Stein-Chen :
Soit
n
un entier fixé. On peut représenter une suite de
n
épreuves de Bernoulli de la façon
suivante ( trouvée dans“An extreme value theory for long head runs”
L Gordon, M F Schilling et M S Waterman (Californie) - Probability theory -1986
http://www.cmb.usc.edu/papers/msw_papers/msw-070.pdf ) :